Заседание НОУ Интеграл по теме Метод масс в геометрии

Заседание

научного общества учащихся «Интеграл»

Тема занятия «Метод масс в геометрии»

28 апреля 2015 года

Учитель математики: Кондратьева Татьяна Юрьевна

Аудитория: 8,9,10 класс

Актуальность темы: В школьном курсе математики тема «Геометрия масс» не рассматривается. Решения задач на отношение длин при решении обычными методами получаются достаточно объёмными. Данный метод необходим для рационального решения задач.

Проблема: поиск рационального способа решения задач

Объект исследования - геометрические задачи на нахождение отношения длин отрезков

Цели: познакомиться с теорией способа решения задач методом геометрии масс, повысить уровень культуры решения геометрических задач, развитие навыков исследовательской работы.

Задачи:

1. Дать понятие геометрии масс

2. Научиться решать задачи с применением этого метода

3. Подготовка к ОГЭ (№26), ЕГЭ(С4) и олимпиадам

Гипотеза: Многие задачи на отношение длин отрезков рациональнее решать с помощью геометрии масс

1. ВВЕДЕНИЕ

«…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем».

Архимед.

Послание к Эратосфену «О механических теоремах»

На этом занятии мы рассмотрим следующую тему - «Метод масс в геометрии».

Родоначальником метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс.

Соображения Архимеда были позднее использованы и развиты многими геометрами (Папп, Чева, Гюльден, Люилье и др.).

Нередко приходится слышать, что рассуждения с использованием свойства центров масс не могут дать математически строгих решений геометрических задач (хотя, может быть, и полезны для угадывания правдоподобных ответов к этим задачам). Однако такое мнение глубоко ошибочно. Понятия механики не только служат ценным эвристическим средством; облеченные в строгую математическую форму, они позволяют получать математически безупречные решения задач геометрии и алгебры.

Первый «сюрприз» Архимеда

Во время осады Сиракуз Архимед построил множество удивительных приспособлений. Первое - это «Лапа Архимеда», уникальная подъемная машина и прообраз современного крана. Внешне она была похожа на рычаг, выступающий за городскую стену и оснащенный противовесом. Если римский корабль пытался пристать к берегу около Сиракуз, этот «манипулятор» захватывал его нос и переворачивал. (вес римских трирем превышал 200 тонн, а у пентер мог достигать и всех 500), затапливая атакующих.

МАТЕРИАЛЬНАЯ точка - точка, имеющая массу. В механике понятием материальная точка пользуются в случаях, когда размеры и форма тела при изучении его движения не играют роли, а важна только масса.

Подскажите псу куда нужно ему пересесть, чтобы качели пришли в равновесие?

Задача найти в этом случае ту точку, которая уравновесит данные качели.

Принцип центра масс является ничем иным, как законом рычага, с помощью которого Архимед собирался перевернуть Землю.

2. Решение задач

Центр масс данной системы двух точек будет такая точка О данного отрезка, что AO*m₁ = BO*m₂.
Или соответственно

Таким образом, точка O разбивает наш отрезок в отношении обратно пропорциональном тем массам, которые находятся в точках A и B.

Задача 1. Дана масса груза, расположенного в точке A - m₁=1, а масса груза, расположенного в точке B - m₂=2. Найти положение центра масс.

Решение:

Из теоремы следует, что центр данной системы - это такая точка О, которая разделит отрезок АВ в отношении 2 к 1, считая от вершины А.

Ответ:

ЗАДАЧА 2 для самостоятельного решения:

Пусть масса, расположенная в точке A равна 400г, а масса в точке B равна 1400г (см. рис.). Найти центр масс данного отрезка.

Решение: из определения центра масс получаем, что точка O делит отрезок AB в отношении = . Значит центр масс O делит отрезок так, что 7*АO = 2*BO.

3. Центр масс системы материальных точек

К примеру, дан треугольник ABC. В точках A, B и C находятся гирьки с массами соответственно m₁, m₂ и m₃. Центр масс данной системы будет

Если дана система с несколькими точками, где на каждой из точек существует груз, то вместо любой пары точек можно рассматривать их центр масс, в котором находится суммарная масса исходных двух точек.

Таким образом: центр тяжести данной системы - это центр масс системы из двух точек O и C. Где точка O- это центр масс отрезка AB c массой m₁+m₂.

Ответ: Центр масс треугольника - это некоторая точка P на отрезке CO.
m=m₁+m₂+m₃.

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача 3. Дан треугольник ABC с массами m_A, m_B и m_C=1. Найти центр масс данного треугольника.

Решение:

Найдем центр масс для точек A и B. В данном случае это будет точка M, которая является серединой отрезка AB, потому что в точках A и B стоят одинаковые массы. В точке M масса будет равна 2.

Таким образом, центр системы - точка O, которая делит отрезок MC в отношении 2/1 от вершины C. Данную аналогию можно провести с каждой вершиной.

Ответ: В треугольнике есть единственная точка O, которая делит каждую медиану в отношении 2/1 от вершины.

Отсюда следует известная теорема о медианах треугольника: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке в соотношении 2/1

Задача 4. Дан треугольник ABC. BM - медиана, AN делит сторону BC в отношении 1/2 от вершины B. AN пересекает BM в точке O. Найти отношение BO:OM.

Решение: Расположим в вершинах A и C массы, равные 1, а в вершину B - массу, равную 2. Тогда точка M - центр масс для точек A и C, и концентрирует массу, равную 2. Точка N - центр масс отрезка BC, т.к. BN:NC=1:2 (из условия), а mB:mC=2:1.

Предположим, что точка O - центр масс для отрезка BM. Тогда она является и центром масс для всего треугольника ABC и концентрирует в себе массу 2+2=4. Если O - центр масс треугольника, то здесь же и центр масс отрезка AN. Проверим это. В точке A сконцентрирована масса 1, в точке N - 3, а в точке O - 4.

1+3=4 , следовательно, O - центр масс отрезка AN и всего треугольника. Тогда отношение BO:OM = 2:2 = 1.

Ответ: BO = OM.

Задача 5. Дан треугольник ABC (рис.7). BM - медиана. Отрезок KP точкой K делит AB в отношении 2:1 от точки А, а точкой P делит отрезок BC в отношении 2:1 от вершины В. Отрезки KP и BM пересекаются в точке O. В каком отношении точка О делит отрезок KP?

Решение: Расположим в вершинах А и С массы, равные 2. Рассмотрим отрезок BC. Предположим, что точка Р - центр масс данного отрезка. Определим, какая масса сконцентрирована в точке В.

Пусть она равна х, тогда:

= .

Получаем, что х = 1, а значит в точке Р масса, равная 3.

Теперь рассмотрим отрезок АВ. Масса в точке А равна 2. Пусть точка К - центр масс данного отрезка, тогда масса, заключенная в точке В равна 4, а в точке К - 6. Значит для всей системы точек в точке В сконцентрирована масса 5.

Допустим, что точка О - центр масс всего треугольника. В точке М сконцентрирована масса 4 (mA = mC = 2, AM = CM, М - центр масс). Значит точка O - центр масс и для отрезка ВМ, а значит в точке О сосредоточена масса 4+5=9. А т.к. точка О принадлежит и отрезку КР, то из предположения о том, что О - центр масс треугольника, получаем, что эта точка - центр масс и для отрезка КР (в точке О сконцентрирована масса, равная сумме масс , расположенных в точках К и Р). А значит, что КО:ОР = 3:6 =1:2.

Ответ: 1:2.

Задача №6.

В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=1:5, а АМ: МС=1:2. Найти ВО:ОМ и АО:ON, где О - точка пересечения чевиан.

Решение. Помещаем в вершину С массу, равную единице. Поскольку точка М делит сторону АС в отношении 1:2, то по правилу рычага в точку А должна быть помещена масса, равная двум. Аналогично в точку В быть помещена масса, равная пяти_, т. к. ВN: NC=1:5

1)СМТ 2А,5В,1С с центром масс в точке О.

2) 2A+1C=3M; 5В,3М - СМТ с центром масс в точке О

По правилу рычага ВО:ОМ=3:5

3) 5В+1C=6N; 6N, 2А - с центром масс в точке О

По правилу рычага АО:ОN=6:2=3:1

Ответ: ВО:ОМ=3:5, АО:ОN=6:2=3:1

Задача №7.

В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=1:7, а АМ: МС=2:5. Найти какую часть площади АВС составляет площадь СМОN.

Решение.

Помещаем в вершину С массу, равную двум. Тогда по правилу рычага в точку А должна быть помещена масса, равная пяти, так как АМ: МС=2:5. Аналогично в точку В быть помещена масса, равная 14_, т. к. ВN: NC=1:7, а в тоске С масса 2.

1)Введем систему материальных точек 5А,14В,2С с центром масс в точке О.

2) 5A+2C=7M; 14В,7М - СМТ с ц.м. в т.О . По правилу рычага ВО:ОМ=7:14=1:2

3) 14В+2C=16N; 16N, 5А - с центром масс в точке О.. По правилу рычага АО:ОN=16:5=3:1

4) S_CMON=

Задача 8 (С4 ЕГЭ): Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и ВС (АВ = 5, ВС = 12). Пусть точка J - центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая, проходящая через точку J, параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает две другие стороны в точках К и Р. Найдите длину отрезка КР.

Решение:

Треугольник ABC подобен треугольнику KBP, значит

= , = . Тогда

КР = .

2-й случай: КР = .

3-й случай: КР = .

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. В треугольнике ABC точка к делит сторону BC в отношении 1:4, считая от вершины B. В каком отношении отрезок AK делит медиану BM?

Ответ: 1:2

Задача 2. B треугольнике ABC точки M, N, K расположены соответственно на сторонах AB, AC, BC так, что AM:MB = 1:4, AN:NC = 2:3, CK:KB = 3:2. Отрезки AK и MN пересекаются в точке L. Во сколько раз LK больше AL?

Ответ: 3

Итоги урока: Сегодня на уроке мы познакомились с интересным методом решения геометрических задач - методом масс. А так же узнали интересные факты их жизни создателя этого метода - Архимеда.