Методическая разработка практического занятия по учебной дисциплине Математика на тему Решение примеров на нахождение пределов и производных

СПб ГБОУ СПО «Медицинский колледж имени В.М. Бехтерева»

Методическая разработка практического занятия

по учебной дисциплине Математика

на тему Решение примеров на нахождение пределов и производных

по специальности 060501 Сестринское дело

Санкт - Петербург

2012 г.

Содержание

Пояснительная записка 3

1. Обоснование темы. 3

2. Цель и задачи. 4

3. Материально-техническое и методическое оснащение занятия: 5

4. Схемы интегрированных связей. 5

5. Граф логической структуры ведения занятия: 6

6. План занятия: 7

7. Этапы планирования занятия 8

8. Карта самоподготовки студентов к занятию по теме «Способы расчета питаиия» 10

9. Карта самоподготовки студентов к занятию по теме «Решение примеров на нахождение пределов и производных» 11

11

11

10. Термины 12

11. Литература 12

Приложение 1 13

Задание на самостоятельную работу 13

Приложение 2 14

Критерии оценки знаний студентов 14

Приложение 3 15

Приложение 4 15

Материал для работы студентов на занятии 16

Приложение 5 17

Конспект занятия 17

I.Проверка домашнего задания 17

II.Постановка цели урока 17

II. Актуализация опорных знаний 17

III. Решение примеров 18

IV. Самостоятельная работа 21

Три варианта заданий одинакового уровня. 21

V. Домашнее задание 21

VI. Подведение итогов урока 22

Пояснительная записка

Методическая разработка составлена в соответствии с государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности 060501.

Данная методическая разработка создана с целью продемонстрировать степень усвоения начинающим педагогом общих методических положений организации учебного процесса.

Основная проблема преподавания математики гуманитариям - показать учащимся, что решение задач из разделов высшей математики не представляет особой сложности даже при минимальных базовых знаниях элементарной математики, школьной алгебры и математического анализа.

1. Обоснование темы.

Математи́ческий ана́лиз - совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений.

Предел фу́нкции - одно из основных понятий математического анализа.

Современная медицинская сестра должна анализировать и систематизировать всю получаемую о пациенте и находить различные варианты решения проблем в зависимости от заболевания пациента, половозрастных особенностей и представлять информацию об этом в понятном для пациента виде. Овладения основными приемами решения различных математических задач способствует формированию способности выбирать типовые методы и способы выполнения задач, способности к организации собственной деятельности, способности принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

а. Тип занятия: Практическое занятие.

По основной дидактической цели - это урок формирования практических умений необходимых в последующей учебной деятельности на занятиях математики.

б. Место проведения занятия по календарно-тематическому плану.

По тематическому планированию учебного материала на изучение темы «Решение примеров на нахождение пределов и производных» отводится 2 часа

в. Время и место проведения занятия.

г. Метод обучения: репродуктивный

2. Цель и задачи.

а. Цель:

формирования умений применять полученные теоретические знания по теме «Пределы» на практике.

б. Задачи:

Дидактические:

• Способствовать формированию знаний о разных способах нахождения пределов функций, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ

Развивающие:

• Способствовать развитию умений наблюдать, сравнивать, применять знания в новой ситуации, выявлять закономерности, обобщать

• способствовать развитию навыков самостоятельной работы, самопроверки, самоконтроля;

Воспитательные:

• способствовать формированию общих компетенций, таких как способность выбирать типовые методы и способы выполнения задач, способность к организации собственной деятельности, способность принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность(ОК 2, ОК 3, ОК 4, ОК 8)

• воспитывать познавательный интерес к математике;

• способствовать формированию профессиональных качеств, таких как аккуратность, внимательность, организованность(ОК 8) при подготовке к занятию и при ведении конспекта, представлять информацию понятном виде(ПК 2.1).

в. Уровень подготовки:

После занятия студенты должны иметь опыт нахождения пределов функций, раскрытия неопределенностей вида 0/0, ∞/∞, 1^∞.

Студенты должны уметь:

• найти предел функций,используя свойства пределов, а также применяя замечательные пределы,

• раскрыть неопределенность вида 0/0

• раскрыть неопределенность вида ∞/∞

• раскрыть неопределенность вида 1^∞.

• применять правило Лопиталя к раскрытию неопределенностей вида 0/0, ∞/∞.

Студенты должны знать:

• определение и свойства пределов функций

• способы нахождения пределов функций

г. Контролирующая программа занятия:

• Предварительный контроль - проверка домашнего задания, фронтальный опрос.

• Заключительный контроль - самостоятельная работа по вариантам.

3. Материально-техническое и методическое оснащение занятия:

№

п/п

Наименование

Необходимое количество,шт.

Имеется в наличии, шт.

1

Раздаточный материал

10

10

2

Карточки с заданием,

3 варианта

15

15

3

Доска, мел

1

1

4. Схемы интегрированных связей.

А. Межпредметные связи:

Б. Внутрипредметные связи

5

«Решение примеров на нахождение пределов и производных». Граф логической структуры ведения занятия:

Цель и задачи занятия

Предварительный контроль

Проверка домашнего задания

Устно по тетради

Фронтальный опрос: определение и свойства пределов

Решение примеров

Самостоятельная работа студентов

3 варианта

Заключительный контроль - оценки за самостоятельную работу

Итог занятия

Домашнее задание

Выставление оценок

6. План занятия:

1. Организационный момент (2 мин.)

2. Сообщение темы (1 мин.)

3. Цель и задачи занятия (2 мин)

4. Предварительный контроль (15 мин)

5. Решение примеров (35 мин)

6. Самостоятельная работа студентов (20 мин.)

7. Итог урока (10 мин.)

8. Домашнее задание. (5 мин.)

7. Этапы планирования занятия

№ п/п

Название этапа

Деятельность преподавателя

Деятельность студентов

Цель

Время

Оснащение

1

Организация занятия

проверяет готовность студентов к занятию

студенты должны иметь конспект

правильная организация занятия

2 мин

Тетради, раздаточный материал.

2

Формулировка темы занятия и ее обоснование

сообщает тему занятия

записываю тему

знать, какую тему изучают

1 мин

3

Определение цели занятия

сообщает цель занятия

получают представление о содержании занятия

знать, что надо изучать по данной теме

2 мин

4

Предварительный контроль знаний. Устная работа.

проверяет домашнее задание, вопросы аудитории по раннее изученному материалу

проверяют домашнее задание, исправляют ошибки, отвечают на вопросы преподавателя

определение уровня знаний студентов

15 мин

5

Решение примеров

Контроль за решением примеров

ведут конспект, делают зарисовки

Способствовать формированию навыка нахождения пределов знания

35 мин

Доска, мел, тетради

6

Самостоятельная работа. Упражнения

Дает задание для решения примеров на нахождение пределов различными методами

студенты в тетрадях решают пределы, предварительно определив метод решения

закрепление полученных знаний

20 мин

Карточки с заданием, тетради

7

Заключительный контроль. Обобщение и подведение итогов, оценка работы студентов

подводит итог занятия, комментирует работу студентов

выясняют сильные и слабые стороны работы

достижение цели занятия.

10 минут

8

Домашнее задание

задает домашнее задание

записывают домашнее задание

5 минут

8. Карта самоподготовки студентов к занятию по теме «Способы расчета питаиия»

Раздел темы

Литература

Установочная инструкция

Контрольные вопросы

Применение математических методов в профессиональной деятельности среднего медицинского персонала

Конспект

Тема: Способы расчета питания.

1. Прочитать конспект

2. При чтении обратить внимание на решение задач по расчету питания.

3. Решить задачу:

Рассчитать количество молока или смеси для ребенка

1. 3 месяцев,

2. 7 месяцев,

3. 6 месяцев,

4. 11 месяцев,

если масса при рождении равна

1. 2400гр

2. 3000гр

3. 2650гр

4. 3200гр

Какими способами может рассчитываться потребность ребенка в пище?

Как рассчитать количество пищи для ребенка в первые 10 дней жизни?

Как приблизительно рассчитать массу ребенка в возрасте до 1 года?

9. Карта самоподготовки студентов к занятию по теме «Решение примеров на нахождение пределов и производных»

Раздел темы

Литература

Установочная инструкция

Контрольные вопросы

Дифференциалы

Валуцэ И.И. и др. Математика для техникумов на базе средней школы: учебное пособие - М.: Наука, 2007.

1. Изучение материала

- прочитать cтр. 188-197

- обратить внимание на

Примеры 1-6.

- при необходимости: конспектирование стр. 188-197, 205-217

2. Ответить на контрольные вопросы

3. Решить примеры

Что такое предел?

Как найти предел функции в общем случае?

Как найти предел функции в случае неопределенности вида 0/0?

Как найти предел функции в случае неопределенности вида ∞/∞?

Первый замечательный предел.

Второй замечательный предел.

Когда можно применять правило Лопиталя?

10. Термины

Предел функции. Конечное число A называется пределом функции f(x) в точке x₀, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − x₀| < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству |f(x) − A| < ε. Для обозначения такого предела используют символику:

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность
типа или .

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

• Если и , то ;

• Если и , то аналогично .

11. Литература

Литература, рекомендованная для студентов:

основная:

Валуцэ И.И. и др. Математика для техникумов на базе средней школы: учебное пособие - М.: Наука, 2007.

дополнительная:

1. Баврин И.И. Высшая математика - М. : AcademiA, 2008.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2томах.- М.: Высшая школа , 2008.

Литература, рекомендованная для преподавателей:

1. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов. - М., 2007.

2. Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике для техникумов. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособ. - М.: Высшая школа, 2006.

Приложение 1

Задание на самостоятельную работу

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Ответы

Задание

Вариант 1*

Вариант 2

Вариант 3

1

2

1

-4

2

1/3

3

0

3

2

0

1/4

4

4/9

1/4

5/3

5

3/8

5/3

1/3

6

17*

/3*

7/π

7

1/4

-2

1/16

8

1

-1/2

*

9

10

Приложение 2

Критерии оценки знаний студентов

Выполнение заданий самостоятельной работы

Отметка «5» ставится, если:

1. работа выполнена полностью - 100%;

2. в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробе лов и ошибок;

3. в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

1. работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

2. допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

3. Работа выполнена не полностью - 80%, но в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок.

Отметка «3» ставится, если:

1. допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

2. Работа выполнена не полностью - решено 50-70 % заданий, но в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок.

Отметка «2» ставится, если:

1. допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере

2. работа не выполнена полностью - решено менее 50% заданий, но но в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок

Приложение 3

Критерии освоения компетенций

Код компетенции

Элемент компетенции

Формирование элементов компетенции на занятии

ОК 2

способность выбирать типовые методы и способы выполнения задач

Студенты применяют типовые методы решения задач на нахождение пределов и производных

ОК 3

способность к организации собственной деятельности

Студенты работают на занятии, отвечают на вопросы, задают вопросы, ведут конспекты, используют в работе конспекты, используют литературу на занятии и при подготовке к занятию

ОК 4

способность принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность

Студенты применяют различные методы нахождения пределов в зависимости от вида примера, способны пояснить, почему используют тот или иной метод решения примера.

ПК 2.1, ОК 8

Формирование профессиональных качеств, таких как аккуратность, внимательность, организованность

Студенты ведут конспекты, решают задания самостоятельной работы, при этом используют общепринятое и понятное представление информации

Приложение 4

Материал для работы студентов на занятии

ПРЕДЕЛЫ

Цель: закрепить практические приемы вычисления предела функции, раскрытие неопределенностей , (1^∞)

Конечное число A называется пределом функции f(x) в точке x₀, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − x₀| < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству |f(x) − A| < ε.

Для обозначения такого предела используют символику:

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

При решении задач полезно помнить следующие основные свойства пределов функций:

1. Если функция имеет конечный предел, то он единственный.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела
   

3. Предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их пределов, если оба предела являются конечными
   

4. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если оба предела являются конечными
   

5. Предел отношения функций равен отношению их пределов, если оба предела являются конечными и знаменатель не обращается в нуль
   

Используются также следующие пределы

Первый замечательный предел: Второй замечательный предел:

Найти пределы

Приложение 5

Конспект занятия

1. Проверка домашнего задания

Рассчитать количество молока или смеси для ребенка

1. 3 месяцев,

2. 7 месяцев,

3. 6 месяцев,

4. 11 месяцев,

если масса при рождении равна

1. 2400гр

2. 3000гр

3. 2650гр

4. 3200гр.

Какими способами может рассчитываться потребность ребенка в пище?

Как рассчитать количество пищи для ребенка в первые 10 дней жизни?

Как приблизительно рассчитать массу ребенка в возрасте до 1 года?

2. Постановка цели урока

Цель: закрепить и усовершенствовать практические приемы вычисления предела функции, раскрытие неопределенностей , раскрытие других видов неопределённости; вычисление предела многочлена и отношения многочленов (при x → 0, x → x₀).

В тетради записать тему занятия: Решение примеров на нахождение пределов и производных

II. Актуализация опорных знаний

Теоретический материал, примеры вычисления пределов

Вопросы студентам - проверка усвоения материала лекции.

Что такое предел функции?

Как найти предел функции в общем случае?

Свойства пределов.

Как найти предел функции в случае неопределенности вида 0/0?

Как найти предел функции в случае неопределенности вида ∞/∞?

Когда можно применять правило Лопиталя?

Конечное число A называется пределом функции f(x) в точке x₀, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − x₀| < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству |f(x) − A| < ε. Для обозначения такого предела используют символику:

При решении задач полезно помнить следующие основные свойства пределов функций:

6. Если функция имеет конечный предел, то он единственный.

7. Постоянный множитель можно выносить за знак предела
   

8. Предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их пределов, если оба предела являются конечными
   

9. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если оба предела являются конечными
   

10. Предел отношения функций равен отношению их пределов, если оба предела являются конечными и знаменатель не обращается в нуль
    

III. Решение примеров

Вычисление несложных пределов

1. Найти предел функции

Решение:

Имеем неопределенность вида

Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель x + 2, который при x → -2 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

2. Найти предел функции

Решение:

Имеем неопределенность вида

Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.

или

3. Найти предел функции

Решение:

Имеем неопределенность вида

Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2.

4. Найти предел функции

Решение:

Имеем неопределенность вида

Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2.

5. Найти предел функции

Решение:

В данном случае имеем неопределённость вида

Для её раскрытия можно использовать свойство, что существенно упростит вычисление предела, в отличии от примеров 2,3,4, хотя их можно тоже вычислить, используя данное свойство.

Пусть дана дробно-рациональная функция

,

где P(x) и Q(x) некоторые многочлены. Тогда:

1. Если степень многочлена P(x) больше степени многочлена Q(x), то
   

2. Если степень многочлена P(x) меньше степени многочлена Q(x), то
   

3. Если степень многочлена P(x) равна степени многочлена Q(x), то
   ,
   где p, q числовые коэффициенты при наивысших степенях x в данных многочленах.

В данном случае степени числителя и знаменателя равны двум, поэтому

6. Найти предел функции

Решение:

В данном случае снова имеем неопределённость вида

Для её раскрытия используем то же известное свойство, что и в предыдущем случае. Степень числителя равна двум, а степень знаменателя - трём. Поэтому

7. Найти предел функции

Решение:

Имеем неопределенность вида

Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение, стоящее в знаменателе, на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель x - 4, который при x → 4 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

8. Найти предел функции

Решение:

Имеем неопределенность вида

Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом

9. Найти предел функции

Решение:

В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется.

Имеем

, тогда

IV. Самостоятельная работа

Три варианта заданий одинакового уровня.

V. Домашнее задание

VI. Подведение итогов урока