Опорные конспекты по алгебре для учащихся 9 класса

Справочные материалы

по алгебре.

9 класс.

Составитель: учитель математики

МБОУЛ №3

Съедина Л.Н.

Свойства функции .

№

Определение свойства функции

Где смотреть свойство на графике

1

2

3

4

5

6

Область определения D(y) - все значения аргумента (х).

Область значений функции Е(у) - все значения у.

Нули функции - те значения х, при которых у=0.

Промежутки знакопостоянства - те значения х, при которых значения функции только положительны или только отрицательны.

Промежутки монотонности:

а) Функция возрастает, если большему значению аргумента(х) соответствует большее значение у.

б) Функция убывает, если большему значению аргумента(х) соответствует меньшее значение у.

Четность функции:

Функция четная: 1) D(y) симметрична относительно (0;0).

2) противоположным х соответствуют одинаковые у.

Функция нечетная: 1) D(y) симметрична относительно (0;0) .

2) противоположным х соответствуют противоположные у .

По оси Ох от крайней левой точки графика до крайней правой.

По оси Оу от самой нижней точки графика до самой верхней.

По оси Ох - точки пересечения графика с осью.

По оси Ох.

Если у0, то график над Ох, если у,то график под Ох.

а) График идет вверх.

б) График идет вниз

График четной функции симметричен относительно оси Оу.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Исследование свойств функции без построения графика.

У = .

1. D(y): х0.

2. Е(у): = 2 + , у(-;2)(2; ).

3. нули: у=0, 2х + 8 = 0, х = -4.

4. у>0 >0 2х + 8 >0 и х>0 или 2х + 8 < 0 и х< 0

х >-4 и х >0 или х<-4 и x< 0

х >0 х<-4

х (-;-4) (0; ).

у<0 х(-4;0).

5. х₁ 1 2 х₁< х_{2 ,} ноу₁ > у_2, значит, функция убывающая.

х₂ 2 5

у₁ 10 6

у₂ 6 3,6

6. у(х) = . у(-х) == у(х) -у(х).

Функция ни чётная, ни нечётная.

Алгоритм определения чётности функции.

1. Определить является ли D(y) симметричной относительно (0;0).

Да нет вывод: функция ни четная, ни нечетная.

2. Определить чему равно f(-x) =

f (-x) = f(x) f(-x) = - f(x) f(-x) f(x) - f(x)

чётная нечётная функция ни чётная, ни нечётная.

№1. у=2х-5. D(y) = R ; у(-х)=-2х - 5 = -(2х + 5) - функция ни чётная, ни нечётная.

Квадратный трёхчлен ах² + bх + с . (а0)

Разложение на множители:

ах² + bх + с = а (х-х₁) (х-х₂), х₁ и х₂ - корни трёхчлена.

Способы нахождения корней трёхчлена:

ах² + bх +с=0.

1. по формулам: D = b² - 4ас, х₁= х₂ = .

2. по теореме Виета: а=1, х₁х₂= с х₁+ х₂= -b.

3. если а+ b+с = 0, то х₁= 1, х₂=.

4. если а+ с = b, то х₁= -1, х₂= - .

5. метод переброски: ах² + bх +с = 0.

у² + bу + ас = 0

у_1/2 найти по т. Виета, х_1/2= .

Квадратичная функция у = ах² + bх +с .

Алгоритм построения графика.

1. Указать, что графиком является парабола и определить положение её ветвей.

2. Найти координаты вершины: х₀= m =; у₀ = у ( х₀).

3. Указать ось симметрии - прямая х = m.

4. Составить таблицу значений для х, расположенных правее или левее оси симметрии.

5. Построить график.

Например: у = 2х²+4х- 1.

Графиком функции является парабола,

ветви которой направлены вверх.

УВершина х₀= m == -1 ; у₀= у( х₀ ) =-3.

Прямая х = -1 - ось симметрии.

Х

0

1

2

У

-1

5

1

х5

-

Квадратичные неравенства.

a) ах² + bх +с<0 a>0

у

y y

а//////////////////

b x

a x х

D>0 (a;b) D=0 нет решений D<0 решений нет

b) ах² + bх +с>0 a>0

у

y y

а///////////////// ////////////////////// //////////////////////////////////////

b x a //////////////////////////////////

x х

D>0 (-;a) (b;+) D=0 (;a)(a;) D<0(-;+)

Метод интервалов.

Этот метод применяют для решения неравенств, представляющих собой произведение или частное.

Например: х(х-2)(х+4)>0; <0.

Алгоритм решения.

1. Задать функцию.

2. Найти область определения функции.

3. Нули функции.

4. Числовая прямая, на которой отмечены область определения и нули. Проверить знак функции на каждом промежутке.

5. Выбрать те промежутки, которые удовлетворяют условию. Если в условии знак «>», то выбрать с «+», если в условии знак «<», то выбрать с «-».

6. Записать ответ.

№1. х(х-2)(х+4)>0. №2. <0

1. у =

1. y = х(х-2)(х+4). 2. D(y): х-8

2. D(y)=R. 3. у=0, х=0, х=3.

3. y=0 x=0, x=2 , x=-4. 4.

4 - + - + - + - +

-4 0 2 х -8 0 3 х

5. у>0, х (-4;0)(2;). 5. у<0, х (-;-8)(0;3).

Элементы комбинаторики.

1. Перестановки - расположение всех данных элементов в определённом порядке.

Например: а,в,с. Возможные варианты: авс, асв, вас, вса, сав, сва. Р_n=n! = n (n-1) (n-2)…..1

2. Размещения - возможные варианты из n элементов по k, взятых в определенном порядке.

Например: а,в,с. Возможные варианты из 3 по 2: ав, ва, ас, са, вс, св.

А_n^k = ; ( k

3.Сочетания - возможные варианты из n элементов по k, порядок расположения не важен.

Например: а,в,с. Возможные варианты из 3 по 2:ав,ас,вс.

С_n^{k =} , ( k<n)

4.Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных.

Выделение квадрата двучлена.

.

ах² + bх +с = a(х² + m) + n.

1 . Вынести общий множитель а за скобки.

2х² + 8х - 6 = 2(х² +4х - 3)

2. Выделить в скобке квадрат двучлена: a² + 2ab +b² = (a + b)²

2(х² + 2х2 +4 -4 -3)=2( (х+2)² - 7) = 2 (х+2)² - 14.

Т.к. 2 (х+2)² > 0, то наименьшее значение равно (-14).

№1. 4 х² - 2х + 12 = 4(х² -х + 3) = 4(х² - 2х + - + 3) = 4( (х -)² +2) =4 (х -)² + 11.

Наименьшее значение равно 11.