Типовой экзаменационный вариант ЕГЭ по математике 2016 года (с решениями всех заданий)

1. Задание 1.

Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 100 рублей за штуку и продает с наценкой 30%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1200 рублей?

Решение.

С учетом наценки горшок станет стоить 100 + 0,3 100 = 130 рублей. Разделим 1200 на 130:

.

Значит, можно будет купить 9 горшков.

Ответ: 9

24355

9

2. Задание 2.

На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.

Из графика видно, что наименьшая среднемесячная температура в период с пятого по двенадцатый месяц (с мая по декабрь) была в ноябре и составляла 6 °C (см. рисунок).

Ответ: 6

18845

6

Задание 3.

Вектор с концом в точке (5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату точки

Решение.

Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Координаты точки A вычисляются следующим образом: 5 − x = 3, 3 − y = 1. Откуда x = 2, y = 2.

Ответ: 2

27728

2

Задание 4.

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение.

По условию из любых 200 + 4 = 204 сумок в среднем 200 качественных сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна

Ответ: 0,98

283627

0,98

Задание 5.

Найдите корень уравнения .

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: -4

26659

-4

Задание 6.

В треугольнике угол равен 90°, - высота, угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

углы и равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, значит,

.

Ответ: 34

27755

34

Задание 7.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите c.

Решение.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Ответ: 17

121217

17

Задание 8.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки параллелепипеда , у которого , , .

Решение.

Из рисунка видно, что многогранник является половиной данного прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, объём искомого многогранника

Ответ: 120

264511

120

Задание 9.

Найдите значение выражения

.

Решение.

Выполним преобразования:

.

Ответ: -6

62251

-6

Задание 10.

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нм) определяется формулой , где - сила тока в рамке, Тл - значение индукции магнитного поля, м - размер рамки, - число витков провода в рамке, - острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Нм?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства на интервале при заданных значениях силы тока в рамке , размера рамки м, числа витков провода и индукции магнитного поля Тл:

.

Ответ: 30

27999

30

Задание 11.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 12 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 106 км/ч, и через 48 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть скорость второго автомобиля равна км/ч. За 4/5 часа первый автомобиль прошел на 12 км больше, чем второй, отсюда имеем

Ответ: 91

114147

91

Задание 12.

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

.

Ответ: -3

3967

-3

Задание 13.

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Из данного уравнения получаем:

Значит, или откуда или откуда или

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) ; б)

Задание 14.

В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра

Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и

Решение.

Пусть и - середины ребер и соответственно. - медиана правильного треугольника следовательно, находится по формуле Прямая проецируется на плоскость основания и прямую Поэтому проекция точки - точка - лежит на отрезке Значит, прямая является проекцией прямой следовательно, угол - искомый.

где - центр основания, значит, - средняя линия треугольника поэтому Тогда и Из прямоугольного треугольника находим:

Из прямоугольного треугольника находим:

Значит, искомый угол равен

Ответ:

Задание 15.

Решите неравенство

Решение.

Решение будем искать при условиях:

.

Рассмотрим исходное неравенство на множестве тогда откуда то есть .

Рассмотрим исходное неравенство на множестве тогда откуда то есть или

Ответ: .

Задание 16.

Дан параллелограмм ABCD, AB = 3, BC = 5, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Решение.

Окружностей две: каждая из них вписанная в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 5 и 3 − соответственно. Поэтому радиусы окружностей равны третьей части высоты правильного треугольника.

Для треугольника со стороной 5 радиус равен

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников и

Для треугольника со стороной 3 радиус равен

Чтобы найти площадь четырехугольника вычтем из площади параллелограмма площади треугольников и

Ответ: или

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 19.11.2009 с решениями: вариант 1. (Часть С)

Задание 17.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение.

Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01a. После первой выплаты сумма долга составит S₁ = Sb − x. После второй выплаты сумма долга составит

После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна

После четвёртой выплаты сумма оставшегося долга равна

По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому

откуда

При S = 6 902 000 и a = 12,5, получаем: b = 1,125 и

Ответ: 2 296 350.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

Задание 18.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если x + 2y − 5 ≥ 0, то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₁(2; 4) и радиусом

2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O₂(0; 0) и радиусом

Полученные окружности пересекаются в двух точках A(−1; 3) и B(3; 1), лежащих на прямой x + 2y − 5 = 0, поэтому в первом случае получаем дугу ω₁ с концами в точках A и B, во втором - дугу ω₂ с концами в тех же точках (см. рис.).

Заметим, что точка лежит на дуге ω₂ и прямая O₂C перпендикулярна прямой O₁O₂.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой O₁O₂ или совпадающую с ней.

При a = −5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

Аналогично, при a = 5 прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.

При прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

Аналогично, при прямая m касается дуг ω₂ и ω₁, то есть исходная система имеет два решения.

При или прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.

При −5 < a < 5 прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При или прямая m не пересекает дуги ω₁ и ω₂, то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более двух решений при или

Ответ:

Источник: ЕГЭ - 2015. Основная волна по математике 04.06.2015. Вариант 2 (Часть С).

Задание 19.

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 1512 и

а) пять;

б) четыре;

в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?

Решение.

Случай а). Пусть числа где по условию - натуральное число, - искомые члены прогрессии. Их произведение равно но уравнение не имеет натуральных решений. Итак, необходимой прогрессии из 5 чисел не существует.

Случай б). Пусть прогрессия состоит из четырех членов а пятое натуральное число равно Поскольку имеем: что невозможно для натуральных и поскольку разложение числа 1512 не содержит четвертых степеней простых сомножителей отличных от 1. Заметим однако, что знаменатель прогрессии может не быть натуральным числом и исследуем этот случай. Пусть - несократимая дробь, Тогда что невозможно, так как разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1.

Случай в). Пусть прогрессия состоит из трех членов а четвертое и пятое натуральные числа равны и Тогда Положим в этом равенстве Далее, полагая получим один из требуемых наборов чисел: 3, 6, 12, 7, 1.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.