Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов

Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Тульской области

«Алексинский машиностроительный техникум»

Формулы и свойства

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмовлогарифмов


Разработан

преподавателем

математики

Христофоровой М.Ю.


Определение

Логарифмом числа b по основанию α (loqαb) называется такое число c, что b = αc, то есть записи loqαb = c и b = αc равносильны.

Логарифм числа b по основанию α определяется как показатель степени, в которую надо возвести число α, чтобы получить число b.

Логарифм в переводе с греческого буквально означает "число, изменяющее отношение".

Обозначение логарифма: loqαb

Произносится: «логарифм b по основанию α».

Логарифм имеет смысл, если α >0, α ≠1, b >0.

Правило о знаке логарифма:

- если основание α логарифма и число b расположены на числовой оси по одну сторону от 1, то loqαb положителен.

- если основание α логарифма и число b расположены на числовой оси по разные стороны от 1, то loqαb отрицателен.

Логарифм существует только у положительных чисел.

Вычисление логарифма называется логарифмированием.

Числа α , b чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов

Специальные обозначения:

  1. Натуральный логарифм ln α - логарифм по основанию e, где e - число Эйлера.

  2. Десятичный логарифм lq α - логарифм по основанию 10.

Производная логарифмической функции равна:

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям:


Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов

Свойства логарифмов:

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов - основное логарифмическое тождество.

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю, т.к. из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов - логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов - логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов - логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов - переход к новому основанию.

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов

Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов на Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов

Ещё одно полезное тождество:

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов.

Она определена при Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов.

Область значений: Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов.

Эта кривая часто называется логарифмикой.

Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, бо́льшими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов

Функция является строго возрастающей при Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов и строго убывающей при Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов.

График любой логарифмической функции проходит через точку Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов. Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет.

Ось ординат (Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов) является левой вертикальной асимптотой

Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для показательной функции Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов, поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок).

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов

Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмовПособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов

© 2010-2022