Урок на тему: Решение задач на арифметическую и геометрическую прогрессию

Урок № __ класс 9 предмет алгебра дата 23.12.2014

Тема урока: "Решение задач на арифметическую и геометрическую прогрессию"

Цели:

1. Обучающая - формирование и развитие специальных и общеучебных умений; закрепление навыков решения задач по нахождению суммы n первых членов геометрической прогрессии;

2. Развивающая - развивать познавательные процессы, память, воображение, мышление, сообразительность, речь учащихся;

3. Воспитывающая - повысить интерес к решению нестандартных задач, сформировать положительный мотив учения.

Тип урока: урок обобщения и систематизации ЗУН

Вид урока: урок практических работ

Формы работы на уроке: индивидуальная, парная, групповая

Оборудование: интерактивная доска, карточки с заданиями, слайды с презентацией

Прогнозируемый результат:

знать: формулы арифметической и геометрической прогрессии

уметь: применять полученные знания при решении стандартных и нестандартных задач

Ход урока

1. Организационный момент (4 мин.)

Цель: проверить готовность учащихся к уроку (рабочее место, классная доска, необходимое оборудование).

Психологический настрой учащихся «Дерево».

Разделение учащихся по группам «Пазл»(3 группы)

2. Сообщение темы и целей урока (1 мин.)

Учитель: ребята, сегодня мы продолжаем изучать геометрическую прогрессию и тема сегодняшнего урока: «Решение задач».

3. Актуализация знаний учащихся ( 14 мин.)

Цель: повторение теоретического материала, подготовка учащихся к работе на уроке

1) Каждому из учеников дается следующее задание: Заполнить таблицу.

Данная стадия дает целостное осмысление, обобщение полученной информации. (Заполненная таблица показывается на слайде)

Форма работы: индивидуальная (3 мин)

Формула n-го члена

Изменение последующего

члена по отношению к

предыдущему происходит

на или в

Как это число найти

Как называется это число

Формула суммы

n- первых членов

на

разность

или

в

знаменатель

2) Распределите последовательности, определив какая из них является арифметической , а какая геометрической. Указав значение знаменателя и разности в прогрессиях

Форма работы: парная (3 мин)

1. 1; 5; 25; 125;…;

2. 1; 6; 11; 16;…;

3. 4; 7; 10; 13;…;

4. 3; 9; 27; 81;…

5. 55; 45; 35; ...

6. 1000; 100; 10; ....

3) «Я сам» (Марафон) Выполнить задание(8 мин)

Каждый ученик решает самостоятельно, и каждый ученик решает одно задание у доски (заранее разрезать таблицу и каждому ученику раздать по одному заданию)

Таблица

№1. В арифметической прогрессии : -10;-7;-4;-1;… .Найти .

№2. Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если .

№3. Найдите сумму семи первых членов арифметической прогрессии 10;6;2;… .

№4. В геометрической прогрессии

№5. В геометрической прогрессии

4. Осознанное применение умений и навыков вычислительной деятельности учащихся при решении стандартных и нестандартных задач. (9 мин.)

Форма организации: групповая

1. (Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на пятые сутки? (256; 128;64; 32; 16;…)

2. (Экономика) Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000 €? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;1215,5025;…)

3 (Биология) Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (1; 3; 9; 27; 81;…)

4. (Биология) Отдыхающий, следуя совету врача. В первый день загорал 5 минут. А в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 минут. В какой день время пребывания на солнце будет равно 40 минут?

ТЕСТ (8 мин)

Вариант 1.

1. В геометрической прогрессии b₁; b₂; 4; 8;…. Найди b₁.

1) - 4;

2) 1;

3) 1/4;

4) 1/8;

5) - 1.

2. (b_n) - геометрическая прогрессия. Найди b₆ , если b₁ = 4; q = 1/2

1)- 1/8;

2) 1,25;

3) 1/8;

4)12,5;

5) - 1,25.

3. Найди S₄ , (b_n) - геометрическая прогрессия и b₁ = 1, q = 3.

1) 81;

2) 40;

3) 80;

4) -80;

5) - 40.

4. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если b₁₀ = 10, а b₁₂ = 40?

   1. 2;

   2. 2 и -2;

   3. 4;

   4. 15;

   5. 10.

5. В геометрической прогрессии (b_n) найдите b₅, если b₃ = 8 + 2, а b₄ = 1 + .

1. 7 + ;

2. 1;

3. 2;

4. 3;

5. -1.

Код ответов 23222

Вариант 2.

1. В геометрической прогрессии b₁; b₂; 3; 9;…. Найди b₁.

1. 5;

2. 1;

3. -1/4;

4. 1/3;

5. - 1.

2. (b_n) - геометрическая прогрессия. Найди b₆ , если b₁ = 5 q = 1/5

1)- 1/25;

2) 1,25;

3) 1/625;

4)12,5;

5) - 6,25.

3. Найди S₄ , (b_n) - геометрическая прогрессия и b₁ = 1, q = 5.

   1. 81;

   2. 156;

   3. 80;

   4. 60;

   5. - 40.

4. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если b₅ = 6, а b₈ = 48?

1) 2 и -2;

2) 8;

3) 2;

4) 4;

5) 10.

5. В геометрической прогрессии (c_n) найдите c₆, если c₄ = 3 + 2, а c₅ = 1 + .

1. 2 + ;

2. 1;

3. 2;

4. 3;

5. -1.

Код ответов 43232

5. Дополнительный исторический материал. (3 мин.)

Цель: расширить кругозор учащихся; показать исторические корни возникновения понятия геометрической прогрессии.

Сообщение учащегося:

Индийский принц Сирам предложил изобретателю шахматной игры просить у него награду, какую захочет. Тот попросил, чтобы ему дали за первый квадрат шахматной доски 1 рисовое зерно, за второй квадрат 2 зерна, за третий квадрат 4 зерна и т. д., увеличивая число зерен вдвое за каждый следующий квадрат. Принц согласился. Но когда подсчитали количество риса, которое следует выдать за все 64 квадрата шахматной доски, то оказалось, что награда в таком размере не может быть выдана по недостатку риса. Оказывается, когда точно подсчитали общее количество зерен риса, то их получилось 18 446 744 073 709 551 615. В этой задаче речь идет о геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 2. Необходимо найти сумму 64 первых членов геометрической прогрессии.

Такое количество зерен можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли.

Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах».Отметим также, что Архимед знал, что такое геометрическая прогрессия, и умел вычислять сумму любого числа ее членов. Правило нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского.

Цель: проверить и оценить знания учащихся по данной теме.

6. Домашнее задание. (3 мин.)

Уровень 1.

1. Найдите сумму первых 5 членов геометрической прогрессии: 2; 4; …

2. b₁ = -4, q = 2. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии.

Уровень 2.

1. b₁ = 8, q = 1/2. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии.

2. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии: 3; - 6; ….

Уровень 3.

1. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если b₁ = 36, q = -2.

2. Докажите, что последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, и найдите сумму n первых ее членов, если b_n = 3*2^n-1.

3. Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (b_n), в которой: b₂ = 6, b₄ = 24, q > 0.

7. Подведение итогов (3 мин). Рефлексия "Сказочное дерево"

Плод - урок прошел очень интересно, я работал с удовольствием

Цветок - урок прошел хорошо, но были затруднения с решением задач

Зеленый листок- урок прошел хорошо, но у меня остались вопросы по применению формул

Желтый листок - мне было не интересно на уроке

Формула n-го члена

Изменение последующего

члена по отношению к

предыдущему происходит

на или в

Как это число найти

Как называется это число

Формула суммы

n- первых членов

Арифметическая

прогрессия

Геометрическая

прогрессия

Ф.И.О. учащегося:__________________________________________________

Формула n-го члена

Изменение последующего

члена по отношению к

предыдущему происходит

на или в

Как это число найти

Как называется это число

Формула суммы

n- первых членов

Арифметическая

прогрессия

Геометрическая

прогрессия

Ф.И.О. учащегося:__________________________________________________

№1 В арифметической прогрессии : -10;-7;-4;-1;… .Найти .

№2 Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если .

№3 Найдите сумму семи первых членов арифметической прогрессии 10;6;2;… .

№4 В геометрической прогрессии

№ 5 В геометрической прогрессии

№1 В арифметической прогрессии : -10;-7;-4;-1;… .Найти .

№2 Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если .

№3 Найдите сумму семи первых членов арифметической прогрессии 10;6;2;… .

№4 В геометрической прогрессии

№ 5 В геометрической прогрессии

№1 В арифметической прогрессии : -10;-7;-4;-1;… .Найти .

№2 Найдите четвертый член геометрической прогрессии, если .

№3 Найдите сумму семи первых членов арифметической прогрессии 10;6;2;… .

№4 В геометрической прогрессии

№ 5 В геометрической прогрессии

1. (Физика) Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на пятые сутки? (256; 128;64; 32; 16;…)

2 (Экономика) Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000 €.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;1215,5025;…)

3 (Биология1) Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (1; 3; 9; 27; 81;…)

4. (Биология2) Отдыхающий, следуя совету врача. В первый день загорал 5 минут. А в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 минут. В какой день время пребывания на солнце будет равно 40 минут?

Ф.И. учащегося________________________________________

Вариант 1.

1. В геометрической прогрессии b₁; b₂; 4; 8;…. Найди b₁.

1) - 4;

2) 1;

3) 1/4;

4) 1/8;

5) - 1.

2. (b_n) - геометрическая прогрессия. Найди b₆ , если b₁ = 4; q = 1/2

1)- 1/8;

2) 1,25;

3) 1/8;

4)12,5;

5) - 1,25.

3. Найди S₄ , (b_n) - геометрическая прогрессия и b₁ = 1, q = 3.

1) 81;

2) 40;

3) 80;

4) -80;

5) - 40.

4. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если b₁₀ = 10, а b₁₂ = 40?

   1. 2;

   2. 2 и -2;

   3. 4;

   4. 15;

   5. 10.

5. В геометрической прогрессии (b_n) найдите b₅, если b₃ = 8 + 2, а b₄ = 1 + .

1. 7 + ;

2. 1;

3. 2;

4. 3;

5. -1.

Ответы:

№

1

2

3

4

5

Вариант ответа

Ф.И. учащегося________________________________________

Вариант 2.

1. В геометрической прогрессии b₁; b₂; 3; 9;…. Найди b₁.

1. 5;

2. 1;

3. -1/4;

4. 1/3;

5. - 1.

2. (b_n) - геометрическая прогрессия. Найди b₆ , если b₁ = 5 q = 1/5

1)- 1/25;

2) 1,25;

3) 1/625;

4)12,5;

5) - 6,25.

3. Найди S₄ , (b_n) - геометрическая прогрессия и b₁ = 1, q = 5.

   1. 81;

   2. 156;

   3. 80;

   4. 60;

   5. - 40.

4. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если b₅ = 6, а b₈ = 48?

1) 2 и -2;

2) 8;

3) 2;

4) 4;

5) 10.

5. В геометрической прогрессии (c_n) найдите c₆, если c₄ = 3 + 2, а c₅ = 1 + .

1. 2 + ;

2. 1;

3. 2;

4. 3;

5. -1.

Ответы:

№

1

2

3

4

5

Вариант ответа

ДЕРЕВО

Выбор позиции № 1, 3, 6, 7 характеризует установку на преодоление препятствий.

№ 2, 11, 12, 18, 19 - общительность, дружескую поддержку.

№ 4 - устойчивость положения (желание добиваться успехов, не преодолевая трудности).

№ 5 - утомляемость, общая слабость, небольшой запас сил, застенчивость.

№ 9 - мотивация на развлечения.

№ 13, 21 - отстраненность, замкнутость, тревожность.

№ 8 - отстраненность от учебного процесса, уход в себя.

№ 10, 15 - комфортное состояние, нормальная адаптация.

№ 14 - кризисное состояние, «падение в пропасть».

Позицию № 20 часто выбирают как перспективу учащиеся с завышенной самооценкой и установкой на лидерство.

Следует заметить, что позицию № 16 дети не всегда понимают как позицию «человечка, который несет на себе человечка № 17», а склонны видеть в ней человека, поддерживаемого и обнимаемого другим.

ДЕРЕВО

Выбор позиции № 1, 3, 6, 7 характеризует установку на преодоление препятствий.

№ 2, 11, 12, 18, 19 - общительность, дружескую поддержку.

№ 4 - устойчивость положения (желание добиваться успехов, не преодолевая трудности).

№ 5 - утомляемость, общая слабость, небольшой запас сил, застенчивость.

№ 9 - мотивация на развлечения.

№ 13, 21 - отстраненность, замкнутость, тревожность.

№ 8 - отстраненность от учебного процесса, уход в себя.

№ 10, 15 - комфортное состояние, нормальная адаптация.

№ 14 - кризисное состояние, «падение в пропасть».

Позицию № 20 часто выбирают как перспективу учащиеся с завышенной самооценкой и установкой на лидерство.

Следует заметить, что позицию № 16 дети не всегда понимают как позицию «человечка, который несет на себе человечка № 17», а склонны видеть в ней человека, поддерживаемого и обнимаемого другим.