- Преподавателю
- Математика
- Урок математики в режиме модульной технологии по теме Наибольшее и наименьшее значения функции
Урок математики в режиме модульной технологии по теме Наибольшее и наименьшее значения функции
Раздел | Математика |
Класс | 10 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Чернова И.Н. |
Дата | 03.09.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
КИРОВСКОЕ ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЕХНИКУМ ПРОМЫШЛЕННОСТИ И НАРОДНЫХ ПРОМЫСЛОВ» Г. СОВЕТСКА
НОМИНАЦИЯ: методическая разработка аудиторного занятия
УРОК ПО ТЕМЕ:
«НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ»
(технология модульного обучения)
Автор:
преподаватель математики
ТПиНП г. Советска
ЧЕРНОВА ИРИНА НИКОЛАЕВНА
Советск 2014
Авторская разработка урока математики создана в режиме технологии модульного обучения («управляемого самообучения учащихся» по Т.И. Шамовой).
Данный урок может быть использован в системе работы преподавателей математики образовательных организаций, дающих среднее образование, учителями школ.
Цель методической разработки: организовать процесс обучения в развивающем режиме, чтобы учащиеся не только усваивали программный материал, но и овладевали интеллектуальными приёмами деятельности. Считаю, что для этого эффективны приёмы технологии модульного обучения, так как такие уроки включают в себя:
-
Самостоятельную постановку учащимися целей занятия (цели урока классу сообщает не учитель, а наоборот обучающиеся формулируют цели урока, учитель их корректирует и дополняет; учащиеся с учетом своих возможностей выбирают уровневую цель, прогнозируют результаты своей работы на уроке).
-
Объяснение нового материала с учетом зоны ближайшего развития.
-
Самостоятельную работу с учебным материалом (учебные тексты предлагаются учителем: путеводитель, учебники, справочники; учащиеся осуществляют самостоятельное планирование своей работы, самоконтроль, корректировку ошибок и ликвидацию пробелов).
-
Уровневое домашнее задание в зависимости от достигнутых результатов на уроке (или право выбора задания для самостоятельной работы).
Положительной стороной таких уроков является также то, что ученик, пропустивший данную тему, может с помощью путеводителя самостоятельно её изучить, т.е. ликвидировать пробелы в знаниях.
При разработке таких уроков (составлении путеводителя) учитываю особенности контингента (низкую познавательную активность, низкий уровень обученности и обучаемости), поэтому задания в путеводителе не очень сложные, объяснения подробные. Отмечу, что уроки в режиме модульной технологии разработаны по 10 темам, что позволяет в системе отрабатывать общеучебные умения, развивать общие и профессиональные компетенции.
Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции.(2 часа)
Дидактическая цель: осознаниe и осмыслениe блока новой учебной информации, применение знаний и умений в знакомой и новой учебной ситуациях, проверка уровня усвоения системы знаний и умений средствами технологии модульного обучения.
Тип урока: комбинированный.
Цели по содержанию:
Образовательные:
-
познакомить с правилом нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, учить применять его для решения простых задач; применять метод поиска наибольших и наименьших значений функции к решению прикладных задач; решать задания, самостоятельно выбирая метод решения и применяя знания в нестандартных ситуациях;
-
формировать умения конструировать математические модели по соответствующим ситуациям;
Развиваюшие:
-
развивать познавательную активность учащихся, формировать учебно-познавательные действия при работе с текстом путеводителя;
-
раскрыть практическую необходимость и теоретической значимость темы «Производная и ее применение»;
-
развивать умения анализировать и оценивать свое владение системой знаний по теме;
Воспитательные:
-
формировать у учащихся понятия о научной организации труда;
-
развивать математически правильную устную и письменную речь.
Уровневые цели для учащихся:
1 уровень - применять правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции к решению простых задач.
2 уровень - применять метод поиска наибольших и наименьших значений функции к решению прикладных задач.
3 уровень - решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, самостоятельно выбирая метод решения (применяя знания в нестандартной ситуации).
Методы: репродуктивный, частично-поисковый.
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная.
Технология: модульного обучения.
Средства обучения: путеводитель для учащихся; Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; под ред. А. Н. Колмогорова.- 20-е изд.- М.: Просвещение, 2011г.; справочники учащихся.
Ход урока.
Этапы
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
1.Оргмомент
Приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, наличие на столах оценочных листов и путеводителей.
Приветствуют учителя, сообщают о наличии на столах оценочных листов и путеводителей.
2.Целеполагание и мотивация
Объявляет тему. Предлагает сформулировать цели урока, прочитав цели учебных блоков. Записывает на доске цели по уровням.
Работают с путеводителем, формулируют цели. Определяют для себя объем работы на уроке и записывают цели в тетрадь.
3.Актуализация
Задает вопросы учащимся из учебного блока №1, записывает на доске решения к вопросу 2, которые диктуют ученики.
Обобщает:
Итак, производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в ХVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики. Но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построение касательной. Исторически понятие производной возникло из практики. Возникнув из практики, понятие производной получило обобщаемый, абстрактный смысл, что еще более усилило его прикладной значение. В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.
И сегодня на уроке мы узнаем, как используется производная при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции и как алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений используется для решения прикладных задач из различных областей науки и техники.
Работают устно с учителем, отвечают на вопросы путеводителя (учебный блок №1).
4.Первичное усвоение, осознание и осмысление учебного материала, систематизация и применение знаний и умений, проверка уровня усвоения (см.Путеводи-тель)
1)Напоминает суть работы с путеводителем: самостоятельное чтение и анализ указаний учителя в каждом учебном блоке, разбор приведённых примеров и выполнение заданий самостоятельной работы. Объясняет, что оценка за урок зависит от суммы n набранных баллов по всем учебным блокам.
Если n≥15, то ученик получает «5», при 9≤n≤14 - оценка «4», при 5≤n≤8 - оценка «3» и при n < 5 - оценка «2».(критерии открываются в конце урока при проведении рефлексии)
2)Консультирует учащихся, координирует их деятельность, по завершении самостоятельных работ демонстрирует ученику эталон ответа. (После завершения самостоятельной работы в каждом учебном блоке ученик поднимает руку, учитель подходит и выдаёт карточку с кратким эталоном решения и ответом, ученик выполняет самопроверку и заполняет оценочный лист)
Слушают.
Работают с путеводителем,
( учебные блоки №2, №3, №4), заполняют оценочные листы.
5.Рефлексия
Предлагает оценить свою деятельность на уроке, оценку поставить в оценочный лист.
Если n≥15, то ученик получает «5», при 9≤n≤14 - оценка «4», при 5≤n≤8 - оценка «3» и при n < 5 - оценка «2».
Предлагает дополнить предложения блока №5, нескольких человек просит зачитать ответы.
Работа с текстом путеводителя
(блок №5).
6.Домашнее задание
Предлагает записать домашнее задание в зависимости от результатов на уроке.
Учащиеся записывают уровневое домашнее задание.
П У Т Е В О Д И Т Е Л Ь
УЧЕБНЫЙ БЛОК № 1
Цель: повторить правила вычисления производных, обобщить знания о производной и ее применении.
Указания учителя: поработай устно с учителем, за каждый верно данный ответ поставь в свой оценочный лист 1 балл.
Вопросы:
-
Что такое производная?
-
Найдите производную функции
а) f(х) = х3 - 4х2
б) f(х) = 5х4 - 6х
в) f(х) =
г) f(х) = - соs -х
д) f(х) = х3 (24-х)
е) f(х) =
-
Какие области применения производной вы уже знаете?
-
В чем состоит геометрический смысл производной?
-
В чем состоит механический смысл производной?
-
Сформулируйте признак возрастания функции.
-
Сформулируйте признак убывания функции
-
Знак производной f'(х) меняется по схеме, изображенной на рисунке. Определите, на каких промежутках функция возрастает и на каких убывает.
-
Назовите интервалы возрастания и убывания функции, если график ее производной имеет вид:
УЧЕБНЫЙ БЛОК № 2
Цель: ввести правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции и сформировать умение применять его к решению простых задач.
Указания учителя: Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсе анализа доказывается теорема Вейерштрасса: непрерывная на отрезке [а; b] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение, т.е. существуют точки отрезка [а; b], в которых f принимает наибольшее и наименьшее на [а; b] значения.
Предположим, что f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда она возрастает на этом отрезке (рис.1) или убывает (рис.2) на этом отрезке, и, значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] - это значения в концах а и b (по рис.1 наибольшее значение функции f в точке b, а наименьшее - в точке а, по рис.2 - наоборот)
у у
х х
0 0
Рис. 2
Рис. 1а в а в
Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; b] на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому наибольшее и наименьшее значение функции f на таких отрезках принимаются в их концах, т.е. в критических точках функции или в точках а и b.
Таким образом, алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции f(х) на отрезке [а; b] следующий:
-
Найти область определения функции.
-
Найти производную функции (т.е. f'(х))
-
Найти критические точки функции (т.е. точки, в которых f'(х)=0 - решить это уравнение - или f'(х) не существует).
-
Отобрать из найденных критических точек те, что лежат внутри отреза [а; b]
-
Вычислить значения функции f(х) в каждой из отобранных точек и на концах отрезка [а; b]
-
Выбрать из полученных значений в п.4 наибольшее и наименьшее.
-
Выписать ответ
Наибольшее значение функции f(х) на [а; b] обозначают: mах f(х)
[а; b]
Наименьшее значение - min f(х)
[а; b]
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(х)= х3-3х2-45х+225 на отрезке [0; 6]
Решение: 1.Д(f) = R
-
f'(х)= (х3-3 х2-45х+225)' = 3 х2 -6х - 45
-
f'(х) существует при всех х.
Решим уравнение:
f'(х)=0
3 х2 -6х - 45=0
х2 -2х - 15=0
а=1, b = -2, с = -15
Д = b2 - 4ас; Д = (-2)2- 4 1 (-15) = 4+60 = 64
- b
х = ------------; х1 = -3; х2 = 5
2а
-
-3 [0; 6], 5 [0; 6]
-
Вычислим f(5), f(0), f(6)
f(5)= 53-3 52-455+225=125-75-225+225=50
f(0)= 03-302-450+225=225
f(6)= 63-362-456+225= 216-108-270+225=63
Ответ: mах f(х)= f(0)= 225
[0; 6]
min f(х)= f(5)=50
[0; 6]
Задания самостоятельной работы (на 10 минут)
1 вариант
2 вариант
1) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(х)= х4-8х2 на отрезке
[ -1; 2] (2 балла)
1) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(х)=2х4-8х на отрезке
[2; -1] (2 балла)
2) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(х) = на отрезке [-4; -1]
(3 балла)
2) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(х) = на отрезке [2; 5]
(3 балла)
Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему блоку, если же меньше, то решите соответствующее задание другого варианта.
УЧЕБНЫЙ БЛОК № 3
Цель: принять метод поиска наибольших и наименьших значений функции к решению прикладных задач.
Указания учителя: Вы прошли 1 уровень усвоения материала. Теперь, чтобы решить задание, вам нужно будет самим составить функцию и найти ее наибольшее и наименьшее значение.
Изложенный метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению разнообразных прикладных задач.
При этом действуют по следующей схеме:
-
Задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(х).
-
Находится наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке (применяется метод из уч.блока №2).
-
Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.
Вообще решение практических средствами математики (т.е. метод математического моделирования) содержит три основных этапа:
-
формализацию (перевод исходной задачи на язык математики);
-
решение полученной математической задачи;
-
интерпретацию найденного решения («перевод» его с языка математически в терминах первоначальной задачи).
Пример 1. Число 20 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на другое было наибольшим.
Решение: Пусть х - первое слагаемое, тогда 20-х - второе слагаемое. Составляем сумму по условию: «произведение куба одного из них на другое» - f(х) - х3(20-х). Нужно найти наибольшее значение функции f(х) - х3(20-х) на отрезке [0; 20].
1) f'(х) = (20х3 - х4)' = 60х2 - 4х3
2) f'(х) существует при всех х
Решим уравнение:
f'(х) =0
60х2 - 4х3
4х2 (15-х)=0
4х2 =0 или 15-х=0
х=0 х=15
3) 0 [0; 20], 15[0; 20]
4) f(0) = 03 (20-0) = 0
f(15) = 153 (20-15) = 3375 5=16875
f(20) = 203 (20-20) = 0
mах f(х)= f(15)=16875
[0; 20]
Итак, х=15 - это первое слагаемое, тогда 20-15=5 - второе слагаемое.
Ответ: 20=15+5
Пример 2. Забором длиной 24м требуется огородить прямоугольный палисадник наибольшей площади. Найдите эту наибольшую площадь палисадника и укажите его размеры.
Решение: Пусть х метров - длина палисадника, тогда 12 - х метров - ширина палисадника. В задаче речь идет о площади прямоугольного палисадника, т.е. о площади прямоугольника. Таким образом, функция f(х) = х (12-х).
Нужно найти наибольшее значение функции f(х) = х (12-х) на промежутке (0; 12).
-
f'(х) = (12х - х2)' = 12-2х
-
f'(х) существует при всех х
Решим уравнение:
f'(х) =0
12-2х=0
2(6-х)=0
6-х=0
х=6
-
6 (0; 12)
-
f(6) = 6(12-6)= 6 6=36
f(0) и f(12) не находим, т.к. 0(0; 12) и 12(0; 12)
mах f(х)= f(6)=36
(0; 12)
Итак, х=6м - длина палисадника
12-6=6м - ширина палисадника
Тогда площадь палисадника 36м2 и его размеры 6м х 6м.
Ответ: 6 6 = 36м2
Задания самостоятельной работы (на 10 минут)
1 вариант
2 вариант
1. Число 15 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на другое было наибольшим (3 балла).
1. Число 6 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на другое было наибольшим (3 балла).
2. Периметр прямоугольника 48м. Обозначим одну из сторон за х и рассмотрим те прямоугольники, для которых х [3; 8]. Найдите среди них прямоугольник с наибольшей площадью и прямоугольник с наименьшей площадью. Укажите площади этих прямоугольников (3 баллов).
2. Периметр прямоугольника 20м. Обозначим одну из сторон за х и рассмотрим те прямоугольники, для которых х [1; 4]. Найдите среди них прямоугольник с наибольшей площадью и прямоугольник с наименьшей площадью. Укажите площади этих прямоугольников (3 баллов).
Если вы набрали 6 баллов, то переходите к следующему учебному блоку. Если меньше, то решайте задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка.
ПОМНИ: 1) легче находить производную функции, представленной в виде многочлена; 2) площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины.
УЧЕБНЫЙ БЛОК № 4
Указания учителя: Молодцы! Вы освоили решение заданий 2 уровня сложности.
Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
Задания самостоятельной работы:
-
Найдите наибольшее и наименьшее значения f(х) = - соs х - х на отрезке
[-3/2π; 5/2π] (2 балла).
-
Какими должны быть стороны прямоугольного участка площадью 1600м2, чтобы на его ограждение было израсходовано наименьшее количество материала (3 балла).
-
Число 48 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых таким образом, чтобы два из них были равны между собой, а произведение всех слагаемых было наибольшим (3 балла).
Подсказки:
-
С помощью графика y = sin х выясни, в каких критических точках из промежутка [-3/2π; 5/2π] функция y = sin х принимает значение равное 1. Далее действуй по алгоритму.
-
Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Если х - длина, S/х - ширина.
Помни, что (а/х)' = (ах-1) = -ах-2 =
-
В представленной функции раскрой скобки, т.е. представь ее в виде многочлена - так легче находить производную. Далее действуй по алгоритму.
Указания учителя: Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте количество баллов. Проставьте количество баллов в оценочный лист.
УЧЕБНЫЙ БЛОК № 5
Цель: Оценить результаты своей деятельности.
Указания учителя:
-
Подсчитайте количество набранных вами баллов в оценочном листе и поставьте себе оценку согласно критериям оценивания работы на уроке.
-
Напишите три прилагательных (наречия) или предложение, отражающее твое эмоциональное состояние на уроке.
-
Закончи фразы:
-
сегодня я узнал (а)…
-
сегодня я научился (ась)…
-
на уроке я испытал (а) затруднения…
-
чтобы повысить результат, мне нужно…
Запишите домашнее задание:
-
Если вы заработали на уроке оценку «5», то выполните дома № 11 (3б) с.173
-
Если вы заработали на уроке оценку «4», то выполните дома № 311 с.158
-
Если вы заработали на уроке оценку «3» или «2», то выполните дома № 305 (а, в) с.158
Приложение №1
ОФОРМЛЕНИЕ ЗАПИСЕЙ НА ДОСКЕ.
На обратной стороне:
Если n<5, то оценка «2».
Если 5≤n≤8, то оценка «3».
Если 9≤n≤14, то оценка «4».
Если n≥15, то оценка «5».
Наибольшее и наименьшее значения функции.
Цели:
1 уровень - применять правило нахождения наибольшего и наименьшего значений к решению простых задач.
2 уровень - применять метод поиска наибольших и наименьших значений функции к решению прикладных задач.
3 уровень - решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, самостоятельно выбирая метод решения (применяя знания в нестандартных ситуациях).
Найти производную функции:
а)f(x) =x3-4x2
б)f(x) =5x4-6x
в)f(x) =
г)f(x) = -cos x-x
д)f(x) = x3(24-x)
е)f(x) =
Приложение №2
ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ УЧАЩЕГОСЯ.
Фамилия ___________________________________________________
Имя _______________________________________________________
Учебные блоки
Количество баллов за основные задания
Корректирующие задания
Общее количество баллов за этап
№ 1
№ 2
№ 3
№ 4
Итоговое количество баллов __________________________________
Оценка ____________________________________________________
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
-
Алгебра и начала математического анализа. 10-11классы:учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон.носителе/ А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; под ред. Колмогорова.-20-е изд.-М.: Просвещение,2011.-384с.
-
Алгебра и начала математического анализа.11класс:учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни /Ю.М. Колягин, М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, М.И.Шабунин; под ред. Жижченко.-2 издание.-М.:Просвещение, 2010.-336с
-
Гибкая технология проблемно-модульного обучения, методическое пособие./ Чошанов М.А. М., Народное собрание, 1996
-
Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса./ Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. М.: Просвещение, 2003.
-
Дидактические основы современного урока: методическое пособие./ Русских Г.А. М., Ладога-100, 2001
-
Мастер-класс: подготовка учителя к успешной педагогической деятельности./ Русских Г.А. и др. Киров, 2000
-
Современные педагогические технологии в практике работы учителя географии, методическое пособие./ Русских Г.А., Киров, 2001