Урок математики по теме Числовая окружность

Мы начинаем изучать новый раздел математики - математический анализ.

Название «математический анализ» - сокращенное видоизменение старого названия «анализ бесконечно малых». Последнее больше говорит, но оно тоже сокращенное. Более точно нужно сказать «анализ посредством бесконечно малых».

Но что же мы будем анализировать? В классическом математическом анализе объектом изучения являются прежде всего функции, т.е. переменные величины, зависящие от других переменных величин.

В курсе алгебры 7-9 классов мы до сих пор занимались изучением алгебраических функций. В этом большую помощь нам оказывала математическая модель - числовая прямая.

Рассмотреть ОК-1.

Вопрос:

«Какие еще примеры алгебраических функций вы можете привести?»

Обратить внимание на признаки, отличающие обыкновенную прямую от числовой.

Однако математические модели реальных ситуаций чаще бывают связаны с функциями другого класса, не алгебраическими. К изучению первых представителей класса неалгебраических функций - тригонометрических функций - мы и приступаем.

Они служат прежде всего для описания разнообразных периодических процессов. С периодически повторяющимися ситуациями человек сталкивается повсюду. Биение сердца, цикл в жизнедеятельности организма, вращение колеса, морские приливы и отливы, наполненность городского транспорта, эпидемии гриппа - в этих многообразных примерах можно найти общее: эти процессы периодичны.

Для исследования тригонометрических функций нам понадобится новая математическая модель - числовая окружность.

Рассмотреть ОК-2, ввести понятия единичной и числовой окружности.

Подчеркнуть ее важную особенность: единичный отрезок выбирается не произвольно, а строго определенным образом.

Обратите внимание, что изображать числовую окружность мы будем с проведенными в ней вертикальным и горизонтальным диаметрами, важная роль которых станет ясной в дальнейшем.

Ответить на вопросы 1 и 2.

1. Что такое числовая окружность?

2. Перечислите признаки числовой окружности

Обсудить примечание - что можно сделать, чтобы отметить положение числа на окружности (прокатить окружность по прямой, намотать нитку с узелками, воспользоваться курвиметром).

Вот первый пример реальной ситуации, для которой используется новая модель - движение по кругу (например, по стадиону).

Решить задачу № 1(пр)

1. Считая числовую окружность образом беговой дорожки стадиона, отметьте на ней конец дистанции: а) 1500 м; б) 42 км 195 м.

Понятно, что наматывать и разматывать числовую прямую никто не собирается, да и курвиметр не всегда под рукой. Поэтому для того, чтобы отметить произвольную точку на окружности, используется другой подход

Решить задачу № 2(пр)

2. Дана окружность радиуса 1 см. Чему равна длина: а) всей окружности; б) ее половины; в) ее четверти?

Вычисления оставить на доске, они будут использованы при решении следующих задач.

Сделать важный вывод:

Обратите внимание: если длину дуги выражать с помощью привычных рациональных чисел (т.е. заменять число  его приближенным значением), то результат всегда будет приблизительным. А если измерять длины в долях числа , то результат будет точным числом.

Прочитав условия задачи № 3, ввести правило именования дуг:

Условимся в двухбуквенном обозначении дуги на первом месте писать букву, соответствующую началу дуги, а на втором - букву, соответствующую концу дуги, обходя окружность против часовой стрелки.

Решать задачи № 3(пр - 8(пр)

Обратить особое внимание на соблюдение учащимися правила именования дуг.

Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ - первая, ВС - вторая, CD - третья, DA - четвертая.

Опираясь на эту геометрическую модель, решите задачи № 3, 4, 5, 6, 7, 8.

3. Первая четверть разделена точкой М на две равные части, а точками К и Р - на три равные части (точка Р между М и В). Чему равна длина дуги: АМ, МВ, АК, КР, РВ, АР, КМ?

4. Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья четверть разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и D). Чему равна длина дуги: АМ, ВК, МР, DC, КА, ВР, СВ, ВС?

5. Вторая четверть разделена точкой М пополам, а четвертая четверть разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и А). Чему равна длина дуги: АМ, АК, АР, РВ, МК, КМ?

6. Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвертая разделена на три равные части точками К и Р (точка Р между К и А). Чему равна длина дуги: АМ, ВD, CK, MP, DM, MK, СP, PС?

7. Третья четверть разделена точкой Р в отношении 1 : 5. Чему равна длина дуги: СР, PD, АР?

8. Первая четверть разделена точкой М в отношении 2 : 3. Чему равна длина дуги: АМ, МВ, DM, МС?