Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета

Конспект урока

учителя математики

МБОУ СОШ №2 г. Ворсма

Киселевой Ларисы Алексеевны

Тема: «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета»

Цель урока: Введение понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы.

Задачи:

Образовательные:

• Ввести понятие приведенного квадратного уравнения,

• Вывести формулу корней приведенного квадратного уравнения,

• Сформулировать и доказать теорему Виета,

• Сформулировать и доказать теорему, обратную теореме Виета,

• Научить учащихся решать приведенные квадратные уравнения, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета.

Развивающие:

• развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений, умений сравнивать и обобщать;

Воспитательные:

• воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование: учебник алгебры под ред. Алимова и др., тетрадь, раздаточный материал, презентация к уроку.

План урока.

№

Этап урока

Содержание (цель)этапа

Время (мин)

1

Организационный момент

Постановка цели урока. Создание благоприятных условий для успешной деятельности. Мотивация учения.

1

2

Проверка домашнего задания

Фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся.

2

3

Проверочная работа

Разбор работы, ответы на вопросы.

10

4

Изучение нового материала

Формирование опорных знаний, формулировка правил, решение задач, анализ результатов, ответы на вопросы учащихся.

14

5

Закрепление изученного материала

Усвоение изученного материала путем его применения при решении задач по аналогии под контролем учителя.

15

6

Подведение итогов урока

Оценка знаний отвечавших учеников. Проверка знаний и понимания формулировок правил методом фронтального опроса.

2

7

Домашнее задание

Ознакомление учащихся с содержанием задания и получение необходимых пояснений.

1

8

Дополнительные задания

Разноуровневые задания для обеспечения развития учащихся.

-

Ход урока.

1. Организационный момент. Постановка цели урока. Создание благоприятных условий для успешной деятельности. Мотивация учения.

2. Проверка домашнего задания. Фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся.

№

Уравнение

а

c

D

Количество корней

1

2

3

Учитель: Как, не решая квадратного уравнения, определить количество его корней? (ответы учащихся)

3. Проверочная работа. Ответы на вопросы.

Текст проверочной работы:

Вариант №1.

1. Решите уравнения:

А) ,

Б)

2.Найдите значение параметра а, при которых уравнение имеет:

• Один корень,

• Два различных корня.

Вариант №2.

1. Решите уравнения:

А) ,

Б)

2.Найдите значение параметра а, при которых уравнение имеет:

• Один корень,

• Два различных корня.

Проверочная работа выполняется на отдельных листах, сдается учителю на проверку.

После сдачи работы решение высвечивается на экран.

4. Изучение нового материала.

4.1. Франсуа Виет - французский математик 16 века. Он был адвокатом, позднее - советником французских королей Генриха III и Генриха II.

Однажды он сумел расшифровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом.

Франсуа Виета называют «отцом буквенной современной алгебры»

Как связаны между собой корни квадратного трёхчлена и его коэффициенты p и q? Ответ на этот вопрос дает теорема , которая носит имя «отца алгебры», французского математика Ф.Виета, которую мы будем сегодня изучать.

Знаменитая теорема была обнародована в 1591 году.

4.2.Сформулируем определение приведенного квадратного уравнения.

Определение. Квадратное уравнение вида называется приведенным.

Это значит, что старший коэффициент уравнения равен единице.

Пример. .

Всякое квадратное уравнение может быть приведено к виду . Для этого необходимо разделить обе части уравнения на .

Например, уравнение 7Х² - 12Х + 14 = 0 делением на 7 приводится к виду

Х² - 12/7Х + 2 = 0

4.3. Вывести формулы корней приведенного квадратного уравнения.

a, b, c

a=1, b=p , c=q

Решите уравнение Х² - 14Х - 15 =0 (Ученик решает у доски)

Вопросы:

- назовите коэффициенты p и q (-14, -15);

- запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения;

- найдите корни данного уравнения (Х₁ = 15, Х₂ = -1)

4.4. сформулировать и доказать теорему Виета.

Если и - корни уравнения , то справедливы формулы , т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

После этого учителем проводится доказательство теоремы. Затем совместно с учащимися делает вывод.

Пример. . p=-5,q=6.

. . Значит числа и - числа

положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых

равно 6, а сумма равна 5. =2, =3 - корни уравнения.

4.5. Применение теоремы Виета.

С её помощью можно:

 Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его,

 Зная один из корней, найти другой,

 Определить знаки корней уравнения,

 Подобрать корни уравнения, не решая его.

4.6. Сформулируем теорему обратную теореме Виета.

Если числа p, q, и таковы, что удовлетворяют соотношения , то , - корни квадратного уравнения .

Доказательство теоремы, обратной теореме Виета, выносится на дом для самостоятельно изучения сильным учащимся.

4.7. рассмотреть решение задачи 5 на странице учебника 125.

5. Закрепление изученного материала

№ 450 (1)

№ 451 (1, 3, 5) - устно

№ 452 (устно)

№ 455 (1,3)

№ 456 (1, 3)

6. Подведение итогов урока.

Ответьте на вопросы:

• Какие уравнения называются приведенными?

• Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным?

• Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения

• Сформулируйте теорему Виета.

• Чему равна сумма и произведение корней уравнения:

 Зачем нужна теорема Виета?

 Сформулируйте обратную теорему теореме Виета.

7. Домашнее задание.

§29 (до задачи 6), № 450(2,4,6); 455(2,4); 456(2,4,6).

8. Дополнительные задания.

Уровень А.

1. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 5.

Уровень В.

1.Найдите сумму и произведение корней уравнения:

2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны и .

Уровень С.

1. Разобрать доказательство теоремы, обратной теореме Виета

2. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

Схема конспекта урока

Этапы работы

Содержание этапа

1.

Организационный момент, включающий:

• постановку цели, которая должна быть достигнута учащимися на данном этапе урока (что должно быть сделано учащимися, чтобы их дальнейшая работа на уроке была эффективной)

• определение целей и задач, которых учитель хочет достичь на данном этапе урока;

• описание методов организации работы учащихся на начальном этапе урока, настроя учеников на учебную деятельность, предмет и тему урока (с учетом реальных особенностей класса, с которым работает педагог)

Программные требования к математической подготовке учащихся по этой теме заключается в введении понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы (из программы для общеобразовательных учреждений).

Учащиеся 8-го класса - дети подросткового возраста, который характеризуется неустойчивостью внимания. Лучший способ организовать внимание - так организовать учебную деятельность, чтобы у учеников не было ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время.

На основании сказанного выше целью урока является решение следующих задач:
а) образовательные: введение понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы.

б) развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений, умений сравнивать и обобщать;
в) воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.

Для того, чтобы учащиеся восприняли урок как логически законченный, целостный, ограниченный во времени отрезок учебно-воспитательного процесса, он начинается с постановки обоснования задач и заканчивается подведением итогов и постановкой задач на следующие уроки.

2.

Опрос учащихся по заданному на дом материалу, включающий:

• определение целей, которые учитель ставит перед учениками на данном этапе урока (какой результат должен быть достигнут учащимися);

• определение целей и задач, которых учитель хочет достичь на данном этапе урока;

• описание методов, способствующих решению поставленных целей и задач;

• описание критериев достижения целей и задач данного этапа урока;

• определение возможных действий педагога в случае, если ему или учащимся не удается достичь поставленных целей;

• описание методов организации совместной деятельности учащихся с учетом особенностей класса, с которым работает педагог;

• описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе опроса;

• описание методов и критериев оценивания ответов учащихся в ходе опроса.

На первом этапе происходит фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся. При этом происходит повторение решения квадратных уравнений и закрепление определения количества корней по его дискриминанту. Осуществляется переход к определению приведенного квадратного уравнения.

На втором этапе рассматриваются уравнения двух видов. Чтобы учащиеся не уставали от однообразной работы, применяются различные формы работы и варианты заданий, включены задания более высокого уровня (с параметром).

Устная работа учащихся чередуется с письменной, которая состоит в обосновании выбора способа решения квадратного уравнения, анализе решения уравнения

Одним из приёмов педагогической поддержки, является использование в качестве наглядности информационных технологий, которые помогают учащимся разных уровней подготовленности легко усваивать материал, поэтому отдельные моменты урока проводятся с использованием презентации (показ решения самостоятельной работы, вопросы, домашнее задание)

3.

Изучение нового учебного материала. Данный этап предполагает:

• постановку конкретной учебной цели перед учащимися (какой результат должен быть достигнут учащимися на данном этапе урока);

• определение целей и задач, которые ставит перед собой учитель на данном этапе урока;

• изложение основных положений нового учебного материала, который должен быть освоен учащимися;

• описание форм и методов изложения (представления) нового учебного материала;

• описание основных форм и методов организации индивидуальной и групповой деятельности учащихся с учетом особенностей класса, в котором работает педагог;

• описание критериев определения уровня внимания и интереса учащихся к излагаемому педагогом учебному материалу;

• описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе освоения нового учебного материала

Дается определение приведенного квадратного уравнения. Учитель совместно с учениками проводит вывод формул корней приведенного квадратного уравнения, учащиеся осознают значимость учебного материала урока. Разбор формулировки и доказательства теоремы Виета также происходит совместно с учениками

Такая работа является также закреплением изучения нового материала.

Методы:

• наглядный;

• практический;

• словесный;

• частично-поисковый

4.

Закрепление учебного материала, предполагающее:

• постановку конкретной учебной цели перед учащимися (какой результат должен быть достигнут учащимися на данном этапе урока);

• определение целей и задач, которые ставит перед собой учитель на данном этапе урока;

• описание форм и методов достижения поставленных целей в ходе закрепления нового учебного материала с учетом индивидуальных особенностей учащихся, с которыми работает педагог.

• описание критериев, позволяющих определить степень усвоения учащимися нового учебного материала;

• описание возможных путей и методов реагирования на ситуации, когда учитель определяет, что часть учащихся не освоила новый учебный материал.

Закрепление учебного материала происходит при ответах на вопросы и в работе с учебником:

- Разбор задачи №5 на странице 125;

- решение упражнений

№ 450 (1), 451 (1, 3, 5) - устно, 452 (устно);

455 (1,3); 456 (1, 3)

На протяжении всего урока наблюдается высокая активность учащихся, учитель имеет возможность опросить всех учащихся класса, а некоторых даже не один раз.

Подводится итог урока в форме фронтального опроса учащихся по вопросам:

• Какие уравнения называются приведенными?

• Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным?

• Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения

• Сформулируйте теорему Виета.

• Чему равна сумма и произведение корней уравнения:

5.

Задание на дом, включающее:

• постановку целей самостоятельной работы для учащихся (что должны сделать учащиеся в ходе выполнения домашнего задания);

• определение целей, которые хочет достичь учитель, задавая задание на дом;

• определение и разъяснение учащимся критериев успешного выполнения домашнего задания.

В домашней работе предполагается, что учащиеся работают в соответствии со своими возможностями. Сильные учащиеся работают самостоятельно и в конце работы имеют возможность проверить правильность своих решений, сверив их с решениями, записанными на доске в начале следующего урока. Другие учащиеся могут получить консультацию своих одноклассников или учителя. Слабые учащиеся работают, опираясь на примеры, используют решения уравнений, разобранных в классе. Таким образом, создаются условия для работы на различных уровнях сложности.

Список литературы:

1. Ш.А. Алимов и др., Алгебра 8, М.: Просвещение, 2010;

2. В.И. Жохов, Дидактические материалы, 8 класс, М.: Просвещение, 2010;

3. Ю.М. Колягин, Изучение алгебры в 7-9 классах, М.: Просвещение, 2004;

4. Интернет - ресурсы

festival.1september.ru

uroki.net