- Преподавателю
- Математика
- Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов
Пособие для обучающихся Формулы и свойства логарифмов
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Христофорова М.Ю. |
Дата | 06.10.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Государственное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Тульской области
«Алексинский машиностроительный техникум»
Формулы и свойства
логарифмов
Разработан
преподавателем
математики
Христофоровой М.Ю.
Определение
Логарифмом числа b по основанию α (loqαb) называется такое число c, что b = αc, то есть записи loqαb = c и b = αc равносильны.
Логарифм числа b по основанию α определяется как показатель степени, в которую надо возвести число α, чтобы получить число b.
Логарифм в переводе с греческого буквально означает "число, изменяющее отношение".
Обозначение логарифма: loqαb
Произносится: «логарифм b по основанию α».
Логарифм имеет смысл, если α >0, α ≠1, b >0.
Правило о знаке логарифма:
- если основание α логарифма и число b расположены на числовой оси по одну сторону от 1, то loqαb положителен.
- если основание α логарифма и число b расположены на числовой оси по разные стороны от 1, то loqαb отрицателен.
Логарифм существует только у положительных чисел.
Вычисление логарифма называется логарифмированием.
Числа α , b чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов
Специальные обозначения:
-
Натуральный логарифм ln α - логарифм по основанию e, где e - число Эйлера.
-
Десятичный логарифм lq α - логарифм по основанию 10.
Производная логарифмической функции равна:
Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям:
Свойства логарифмов:
1° - основное логарифмическое тождество.
2°
3°
Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю, т.к. из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.
4° - логарифм произведения.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
5° - логарифм частного.
Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.
6° - логарифм степени.
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.
7°
8°
9° - переход к новому основанию.
Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:
Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание на по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:
Ещё одно полезное тождество:
Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию .
Она определена при .
Область значений: .
Эта кривая часто называется логарифмикой.
Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, бо́льшими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси ; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.
Функция является строго возрастающей при и строго убывающей при .
График любой логарифмической функции проходит через точку . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.
Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет.
Ось ординат () является левой вертикальной асимптотой
Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для показательной функции , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок).
Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.