Статья Изучение и доказательство теорем

Е.В. Петрова,учитель математики СОШ №25 г. Владимира

Доказательство - это рассуждение, которое убеждает. (Ю.А. Шиханович)Изучение и доказательство теорем.

Реализация современной роли математики предполагает улучшение математической подготовки учащихся, важное место в котором отводится умению открывать закономерности, обосновывать их и применять на практике. Формирование алгоритмического, эвристического, абстрактного мышления учащихся осуществляется также главным образом в процессе доказательства. Обучение математике предполагает обучение способам деятельности по приобретению знаний, что требует выявления и освоения в процессе обучения математике различных схем используемых в математике рассуждений. В опытных науках мы постоянно обращаемся к наблюдениям и экспериментам, чтобы проверить те или иные утверждения. Совершенно иначе дело обстоит в математике. Теорема считается доказанной только в том случае, если она логически выведена из других предложений. Поэтому проблема обучения учащихся доказательству всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики.

В настоящее время, идущий процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, на формирование нравственности, чему способствует обучение доказательству, где важная роль отводится обучению поиска способов доказательства, их сравнения, выбора наиболее простого из них.

Что значит доказать теорему, что такое доказательство?

Когда вы убеждаете своего товарища в чем-либо или отстаиваете в споре с ним свое мнение, свою точку зрения, то вы по существу производите доказательство (умело или неумело - это уже другой вопрос).

Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения. Основную нагрузку по формированию у учащихся умения доказывать несёт курс геометрии. Д. Пойа указывал на важную роль, которую играют доказательства при построении геометрической системы: «Геометрическая система цементирована доказательствами. Каждая теорема связана с предшествующими аксиомами, определениями и теоремами каким-нибудь доказательством. Без понимания таких доказательств нельзя понять самую сущность системы». Исторически сложилось так, что геометрия как учебный предмет имеет большое значение для изучения окружающего мира и создаёт благоприятные условия для приобщения учащихся к творческой исследовательской деятельности. Изучение геометрии способствует развитию умения доказывать, т.е. умения логически мыслить и рассуждать. Развитие логического мышления происходит в ходе изучения приводимых в учебниках и учителем доказательств теорем, при решении задач. Что значит доказать теорему, что такое доказательство? Доказательство в широком смысле - это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений. В математике недопустимо ссылаться, например, на очевидные отношения , иллюстрируемые чертежом. Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.

Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т.д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемою теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.

Процесс доказательства - сложный процесс мышления, и он формируется лишь постепенно, от простых к более сложным структурам. Следовательно, обучение доказательству представляет собой сложную систему, структура которой обусловлена многочисленными связями между различными ее составляющими.

К 13 - 14 годам мозг школьника становится способным овладеть абстрактным, обоснованным, рассуждающим мышлением. Развитие доказательного мышления, отмечает П. П. Блонский, проходит две стадии. В подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их: в этом возрасте доказывание скорее дело памяти. В юношеском же возрасте уже заметно выступают критическое мышление к даваемым доказательствам и стремление к своим доказательствам. Все вышесказанное приводит к выводу о необходимости исследования индивидуальных познавательных стратегий школьников при изучении и доказательстве теорем.

Над этой проблемой я работаю первый год.Сначала я определила цель, задачи и гипотезу исследования.

Цель: выявить и развить индивидуальные стратегии изучения и доказательства теоремы в 8 классе.

Задачи:

1. Выявить индивидуальные стратегии изучения и доказательства теорем на основе вопросника (с элементами листа анализа).

2. Развить индивидуальные стратегии учащихся через обсуждение полученных результатов, создание банка успешных действий при выполнении изучения и доказательства теорем.

3. Разработать советы по успешному изучению теорем по геометрии.

4. Проанализировать результаты освоения учащимися теорем до и после применения технологии ЦРПС, разработать и апробировать памятку успешной деятельности учеников.

Гипотеза: осмысление учащимися собственных действий при изучении теорем позволит развить навыки доказательстваирешения задач по геометрии, достичь более высоких результатов обучения.

Школьные учебники геометрии показывают готовое доказательство теорем, но не обучают самому процессу доказательства. Учащиеся нередко испытывают трудности в усвоении теорем и воспроизведении их доказательств. Хорошо известен страх многих учащихся перед словом «теорема». Преодолеть его помогает целенаправленная работа в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина. Чтобы обеспечить усвоение теорем, их доказательств и научить самостоятельно решать задачи по геометрии, в соответствии с этой теорией необходимо организовать самостоятельную деятельность учащихся. Необходимо научить учащихся доказывать теорему самостоятельно.

Под обучением доказательству надо понимать обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию фактов, поиску других путей доказательств, а также опровержению выдвинутых предложений.

Свой эксперимент я начала с вопроса, на который получила неожиданный ответ.

На первом этапе учащимся было предложено описать действия, которые они совершают при знакомстве и доказательстве теоремы. В результате были получены следующие варианты:

1. Читаю по учебнику теорему.

2. Учу.

3. В классе доказываю теорему.

Учу, как стихотворение. Когда рассказываю, то боюсь сбиться.

. ***

1.Учу по учебнику теорему.

2. Кратко записываю для себя доказательство.

3. Доказываю теорему, используя записи.

4. Рассказываю доказательство маме.

5. В классе доказываю теорему учителю.

После анализа индивидуальных стратегий я поняла, почему ребятам сложно доказать теорему. Это происходит потому, что они в принципе не понимают, что значит « выучить теорему». Далее, я выявила причины затруднений. Это и плохое качество знаний, неумение их применять, неосознанность умственных операций, неумение устанавливать связи между логическими шагами, слабая мотивация и т.д. Реализация требования «доказать теорему» предполагает ряд действий. Без овладения этими действиями в мышлении ученика не возникнет ассоциаций, которые позволили бы ему продвигаться в доказательстве теорем. К числу таких мыслительных операций относятся: выделить условие и заключение теоремы, зафиксировать их словесно и графически, разбить доказательство на части, каждую из которых проанализировать, сделать выводы и двигаться дальше. Следовательно, необходимо сформировать у учащихся в мышлении нужные для осуществления доказательства действия.

При изучении теоремы« Первый признак подобия треугольников», я составила для учащихся вопросник. Эти вопросы заставили задуматься над содержанием теоремы, над этапами доказательства, вызвав при этом в мышлении учащихся нужные ассоциации.

Вопросник.

1. С какого действия начали знакомство с теоремой?

2. Как вы понимаете, что это теорема?

3. Что мотивирует вас на изучение доказательства теоремы?

4. Сколько раз прочитали теорему?

5. Что дано?

6. Что надо доказать?

7. Поможет ли чертеж при доказательстве теоремы?

8. С чего вы начали изучать доказательство теоремы?

9. Можно ли доказательство теоремы разбить на части?

10. Знание каких фактов ,теорем, определений вам пригодилось?

11. Что вам мешало при доказательстве теоремы?

12. А что помогало доказать теорему?

13. Как вы поняли, что теорема доказана?

14. Какое открытие вы для себя сделали?

15. Вы довольны? Что вы при этом испытываете?

16. Какие советы вы могли бы дать тем ,кому предстоит изучать теорему?

Вот некоторые из ответов на данные вопросы.

Юля:

1. Открыла учебник, нашла теорему, познакомилась зрительно.

2. Прочитала.

3. Стала изучать, т. К. мне интересно.

4. 2 раза прочла теорему.

5. Дан первый признак подобия треугольников.

6. Что, если 2 угла одного треугольника равны 2 соответственным углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

7. Да.

8. С текста.

9. Да.

10. Да.

11. Несосредоточенность, много новых слов.

12. Чертеж.

13. Когда поняла о чем теорема , посмотрела доказательство.

14. -----------

Антон:

1. С открытия учебника.

2. Там написано, что это теорема.

3. Знание теоремы и оценка.

4. 2 раза.

5. Два треугольника.

6. Подобие треугольников.

7. Да.

8. С прочтения.

9. Да.

10. Теорема об отношении площадей подобных треугольников.

11. Незнание некоторых нужных фактов.

12. Помогла память.

13. В учебнике написано, что теорема доказана.

14. Я узнал новую теорему.

15. Да, я доволен.

16. Быть внимательным.

Алина:

1. Я ищу нужную мне теорему в учебнике, читаю ее, пытаюсь вникнуть в текст.

2. Я понимаю, что это теорема, т. к. к правилу дано доказательство этого факта.

3. Умение и понимание решения задач.

4. Я перечитываю теорему, пока не запомню ее, раза 4 -6.

5. Даны 2 треугольника, обозначены равные углы.

6. Подобие этих двух треугольников.

7. Чертеж поможет мне лучше понять, что нужно доказать и разобраться с условием.

8. Сначала я прочитаю все доказательство, потом сделаю чертеж и , внимательно вчитываясь, начну разбирать доказательство.

9. Что дано - подход к решению проблемы - доказательство - вывод.

10. Мне помогла с доказательством теорема о сумме углов треугольника, определение подобных треугольников, теорема об отношении площадей подобных треугольников.

11. Ничего не мешало.

12. Знание определения о подобных треугольниках, знание других теорем и фактов.

13. Дан вывод, и когда мы получили то, что нужно было доказать, заканчиваю словами «теорема доказана».

14. Я открыла для себя новый признак подобия треугольников и впервые сама смогла разобрать доказательство новой теоремы.

15. Учите теорему в тишине, вникая в текст. Сначала выучите формулировку теоремы, вспомните материал, который может помочь при доказательстве.

Виктория:

1. Открыла учебник, нашла нужную мне теорему, прочитала ее, стараясь запомнить ее.

2. Это предложение, которое надо доказать.

3. Меня мотивирует: а) получение хорошей оценки, т. к. это очень важно моим родителям и моему будущему; б) Изучение теорем развивает логическое мышление, а логика нужна при решении задач по геометрии. Значит, изучая теоремы, я учусь решать задачи.

4. Нужно прочитать теорему столько раз, чтобы ее формулировка отложилась в памяти. Я прочитала ее 8 раз.

5. Дано: 2 треугольника, равные углы в них.

6. Надо доказать, что два треугольника подобны.

7. Да. Чертеж мне очень помогает при доказательстве теорем и решении задач . Иногда чертеж подсказывает решение задачи.

8. Я прочитала несколько раз доказательство теоремы по учебнику, кратко записала его в тетрадь, а затем попыталась устно повторить теорему и доказательство.

9. Можно, на 2 части.

10. Мне пригодились знания, которые были получены мною ранее, даже из 7 класса.

11. Мне ничего не мешало. Главное знать, зачем все это надо.

12. В доказательстве теоремы мне помог учебник и огромное желание знать то, что еще мне не ведомо.

13. Логически определила, что доказывать больше нечего.

14. Сама теорема для меня уже открытие, я же не знала этого свойства раньше.

15. Довольна, что смогла доказать теорему, чувство удовлетворения, чувство гордости, что я все поняла.

16. Внимательно прочитай теорему и доказательство, попытайся понять их, прочитай несколько раз, докажи теорему кому-нибудь или зеркалу, я бы посоветовала иметь этот вопросник перед собой - помогает.

Используя этот вопросник ребята сами доказывали теорему. Для учеников данная работа была необычной, интересной и трудной. Мы рассмотрели и обобщили все ответы, отметив их разнообразие, выявили наиболее рациональные действия при выполнении данной работы. На следующий урок все опрошенные учащиеся смогли доказать теорему на положительные отметки.

Далее мы с учениками обсудили стратегии изучения и доказательства теоремы, выявили общие и различные закономерности их действий, создали банк успешных действий, назвав итоговую работу «Мои шаги».

Второй признак подобия треугольников ребята доказали сами, используя перечень «Мои шаги». А вот при изучении третьего признакаподобия (этот урок записан на видео, а конспект урока приведен ниже),мы смогли составить памятку доказательства теоремы, которую успешно применяли при доказательстве других теорем как в этом классе так и в другом классе данной параллели.

Памятка.

При изучении и доказательстве теорем надо:

1. Внимательно прочитать теорему.

2. Заменить термины в теореме определениями понятий, которые они обозначают или их признаками.

3. Развести элементы условия и заключения словами «дано» и «доказать».

4. Записать все известные величины в графу «Дано».

5. В графу «Доказательство» записать, что необходимо доказать.

6. Сделать четкий и аккуратный чертеж. Отметить на нем латинскими буквами то, что изначально известно.

7. Еще раз прочитать теорему, понимая значение каждого слова в ней, запомнить ее формулировку.

8. Прочитать полностью текст доказательства, знакомясь с приемами доказательства.

9. Разбить теорему на части.

10. Повторно читать доказательство, кратко записывая его шаги.

11. Доказать каждую часть по отдельности.

12. Закончить доказательство выводом «следовательно, первоначальное утверждение верно, теорема доказана».

13. Закрой учебник, докажи кому-нибудь теорему, попробуй.

Положив памятку перед собой, теперь любой ребенок может самостоятельно разобраться с теоремой и доказать ее. Эта памятка помогает извлекать информацию из условия теоремы, вычленять отдельные элементы, комбинировать их, делать самостоятельные выводы, формировать требования каждого этапа доказательства, в процессе работы оценивать свои знания, ликвидировать «пробелы». Не меньший интерес наша работа вызвала у моих коллег - математиков.

Использование технологии ЦРПС позволило добиться положительной динамики в изучении и доказательстве теорем в геометрии. Теперь все ученики 8 класса понимают, что означают слова учителя «выучить теорему». Ребят стала привлекать самостоятельная познавательная деятельность, у них изменилась мотивация, появилась уверенность в себе и собственных силах, возникло ответственное отношение к собственной деятельности. Вот одна из стратегий успешного изучения и доказательства теоремы после знакомства с основными принципами ЦРПС:

Саша:

1. Внимательно читаю теорему по учебнику.

2. Вчитываюсь в каждое слово, отмечая новые термины, словосочетания.

3. Читаю доказательство.

4. Определяюсь, понятно ли мне все.

5. Если что-то непонятно, вновь читаю, обращая внимание на каждое слово.

6. Если все понятно, то выясняю и записываю, что дано и что надо доказать.

7. Делаю чертеж, соответствующий условию теоремы с указанием всех данных.

8. Перечитываю вновь внимательно доказательство.

9. Стараюсь поделить доказательство на логические части.

10. Доказываю теорему по частям, делая необходимые выводы.

11. Еще раз читаю теорему.

12. Закрыв учебник, используя чертеж, доказываю теорему.

13. Все, теорему выучил и доказал!

14. Теперь постараюсь применить знания, полученные в ходе изучения теоремы.

Проведенные наблюдения, анализ стратегий, беседы с учащимися позволили определить и перспективы работы - необходимость исследования стратегии эвристического доказательства теорем, доказательства методом «от противного».

Разработка урока

Предмет: геометрия.

Учитель: Петрова Елена Владимировна

Класс: 8 «г»

Тема урока: третий признак подобия треугольников.

Цель урока: составить памятку по изучению и доказательству теорем, апробировать ее при изучении третьего признака подобия треугольников.

Задачи урока, сформулированные на деятельностной основе:

-воспитательная: развитие мотивации для изучения геометрии; формирование уважительного отношения к иному мнению, к иной точке зрения; развитие самостоятельности в решении личностных проблем.

-учебная: Составить памятку, способствующую успешному изучению и доказательству теорем, применить ее для самостоятельного изучения

третьего признака подобия треугольников.

- развивающая: формировать умение анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать, систематизировать, объяснять понятия и доказывать их.

Содержание урока

Этап

Название этапа

Задачи

Деятельность учителя (методы и приёмы обучения)

Деятельность ученика (формы организации УПД)

Ожидаемый результат (знания, умения, способы деятельности)

1.

Мотивирование к учебной деятельности

Создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность

У меня есть два треугольника. Стороны одного из них 3 см, 5см и 4 см, а другого 12 см, 20 см и 16 см. Как выяснить, подобны ли эти треугольники?

Проанализировать ситуацию, потытаться решить проблему.

Ученики задумаются над решением этой задачи, но решить не смогут.

2.

Выявление места и причины затруднения.

Выяснить причины: почему мы не можем ответить на поставленный вопрос?

Организовать деятельность учеников так, чтобы подвести их к причине затруднения.

В процессе обсуждения ученики выясняют, что им мешает решить эту задачу, а что могло бы помочь выйти из затруднительного положения.

Ученики осознают, что для решения проблемы, у них недостаточно знаний

3.

Построение проекта выхода из затруднения.

Помочь ученикам найти выход из ситуации

Учитель помогает в постановке цели с помощью подводящего диалога, побуждения к действию.

Учащиеся ставят цели и выбирают способ для достижения цели - изучить еще один признак подобия треугольников.

Проанализировав ситуацию, приходим к выводу о необходимости создания памятки по изучению и доказательству теорем.

4.

Реализация намеченного плана

Создать универсальную памятку.

Учитель руководит процессом

Учащиеся составляют индивидуально свою памятку на основе «мои шаги», выявленных на предыдущих уроках, чтоб успешно изучить теорему; а затем в процессе обсуждения создаем универсальную памятку.

Создание памятки для успешного доказательства лябой теоремы по учебнику.

5.

Реализация построенного проекта.

Разобрать по учебнику третий признак подобия треугольников.

Учитель руководит процессом

Ученики по учебнику разбирают новую для нх теорему и с помощью памятки описывают ее доказательство в тетрадь.

Теорема разобрана и ее доказательство записано в тетрадь.

6.

Первичное закрепление с программированием во внешней речи

Выяснить все непонятные моменты в теореме

Учитель помогает учащимся, фиксируя преодоление возникших затруднений.

Соотносят записи в тетради с планом доказательства, выясняют возникшие вопросы и делают выводы.

.Проанализировать проделанную работу и устно разобрать доказательство

7.

Включение в систему знаний и повторение.

Доказать третий признак подобия треугольников.

Учитель предлагает , используя составленную памятку, доказать теорему у доски.

Ученики по своему желанию доказывают теорему у доски.

Кто-то из ребят сможет ответить у доски.

8.

Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Фиксирует степень достижения цели.

Ученики понимают, что теперь и эта задача решаема, т.е. поднимается самооценка ученика.

Ученикам понравится такой вид деятельности и они поймут, что именно такой подход к изучению и доказательству теоремы наиболее эффективен.