Материалы для подготовки к занятиям по внеурочной деятельности 5 класс

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 78 ГОРОДА УЛЬЯНОВСКА

1занятие.

Этот волшебный мир математики

Гений состоит из 1% вдохновения и 99% потения.

Т. Эдисон.

Цель: показать, какие качества необходимы при изучении мате­матики.

Разминка. 1 секунду все смотрят на доску, где изображены треугольник, квадрат, круг и числа 8, 3, 9 внутри этих фигур. Через секунду доска закрывается и требуется ответить на следующие вопросы: Какова сумма чисел? Какое число записано внутри квадрата, треугольника, круга?

2. Восстановить слова из математического словаря: ТИР, СЛЮП, ГРУК, СОЛИЧ, МУСАМ. ( три, плюс, круг, число, сумма).

3. Решение занимательных задач.

• Три кошки за три минуты поймали трёх мышей. Сколько нужно кошек, чтобы они за 1 час поймали 60 мышей? (три)

• У Вани три брата и 2 сестры. Сколько братьев и сестёр у его сестры Нади? (4 брата и 1 сестра).

• По углам и сторонам квадрата на расстоянии 2м друг от друга вбиты колышки. Сколько всего колышков вбито, если сторона квадрата равна 10 м? (20).

• Разделить между тремя друзьями три яблока лежащих в вазе, так, чтобы одно яблоко осталось в вазе, и у всех было по яблоку. (Одному отдать яблоко вместе с вазой).

• У троих братьев оказалось вместе 9 карандашей. У младшего на 1 карандаш меньше, а у старшего на 1 карандаш больше, чем у среднего брата. Сколько карандашей у каждого из братьев? (У младшего 2, у среднего 3, у старшего 4).

Мозговой штурм при заполнении таблицы качеств современного человека

№ задачи

Задача

Качества

1

1. Откуда надо взглянуть на фигуру, изображенную на рис.1, чтобы увидеть рис.2?

Воображение

2

Нарисуйте звезду, не отрывая карандаша от бумаги и не прохо­дя дважды по одной и той же прямой.

Аккуратность

3

7

22

10

15

4

14

2

18

23

12

5

20

13

6

17

11

24

9

1

21

16

3

25

19

8

Найти все числа от 1 до 25.

Внимание

4

Задача: Валя произнесла истинное утверждение. Ее брат повто­рил его, и оно стало ложным. Что сказала Валя?

а) Меня зовут Валя; б) Я - девочка; в) У меня длинные волосы.

Умение логически рассуждать

5

Какую фигуру ты нарисовал бы следующей?

Наблюдательность

6

1.Вычислить произведение: а) 164 · 25, б) 824 ·125

Ответ: а) 4100; б) 103000.

2. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Ответ: 5050.

Умение быстро считать

7

Замените одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные - разными и решите пример.

УДАР

+ УДАР

ДРАКА

Память

8

Переставьте буквы и слова и прочитайте предложение

НТАЯ АНАШ ЕЧПАЛТ ОРГОКМ

Воля

9

Врач сказал, что прививку сделают учащимся, записанным в классном журнале под номерами 24-31.

Сколько учащихся пошли в медпункт?

Решение: Обычно вычитают из 31 число 24. Однако на привив­ку не идут 23 ученика. Значит, 31- 23=8 - столько человек идут в медпункт.

Нестандартное мышление

10

Как сделать так, чтобы пустые и полные стаканы чередовались, если брать можно только один стакан?

Умение применять знания в творческих условиях.

11

Могут ли из восьми учеников класса двое отмечать свой день рождения в один и тот же день недели, если известно, что все восемь родились именно на этой неделе?

Решение:

Дней недели:7, учащихся: 8

Значит, два ученика празднуют день рождения в один день.

Умение думать, анализировать, рассуждать.

12

Во второй корзине на 8 кг яблок больше, чем в первой, и на 4 кг меньше, чем в третьей.

В четвертой корзине яблок столько же, сколько в третьей и вто­рой корзинах вместе. Сколько яблок в четырех корзинах, если в пер­вой корзине было 12 кг яблок? Ответ: 84 яблока.

Умение получать удовольствие от того, что делаешь сам.

Занятие 2. Как люди учились считать?

Цели: развивать интерес к математике; дать историческую справку о римской и арабской нумерациях.

Разминка .

1. Домик Кролика нарисован 4 раза, а домик Пятачка только один раз. Где домик Пятачка?

Историческая справка:

Более 2000 лет назад в Древней Греции существовала легенда: «Темна была жизнь первых людей: у них не было огня, и они не зна­ли чисел. Титан Прометей похитил у богов и огонь, и числа, принес их на землю людям. Разгневался на него всемогущий бог Зевс и при­ковал Прометея к скалам. Каждый день прилетал к титану орел и клевал ему печень, которая снова восстанавливалась».

Красив подвиг Прометея, но это всего лишь легенда, сказка. Числа- не дар Божий, а творение ума человека. Считать начали на паль­цах, через счет на пальцах прошли все народы. Следы этого встре­чаются и в русском языке. Кисть руки - по-старинному пясть. Отсюда название числа «пять».

В далекие времена в Египте числам попытались придать форму. Поставил вертикальную черту - это один, нарисовал дугу - это уже десяток.

В Индии около полутора тысяч лет тому назад подумали: «А что если одному и тому же значку (цифре) придавать различные значения в зависимости от занимаемого им места в записи?» Так и сделали.

Изобрели в Индии и еще одну хитрость - придумали цифру нуль.

В Европу этот способ записи чисел завезли арабы, поэтому его и называют арабским. По-арабски нуль называется сифр. Поэтому циф­рами мы называем значки, с помощью которых записываются числа.

Наряду с арабскими иногда пользуются «неудобными» римски­ми цифрами.

I V X L С О М

1 5 10 50 100 500 1000

Цифра С - начальная буква латинского слова санти (сто), цифра М - первая буква слова милли (тысяча). Цифра I, возможно, изобра­жала когда-то палец, а цифра V - раскрытую ладонь.

Если в записи числа большая цифра стоит левее меньшей или равной ей цифры, то надо находить их сумму. XV - это десять да пять: 15.

Если меньшая цифра стоит левее большей, то надо находить их разность. IX - это десять без одного: 9.

Римская система счисления была довольно удобной для записи чисел, однако выполнение каких-либо действий являлось очень громоздкой задачей. Сами римляне пользовались при таких операциях специальной счётной доской- абаком. В основе записи чисел римскими цифрами лежат правила сложения и вычитания. VI = V+I =6 , XIV =X +V -I =14

Задания со спичками.

1. Запишите числа римскими цифрами: 37; 89; 2164; 348

2. Выполните действия: а) CXIV - XXVI=

б) VL - XXI =

3. Имеется запись из спичек:

IV + IV = X

Исправьте допущенную ошибку, переложив только одну спичку.

Ответ: IV + VI = Х

4. Положите на стол три спички. Добавьте еще две спички так, чтобы из них получилось восемь.

Ответ: VIII

Блиц-опрос.

1. Какие числа называются натуральными? ( Числа, используемые при счете).

2.Сколько цифр вы знаете?(10)

3. Признак делимости на 5. ( Последняя цифра делимого 5 или 0).

4. Чему равна разность наименьшего четырехзначного числа и 1? (999)

5. Где были изобретены современные цифры и позиционная система счисления? (В Индии)

6. Возможность счета на пальцах способствовала введению какой системы счисления?(Десятичной).

7. Как называлась счётная доска у римлян? ( абак)

8. Что больше ТЬМА или МИЛЛИОН? ( Они равны).

Занятие 3. КАК ИЗМЕРЯЛИ В СТАРИНУ

Цель: познакомить с различными старинными

единицами из­мерения: длины, массы, стоимости .

Историческая справка:

В старину единых мер для всех стран не было. Даже в различных местностях одной страны единицы измерения были неодинаковые.

Раньше использовали сажени. Их было две. Прямая сажень - это рас­стояние между кончиками пальцев, вытянутых в сторону рук, косая сажень - это расстояние между пальцами вытянутой вверх руки и носком отставленной левой ноги. Длина прямой сажени равна примерно 153 см., а косой - 216 см. Это что же , у всех людей расстояние между пальцами было 153 см. Так ведь не бывает. Конечно, так не бывает. Расстояние между пальцами рук использовали только в приближенных измерениях, в быту, а для более точных измерений применялись линейки.

Времена менялись, исчезали одни меры, появлялись дру­гие. В 16 веке на смену локтю пришел аршин. Это тоже был ло­коть, но персидский, длиной 72 см. Тогда же на Руси появился и вершок, который был в 16 раз меньше аршина. В 18 веке Россия стала больше торговать с Западной Европой. Нужны были меры, которые было бы легче сравнивать с западными мерами. Решили сохранить названия старых мер, но заново определить их длину. Для определения длины Петр 1 решил воспользоваться английски­ми мерами. Английские меры не меняются уже несколько сто­летий и ими часто пользовались в торговле. Основные английские меры длины - это ярд, фут и дюйм. Одна старая легенда говорит, что ярд был определен в 1101 году как расстояние от носа английского короля Генриха 1 до кончика среднего пальца его вытянутой руки. По другой легенде ярд - это длина его меча. Фут определяют как величину, которая в три раза меньше ярда. Но в одно из воскресений 1324 года другой король Эдуард повелел определить один Фут как среднее арифметическое "длин ступней первых 16 человек, выходящих из церкви после заутрени". С тех пор фут равен приблизительно 30 см., а ярд - 91 см.

"Дюйм" голландское слов о и означает "большой палец".

А точнее первую фалангу большого пальца руки. Поначалу один дюйм определяли как длину трех ячменных зерен, но затем уста­новили, что один дюйм равен 25 мм. Именно эти английские меры были положены в основу новых русских мер. По указу Петра 1 сажень, аршин, пядь, вершок определялись так, что выполнялось равенство: 1 сажень равен 3 аршинам = 12 пядям = 48 вершкам=7 футам = 84 дюймам. Но, несмотря на царский указ, повсюду приме­рялись самые разнообразные меры длины, площади, объема, ис­пользовались десятки различных футов, миль, огромное количество во мер объема. Только переход в 1918 году к метрической сис­теме мер положил конец этой неразберихе. С тех пор старин­ные меры на практике не применяются. Но их можно встретить в рассказах, повестях, сказках.

1 верста = 500 саженей; 1 сажень = 3 аршина; 1 аршин =16 вер­шков = 28 дюймов.

1. Попробуйте сосчитать, сколько в версте вершков?

2. А как вычислить, сколько в вершке дюймов?

3. «Мал золотник, да дорог!» Объясните смысл слова золотник.

4. «Не было ни гроша, да вдруг алтын». Объясните смысл слов грош и алтын.

5. 1 сажень = 3 аршинам = 7 футам 1 пуд = 40 фунтам

1 фунт = 96 золотникам. Сосчитайте, какую часть сажени составляет аршин; какую часть аршина составляет фут; сколько золотников содержит пуд.

6. Один гость привез 12 пудов пряностей и хочет продать за полтре­ти пуда по 3 рубля и 8 алтынов. Сколько денег он выручит? 1 алтын равен 3 копейкам.

Занятие 4. Решение старинных задач

Цель: Учить решению и составлению собственных задач

1. Какой рост в мм. у Дюймовочки в одноименной сказке Андерсе на?

2. А.С. Пушкин говорит, что у царя Салтана родился сын в аршин. Найдите рост князя Гвидона в дюймах и сантиметрах.

3. Обычное пожелание моряков перед дальним плавание "Семь футов под килем". Сколько это будет сантиметров.

4. Кольцо баскетбольной корзины расположено на высоте 10 футов. Найдите эту высоту в метрах, сантиметрах миллиметрах.

5. Выразите в дюймах и сантиметрах один вершок, одну пядь, один аршин, одну сажень,

6. В версте 500 сажень. Найдите длину версты в метрах.

7. Десятина - это площадь 2400 квадратных сажени. Найдите площадь десятины в квадратных метрах и гектарах.

8. Горшок имеет высоту двух пядей. Найдите рост в сантимет­рах того, кто "от горшка два вершка".

Когда вам такие меры встретятся, вспомните наш рассказ о том, как измеряли в старину.

9. Бывают люди семи пядей во лбу? Или нет? Ответ объясните.

10. Есть поговорка: "Пять верст до небес и все лесом". Сколько метров до небес?

Работа в группах по составлению собственных задач со сказочным сюжетом.

Занятие 5. Смотр знаний

Цель: Проверка усвоенного материала по теме.

Занятие 6. Необычное об обычных натуральных числах

Цель: Познакомить с некоторыми

особенностями натуральных чисел,

пути поиска закономерностей .

Разминка.

1. Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней? (48)

2. Откуда надо взглянуть на фигуру, изображенную на рис.1, чтобы увидеть рис.2?

3. Восстановите запись: **

8

*6

Беседа.

1.Следы многих знаний о числах можно наблюдать в современном мире, в дошедших до нас пословицах и даже некоторых суевериях. Например, привычный для нас калькулятор получил название от латинского слова calculus, что в переводе означает маленький камень. Это потому, что древние римляне пользовались для вычислений морской галькой и процесс стали называть калькуляцией. Многочисленные пословицы и поговорки, в которых «3» и «7» по смыслу обозначают «много»: Бог троицу любит; Без троицы дом не строится; Семеро одного не ждут; Семь раз отмерь- один отрежь; Семь бед- один ответ и т.д.

У древних туземцев были всего 2 числа: урапун (один) и окоза (два). Окоза-коза-урапун (пять). Начиная с семи, они говорили: много.

Суеверие с числом 13. Раньше в старину за систему счисления принимали число 12, очень удобное при расчётах, оно делится на 2, 3, 4. А вот следующее-13 делится только на себя. В Средневековье была легенда о, что в колдовских шабашах участвуют 13 персонажей- 12 ведьм и сатана. Отсюда и название числу- чёртова дюжина. Во многих странах это число считают зловещим. А вот итальянцы и аборигены Америки считают, что это число приносит счастье. Существовало обыкновение добавлять бесплатно 13 булочку, если кто-то заказывал дюжину. Католики считали, что 13- священное число, символ Иисуса Христа и 12 апостолов.

В Китае счастливым считается число 8, поскольку слово « восемь» напоминает слово «удача», а число 4 звучит как «смерть» и поэтому относится к несчастливым. Они избегают её в номерах машин, квартиры, улицы. Также число 1считается «нехорошим», означающее одиночество.

А вот греки отождествляли некоторые числа с геометрическими образами, поэтому называли их фигурными.

Если равномерно заполнять квадраты точками, то число, обозначающее количество точек, называют квадратным: 1,4,9,16,25 и т.д. А в треугольниках они называются треугольными: 1,3,6,10 и т.д. Сумма двух последовательных треугольных чисел является квадратным числом.

Игра в парах. Каждый из двух играющих придумывает какое-нибудь правило, по которому получается последовательность чисел, и записывает первые 10 чисел, полученных по этому правилу, на своём листочке. Затем они по очереди называют противнику по одному числу, и всякий раз предлагают угадать следующее число. Выигрывает тот, кто за меньшее число ходов угадает следующее число противника и скажет правило по какому составлен ряд. (Необязательно, то, которое придумал противник).

4.Продолжите ряд чисел:

а) 1 2 4 7 11 16….?

б) 20 17 14 11 8 ?

2 6 10 14 18 ?

в) 15 23

19 24 27 ?

г) Найдите недостающее число: 1; 25; 9; 36; 4; 64; 49?

д) Продолжите ряд чисел: 31; 30; 15; 14; 7?

Ход рассуждений при решении задания.

1. Поиск закономерностей.

Попытка определения закономерности в расстановке чисел:

а) на сколько, во сколько больше или меньше;

б) при сравнении: последовательных чисел или через число, или через два числа и т.д.

2. Поиск закономерностей. Попытка определить закономерность в представлении чисел, связанных со степенью числа.

3. Поиск других оснований для построения ряда, например, перемножаются две цифры, входящие в предыдущее число.

4. Творческий этап. Разработка аналогичных числовых рядов.

5. Сосчитайте сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Ответ: 101 × 50 = 5050.( задача маленького Гаусса)

6. На елке Мише купили шесть шаров:

71 73 75 85 87 89

Маше купили семь шаров:

41 44 47 50 53 56 59

На шарах были указаны их цены. Миша схватил калькулятор, чтобы сосчитать стоимость шаров. Маша говорит: «Ты и без каль­кулятора устно сможешь сосчитать, а вот у меня не больно-то со­считаешь: один шарик лишний».

Сосчитайте устно стоимость каждой покупки.

Решение: (71+89) • 3=160 • 3 = 480; (41+59): 2 • 7 = 350.

7. Сиропчик бросил в щель автомата гривенник (10 копеек), и ав­томат выдал малышу 3 стакана газированной воды с сиропом. Лю­бителю этого напитка показалось, что трех стаканов ему мало. Он хочет выпить еще 21 стакан воды с сиропом. «Если бы я знал цену стакана воды с сиропом, - размышлял малыш, - то подсчитал бы их стоимость. Но как узнать цену? 10 на 3 не делится». Мимо шел Знайка и сказал Сиропчику: «Если знаешь законы сложения и вычитания, можно сосчитать стоимость и не зная цены». Скажите, как?

Решение: Цена • 21= (цена • 3) • 7=10 • 7= 70 коп.

8. Найдите закономерности в данных рядах чисел и продолжите эти ряды:

а) 9,1,7,1,5,1, . .

б) 3,4,6,9,13,18, ..

в) 4,8,10,20,22,44,..

Дома придумайте свои последовательности.

Занятие 7. Математические фокусы. Магические квадраты

Цель: Учить отгадывать и составлять фокусы

с натуральными числами

Фокусы

Учитель сообщает учащимся, что он - телепат и может угадывать числа на расстоянии.

1. Угадать число трехзначное число, которое любой из учащихся загадает: Эксперимент проводится для каждого ряда учащихся.

Для 1 учеников: Возьми бумажку. Запишите на ней трехзначное число. Мне не показывайте!

·Припишите к нему это же число еще раз.

·Теперь передайте своему соседу.

·Теперь вторые учащиеся должны разделить это число на 7 и передать бумажку дальше.

·Следующие делят это число на 11.

Последний результат надо разделить на 13 и передать результат учителю. (это и есть исходное число) мы получим исходное число.

Разъяснение: Когда мы к трехзначному числу приписали такое же число, то мы тем самым умножили его на 1001, а затем, разделив последовательно на 7, 11, 13, мы разделили его на 1001, то есть получили задуманное трехзначное число.

2.Угадать возраст Предложить умножить человеку, у которого пытаемся узнать возраст, число лет на 2, прибавить 5, а сумму снова умножить на 5. Полученное число сообщить.Секрет фокуса: Нетрудно догадаться, что последней цифрой результата будет цифра 5. Ее необходимо отбросить а от оставшегося числа отнять 2. Разность и есть искомый результат.

4.Угадывание дня, месяца и года рождения.

Предложить одному из учащихся выполнить следующие действия: Умножить номер месяца, в котором он родились, на 100, затем прибавить день рождения, результат умножить на 2, к полученному числу прибавить 2, результат умножить на 5, к полученному числу прибавить 1, к результату приписать 0, к полученному числу прибавить еще 1 и, наконец, прибавьте число его лет. После этого он должен сообщить, какое число у него получилось. Секрет фокуса: от названного числа отнять 111, а потом остаток разбить на три грани справа налево по две цифры. Средние две цифры обозначают день рождения, первые две или одна - номер месяца, а последние две цифры - число лет, зная число лет, определяется год рождения.

5.Задумайте число (кроме 0), умножьте его на 2, прибавьте 1, результат умножьте на 5. Отбросьте все цифры, кроме последней. Оставшуюся цифру умножьте на неё же. Сложите цифры результата. У вас получится 7. Почему?

Дома придумать свой фокус, используя полученные на занятии знания.

Магические квадраты.

С давних времён известна любопытная головоломка- магический квадрат. В клетках расставляются числа таким образом, что сумма всех чисел в клетках по горизонтали, вертикали и диагоналям одинакова.

Описания всех возможных квадратов нет и по сей день. Самый простой магический квадрат согласно древней китайской легенде был составлен около 4 тысяч лет до н.э. и изображен на спине большой священной черепахи.

7

19

3

31

Попробуйте заполнить клетки магического квадрата, который состоит только из нечётных чисел.

1. Разместите в свободных клетках квадрата еще числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы по любой вертикали, горизонтали и диагонали получилось в сумме одно и то же число: 10; 7; 11

2. В клетках поставьте числа 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12 так, чтобы по любому направлению получить в сумме 24.

8

5

3. Расставить в клетках четные числа 2, 4,6,8,12,14,16,18 так, чтобы в любом направлении получилось в сумме число 30.

10

15

9

24

4. В клетках квадрата 3*3 были записаны натуральные числа так, что сумма чисел в каждой строчке. В каждом столбце и в каждой диагонали были одинаковыми. Некоторые числа стерлись. Осталось число24 в нижнем правом углу, 15 в центре и 9 правее15. Восстановите стертые числа.

Занятие 8. Жонглирование цифрами. Числовые ребусы

Цель: рассмотреть задачи, где одинаковые цифры обозначаются одинаковыми буквами, несколько вариантов решения,

если они существуют. Развивать логическое мышление, внимание, вырабатывать собственную систему эвристических приёмов, позволяющих решать незнакомые задачи.

Разминка

1.Восемь бумажек с числами 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 и 9 расположены в два столбца, как показано на рисунке:

Переместив только две бумажки, нужно сделать так, чтобы суммы чисел в обоих столбцах стали одинаковыми (при этом общее число бумажек в столбцах должно остаться равным 8).

2. Разделить циферблат часов двумя прямыми линиями на три части так, чтобы, сложив числа, в каждой части получить одинаковые суммы.

Жонглирование цифрами.

1. В кружках треугольника расставьте все девять значащих цифр так, чтобы сумма их на каждой стороне составляла 17

2. Ученик переписал числовое выражение, значение которого равно 58, но забыл поставить скобки. У него получилось: 6 х 8 + 20 : 4 - 2 . Где в этом выражении должны стоять скобки?

Расставляя в том выражении скобки разными способами, можно получить другие ответы. Какие?

6 х 8 + 20 : (4 - 2)=58

(6 х 8 + 20 : 4) - 2=51

( 6 х 8 + 20) : 4 - 2=15

6 х (8 + 20 : 4) - 2=75

6 х (8 + 20 : 4 - 2 )=66

6 х 8 +( 20 : 4 -2)=51

3. Гном Забывалка учился писать цифры заострённой палочкой на песке. Только он успел нарисовать 5 цифр: 12345 как увидел большую собаку, испугался и убежал. Вскоре в это место пришёл Путалка. Он тоже взял палочку, и что-то начертил на песке. Тут к Путалке подошёл Загадалка и увидел вот что: 12345 = 60. Загадалка поморщился, почесал затылок, отобрал у Путалки палочку и кое-где вставил между цифрами плюсы таким образом, что получившийся пример был решён правильно. Как он расставил знаки? (12 + 3 + 45 = 60).

4. Хотя это может показаться невероятным, но точно такая, же история приключилась с гномами и на следующий день. На этот раз Забывалка писал цифры, начиная с единички, справа налево: 54321. А Загадалке удалось верно, расставить плюсы в таком выражении: 54321 = 60

Как он это сделал? (54 + 3 + 2 + 1 = 60)`.

Задачи и упражнения.

1. У Коли в тетради написано: 8 8 8 8 8 8 8 8=1000. Оказывается, он в некоторых местах забыл поставить знаки сложения. Где именно?

2. Коля написал 21:8-52+6:3=16.Потом выяснилось, что он забыл поставить скобки. В каких местах?

3. В записи 96+14:2+2:3+7=22 расставьте две пары скобок так, чтобы получилось верное равенство.

4. В записи 5 5 5 5 5 5=615 расставьте знаки сложения так, чтобы получилось верное равенство.

5. В записи 9 9 9 9 9 9 9 9 расставьте знаки сложения и вычитания так, чтобы значение получившегося выражения было равно 1998.

Решение ребусов.

1. Животноводческий ребус

Б + Б Е Е Е = М У У У

Решение. Так как при сложении данных чисел цифра Е в разряде десятков поменялась на цифру У, то суммой однозначных чисел Б и Е является двузначное число, начинающееся с единицы. Так как помимо увеличения на единицу цифры в разряде десятков также изменилась и цифра в разряде сотен, то Е = 9, Б = 1, У = 0. Ответ.1 + 1999 = 2000.

Требуется расшифровать запись арифметического равенства, в котором цифры заменены буквами, причем разные цифры заменены разными буквами, одинаковые - одинаковыми. Предполагается, что исходное равенство верно и записано по обычным правилам арифметики. В частности, в записи числа первая слева цифра не является цифрой 0; используется десятичная система счисления.

ОДИН

+ОДИН

МНОГО (6823+6823=13646)

+СПОРТ

СПОРТ

КРОСС

+КОКА

КОЛА

ВОДА

.+ БАРБОС

БОБИК

СОБАКИ

Коля и Оля.

К + О + Л + Я = О Л - Я

Расшифруйте при дополнительном условии: К + О + Л + Я = 21.

Расшифруйте без этого дополнительного условия (более 10 ответов).

Занятие 9.

Математические софизмы (парадоксы)

Цель:Учить понимать неправильные рассуждения.

Софизм( от греческого sophisma- хитрая уловка, логически неправильное рассуждение.

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Пример учителя: Если кто -то не потерял что- то, то это у него есть.

Но я не терял рога, однако у меня их нет.

Учитель: Особенно часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям "очевидности". Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

"Софизм" - слово греческого происхождения и в переводе означает головоломку, хитроумное высказывание. Математические софизмы хорошо маскируют ошибку, которая приводит к очевидно неправильному результату.

В истории математики софизмы играли огромную роль, они способствовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.

Самым известным софистом был Зенон из города Ален. До нас дошли 4 его софизма. В одном Зенон утверждает, что для того, чтобы пройти какой-нибудь путь, нужно непременно миновать его середину. Само по себе рассуждение верное. Но далее Зенон рассуждает так: если мы дошли до середины пути, то нам остаётся ещё полпути, у которого тоже есть своя середина. И так без конца. Сколько бы мы ни шли вперед, всегда остается какая-то не пройденная часть пути, у которой есть своя середина.

А сейчас попробуем найти ошибки в следующих рассуждениях:

"Четырежды четыре-двадцать пять".

4 *4=5*5

16 : 16 = 25 : 25.

Это очевидное равенство. После вынесения за скобки общего множителя из каждой части этого равенства будем иметь:

16 * (1 : 1) = 25 * (1 : 1)

Зная, что 1 : 1 = 1, получаем 4 * 4 = 25.

Ответ: Ошибка заключается в том, что распределительный закон умножения автоматически переносится на деление, что неверно.

2. Докажем, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество:

35 + 10 - 45 = 42 + 12 - 54

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5 * (7 + 2 - 9) = 6 * (7 + 2 - 9)

Разделим обе части этого равенства на общий множитель, заключенный в скобки. Получим 5=6. В чем ошибка?

Ответ: 7 + 2 - 9 = 0, а на 0 делить нельзя!

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы - это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Сколько будет дважды два? Наверное, ответ на этот вопрос ни у кого не вызывает сомнений. Но я могу вам доказать, что будет 5. Возьмём верное равенство 4:4=5:5. Вынесем за скобки общий множитель.4(1:1)=5(1:1). Значения в скобках равны 1, значит: 4=5 или 2*2=5. Вот так!Где ошибка???

Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

1.Полупустое есть то же, что и полу полное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

2. «Чётное и нечётное». «5 есть 2 + 3 («два и три»). Два - число чётное, три - нечётное, выходит, что пять - число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!»

3. « Лекарства». Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать больше.

4.«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

5. «Отец - собака». Эта собака имеет детей, значит, она - отец. Но это твоя собака. Значит, она твой отец. Ты её бьёшь, значит, ты бьёшь своего отца и ты - брат щенят.

6. «Рогатый». Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога.

7. «Куча».Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка - тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка.

К этому парадоксу можно сделать следующий комментарий: метод полной математической индукции нельзя применять, как показывает парадокс, к объёмно неопределённым понятиям, каковым является понятие "куча песка".

8.Равен ли полный стакан пустому?

Да. Проведем рассуждение. Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

Другие примеры софизмов, сформулированных еще в древней Греции:

1.«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».

2. «Сократ - человек; человек - не то же самое, что Сократ; значит, Сократ - это нечто иное, чем Сократ».

3.«Для того чтобы видеть, вовсе необязательно иметь глаза, ведь без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения».

4.«Если какой-нибудь человек говорит, что он лжет, то лжет ли он или говорит правду?» Допущение того, что он говорит правду, будет означать, что правдой является то, что он лжет (об этом он и говорит), значит, выходит, что лжет. Если же он лжет, то это как раз и есть то, что он открыто признает. Получается, что он говорит правду».

А вот несколько примеров современных софизмов:

1. «Одна и та же вещь не может иметь какое-то свойство и не иметь его. Хозрасчет предполагает самостоятельность, заинтересованность и ответственность. Заинтересованность - это, очевидно, не ответственность, а ответственность - не самостоятельность. Получается вопреки сказанному вначале, что хозрасчет включает самостоятельность и несамостоятельность, ответственность и безответственность».

2. «Акционерное общество, получившее когда-то ссуду от государства, теперь ему уже не должно, так как оно стало иным: в его правлении не осталось никого из тех, кто просил ссуду».

8. «Неравные числа равны»

18.Один рубль не равен ста копейкам

1р=100коп 10р=1000коп

Умножим обе части этих верных равенств, получим:

10р=100000коп, откуда следует:

1р=10000коп., т.е. 1р.100коп.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка.

Занятие 10. Смотр знаний.

Занятие 11. Построение фигур одним росчерком пера.

Цель: Учить решению задач на построение

одним росчерком пера

I. Проблемная ситуация.

Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя по одной линии дважды, попробуйте нарисовать "открытый конверт".

Как вы видите, что у некоторых получается, а у некоторых нет. Почему это происходит? Как правильно рисовать, чтобы получилось? Чтобы ответить на эти вопросы, я расскажу вам, один исторический факт.

Город Кенигсберг (после мировой войны он называется Калининград) стоит на реке Преголь. Некогда там было 7 мостов, которые связывали между собой берега и два острова. Жители города заметили, что они никак не могут совершить прогулку по всем семи мостам, пройдя по каждому из них ровно один раз. Так возникла головоломка: "можно ли пройти все семь кенигсбергских мостов ровно один раз и вернуться в исходное место?".

Попробуйте и вы, может у кого-нибудь получится.

В 1735 году эта задача стала известна Леонарду Эйлеру. Эйлер выяснил, что такого пути нет, т. е. доказал, что эта задача неразрешима. Конечно, Эйлер решил не только задачу о кенигсбергский мостах, а целый класс аналогичных задач, для которых разработал метод решения. Можно заметить, что задача состоит в том, чтобы по карте провести маршрут - линию, не отрывая карандаша от бумаги, обойти все семь мостов и вернуться в начальную точку. Поэтому Эйлер стал рассматривать вместо карты мостов схему из точек и линий, отбросив мосты, острова и берега, как не математические понятия. Вот что у него получилось:

А, В - острова, M, N - берега, а семь кривых - семь мостов.

Теперь задача такая - обойти контур на рисунке так, чтобы каждая кривая проводилась ровно один раз.

В наше время такие схемы из точек и линий стали называть графами, точки называют вершинами графа, а линии - ребрами графа. В каждой вершине графа сходится несколько линий. Если число линий четно, то вершина называется четная, если число вершин нечетно, то вершина называется нечетной. Докажем неразрешимость нашей задачи.

Как видим, в нашем графе все вершины нечетные. Для начала докажем, что, если обход графа начинается не с нечетной точки, то он обязательно должен закончится в этой точке

Рассмотрим для примера вершину с тремя линиями. Если мы по одной линии пришли, по другой вышли, и по третьей опять вернулись. Все дальше идти некуда ( ребер больше нет). В нашей задаче мы сказали, что все точки нечетные, значит, выйдя из одной из них, мы должны закончить сразу в трех остальных нечетных точках, чего не может быть.

До Эйлера ни кому в голову не приходило, что головоломка о мостах и другие головоломки с обходом контура, имеет отношение к математике. Анализ Эйлера таких задач "является первым ростком новой области математики, сегодня известной под названием топология".

Топология - это раздел математики, изучающий такие свойства фигур, которые не меняются при деформациях, производимых без разрывов и склеивания.

Например, с точки зрения топологии, круг, эллипс, квадрат и треугольник обладают одинаковыми свойствами и являются одной и той же фигурой, так как можно деформировать одну в другую, а вот кольцо к ним не относится, так как, чтобы его деформировать в круг, необходима склейка.

II. Признаки вычерчивания графа.

1. Если в графе нет нечетных точек, то ее можно нарисовать одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, начиная с любого места.

2. Если в графе две нечетные вершины, то ее можно начертить одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, причем вычерчивать нужно начинать в одной нечетной точке, а закончить в другой.

3. Если в графе более двух нечетных точек, то ее нельзя начертить одним росчерком карандаша.

Вернемся к нашей задаче с открытым конвертом. Подсчитаем количество четных и нечетных точек: 2 нечетные и 3 четные, значит, эту фигуру можно начертить одним росчерком, причем начать нужно в нечетной точке. Попробуйте, теперь у всех получилось?

Закрепим полученные знания. Определите, какие фигуры можно построить, а какие нельзя.

а) Все точки четные, поэтому эту фигуру можно построить, начиная с любого места, например:

б) В этой фигуре две нечетные точки, поэтому ее можно построить не отрывая, карандаша от бумаги, начиная с нечетной точки.

в) В этой фигуре четыре нечетные точки, поэтому ее нельзя построить.

г) Здесь все точки четные, поэтому ее можно построить, начиная с любого места.

III. Работа по карточкам с индивидуальными заданиями.

Занятие 12. Решение геометрических задач на разрезание и перекраивание.

Цели: развивать пространственное воображение; умение выполнять геометрические построения; воспитывать аккуратность и терпеливость.

Разминка.

1. Из 12 спичек выложены 4 квадрата. Уберите 2 спички так, чтобы осталось 2 квадрата.

2. Можно ли в тетрадном листе прорезать дырку так, чтобы сквозь неё мог пролезть любой из вас?

Историческая справка:

Есть в Китае забавная игра танграм. Появилась она несколько тысяч лет тому назад. Китайский учёный Танг интересным способом разрезал обыкновенный квадрат. Головоломка состоит из семи многоугольников: 5 треугольников, квадрата и ромба .

Из полученных деталей можно складывать разнообразные фигуры. Игра оказалась настолько захватывающей, что до сих пор в Китае проводят состязания по составлению фигур на время. Сегодня и мы с вами поиграем в эту игру.

1. Практическая работа по приготовлению головоломки.

2. В танграме из семи кусочков уже имеются треугольники трех разных размеров. Но можно сложить еще один треугольник, ис­пользуя четыре кусочка: один большой треугольник, два малень­ких и квадрат.

Можешь сложить такой же треуголь­ник, используя: a) один большой треуголь­ник, два маленьких треугольника и ромб. Возможны 2 решения.

3. Можно ли составить треугольник, исполь­зуя только два кусочка? три кусочка? пять кусочков? шесть кусочков? Очевидно, что из всех семи кусочков составляется квадрат. Можно ли составить квадрат из двух кусочков? из трех кусочков? Какие различные кусочки составляют прямоугольники? Какие еще многоугольники можно составить?

4.Танграмам посвящена задача в стихах.

Я - несчастная лиса

Мне попала в хвост оса

Что на части разлетелась

Помогите, помогите

Из кусков меня сложите

5.Используя данные многоугольники, попробуйте придумать и составить свои фигуры. ( в помощь учащимся, испытывающим затруднения можно предложить фигуры из приложения: журавль, петух, заяц, паровоз, всадник, кошка)

В конце занятия защита авторских работ.

Дома: разрежьте крест на 4 части так, чтобы можно было составить квадрат.

Занятие 13. Решение геометрических задач на разрезание и перекраивание.

Цели: развивать пространственное воображение; умение выполнять геометрические построения; воспитывать аккуратность и терпеливость.

Разминка.

1. Вдали мы видим силуэт замка. Какая из следующих линий не является частью этого силуэта?

4. На шестиугольнике, вырезанном из фанеры надо начертить 7 кружков. Для игры нужны 3 палочки. С их помощью надо разделить всю площадь шестиугольника тремя прямыми линиями на участки так, чтобы каждый кружок оказался на отдельном участке

5. .Не отрывая карандаша от бумаги и не проводя ни один отре­зок дважды изобразите фигуру, представленную на рисунке.

Задача.Построить правильный пятиугольник.

Наметьте на квадрате две диагонали и согните его в треугольник. Наметьте середину высоты

Наметьте четверть высоты

Линия сгиба проходит между отмеченными точками

Сгиб делит угол пополам

Заверните левую часть назад

Сгиб делит угол пополам

Линия отреза образует

прямой угол со стороной

Оригамское решение:

По этому макету можно вырезать звезду из картона, потом оклеить её бумагой, раскрасить.

Проверочная работа

1. Разрезать прямоугольник длиной 9 см и шириной 4 см на две равные части, из которых можно составить квадрат.( квадрат 6х6)

2. Составьте три равных квадрата из 10 спичек.

3. Из 12 спичек сложите имя «Толя». Переложите 1 спичку так, чтобы получилось женское имя. ( Толя- Юля)

Ответ: буква Т - 2 спички, буква O - 4 спички, буква Л - 2 спички, буква Я - 3 спички.

4. Как мудрецы разделили шахматную доску с алмазами на 4 равные части с одним алмазом в каждой?

5. Произвольный треугольник разрезать на 3 такие части, чтобы из них можно было составить прямоугольник.

7. На коврике изображено 7 роз. Требуется тремя прямыми линиями разрезать коврик на 7 частей, каждая из которых содержала бы по 1 розе.

Геометрические головоломки

1. Сложите два равных квадрата: первый из 11 спичек;

Второй из 10 спичек.

2. Из 6 спичек сложите 4 равносторонних треугольника.

3. Составьте из спичек фигуру, изображенную на рисунке

1. переложите 6 спичек так, чтобы получилась, составленная из 6 равных ромбов.

2. Фигура уберите 6 спичек так, чтобы не осталось ни одного треугольника.

   0. 

   3. Составьте из спичек данную фигуру.

1. Уберите 4 спички так, чтобы осталось 5 квадратов.

2. Уберите 8 спичек так, чтобы осталось три квадрата.

3. Уберите 6 спичек так, чтобы не осталось квадрата.

Занятие 14. ЛИСТ МЁБИУСА

Цели: дать представление о том, что такое поверхность; выяс­нить, может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в этом обычном понятии?

Разминка.

Какое кольцо надо разрезать, чтобы эта конструкция распалась на отдельные кольца?

Историческая справка:

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (ленту Мёбиуса) придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (17.11.1790, Шульпфорта - 26.09.1868, Лейпциг), ученик «короля математиков» К.Ф. Гаусса.

1. Бумажную ленту, длина которой в несколько раз больше ши­рины, склеиваем: А - Д, В - С.

А С

В D

У нас получился лист Мёбиуса. А теперь разрежем лист по стрелке. Сколько колец у нас получится? ( одно).

2. Разрежем еще раз пополам. Что получим? Ответ: два сцепленных друг с другом кольца, каждое из кото­рых дважды перекручено.

3. Чем же она знаменита? А тем, что поверхность ленты Мебиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возь­мите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь нап­равлении. Вскоре вы вернетесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, если бы даже очень захотели. Потому как поверхность ленты Мебиуса - односторонняя. Такое вот у нее свойство наблюдается.

Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики - топология. Наука эта настолько сложная, что ее еще пока в школе не проходят.

Нетрудно догадаться, о чем вы сейчас задумались: а что получится, если перекрутить ленту на три оборота и склеить. Попробуйте, дома проверьте!

4. Домашнее задание:

Для эксперимента необходимо:

1. Взять лучше не бумажную ленту, а полоску любой ткани

2. Продеть ее сквозь металлическое кольцо.

3. Повернуть один из концов полоски на 3 оборота, т.е. на 540

4. Сшить оба конца

Взять ножницы и аккуратно разрезать матерчатое кольцо посередине.

1) Возьмите лист Мёбиуса и разделите пунктирными линиями на три части. Разрежьте по пунктирным линиям. Что получилось?

2) Проделайте то же, разделив лист на 4 части.

3) Проделайте то же, разделив лист на 5 частей.

Занятие 15. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КВН

Цели: развивать познавательный интерес; через игру прививать интерес к математике.

Игру проводят старшеклассники.

КОНКУРС 1. ПРИВЕТСТВИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМАНД.

Ведущий - приветствует команды, просит участников вести честную игру, проявляя уважение к соперникам.

Команды (четыре или пять, в зависимости от количества учени­ков в классе) представляются друг другу.

(Максимальная оценка - 3 балла.)

КОНКУРС 2. РАЗМИНКА.

Ведущий предлагает ответить на вопросы конкурса.

1. На грядке сидели 4 воробья. К ним прилетели еще 2. Кот Вась­ка подкрался и схватил воробья. Сколько воробьев осталось на грядке?

2. Четверо играли в домино 4 часа. Сколько играл каждый?

3. Горело 5 свечей, 2 потушили. Сколько свечей осталось?

4. Тройка лошадей пробежала 30 км. Сколько пробежала каждая лошадь?

5. По дороге шли 2 мальчика и нашли 2 рубля. За ними четверо идут. Сколько они найдут?

6. Петух, стоя на одной ноге, весит 3 кг. Сколько он весит, стоя на двух ногах?

7. У отца 6 сыновей, у каждого сына по сестре. Сколько детей у отца?

8. Найти два таких числа, чтобы их произведение было равно частному.

9. Сколько получится, если два десятка умножить на три десятка?

10. Имеется кусок сукна в 16 м, от которого каждый день отреза­ют по 2 м. По истечении какого срока отрежут последний кусок?

11. К 7 прибавить 5. Как правильно записать: одиннадцать или адиннадцать?

12. Спутник Земли делает один оборот за 1 ч 40 мин, а второй оборот - за 100 мин. Как это получается?

(Команды решают задачи по очереди. На обдумывание -10 с. За верный ответ - один балл.)

КОНКУРС 3. «КТО БЫСТРЕЕ?»

Ведущий предлагает решить следующие задачи.

(За пример на сложение - 2 балла и 3 балла - за пример на умно­жение.)

Конкурс болельщиков проходит в то время, когда команды ре­шают примеры. Составить слова, соединив их части из левого и пра­вого столбиков.

ТОЧКА

ПОРТ

УС

ВАЛ

ОСА

ЯК

ЛАД

ОПЫТ

(За правильный ответ - 1 балл.)

КОНКУРС 4. КОНКУРС КАПИТАНОВ. Ведущий приглашает капитанов команд. 1-й ТУР. Капитаны отвечают по очереди.

1. Шоколадка стоит 10 рублей и еще половину шоколадки. Сколько стоит шоколадка?

2. Есть две сковородки. На каждой можно пожарить только один блин. Надо пожарить три блина с двух сторон. За какое наименьшее время это можно сделать, если одна сторона блина жарится за 1 мин?

3. На озере росли лилии. Каждый день число их удваивалось, и на 20-й день заросло все озеро. На какой день заросла половина озера?

2-й ТУР. Кто из капитанов ответит быстрее? В мешке - три пуда муки. Сколько нужно заплатить за муку, если один килограмм стоит 7 рублей? Один пуд - это ... кг. (За каждое верно решенное задание - 2 балла.)

КОНКУРС 5. ТАНГРАМ.

Ведущий предлагает участникам соревнования поработать ру­ками, сделав аппликацию к сказке «Лиса и журавль».

(За аппликацию - 5 бал­лов.)

КОНКУРС 6. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ. Ведущий предлагает тему домашнего задания: «Эх! (Ах!) Эта математика!»

(Максимальная оценка - 10 баллов.)

Ведущий подводит итоги игры, демонстрируя протокол жюри на доске.

Протокол жюри

Конкурсы

«Треугольник»

«Квадрат»

«Круг»

Представление команд

Разминка

Кто быстрее?

Конкурс болельщиков

Конкурс капитанов

Танграм

Домашнее задание

ВСЕГО БАЛЛОВ

Занятие 16. Решение задач методом с "конца". Решение задач на все действия с дробными числами

Цель: Показать необычные способы решения задач.

Разминка.

Многие из лабиринтов содержат несколько возможных путей, и среди них только один верный путь, который приведет в конец лабиринта к заветной цели. Ускорить решение такой задачки-лабиринта можно, если пойти в обратном направлении, начав движение с конечной точки и прорисовывая путь к началу лабиринта.

Стратегия решения с конца очень удобна. На данном занятии мы в этом убедимся. При решении следующих задач необходимо выполнять проверку.

Задача 1: Я задумала число, умножила его на 7, прибавила 15 и получила 50. Какое число я задумала?

Решение: начнем решение задачи с "конца". В результате всех действий мы получили число 50. Далее от 50 отнимаем 15 и получаем число (35), до прибавления 15. Затем число, полученное в первом действии делим на семь, тем самым получаем искомое число 5. Проверка: 5·7=35; 35+15=50.

Таким образом, пользуясь обратным ходом, мы легко решили эту задачу.

Старинная задача. У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил:

- Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24 копейки. Три раза переходил мост лодырь, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько денег было у лодыря?

(((0+24):2+24):2+24):2= 21

Задача 2: Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, во второй - 1/3 остатка, в третий - 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32км. Сколько километров был маршрут туристов?

Решение: Так как осталось 32км, а в третий день туристы прошли остаток, то 32км будут составлять последнего 2/3 остатка, тогда сам последний остаток будет равен 32: 2/3 = 48 (км). Эти 48км будут составлять 2/3 длины маршрута, оставшегося пройти после первого дня. Тогда весь маршрут, который осталось пройти, будет равен 48: 2/3 = 72 (км). Эти 72км составляют вновь 2/3, но уже всего маршрута туристов, а значит, весь маршрут будет равен 72: 2/3 = 108 (км). Задача решена.

Проверка: 108: 3·1=36 км - прошли в первый день; 108-36=72, 72: 3·1=24 км - во второй день; 72-24=48, 48: 3·1=16 км - в третий день; 48-16=32 км - осталось пройти.

Задача 3. Бабушка продавала на рынке яйца двум покупателем: первый купил 1/2 всех имевшихся у неё яиц и ещё 15 штук, второй 3/5 остатка и последние 10 штук. Сколько яиц продала бабушка?

Решение: Эта задача относится к задачам, которые решаются с конца. Следовательно, начинать её решение надо с анализа второй части условия:

1) Второй покупатель получил 3/5 остатка и последние 10 яиц.

10 яиц составляют 2/5 остатка. Тогда остаток - 10 : 2 · 5 = 25 (яиц).

2) Первый покупатель купил 1/2 всех имевшихся яиц и ещё 15 штук. После этого осталось 25 яиц. Отсюда половина яиц составляет (15 + 25 = 40) яиц. Тогда общее количество яиц - 40 · 2 = 80. Ответ: 80 яиц.

4. 48 спичек разложили на 3 неравные кучки. Сколько было спичек в каждой кучке, не сообщается. Известно: если из первой кучки переложить во 2 столько спичек, сколько в этой второй имелось, затем из второй кучки переложить в третью столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться, и, наконец, из третьей переложить в первую столько спичек, сколько в этой первой кучке будет тогда иметься, то в результате число спичек во всех кучках станет одинаковым. Сколько спичек было в каждой кучке первоначально?

5. Повстречал крестьянин в лесу незнакомого старика. Разговорились. Старик внимательно разглядел крестьянина и сказал: "Известен мне в леску этом пенёчек один удивительный. Очень в нужде помогает - деньги удваивает. Положишь под него кошель, досчитаешь до 100 - и готово: деньги, какие в кошеле были, удвоились. Замечательный пень". "Вот бы мне попробовать", - сказал крестьянин.

"Это можно. Заплатить только надо тому, кто дорогу укажет. Мне, значит. А много ли, о том особый разговор".

Стали торговаться. Узнав, что у крестьянина в кошельке мало денег, старик согласился получать после каждого удвоения по 1 рублю 20 коп.

Старик повёл крестьянина в глубь леса, долго бродил там, и, наконец, разыскал старый, покрытый мхом еловый пень. Взяв у крестьянина кошелёк, старик засунул его между корнями пня. Досчитав до 100, вытащил кошелёк. Заглянул туда крестьянин, а деньги на самом деле удвоились. Отсчитал он старику 1р20к и попросил положить ещё раз. Снова досчитал старик до 100 и вытащил из-под пня кошелёк. Деньги снова удвоились. Старик вторично получил у крестьянина обещанные 1р20к. В третий раз спрятали они кошелёк под пень. Но когда крестьянин уплатил старику обещанное вознаграждение, в кошельке не осталось ни одной копейки. Бедняга потерял все свои деньги и уныло побрёл по лесу. Сколько было у крестьянина денег до злополучных опытов с коварным пнём?

6.Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, её нужно было пройти через 4 двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первой двери женщина отдала половину собранных ею яблок. Дойдя до 2го стражника, женщина ему половину оставшихся яблок. Так же она поступила с третьим стражником. А когда она поделилась яблоками со стражником у 4й двери, у неё осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?

7. По преданию, основательница чешского государства принцесса Либуша обещала отдать свою руку тому из трёх женихов, кто сумеет решить задачу: "Если бы я дала своему первому жениху половину слив из этой корзины и ещё одну сливу, второму жениху половину оставшихся слив и ещё одну сливу, а оставшиеся сливы поделила пополам и половину их и ещё три сливы дала бы третьему жениху, то корзина опустела бы. Сколько слив в корзине?"

Дома придумайте задачу-сказку с решением методом «с конца» и свой лабиринт

Занятия 17-18 .Задачи на переливание и взвешивание

Цель: научить построению простейших алгоритмов.

Историческая справка:

Пуассон Симеон Дени - французский математик, физик, ме­ханик, иностранный почетный член Петербургской академии наук. Когда Пуассон был еще очень молод и колебался в выборе жизненного пути, приятель показал ему тексты нескольких за­дач на переливание. Пуассон меньше чем за час решил их все до одной.

«Эти задачи определили мою судьбу, - говорил он впоследствии. Я решил, что непременно буду математиком».

1. Имеется два сосуда - 3 л и 5 л. Нужно, пользуясь ими, налить 1 л воды.

Решение: Наполним 3 л, перельем в сосуд 5 л, затем нальем еще раз 3 л в сосуд и перельем 2 л в сосуд 5 л до полного. В трехлитро­вом сосуде остался 1л.

Эти задачи на переливание часто называют задачами Пуассона.

2. Имеются два сосуда - 3 л и 5 л. Как с их помощью получить 4 л воды?

Решение: 1-й способ

Сосуд 5 л

5 л

2 л

2 л

-

5 л

4 л

Сосуд 3 л

-

3 л

-

2 л

2 л

3 л

2-й способ

Сосуд 3 л

3 л

-

3 л

1 л

1 л

-

3 л

-

Сосуд 5 л

-

3 л

3 л

5 л

-

1 л

1 л

4 л

Задача 3: Имеется 80 монет, одна из которых фальшивая, причем она легче других. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно найти фальшивую монету?

Наводящие вопросы:

1.Как выделить наличие фальшивой монеты? Какое количество действий при этом получается?

2.Сколько действий будет, если кучки с монетами постоянно делить пополам?

Как оптимизировать количество действий?

Что будет, если монеты поделить на 3 и большее количество частей?

Решение: Выберем самое оптимальное решение, где количество действий наименьшее. Фальшивую монету можно определить за 4 взвешивания. Алгоритм следующий. Первое взвешивание: кладем на чаши по 27 монет. В случае равновесия фальшивая среди оставшихся 26. Если одна чаша легче, то фальшивая среди лежащих на ней 27. Второе взвешивание: кладем на обе чаши по 9 монет из числа "подозреваемых" и рассуждаем аналогично. В третьем взвешивании положим на чаши по 3 монеты, а в четвертом - по одной. Как видим, здесь деление не пополам, а на три по возможности равные части.

Поиск рациональных способов решения задач

4. Имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с их по­мощью отмерить 7 л воды?

Сосуд 8 л

-

5 л

5 л

8 л

-

2 л

2 л

7 л

Сосуд 5 л

5 л

-

5 л

2 л

2 л

-

5 л

-

2). В мешке 24кг. гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 9кг гвоздей?

Решение: составим таблицу

1 куча2 куча3 куча4 куча1-й шаг12кг12кг2-й шаг12кг6кг6кг3-й шаг12кг6кг3кг3кг

·разделить все гвозди на 2 равные части, по 12кг.

·Одну из частей продолжаем разбивать пополам, по 6кг.

·Теперь уже кучу в 6кг разбиваем на 2 равные части по 3кг. Имеем 4 кучки с гвоздями: 12кг, 6кг, 3кг, 3кг.

·Из имеющихся кучек мы легко сможем "отмерить" 9кг гвоздей.

Задачи для самостоятельного решения:

1). Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую банку, набрать из реки ровно три литра воды?

2). Есть три бидона емкостью 14, 9 и 5литров. В большом бидоне 14л молока, остальные пусты. Как с помощью этих бидонов разделить молоко пополам?

3). Из 27 монет одна фальшивая. Фальшивая монета легче остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?

4). Как развесить 20 фунтов чая в 10 коробок по 2 фунта в каждой за девять развесов имея только гири на 5 и на 9 фунтов?

5). Двое должны разделить поровну 8 ведер кваса, находящегося в восьми ведерном бочонке. Но у них есть только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой - 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

Данное занятие можно провести в виде практического занятия. Разбить класс на группы. Каждой из групп предложить по задаче на взвешивание и переливание, после чего команда должна рассказать (показать) решение. Для следующих задач необходимо заранее подготовить сосуды емкостью 300мл, 400мл, 500мл, 900мл (из пластиковых бутылок), весы без циферблата, современные монеты, и монеты Советского союза достоинством 10р. и 900г крупы.

Занятия 19-20. Нестандартные задачи

Цель: познакомить с правилами решения нестандартных задач

Рассмотрим на примере задачи:

По тропинке, вдоль кустов, шел десяточек хвостов,

Сосчитать я также смог, что шагало тридцать ног.

Это вместе шли куда - то петухи и поросята.

Ну а мой вопрос таков - сколько было петухов?

И узнать я был бы рад - сколько было поросят?

Если не удается решить данную задачу, попытаемся свести ее к похожей.

Переформулируем:

1.Придумаем и решим похожую, но более простую.

2. Используем её решение для решения данной.

Трудность в том, что в задаче два типа зверей. Пусть все будут поросятами, тогда ног будет 40.

Составим похожую задачу:

По тропинке, вдоль кустов, шел десяточек хвостов.

Сосчитать я также смог, что шагало сорок ног.

Это вместе шли куда - то петухи и поросята.

Ну а мой вопрос таков - сколько было петухов?

И узнать я был бы рад - сколько было поросят?

Ясно, что если ног в 4 раза больше, чем хвостов, то все животные - поросята.

В похожей задаче взяли 40 ног, а в основной их было 30. Как уменьшить число ног? Заменить поросенка петушком.

Решение основной задачи: если бы все животные были поросятами, то у них было 40 ног. Когда заменяем поросенка петушком, число ног уменьшается на два. Всего надо сделать пять замен, чтобы получить 30 ног. Значит, шагало 5 петушков и 5 поросят.

Как придумать «похожую» задачу?

2 способ решения задачи.

В данной задаче можно применить принцип уравнивания.

Пусть все поросята встанут на задние ноги.

10*2 =20 столько ног шагает по тропинке

30 - 20 =10 столько передних ног у поросят

10:2 = 5 поросенка шло по тропинке

Ну а петушков 10 -5 =5.

Сформулируем несколько правил решения нестандартных задач.

1.«Простое» правило: не пропустите самую простую задачу.

Обычно простую задачу не замечают. А начинать надо именно с неё.

2.«Очередное» правило: условия по возможности надо менять по очереди. Количество условий - конечное число, так что до всех рано или поздно дойдет очередь.

3. «Неизвестное» правило: изменив одно условие, другое, связанное с ним обозначьте х, а потом подберите его так, чтобы вспомогательная задача решалась при данном значении и не решалась при увеличении х на единицу.

4.«Интересное » правило: делайте условия задачи более интересными.

5.«Временное» правило: если в задаче идет какой-то процесс и конечное состояние более определенно, чем начальное, стоит запустить время в обратную сторону: рассмотреть последний шаг процесса, потом предпоследний и т.д.

Рассмотрим применение этих правил.

1. Пять мальчиков нашли девять грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

1шаг. Мальчиков очень много. Пусть их будет на 2 меньше в следующей задаче.

«Трое мальчиков нашли х грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну».

Для доказательства установим, при каких х задача имеет решение.

При х=0, х=1, х=2 задача имеет решение, при х=3 задача не имеет решение.

Сформулируем похожую задачу.

Трое мальчиков нашли 2 гриба. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

Пусть все трое мальчиков нашли разное число грибов. Тогда минимальное число грибов равно 3, поскольку 3=0+1+2. Но по условию число грибов меньше 3, поэтому два мальчика из трех нашли одинаковое число грибов.

При решении исходной задачи рассуждения точно такие же. Пусть все, пять мальчиков, нашли разное число грибов. Минимальное число грибов тогда должно равняться 10. (10 =0+1+2+3+4). Но по условию число грибов меньше 10, поэтому двое мальчиков нашли одинаковое число грибов.

При решении использовали «неизвестное» правило.

2. Над озерами летели лебеди. На каждом садилась половина лебедей и еще пол-лебедя, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было лебедей?

1шаг. Идет процесс, начальное состояние не определено, конечное - нулевое, т.е. не стало летящих лебедей.

Запускаем время в обратную сторону, придумав такую задачу:

Над озерами летели лебеди. На каждом взлетало пол-лебедя и еще столько, сколько теперь летело. Все взлетали с семи озер. Сколько было лебедей?

2шаг. Начинаем с нуля:

(((((((0+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2 =127.

3.У моста через речку встретились лодырь и черт. Лодырь пожаловался на свою бедность. В ответ черт предложил:

- Я могу помочь тебе. Каждый раз, как ты перейдешь этот мост, у тебя деньги удвоятся. Но каждый раз, перейдя мост, ты должен будешь отдать мне 24 копейки. Три раза переходил мост лодырь, а когда заглянул в кошелек, там стало пусто. Сколько денег было у лодыря?

(((0+24):2+24):2+24):2= 21

При решении задач № 2и № 3 использовали «временное» правило.

4. Кузнец подковывает одно копыто за 15 минут. Сколько времени потребуется 8 кузнецам, чтобы подковать 10 лошадей. (Лошадь не умеет стоять на двух ногах).

1шаг. Лошадей и кузнецов слишком много, уменьшим пропорционально их количество, составив задачу.

Кузнец подковывает одно копыто за пять минут. Сколько времени потребуется четверым кузнецам, чтобы подковать пять лошадей?

Ясно, что минимально возможное время 25 минут, но может ли оно быть достигнуто? Необходимо организовать работу кузнецов без простоев. Будем действовать, не нарушая симметрии. Расположим пять лошадей по кругу. После того как четверо кузнецов подкуют каждый одно копыто лошади, кузнецы сдвинутся на одну лошадь по кругу. Чтобы обойти полный круг, потребуется пять тактов работы по пять минут. Во время 4 тактов каждая лошадь будет подковываться, а один такт отдыхать. В итоге все лошади будут подкованы за 25 минут.

2 шаг. Возвращаясь к исходной задаче, заметим, что 8=2* 4, а 10=2*5. Тогда 8 кузнецов нужно разбить на две бригады

по 4 человека в каждой, а лошадей - на два табуна по 5 лошадей в каждом. За 25 минут первая бригада кузнецов подкует первый табун, а вторая - второй.

При решении использовалось «очередное» правило.

Конечно, может встретиться задача, к которой не удастся применить ни одного из перечисленных правил. Тогда нужно изобрести особый метод решения этой задачи.

Необходимо помнить, что решение нестандартных задач есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате постоянного самоанализа действий по решению задач.

Занятие 21. Круги Эйлера

Цель: показать, что применение кругов Эйлера придает

задачам наглядность и простоту; круги Эйлера

с успехом применяются в ло­гических задачах для изображения множеств истинности высказы­ваний.

Разминка.

1. Дикообраз в подарок сыну сделал счетную машину.

К сожалению она недостаточно точна.

Результаты перед вами.

Быстро все исправьте сами.

Чтобы решить все примеры достаточно в каждом из них по­менять местами две цифры. Какие?

4763 + 2436 = 6803

83 - 17 = 21

276 - 182 = 114

1803 - 1572 = 4335

56084 - 42701 = 14783

13 + 2 = 33

243 + 21 = 255

2.Рассказ о кругах Эйлера.

Очень часто бывает так, что решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным.

Рассмотрим такую задачу.

1). В классе 35 учеников. Из них: 19 ребят занимают в математическом кружке, 10 - в биологическом, 9 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Решение. Для решения задачи изобразим в виде "кругов" учащихся,

занимающихся математикой и биологией.

Обозначим их буквами М и Б соответственно. Круги М и Б содержатся в прямоугольнике, которым мы изображаем всех учащихся класса.

Нам очевидно, что общая часть кругов М и Б состоит из тех ребят, которые одновременно увлекаются и математикой, и биологией. Теперь давайте посчитаем. Всего внутри прямоугольника 35 ребят. Внутри двух маленьких кругов М и Б будет 35-9= 26 ребят, поскольку нам известно, что 9 ребят не посещают кружки. Внутри "математического" круга 19 ребят, значит, в той части "биологического" круга, которая расположена вне круга М, находится 26-19= 7 биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их 10-7= 3, находятся в общей части кругов МБ. Таким образом, 3 биолога увлекаются математикой.

Круги Эйлера - геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами.

Историческая справка:

Леонард Эйлер - математик, механик, физик. Первым его учите­лем математики был отец, Пауль Эйлер. Леонард Эйлер закончил Базельский университет и в мае 1727 года по приглашению Академии наук прибыл в Петербург.

1. В классе 35 учеников. Из них 20 человек занимаются в мате­матическом кружке, 11 - в биологическом, 10 человек не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Решение: 1) 35-10=25 (чел.) - увлекаются математикой, биоло­гией, математикой и биологией;

2) 25-20=5 (чел.) - биологи;

3) 11-5=6 (чел.) - биологи, занимающиеся математикой.

Ответ: 6 чел.

2. Пол комнаты площадью 12 м2 покрыт тремя коврами - 5 м2, 4 м2, 3 м2. Два ковра перекрываются на площади 1,5 м2, причем 0,5 м2 из этих 1,5 м2 приходится на участок пола, где перекрываются все три ковра.

а) Какова площадь пола, не покрытая коврами?

б) Какова площадь участка пола, покрытая только первым ковром?

Решение: 1). 12-2,5-1,5-0,5-1-1-1-0,5=4 (м²).

2). 5-2,5=2,5 (м²).

Ответ: 4 м^2; 2,5 м².

3. В лагере труда и отдыха находятся 70 человек. Из них 27 чело­век занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 человека увлекают­ся спортом. В драмкружке - 10 человек из хора, в хоре - 6 спортсме­нов. Три спортсмена посещают драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкруж­ке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение: 1) 70-17-19-13-16=5 (чел.) - не посещают кружки.

2) 22-6=16 (чел.) - занимаются спортом.

Ответ: 5 чел.; 16 чел.

4. В классе 38 человек. Из них 16 человек играют в баскетбол (Б), 17 - в хоккей (X), 18 человек - в волейбол (В). Увлекаются двумя видами спорта баскетболом и хоккеем - 4 ребят; баскетболом и во­лейболом - 3-е; волейболом и хоккеем - 5 человек. 3-е ничем не увлекаются. Сколько ребят увлекаются тремя видами спорта? Сколько ребят увлекаются только одним видом спорта?

Решение: Пусть у человек увлекаются тремя видами спорта, тогда одним видом спорта увлекаются:

Б: 16-1-у=9-у; X: П-9-у=8-у; В: 18-8->== 10- у.

Составим уравнение: (9-у)+(8-у)+(10-у)+12+у=38-3, 2у=4,у=2.

Ответ: 2 человека увлекаются тремя видами спорта; 21 человек увлекается одним видом спорта.

5. В доме 120 жильцов, у некоторых из них есть собаки и кошки. Собак содержат 15 жильцов, а кошек - 23. Сколько жильцов имеют только собак и только кошек, если известно, что у 8 жильцов есть и собаки, и кошки? Сколько жильцов не имеют ни кошек, ни собак?

Решение:

Способ I: 1) 15-8=7 (чел.) - содержат только собак;

2) 23-8=15 (чел.) - только кошек;

3) 7+8+15=30 (чел.) - имеют животных;

4) 120-30=90 (чел.). - не имеют животных.

Способ II: 1) 15+23-8=30 (чел.) - имеют животных; 2) 120-30=90 (чел.) - не имеют животных.

Ответ: 90 человек не имеют ни кошек, ни собак. У 7 человек только собаки, у 15 - только кошки.

2. "Сколько лет братьям?"

Жили-были 4 брата. Произведение их возрастов равно 21. Возраст каждого брата равно целому числу. Сколько лет каждо­му брату?

1. Какое число находится во всех четырех кругах?

Формула Эйлера. Практическая работа

1.Вспомним какой многогранник называется выпуклым, а какой - нет. Какие из построенных нами многогранников являются выпуклыми? Известно, что дня любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера, устанавливающая связь между числом вершин В, ребер Р, граней Г. В - Р + Г = 2. Для невыпуклых многогранников это соотношение неверно. Проверьте это.

Занятие 22. Смотр знаний.

Занятие 23-24. Решение логических задач

Цель: Развитие у учащихся смекалки, сооб разительности, умения рассуждать. Показать различные способы решения логических задач.

Разминка. 1. Продолжите числовой ряд:

а) 3; 12; 48..

б) 1;8;27..

2. Подумайте, как связаны первые два слова и укажите недостающее из списка.

а) Уменьшаемое - разность,

Множитель - ……? (сумма; вычитаемое; произведение; умножение)

б) Сантиметр - миллиметр,

гектар - …… ? (километр; квадратный дециметр, площадь, метр)

3. Исключите лишнее слово:

а) сумма, разность, множитель, частное;

б) девять, двенадцать, восемь, пятнадцать.

4. Вычислите: 1+3+5+7+9+----+99.

Решение задач.

1. Дядя Федор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин по­спорили, кто больше выпьет молока. После того, как молоко было выпито, каждый из них высказался.

Дядя Федор: «Молоко я не очень люблю, но все же не оказался последним».

Кот Матроскин: «Ну, я-то выпил хотя не больше, но и не меньше всех».

Шарик: «А я маленький и скромный, поэтому выпил меньше всех». Почтальон Печкин: «Скромность тут ни при чем, и я всех победил»!

Однако только один из них сказал неправду.

Кто победил в соревновании, и кто сказал неправду?

2. Аня, Женя и Нина спросили, какие оценки им поставили за контрольную работу по математике. Учитель ответил: «Плохих оценок нет. У вас троих оценки разные. У Ани не «3». У Нины не «3» и не «5».

Кто какую оценку получил?

Решение: Заполним таблицу:

Оценки

1

2

3

4

5

Аня

-

-

-

-

+

2

Женя

-

-

+

1

-

-

Нина

-

-

-

+

3

-

Ответ: у Ани - 5, у Жени - 3, у Нины - 4.

3. Беседуют трое друзей: Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что ни у кого из нас цвет волос не соответствует фамилии, да и ты не брюнет».

Какой цвет волос у каждого из друзей?

Решение: Можно оформить снова в виде таблицы или схемы.

Фамилия

Цвет волос

Русый

Рыжий

Черный

Белокуров

-

+

1

-

Рыжов

2

-

+

1

Чернов

+

3

2

-

Ответ: Белокуров - рыжий, Рыжов - брюнет, Чернов - русый.

4. Коля, Боря, Вова, Юра заняли первые места в соревнованиях. На вопрос, какие места они заняли, трое ответили: Коля - не 1-е, не 4-е; Боря - 2-е; Вова - не 4-е.

Какие места заняли мальчики?

Решение.

Место

Коля

Боря

Вова

Юра

1-е

-У

-У

+ (2)

-(3)

2-е

-У

+ У

-у

-у

3-е

+т

-у

-(1)

-(1)

4-е

-у

-у

-у

+ (3)

Ответ: Вова - 1 место, Боря - 2 место, Коля - 3 место, Юра -4 место.

5. Три товарища - Иван, Дмитрий и Степан преподают различ­ные предметы (химию, биологию, физику) в школах Москвы, Санкт-Петербурга, Киева. Известно, что:

а) Иван работает не в Москве, а Дмитрий - не в Санкт-Петербурге;

б) москвич преподает физику;

в) тот, кто работает в Санкт-Петербурге, преподает химию;

г) Дмитрий преподает не биологию.

Какой предмет и в каком городе преподает каждый из товарищей? Решение:

Из условия следует, что киевлянин - биолог. Нужно выяснить, кто где живет. Здесь возможны варианты:

Иван живет в Киеве или Санкт-Петербурге. Если Иван - киевля­нин, то Дмитрий - москвич, а Степан - из Санкт-Петербурга. Если Иван - из Санкт-Петербурга, то Дмитрий - или москвич или киевля­нин. Но тогда Степан - или киевлянин, или москвич. Задача имеет три решения.

6. Однажды композитор, художник и писатель с фамилиями Му­зыкантский, Живописцев и Рассказов встретились в театре, и компо­зитор заметил, что ни у кого из них фамилия не соответствует про­фессии. «Действительно», - подтвердил Живописцев.

Определите фамилию каждого.

Ответ: Рассказов - композитор, Музыкантский - художник, Живописцев - писатель.

7. Сколько существует натуральных чисел?

Сколько существует натуральных чисел, меньших 100, которые:

а) делятся одновременно на 2 и на 3?

б) делятся на 2, но не делятся на 3?

в) делятся на 3, но не делятся на 2?

г) делятся на 3, или на 2 (по крайней мере на одно из этих двух чисел)?

д) не делятся ни на 2, ни на 3?

Решение: а) Среди первых 99-ти натуральных чисел делятся на 2 и на 3, т.е. делятся на 6 [99: 6] = 16 чисел.

б) Чисел, делящихся на 2 (четных), среди первых 99-ти [99: 2] = 49 . Среди этих чисел есть 16, которые делятся и на 3. Поэтому чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3, в рассматриваемом интервале всего 49 - 16 = 33.

в) Чисел, делящихся на 3, в рассматриваемом интервале 99 : 3 = 33. 16 из них делятся также и на 2. Поэтому, чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2, всего 33 - 16 = 17.

г) Количество чисел, которые делятся и на 2 или на 3, определим, добавив к 49 четным числам 17 чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2 : 49 + 17 = 66.

д) Всего в рассматриваемом интервале 99 чисел, из них 66 делятся либо на 2, либо на 3. Остается 99 - 66 = 33 числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3.

8. Лидер оппозиции и логика

В парламенте некоторой страны две палаты, имеющие равное число депутатов.

В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причем воздержавшихся не было. Когда председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования сфальсифицированы. Как это он понял?

Решение: Общее число депутатов в парламенте - четное (в обеих палатах равное число депутатов). Следовательно, четно суммарное число депутатов, голосовавших за принятие решения и против. Но при четной сумме двух величин четна и их разность. Поэтому, преимущество в 23 голоса. Т.е. разность между числом депутатов, голосующих за принятие решения, и числом депутатов, голосующих против есть не что иное, как фальсификация (либо, что менее вероятно, ошибка при подсчете голосов).

9. Задача Костиного дедушки

Доказать, что полусумма двух последовательных простых чисел, начиная с 3, число составное.

Решение: Все простые числа, начиная с 3, - нечетные. Поэтому сумма двух простых чисел, больших 2, - число четное, и полусумма этих чисел (или их среднее арифметическое) - целое число. Среднее арифметическое двух чисел больше меньшего из чисел и меньше большего и располагается на числовой оси между этими числами. Поскольку взяты последовательные простые числа, то между ними всегда находится число составное.

10. Один мальчик и одна девочка ответили правильно

Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: `Это число 9`. Роман: `Это простое число`. Катя: `Это четное число`. А Наташа сказала, что это число -15. Назовите это число, если и девочки, и мальчики ошиблись ровно по одному разу.

( A)1; (B) 2; (C) 3; ( D ) 9; ( E ) 15;

Задачи для самостоятельного решения

1. Составьте уравнение, аналогичное числовому выражению

3*12+ (23+12) = 67.

2. От дома Ивана-Царевича до Змея Горыныча ведут 3 дороги. От Змея Горыныча до Кощея Бессмертного ведут тоже 3 дороги. Сколько различных путей ведут до Кощея Бессмертного, если по дороге надо сразиться со Змеем Горынычем? (9)

3. У тебя 4 ключа. Один из них подходит к твоей двери. Сколько ключей надо проверить, чтобы наверняка найти подходящий?

(3. Если 3 не подходят, то 4- ый подойдет обязательно.)

4. Лев съел овцу за 2 часа, волк съел овцу за 3 часа, а пес съел овцу за 6 часа. Как скоро они втроем съели бы овцу?

5.Два одинаковых огурца и один помидор весят вместе 800г, а два таких же помидора и один огурец весят вместе 700г. Определите массу одного огурца и одного помидора в отдельности.

6. На одной чашке весов - 2 куска мыла, а на другой - 3/2 такого же куска и еще 50 граммов. Весы находятся в равновесии. Какова масса куска мыла?

Занятие 25 . Принцип Дирихле

В начале занятия кратко рассказать историю зарождения

комбинаторики и об областях ее применения.

Определение. Задачи на составление числа возможных

соединений элементов с определенными свойствами,

которые можно составить из элементов заданного множества, называются комбинаторными

В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов.»

У математиков встречаются весьма странные "принципы", которыми они никогда не поступаются. Впрочем, любой здравомыслящий человек, ознакомившись с этими принципами, вынужден их признать. Вот, например, так называемый принцип Дирихле. Математики очень любят объяснение этого принципа сводить к примеру кроликов в клетках

Решение задачи с помощью принципа Дирихле сводится к выбору "кроликов" и "клеток". Иногда не совсем очевидно, кто в данной задаче является "кроликом", и что служит "клеткой".

Более общая формулировка: «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z/k зайцев.» Не надо бояться дробного число зайцев: если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, ихбольше двух. Поступим так же и мы.

1. В классе 30 человек. В диктанте Стас Иванов сделал 13 ошибок, а остальные - меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну (может быть, по 9 ошибок).

Решение: Это доказывается с помощью принципа Дирихле. Подумайте, кто здесь зайцы, и где клетки. (Здесь "зайцы" - ученики, а "клетки" - число сделанных ошибок). В клетку 0 "посадим" всех, кто не сделал ни одной ошибки, в клетку 1 - тех, у кого одна ошибка, в клетку 2 - две,. и так до клетки 13, куда попал один Стас Иванов.

Теперь применим принцип Дирихле, докажем утверждение задачи от противного.

Предположим, никакие три ученика не сделали по одинаковому числу ошибок, то есть в каждую из клеток 0, 1,., 12 попало меньше трех школьников.

Тогда в каждой из них два человека или меньше, а всего в этих 13 клетках не больше 26 человек. Добавив Стаса Иванова, все равно не наберем 30 ребят. Противоречие.

Можно ли утверждать, что ровно трое сделали поровну ошибок? Нет, конечно. Возможно, что все ребята, кроме Стаса, написали диктант без единой ошибки, то есть, все сделали по 0 ошибок. Можно ли считать, что по крайней мере четверо попали в одну "клетку"? Нет, нельзя. Класс, в котором по 3 человека сделали 0, 1, 2 ошибки, по 2 человека - 3, 4,., 12 ошибок и один - 13, удовлетворяет условию задачи.

2. В одном доме живут 13 учеников одной и той же школы. В этой школе 12 классов. Докажите, что хотя бы два ученика, живущие в этом доме, учатся в одном и том же классе

Решение. В данной задаче классы - это клетки, а учащиеся - кролики. У нас имеется 13 "кроликов" и 12 "клеток". Учитывая принцип Дирихле, мы получаем, что хотя бы в одной клетке "кроликов" два. То есть, если в школе 12 классов, то максимум в них может учиться 12 учеников. А 13 ученик все равно будет учиться в одном из этих 12 классов.

Задачи для самостоятельного решения:

1). В магазине "Все для чая" есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем? 2). Сколько существует 6-значных чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность? 3). У Васи на куртке 3 кармана. Каким числом способов он может положить в эти карманы две одинаковые монетки?

4). В корзине сидят котята - 2 черных, 2 рыжих и 1 полосатый. Сколькими способами можно выбрать трех котят так, чтобы они все были разной окраски?

5). В корзине лежат яблоки двух сортов. Наугад берут из этой корзины несколько яблок. Какое наименьшее число яблок нужно взять, чтобы среди них оказались хотя бы два яблока одного сорта?

6). Докажите, что любое число рублей можно уплатить, если покупатель и кассир имеют лишь трехрублевые и пятирублевые денежные знаки.

Занятие 26. Введение

в комбинаторику

Цели: развитие у учащихся комбинаторного мышления, мате­матического кругозора; облегчить усвоение теории вероятностей.

В повседневной жизни перед нами нередко возникают пробле­мы, которые имеют не одно, а несколько вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комби­наторными.

1. Какие двузначные числа можно составить, используя цифры 1;4;7?

Ответ: 11, 14, 17,41,44, 47, 71, 74, 77.

2. В алфавите племени УАУА всего две буквы: А и У. Сколько трехбуквенных слов из них можно составить?

Ответ: 8 слов.

3. В четверг в первом классе три урока: русский язык, математи­ка и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

Ответ: 6 вариантов.

4. В школе проходили соревнования по хоккею. В качестве при­зов использовали мячи, ракетки, клюшки и шайбы. Победителям давали приз из двух предметов. Сколько вариантов призов можно составить?

Ответ: 6 вариантов.

Для решения комбинаторных задач применяется единый подход в виде составления специальных схем. Внешне такая схема напоми­нает дерево, отсюда название - дерево возможных вариантов.

5. В палатке имеется три вида мороженого: рожок, брикет, эски­мо. Наташа и Данила решили купить по одной порции каждый. Ка­кие варианты покупки существуют?

Решение: Выбор Наташи: Р Б Э

Выбор Данилы: РБЭ РБЭ РБЭ

Ответ: 9 вариантов

Такое дерево возможных вариантов называют правильным.

6. Из 4 ребят надо выделить двоих для дежурства по классу. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Ответ: 6 вариантов.

Такое дерево возможных вариантов называют неправильным.

7. От турбазы к горному озеру ведет 4.тропы. Сколькими спосо­бами туристы могут отправиться в поход к озеру, если не хотят спускаться и подниматься по одной дороге?

Решение:

Подъем

1

2

3

4

Спуск

234

134

124

123

3• 4=12 (вариантов)

Ответ: 12 вариантов.

Мы использовали КОМБИНАТОРНОЕ ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ, которое состоит в следующем:

Чтобы найти число комбинаций предметов двух типов, нужно число предметов первого типа умножить на число предметов второ­го типа.

Чтобы найти число комбинаций из предметов нескольких типов, нужно перемножить число предметов каждого типа.

8. 1) Сколько можно составить пар, выбирая:

а) первый предмет из 4, а второй из 8;

б) первый предмет из 6, а второй из 3;

в) первый предмет из 15, а второй из 12?

2) Сколько можно составить троек, выбирая:

а) первый предмет из 4, второй из 8, а третий из 5;

б) первый предмет из 7, второй из 4, а третий из 9;

в) первый предмет из 5, второй из 13, а третий из 21?

Ответ: 1.а)32;б) 18; в) 180.

2. а) 160; б) 252; в) 1365.

Занятие 27 . Задачи с элементами комбинаторики

и на смекалку.

Цель: формирование умений решать комбинаторные задачи.

Разминка.

1. 1. Крестьянину нужно перевести через реку волка, козу и капусту. Но лодка такова, что в ней может поместиться крестьянин, а с ним или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Помогите крестьянину перевезти свой груз.

Решение задач.

1.Есть монеты достоинством 1 рубль, 2 рубля и 5 рублей. Сколько есть способов набрать этими монетами 5 рублей?

Нарисуйте все способы.

- Как можно составить 5?

5

/ \

1. 4. 1

1. 3. 2

1. 2. 3=2+1

1. 1. 4=2+2

1. 0. 5

- Давайте будем опираться на этот «домик» и составим все возможные варианты.

- Сколько же всего получилось способов? (3)

2.В мешке 3 красных и 5 синих шариков. Из мешка достали

4 шарика. Можно ли утверждать, что среди них есть хотя бы

1 красный?

- Что знаем из условия?

(Есть 3 красных и 5 синих шариков. Взяли 4)

- Нарисуем мешок, а в нем шарики.

- Составим все возможные варианты, когда из мешка достают 4 шарика.

красные

синие

3

1

2

2

1

3

0

4

- Что заметили? (Что всегда будет хотя бы 1 синий, а вот красных может не быть вообще.)

- Как же ответить на вопрос задачи? (Нет.) -

3.Марина решила позавтракать в школьном буфете. Изучи меню и ответь, сколькими способами она может выбрать напиток и кондитерское изделие?

Напитки

Кондитерские изделия

Чай

Ватрушка

Молоко

Печенье

Компот

Булочка

- Давайте предположим, что из напитков Марина выберет чай. Какое кондитерское изделие она может подобрать к чаю? (чай - ватрушка, чай - печенье, чай - булка)

- Сколько способов? (3)

- Как будем рассуждать дальше? (Если Марина выберет молоко, то тоже может выбрать к нему кондитерское изделие тремя способами)

- А если компот? (тоже 3)

- Как же узнать, сколько способов может Марина использовать, чтобы выбрать себе обед? (3+3+3=9)

- Да, вы правы. Но чтобы нам было легче решать такую задачу, мы будем использовать графы. Обозначим напитки и кондитерские изделия точками и соединим пары тех блюд, которые выберет Марина.

чай молоко компот

ватрушка печенье булочка

Теперь сосчитаем количество линий. Их 9. Значит, существует 9 способов выбора блюд.

4.Три богатыря - Илья Муромец, Алеша Попович и Добрыня Никитич, защищая от нашествия родную землю, срубили Змею Горынычу все 13 голов. Больше всех голов срубил Илья Муромец, а меньше всех - Алеша Попович. Сколько голов мог срубить каждый из них?

- Кто может ответить на этот вопрос?

(учитель спрашивает несколько человек - ответы у всех разные)

- Почему получились разные ответы? (потому что не сказано конкретно, сколько голов срубил хотя бы один из богатырей)

- Давайте попробуем найти все возможные варианты решения этой задачи. Поможет нам в этом таблица.

Богатыри

Возможное число срубленных голов

Алеша Попович

1

1

1

1

2

2

2

2

Добрыня Никитич

2

3

4

5

3

4

5

4

Илья Муромец

10

9

8

7

8

7

6

6

- Какое условие мы обязательно должны соблюдать, решая эту задачу? (Все богатыри срубили разное количество голов, и у Алеши - меньше всех, у Ильи - больше всех)

- Сколько же вариантов решения имеет данная задача? (8)

Такие задачи называют - задачи с многовариантными решениями.

Составьте свою задачу с многовариантным решением.

5.В битве с трехглавым и треххвостым Змеем Горынычем

Иван-Царевич одним ударом меча может срубить либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Если срубить одну голову - новая вырастет, если срубить один хвост - два новых вырастут, если срубить два хвоста - голова вырастет, если срубить две головы - ничего не вырастет. Посоветуйте Ивану-Царевичу, как поступить, чтобы он мог срубить Змею все головы и хвосты.

- Что же произойдет, если Иван-Царевич отрубит одну голову? (вырастет новая голова)

- Есть смысл отрубать одну голову? (нет, ничего не изменится)

- Значит, отрубание одной головы исключаем - лишняя трата сил и времени.

- Что произойдет, если отрубить один хвост? (вырастут два новых хвоста)

- А если отрубить два хвоста? (вырастет голова)

- А две головы? (ничего не вырастет)

- Итак, мы не можем срубить одну голову, т. к. при этом ничего не изменится, опять вырастет голова. Надо добиться такого положения, чтобы голов было четное число, а хвостов - ни одного. Но для этого нужно, чтобы и хвостов было четное число.

- Как же можно добиться нужного результата? (ответ: 9 ударов)

6.В семье четверо детей: Сережа, Ира, Витя и Галя. Им 5, 7, 9 и 11 лет. Сколько лет каждому из них, если один из мальчиков ходит в детский сад, Ира моложе Сережи, а сумма лет девочек делится на 3?

- Повторите условие задачи.

- Чтобы не запутаться в процессе рассуждений начертим таблицу.

- Что мы знаем про одного из мальчиков? (ходит в детский сад)

- Сколько лет этому мальчику? (5)

- Этого мальчика могут звать Сережа? (нет, Сережа старше Иры, значит, его зовут Витя)

Поставим в строке «Витя», столбце «5» знак «+». Значит, самого младшего ребенка зовут Витя и ему 5 лет.

- Что знаем про Иру? (она младше Сережи, и если к ее возрасту прибавить возраст другой сестры, то эта сумма будет делиться на 3)

- Попробуем вычислить все суммы чисел 7, 9 и 11.

7+9=16; 9+11=20; 7+11=18

16 и 20 на 3 не делится, а 18 на 3 делится.

- Значит, возраст девочек 7 и 11 лет.

- Сколько лет Сереже? (9)

- А Ире? (7, т. к. она младше Сережи)

- А Гале? (11 лет)

- Заносим данные в таблицу:

Возраст, имя

5 лет

7 лет

9 лет

11 лет

Сережа

+

Ира

+

Витя

+

Галя

+

- Какой же ответ на вопрос задачи? (Вите 5 лет, Ире 7 лет, Сереже 9 лет, а Гале 11 лет)

7.Катя, Соня, Галя и Тома родились 2 марта, 17 мая, 2 июня, 20 марта. Соня и Галя родились в одном месяце, а у Гали и Кати день рождения обозначился одинаковыми числами. Кто, какого числа, и в каком месяце родился?

- Прочитайте задачу.

- Что знаем? (что Соня и Галя родились в одном месяце, а Галя и Катя - в одно число)

- Значит, в каком месяце день рождения у Сони и Гали? (в марте)

- А что можно сказать про Галю, зная, что она родилась в марте, да еще ее число совпадает с числом Кати? (Галя родилась 2 марта)

- Когда же родилась Катя? (2 июня)

- А когда день рождения у Сони? (17 мая)

- А у Томы? (20 марта)

- Чтобы легче было решать эту задачу можно использовать такую таблицу:

Задачи для самостоятельного решения

1.Сережа решил подарить маме на день рождения букет цветов (розы, тюльпаны или гвоздики) и поставить их или в вазу, или в кувшин. Сколькими способами он может это сделать? Покажите графически. (6)

2.Сколькими способами могут встать в ряд Кролик, Винни-Пух и Пятачок? Запиши все способы. (6)

3.Запиши трехзначное число из трех разных цифр (без нуля). Составь все возможные числа из этих цифр (6 чисел), чтобы цифры в них не повторялись.

4.В мешке 2 красных шарика и 4 синих. Из мешка достали 3 шарика. Можем ли мы утверждать, что среди них есть хотя бы один красный? (нет)

Занятие 28-29. Решение комбинаторных задач

с помощью графов и способа умножения

Цель: Учить решению комбинаторных задач

Разминка.

1. Сколько квадратиков ты видишь на картинке?

1. 1. У Лёвы два конверта: обычный и авиа, и марки: прямоугольная, квадратная и треугольная. Сколькими способами он может выбрать конверт и марку, чтобы отправить письмо?

   2. Ужасные грабители Кнопка и Скрепка решили украсть из сейфа золотой ключик Буратино. Для того, чтобы открыть замок входной двери, им нужно подобрать двузначный код. Причём известно, что дверь запирает Буратино, который знает только четыре цифры 1, 2, 3, 4. Сколько вариантов придётся подобрать Скрепке и Кнопке, чтобы проникнуть в дом?

   3. Проникнуть в дом - полдела. Кнопке и Скрепке нужно ещё открыть сейф. Но сейф запирает папа Карло, а он знает все цифры. Сколько двузначных кодов нужно перебрать грабителям, чтобы открыть сейф?

4.У ковбоя Джо две лошади: каурой и гнедой масти, два седла: красное и зелёное, две пары шпор: длинные и короткие, два револьвера: один марки "Кольт", другой - "Смит - и - Вессон". Сколькими способами Джо может экипироваться для конной прогулки по прериям?

5.Космический корабль "Циклоп" опустился на неизвестную планету Х звезды V созвездия Центавр. Планета оказалась обитаема и разделена на 3 материка океанами. Каждый материк выдвинул трёх представителей для того, чтобы лететь с кораблём на Землю. Представителей первого материка зовут Манн, Зан, Сан, второго - Пын, Фын, Шин, третьего - Хыр, Кыр, Дыр. Но на "Циклопе" не хватит анабиозных ванн для девяти человек. Он может взять только трёх. Сколько способов у инопланетян составить делегацию на Землю?

6.У кролика две табуретки: красная и зелёная. К нему в гости пришли Винни - Пух и Пятачок. Сколькими способами Кролик сможет рассадить гостей?

7.В следующий раз к Кролику пришли три гостя: Винни - Пух, Пятачок и ослик Иа. Сколькими способами он сможет рассадить гостей на синей, красной и жёлтой табуретках?

8.Сколькими способами Кролик сможет рассадить пять гостей на пяти разноцветных табуретках?

9.На борту космического корабля "Циклоп" три пилота и два инженера. Сколькими способами можно составить экипаж разведывательного катера из одного пилота и одного инженера?

10. В некотором городе у всех велосипедистов были трёхзначные номера. Но велосипедисты попросили, чтобы в этих номерах не встречались цифры 0 и 8, потому что первая из них похожа на вытянутое колесо, ну а что для велосипедиста "восьмёрка" колеса - знает каждый. Хватит ли им номеров, если в этом городе велосипеды имеют 710 человек?

Задачи для самостоятельного решения.

1.Сережа решил подарить маме на день рождения букет цветов (розы, тюльпаны или гвоздики) и поставить их или в вазу, или в кувшин. Сколькими способами он может это сделать? Покажите графически. (6)

2.Сколькими способами могут встать в ряд Кролик, Винни-Пух и Пятачок? Запиши все способы. (6)

3.Запиши трехзначное число из трех разных цифр (без нуля). Составь все возможные числа из этих цифр (6 чисел), чтобы цифры в них не повторялись.

4.В мешке 2 красных шарика и 4 синих. Из мешка достали 3 шарика. Можем ли мы утверждать, что среди них есть хотя бы один красный? (нет)

Занятие 30-31.Факториал

Цель: познакомить с одним из понятий, используемых в изуче­нии теории вероятностей.

Историческая справка:

Слово факториал произошло от латинского fасtоr - делающий, производящий. Факториал - это произведение натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n.

n=1 • 2• 3... • n; 0!=1; 1!=1.

Термин факториал ввел французский математик Аргобаст Луи Франсуа Антуан в 1800 году.

Обозначение п! ввел немецкий математик Кристиан Крамп в 1808 году.

Это интересно!

145 = 1!+4!+5! 40585= 4!+0!+5!+8!+5!

1. Вычислите: 6!; 7!; 8!; 9!; 10!

2. Вычислите: 4!+5!; 5• 4!; 4!-5; 5!-4.

3. Найдите значения дробей:

4.Устно. На какие факториалы делится 10! Для каждого делителя укажите соответствующее частное.

5. Что больше: а) 7!+8! или 9!; в) 4! • 4! или 8!;

б)5!+8!или6!+7!; г) 1!+2!+3!+...+9! или 10!?

6. Сравните: а) 5! ■ 15! и 20!; б) 10! • 40! и 20! • 30!

7. Делится ли 50! на 47; на 53; на 51?

8. Делится ли 11! на 64; на 25; на 81; на 49?

10. Сколькими нулями оканчиваются числа: 10!; 12!; 15!; 26!?

11. Найдите наименьшее натуральное число, которое не являет­ся делителем: 25!; 53!; 64!; 128!; 256!; 322!

12. Выпишите все натуральные делители чисел: 4!; 5!; 6!.

Викторина: Лучший знаток факториалов

1.Вычислите 1! 2! 5! 7! 10!

2.Вычислите а) 4! + 5! в) 5! - 4!

б) 5! · 4! г) 5 · 4!

3.Докажите, что 8! делится на 5! На 6!

4.Докажите, что 100! Делится на 47 и не делится на 101.

5.Докажите, что 14! Делится на 100 и не делится на 1000.

6.Сократите дробь и найдите её значение

10! 7! 12! 3! 33! 102! 12!

8! 3! · 4! 10! 34! 101! 3! 4! 5!

7.Покажите, что а) 11! - 10! = 10 · 10! б) 5! + 6! - 7 · 5!

8.Что больше а) 7! + 8! Или 9! б) 5! + 8! Или 6! + 7!

в) 1! + 2! + 3! + ··· + 9! или 10!

9. Сравните 5! 15! и 2

10.Делится ли 50! на 37, на 53, на 51?

12. Какой наименьший факториал делится на 5? на 7? на 8? на 51?

13. Сколько множителей, равных 2, содержится в числе 5! 7! 10!

14. Сколько нулей в записи числа, равного 5! 10! 15! 20!

15. Какой наименьший факториал делится на 25? на 100? на 1000?

16. Дана последовательность чисел 1!; 1! + 2!; 1! + 2! + 3!; … Какой цифрой оканчивается число, стоящее в этой последовательности под номером 1995?

Занятие 32. Теория вероятностей

Цель: познакомить учащихся с начальными понятиями теории вероятностей; обсудить вопросы, связанные с построением матема­тических моделей реальных ситуаций; сформулировать на интуи­тивном уровне начальные вероятностные представления.

Историческая справка:

«Математика случая» - так в 17 веке назвал теорию вероят­ностей французский ученый Блез Паскаль. Еще в древности было замечено, что случай вовсе не исключение из правила, а правило. Вот почему возникла наука о случайных явле­ниях. Знать законы случая необходимо.

Теория вероятностей - математическая наука, которая как раз и изучает математические модели случайных явлений и событий. Мы часто слышим и говорим сами: «Это невозможно»; «Это возможно»; «Это обязательно произойдет»; «Это маловероятно». Такие выражения обычно употребляют, когда говорят о возможнос­ти наступления события, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.

Например, если на небе собрались тучи, то дождь может пойти, но может и не пойти. Мы говорим: «Возможно, пойдет дождь...».

Событие, которое при данных условиях обязательно происхо­дит, называется достоверным.

Событие, которое при данных условиях иногда происходит, а иногда - нет, называется возможным или случайным.

Большую роль в развитии теории вероятностей как науки сыгра­ли обычные монеты и игральные кубики.

Монета, используемая в теории вероятностей, лишена многих качеств настоящей монеты. У нее нет цвета, размера, массы и досто­инства. Монета с точки зрения теории вероятностей имеет лишь две стороны, одна из которых называется орел, а другая - решка. Моне­ту бросают, и она падает одной из сторон вверх. Название орел для сторон монеты происходит от того, что на реверсе изображен герб Российского государства - двуглавый орел. А название решка для дру­гой стороны монеты (аверса) возникло потому, что раньше рисунок на авер­се российских монет напоминал решетку, где был написан номинал монеты (ее достоинство).

Брошенная на стол монета имеет равные шансы выпасть орлом или решкой. Никакой другой исход бросания монеты невозможен.

Игральный кубик (игральная кость) также служит прекрасным средством для получения случайных событий. Игра в кости - одна из древнейших. Игральные кости находили при раскопках в Египте и Китае. Об играх с костями животных (игры в «лодыжки», «косты-ги», «козули») упоминается в летописи у славян языческой Руси. Ранние упоминания о костях в древнеиндийской поэзии отражают популярность игры в кости в Древней Индии. «Гимн игрока» - пер­вый литературный текст, упоминающий кости, изображает их как враждебную человеку стихию:

Ведь кости усеяны колючками и крючками,

Они порабощают, они мучают, испепеляют.

В Древней Греции считалось, что игральные кости придумал Паламед во время Троянской войны. По версии Геродота, кости изобрели лидийцы, населявшие Малую Азию, чтобы отвлечься от голода, болезней и других напастей. Правильные (симметричные) кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани.

Математическая реальность - это математический образ пра­вильной кости, также не имеет цвета, размера, массы, никаких других материальных качеств.

1. Какие из следующих событий достоверные, а какие невоз­можные?

а) Попугай учится говорить.

б) Вы садитесь в поезд и доезжаете до Северного полюса.

в) Вы наугад берете с полки книгу, и она оказывается учебни­ком математики.

г) Вы приходите в кинотеатр, а все билеты проданы.

д) В полдень бьют Кремлевские куранты.

е) Вода в Тихом океане закипит.

2. Впишите в таблицу следующие события:

а) Завтра будет хорошая погода.

б) Тебя пригласят в гости.

в) В мае в городе пойдет снег.

г) В 12 часов ночи в городе идет дождь, а через 24 часа будет све­тить солнце.

д) В день рождения тебе подарят говорящего крокодила.

е) В день рождения тебе подарят собаку.

ж) Ты получишь «5» за контрольную работу по математике.

з) Сорванный цветок погибнет.

и) Камень, брошенный в воду, не утонет, к) Следующий год будет високосный.

л) Новая лампочка не загорится, м) Тебя изберут президентом США. н) Выпадет желтый снег.

Достоверные

Возможные

Маловероятные

3.Как вы думаете, в каких случаях говорят:

а) Когда рак на горе свистнет;

б) Как гром среди ясного неба.

4. Отметьте, какие из следующих событий случайные (С); дос­товерные (Д); невозможные (Н):

а) Черепаха научится говорить;

б) Вода в чайнике, стоящем на плите, закипит;

в) Ваш день рождения 19 октября;

г) День рождения вашего друга 30 февраля;

д) Вы выиграете, участвуя в лотерее;

е) Вы завтра встретите инопланетянина;

ж) После четверга будет пятница.

Занятие 33.Случайные события и вероятность

Цель: познакомить учащихся с возможными подходами к вы­числению вероятности того или иного события.

На прошлом занятии мы говорили об игральном кубике. Он име­ет 6 граней, на каждой из которых отмечены точки от 1 до 6. Играю­щий бросает кубик и смотрит, сколько точек выпало на той грани, которая сверху. Иногда точки заменяют числами. Бросание кубика считают опытом (экспериментом или испытанием), а полученный результат - исходом испытания или случайным событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предска­зывать его исход. Какие предсказания можно сделать, бросая игральный кубик?

Например, такие:

1. Событие А - выпадает цифра 1,2, 3,4, 5 или 6.

2. Событие В - выпадет цифра 7, 8 или 9.

3. Событие С - выпадет цифра 1.

Событие А, предсказанное в первом случае, обязательно насту­пит, оно достоверное.

Событие В не наступит никогда, так как оно невозможное.

Событие С может наступить, а может и нет, так как оно случайное.

Будем считать, что достоверное событие наступает со 100%-ой вероятностью, невозможное событие - с 0%-ой вероятностью.

В жизни мы чаще всего сталкиваемся со случайными события­ми, одни из которых более вероятны, а другие менее вероятны. Что­бы определить, насколько менее или более вероятно событие, нуж­но ввести количественные характеристики.

Вероятностные события (случайные) будем обозначать Р (от французского слова probability- возможность, вероятность).

Определение вероятности

Вероятностью события А при проведении некоторого испыта­ния называют отношение числа исходов, в результате которых на­ступает событие А, к общему числу всех возможных исходов этого испытания.

Схема. Для нахождения вероятности события А при проведении неко­торого опыта следует:

1) найти число N всех возможных исходов данного опыта;

2) принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;

3) найти количество N (А) тех исходов опыта, в которых насту­пает событие А;

4) найти частное Р (А)= --; оно будет равно вероятности со­бытия А.

Решение задач.

1. Найдите вероятность того, что при одном бросании игрально­го кубика выпадет: а) 4; б) 5; в) четное число очков; г) число очков, большее 4; д) число очков, не кратное 3.

Решение: Всего имеем N=6 возможных исходов. Все эти исхо­ды равновероятные.

а) Интересующее нас событие может произойти только один

раз, поэтому Р(А)=

б) Решение аналогичное а).

в) Интересующее нас событие произойдет в трех случаях: когда

выпадет 2,4, 6.

Р(А)=

г) Интересующее нас событие произойдет в двух случаях: когда выпадет 5 или 6.

Р(А)=

д) Интересующее нас событие произойдет в четырех случаях из 6, когда выпадет 1,2,4, 5.

Р(А)=

б) в) г) д)

2. В урне лежат 2 шара - черный и белый. Какова вероятность: вытащить черный шар? белый шар?

Ответ:

3. Известно, что на 100 батареек попадается 3 бракованных. Ка­кова вероятность того, что купленная батарейка будет:

а) бракованной;

б) не бракованной?

Решение: а) N =100, М(бр.)=3, Р(бр.)= =0,03.

б) N=100, К(не бр.)=100-3=97, Р(не бр.)= =0,97.

Ответ: Р(бр.)=0,03; Р(не бр.)=0,9.

4. В таблице записано число деревьев, растущих в парке. Оце­ните вероятность того, что наугад выбранное дерево: а) сосна (С); б) лиственное (Л); в) хвойное (X).

Порода деревьев

сосна

дуб

береза

ель

осина

Число деревьев

315

217

123

67

35

Решение:

1) 315+217+123+67+35=757 (д.) - всего в парке;

2) 315+67=382 (д.) - хвойных;

3) 217+123+35=375 (д.) - лиственных;

315 382 375

4)Р(С)= ; Р(Х)= ; Р(Л)= .

5. В лотерее 10 выигрышных билетов и 240 билетов без выигры­ша. Какова вероятность выиграть в лотерею, купив один билет?

Решение: 1) 10 + 240 = 250 (б.) - всего;

2)Р(В)=

Ответ: Р(В)=0,04.

Занятие 34.Теория вероятностей вокруг нас

Цель: дать учащимся почувствовать себя в роли экспериментатора.

Разминка. На каком из рисунков закрашена самая маленькая площадь?

Работа в экспериментальных группах

Эксперимент 1. Какова вероятность, что спичечный коробок, под­брошенный вверх, при падении окажется в 'одном из трех положений?

1 2 3

Проведите 100 опытов и результаты занесите в таблицу:

Положения

Подсчеты

Итого

Вероятность

1

2

3

Эксперимент 2. Вырежьте из бумаги правильный пятиугольник, проткните его спичкой так, чтобы получился волчок. Прокручивая волчок, проведите 100 опытов, результаты занесите в таблицу.

Число очков

Подсчеты

Итого

Вероятность

1

2

3

4

5

Найдите вероятность выпадения четного числа очков. Найдите вероятность выпадения очков, меньших 5. Задача. Грани кубика окрашены в красный и желтый цвета. Сколько граней окрашено в желтый цвет, если:

а) вероятность выпадения красной грани равна ;

б) вероятность выпадения красной грани равна ;

в) вероятность выпадения желтой грани равна ;

г) вероятность выпадения желтой и красной граней равна ?

Занятие 35. Смотр знаний

Цель: Подведение итогов занятий по данному курсу.

Защита ученических проектов.

86