ДОСЛІДНИЦЬКА ДІЯЛЬНІСТЬ

УЧНІВ НА УРОКАХ

МАТЕМАТИКИ

Начинать работу по подготовке к исследованиям надо с первых уроков в школе. Предмет математики таит в себе большие возможности в плане развития исследовательской культуры. Умение осмысливать учебный материал - это одна из задач исследовательской культуры. В данной работе приведены примеры уроков с использованием элементов исследовательской деятельности

Введение

Многие из нас даже не задумываются, что исследователь формируется не тогда, когда поступает в аспирантуру, а значительно раньше. Начинать работу по подготовке к исследованиям надо с первых уроков в школе. Предмет математики таит в себе большие возможности в плане развития исследовательской культуры. Надеюсь, что материал, предложенный в этой статье, поможет сделать первые шаги по формированию исследовательской деятельности. Когда на уроке звучат фразы « я согласен, потому, что..», «я хочу дополнить…», « я хочу спросить…». Это значит, что перед тобой думающий ученик. Умение осмысливать учебный материал - это одна из задач исследовательской культуры.

Что такое исследовательская

деятельность школьников

.

Если все задачи исследовательского метода сводятся к тому, чтобы поощрять учащегося проявлять пытливость, любознательность, задавать вопросы и стараться находить ответы самостоятельно, то мы отстаиваем не более того, что давно исповедовали и осуществляли на практике хорошие учителя.

Ф. Резерфорд

Одной из педагогических технологий обучения, получивших распространение в последние годы, яв­ляется учебно-исследовательская деятельность уча­щихся.

Под учебной исследовательской деятельностью школьников обычно понимается процесс решения ими творческой, исследовательской задачи с заранее не­известным результатом, имеющий своей целью пост­роение субъективно нового знания. Учебное исследо­вание сохраняет логику исследования научного, но отличается от него тем, что не открывает объективно новых для человечества знаний. Однако если гово­рить об ученических исследованиях узко прикладно­го, экспериментального характера, то результаты вполне могут нести в себе и определенную объектив­ную новизну.

ЦЕЛИ ОРГАНИЗАЦИИ
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

Цели организации исследовательской деятельности

Пути действий преподавателя

Запланированные результаты

Формирование творческой активности

Вовлечь учащихся в активную познавательную деятельность

Умение формулировать цель и задачи исследования

Развитие самостоятельности

Научить пользоваться научной литературой из фондов библиотек и материалами современных информационных технологий

Формирование навыков в работе с различными источниками информации, систематизации и обобщении полученных данных

Обучение приемам исследовательской деятельности, методам, принципам, формам и способам научного исследования, научного познания

Научить методам проведения исследования

Умение пользоваться различными исследовательскими методами при решении поставленных задач

Формирование мотивации исследовательской деятельности

Сформировать познавательные и социальные мотивы

Умение делать аргументированные выводы, соответствующие поставленной цели и решаемым задачам

Создание условий для самореализации учащегося через выполнение исследования

Развить навыки публичного выступления и защиты своих взглядов перед компетентной аудиторией

Развитие способностей к самостоятельному осмыслению проблемы

ПОЭТАПНАЯ РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Этапы

Цели

Задания

Замер, проявления

1. Этап вхождения в поисковую исследовательскую деятельность

Формирование умений работать с научной литературой, проводить наблюдения, планировать эксперимент

Создать опорную базу знаний, необходимую для проведения конкретного исследования, выработать конкретные умения

Определение общего уровня сформированности системы знаний, и системы умений в беседах, отдельных конкретных заданий, рассмотрение конспектов изученной литературы

2. Этап приобретения учащимися некоторого опыта исследовательской деятельности

Ориентация на приобретение учащимися достаточного опыта исследовательской деятельности

Научить методике работы с научно-технической информацией, самостоятельному составлению плана исследования, проведению наблюдения

Уровень овладения основными исследовательскими умениями, любая информация воспринимается, не только как конкретное обозначение предметов и действий, а как побуждение к соотнесению отдельных явлений установлению между ними взаимосвязей

3. Этап собственно исследовательской деятельности

Выдвижение гипотез и их защита

Построить систему знаний и методов их использования для проведения конкретного исследования

Нахождение связей между явлениями систематическая работа с научной литературой, самостоятельная работа по подбору необходимой литературы

Учебные исследования можно разделить на три вида: монопредметные, межпредметные, надпредметные.

Монопредметное исследование - это исследова­ние, выполняемое по конкретному предмету, предпо­лагающее привлечение знаний для решения какой-либо проблемы именно по данному вопросу. Резуль­таты выполнения этого вида исследования не выхо­дят за рамкй отдельного учебного предмета и могут быть получены в процессе его изучения.

Межпредметное исследование - это исследова­ние, направленное на решение проблемы, требующей привлечения знаний из разных учебных предметов. Результаты выполнения межпредметного исследова­ния выходят за рамки отдельного учебного предмета и не могут быть получены в процессе его изучения.

Надпредметное исследование - это исследование, предполагающее совместную деятельность учащихся и учителя, направленное на исследование конкрет­ных личностно значимых для учащихся проблем.

В процессе обучения математике на уроке и во внеклассной работе используется монопредметное исследование. Вместе с тем многие знания по мате­матике используются в других видах исследований. Чаще всего используются такие темы курса матема­тики как статистика и теория вероятностей, процен­ты, пропорции.

Структура учебного исследования соответствует логике научного исследования.

Исследовательская деятельность школьников мо­жет быть организована на уроках, на курсах по выбо­ру и во внеурочной деятельности.

Главное направление - установление связей между учебной темой, учебным материалом и собственным жизненным опытом ребёнка, его практической деятельностью, служившей основным источником этого опыта.

Если в случае с учёным-исследователем главное - само новое знание, то в случае с учеником самое ценное - исследовательский опыт. Именно этот опыт творческого мышления и является основным педагогическим результатом и самым важным приобретением ребёнка. Ученик в процессе исследования устанавливает истины, новые только для него, а не для науки. В отличие от поисковой беседы учащиеся совершают «открытия» более самостоятельно, роль учителя в исследовательском методе не уменьшается, а возрастает. Он ставит проблему, создаёт проблемную ситуацию, обеспечивает учащихся необходимым фактическим материалом, руководит их деятельностью.

На уроке:

1. Применение исследовательского метода обуче­ния.

Исследовательский метод определяется как само­стоятельное решение учащимися новой для них про­блемы с применением таких элементов научного ис­следования, как наблюдение и самостоятельный ана­лиз фактов, выдвижение гипотезы и ее проверка, формулирование выводов, закона и закономерностей. Применение исследовательского метода возможно в ходе решения сложной задачи, анализа информации из первоисточников, разрешения поставленной учи­телем проблемы.

Однако исследовательский метод обучения охва­тывает не весь процесс обучения. Ученик не может и не должен усваивать весь объем знаний только путем личного исследования и открытия новых для себя законов, правил и т.д., поскольку самостоятельное исследование требует больше времени, чем восприя­тие объяснения учителя.

Формы задания при исследовательском методе обучения могут быть различными. Это или задания, поддающиеся быстрому решению в классе, дома, или задания, требующие целого урока, домашние зада­ния на определенный срок.

Исследовательский метод обучения применим на всех ступенях обучения - с учетом возрастных воз­можностей и подготовки учащихся. Этот метод при­меняется в трех направлениях:

включение элемента поиска во все задания уча­щихся;

раскрытие учителем познавательного процесса, осуществляемого учащимися при доказательстве того или иного положения;

организация целостного исследования, осуще­ствляемого учащимися самостоятельно, но под руко­водством и наблюдением учителя (доклады, сообщения, проекты, основанные на самостоятельном поис­ке, анализе, обобщении фактов).

Схема учебно-исследовательской работы

ФАКТЫ -> НАБЛЮДЕНИЯ -> РАБОЧАЯ ГИПОТЕЗА -> ЭКСПЕРИМЕНТ

 

ЗАКОНОМЕРНОСТЬ (закон) <- ГИПОТЕЗА -> ТЕОРИЯ РЕЗУЛЬТАТЫ

 

а) принимается ОБЪЯСНЕНИЕ

б) изменяется

в) отвергается

Учитель, как организатор учебного процесса, дол­жен проявлять и управленческие способности, и твор­ческий подход. Непосредственное же руководство учебно-исследовательской работой школьника - это тот вид педагогического взаимодействия, в котором максимально раскрываются возможности сотрудни­чества, соавторства, сотворчества. Занятия предпола­гают работу в микрогруппах и презентацию резуль­татов этой работы всем учащимся.

2. Проведение нетрадиционных уроков, предпола­гающих выполнение учениками учебного исследова­ния. Это может быть урок-исследование, урок-лабо­ратория, урок - творческий отчет, урок изобретатель­ства, урок - рассказ об ученых, урок - защита ис­следовательского проекта и т.д.

3. Проведение учебного эксперимента. Учебный эксперимент предполагает организацию освоения эле­ментов исследовательской деятельности - таких, как планирование и проведение эксперимента, обработка данных и их анализ. Учебный эксперимент может включать элементы или в целом научное исследова­ние. Это наблюдение и изучение фактов и явлений, выделение проблемы, постановка исследовательской задачи, определение цели, задач и гипотезы экспери­мента, разработка методики исследования, его пла­на, программы, метода обработки полученных резуль­татов, проведение пилотного эксперимента, собственно эксперимент, количественный и качественный анализ полученных данных, интерпретация получен­ных фактов, формулирование выводов, защита резуль­татов экспериментального исследования.

4. Домашнее задание исследовательского харак­тера.

Вне урока:

5. Исследовательская практика.

Целями исследовательской практики являются:

• совершенствование навыков исследовательской работы;

• формирование исследовательской компетентно­сти;

• углубление знаний в выбранной предметной области;

• формирование исследовательских умений, практических и общеучебных навыков, формирование информационной культуры учащихся;

• самоопределение будущего направления профес­сиональной деятельности.

Реализация исследовательских технологий предъяв­ляет определенные требования к педагогу-организа­тору исследовательской практики: уметь определять темы для исследования, ставить цели и решать ис­следовательские задачи; выполнять функции соучаст­ника исследовательской работы; создавать педагоги­ческие и организационные условия для изучения уча­щимися различных, источников информации с целью расширения осведомленности по выбранной пробле­ме; вести поиск возможностей проектирования основ­ных этапов исследования: (цель -> что нужно делать? ->-> что для этого понадобится? -> какова последователь­ность действий? -> каков возможный результат? -> -> каковы возможные затруднения?

Основными параметрами оценивания исследова­тельской работы должны стать: теоретическое виде­ние исследовательской проблемы; сформированность исследовательских умений и практических навыков; культура оформления исследовательской работы.

6. Факультативные занятия, курсы по выбору и элективные курсы предполагают углубленное изуче­ние предмета, дают большие возможности для орга­низации учебно-исследовательской деятельности уча­щихся.

7. Школьное ученическое научно-исследователь­ское общество.

Эта форма учебной деятельности, сочетающая ра­боту над учебными исследованиями с коллективным обсуждением промежуточных и итоговых результа­тов этой работы, предполагает организацию круглых столов, Дискуссий, конференций, публичных защит, а также встречу с представителями науки и образо­вания, сотрудничество с ученическими научно-иссле­довательскими обществами других образовательных учреждений.

8. Участие в олимпиадах, конкурсах, конферен­циях, в том числе дистанционных, предметных неде­лях, интеллектуальных марафонах предполагает вы­полнение учебных исследований в рамках данных мероприятий. Это - учебно-исследовательские рабо­ты, проекты; участие в конкурсах районного, город­ского, всероссийского, международного уровней;
   олимпиадные задания для школьников исследователь­ского характера; статьи, формулы, конференции, по­священные учебно-исследовательской деятельности школьников.

9. Учебно-исследовательская деятельность как со­ставная часть учебных проектов.

Учебные исследования, проводимые школьника­ми в рамках учебных проектов, могут нести объек­тивно новое знание прикладного характера.

Формирование исследовательской компетенции

учащихся как условие развития личности

Полнота исследовательской деятельности зависит и от меры увлеченности ученика этой деятельностью, и от умения её выполнять. На уроках математики прививаю школьникам вкус к исследованию, вооружаю их методами научно - исследовательской деятельности. По объёму осваиваемой методики исследования выделяю уроки с элементами исследования и уроки-исследования.

На уроке с элементами исследования учащиеся отрабатывают отдельные учебные приёмы, составляющие исследовательскую деятельность. По содержанию элементов исследовательской деятельности провожу уроки по выбору темы или метода исследования, по выработке умения формулировать цели исследования, уроки с проведением эксперимента, организую работу с источниками информации, заслушивание сообщений, защиту рефератов и т.д.

На уроке - исследовании учащиеся овладевают методикой научного исследования, усваивают этапы научного познания. По уровню самостоятельности учащихся, проявляемой в результате исследовательской деятельности на уроке, уроки - исследования соответствуют начальному уровню (урок «Образец исследования»), продвинутому уровню (урок «Исследование»), высшему уровню (урок «Собственно исследование»)

Уровень урока -

исследования.

Деятельность учителя.

Деятельность учащихся.

Урок

"Образец исследования".

На доске обязательно пишу название основных ступеней исследовательской деятельности.

Формулирую проблему, сообщаю тему и цель исследования.

Даю готовый алгоритм исследовательской работы.

Веду учебный процесс, используя термины: проблема, гипотеза, подтверждение гипотезы, вывод.

Использую вопросы: В чем проблема? Каковы этапы деятельности исследователя? Что такое гипотеза? Как можно выдвинуть предположение? Данное высказывание предполагаемое или доказанное?

Отвечают на вопросы учителя. Следуют алгоритму работы, который предложил учитель. Сверяют свои действия с образцом исследования, используя информацию, записанную на доске.

Урок

"Исследование"

На доске пишу названия ступеней исследования (при необходимости).

Формулирую проблему.

Подвожу учащихся к пониманию цели исследования.

Направляю деятельность учащихся в русло исследовательской работы без использования терминов: гипотеза, проверка гипотезы, интерпретация данных.

Обращаю внимание учеников на схему исследовательской деятельности.

Использую вопросы: С чего необходимо начинать исследование? Как это сделать? Как поступил бы исследователь? Верный ли вы сделали выбор?

Самостоятельно

планируют и выполняют исследовательскую работу.

При необходимости консультируются с учителем.

Получают оценку учителя (правильно и неправильно) за каждый этап исследовательской работы.

Урок

"Собственно исследование"

Формулирую проблему.

Подвожу учащихся к самостоятельному формулированию темы и цели исследования.

Создаю условия для исследовательской деятельности учащихся: обеспечиваю учебный процесс дидактическим материалом, организовываю индивидуальную работу и деловое общение учащихся в группе и парах.

Использую вопросы: Ясна ли цель? Все ли понятно в выданном материале? На каком этапе работы находитесь? Уложитесь ли по времени? Каков итог урока? Оцените результат!

Планируют и про-

водят исследова- тельскую деятельность самостоятельно, без непосредственной помощи учителя.

Каждый учащийся за время обучения в школе должен приобрести хотя бы скромный опыт в выполнении исследовательских заданий. Поэтому организовываю учебную работу так, чтобы учащиеся ненавязчиво усваивали бы процедуру исследования, последовательно проходя все его основные этапы:

- мотивация исследовательской деятельности;

- постановка проблемы;

- сбор фактического материала;

- систематизация и анализ полученного материала;

- выдвижение гипотез;

- проверка гипотез;

- доказательство или опровержение гипотез.

Здесь задача учителя состоит в нахождении простых и удобных приёмов и методов для практической реализации каждого из названных этапов.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ЗАДАЧ

Математика всегда была неотъемлемой и существенной составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности. Очень часто под основной целью математического образования подразумевают подготовку к будущей профессии, к поступлению в вуз. Но не менее важно воспитать в человеке способность понимать смысл поставленной перед ним задачи, умение правильно, логично рассуждать, усвоить навыки алгоритмического мышления. Каждому необходимо научиться анализировать, отличать гипотезу от факта, критиковать, схематизировать, отчетливо выражать свои мысли, с другой стороны - развить воображение и интуицию (пространственное представление, способность предвидеть результат и предугадать путь решения). Иначе говоря, математика нужна для интеллектуального развития личности.

Математика дает широкое поле для исследования. Изучая математику, учащиеся кратно повторяют путь человечества, который оно прошло, добывая математические знания.

На развитие учащихся, формирование познавательного интереса наиболее успешно влияют самостоятельные работы поискового и исследовательского характера. Такими видами деятельности являются практические работы с элементами исследования.

Исследовательская деятельность - самостоятельная деятельность учащихся, но учитель может управлять процессом появления и преодоления затруднений, прогнозировать их появление. При определении задач и конкретных методических приемов осуществления педагогической поддержки следует исходить из индивидуальных особенностей школьников, осознания ими самими проблем и затруднений в исследовательской деятельности.

Под исследовательской задачей понимаются конкретные аспекты поставленной научной проблемы, выяснение которых направлено на ее решение. Такие задачи предполагают решение проблемы, ответ на которую не является очевидным и не может быть получен путем прямого применения известных схем. Решение проблемы является сложным процессом мыслительной деятельности человека, направленной на преобразование предмета, описанного в содержании задачи, разрешение противоречия между условием и требованием задачи, получение познавательного результата.

Решение таких задач имеет для учащихся большое развивающее и воспитательное значение. Они способствуют развитию мышления, его определенного стиля, культуры, формируют геометрические представления. Навыки самостоятельной и исследовательской работы, способствуют более глубокому пониманию математики.

Однако исследования ученых показали, что на самостоятельную работу учащихся отводится не более 13% всего времени урока. Причем абсолютное большинство самостоятельных работ на уроках математики приходится на закрепление изложенного учителем материала непосредственно после его изучения и на проверку знаний учащихся. Таким образом, преобладает репродуктивный вид деятельности школьников.

В ходе поиска решения нестереотипных задач, в отличие от задач, выполненных по образцу, развиваются сообразительность, изобретательность, смекалка и другие, очень полезные в жизни каждого человека качества.

Реализация исследовательских задач в школе имеет свою специфику. Важные ограничения накладывают на тематику, характер и объем исследований требования возрастной психологии. Для юношеского возраста характерны еще невысокий общий образовательный уровень, несформированность мировоззрения, неразвитость способности к самостоятельному анализу, слабая концентрация внимания.

Для этого необходимо развитие поисковой активности, готовности к принятию самостоятельных решений, овладение общей ориентировочной основой исследовательской деятельности, воспитания деловитости, самостоятельности и ответственности, предприимчивости и целеустремленности.

В исследовательской деятельности главной целью является получение объективно новых знаний. При этом оцениваются не только знания, но и рассматриваются другие показатели, такие как:

• участие в дискуссиях;

• умение высказывать свою точку зрения;

• сбор материала из различных источников;

• активность при обсуждении вопросов;

• умение задавать вопросы;

• возможность выразить свое отношение к изучаемому материалу.

При решении исследовательских задач у учащихся часто возникают затруднения, поэтому учителю следует задавать наталкивающие вопросы. Уметь задавать вопросы - одно из важнейших умений учителя, так как умело заданный вопрос обеспечивает правильный и конкретный ответ учащихся.

По характеру ответов вопросы могут быть:

• репродуктивные (воспроизведение знаний; например, перечислить компоненты процесса обучения);

• реконструктивные (требующие применения знаний в нестандартной ситуации: например, чем отличаются …, какова основная мысль…);

• творческие (требующие осмысления и творческого подхода).

Для активизации мыслительной деятельности, для самостоятельного поиска ответа помогают конструкции-подсказки, например: почему…; какова причина…; в чем суть явления…; что изменилось бы, если…; чем отличается… и т.д.

Учитель должен помнить, что, встречаясь даже с очень одаренным учеником, он готовит из него не математика, а, прежде всего, всесторонне развитую личность, и эту работу он выполняет в тесном единстве с учителями других дисциплин. В процессе обучения в школе формируется человеческое сознание, взгляды, мировоззрение, убеждения, развиваются творческие способности учащихся. Для этого полезно использовать нестандартные математические задачи.

Каждая решаемая задача имеет методическую цель. Поэтому учитель должен стремиться не к тому, чтобы задача была решена быстро и безошибочно или только на развитие тренировки, а к тому, чтобы она была решена творчески, и чтобы из нее можно было извлечь как можно больше пользы для математического развития ученика.

Решая исследовательскую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи. Правильно поставленное обучение решению исследовательских задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду других участников.

Исследовательские задачи создают условия для проявления творческой активности учащегося, выражающейся в стремлении познать объективно новые факты, используя теорию научных исследований. При решении исследовательских задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам.

При решении исследовательских задач воспитывается правильное мышление, и, прежде всего, учащиеся приучаются к полноценной аргументации, у учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формально-логической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность символики.

Исследовательские задачи воспитывают текстовым содержанием. Поэтому текст многих математических задач существенно изменяется в различные периоды развития общества. Но воспитывает не только содержание задачи, но и весь процесс обучения решению этих задач.

Установлено, что в традиционных учебниках встречается недостаточно упражнений исследовательского характера. Как показывает практика, даже потенциал развивающих задач, имеющихся в учебниках, используется слабо.

Задания, исследовательского характера существенно отличаются от традиционных заданий уже своей формулировкой. Так большая часть заданий школьных учебников звучит так: «Решить уравнение», «Доказать, что выражение … больше выражения …», «Упростите…» и т.п.

В формулировках исследовательских заданий нет явного ответа, его необходимо самим найти и обосновать. Формулировки заданий могут быть такими:

• «Исследовать …».

• «Верно ли, что если …, то …».

• Определить, какое из выражений больше ».

• «Найти необходимое и достаточное условие, при котором обе последовательности стремятся к нулю».

• «Существуют ли такие значения b, при которых квадратный трех­член имеет два корня, один из которых является положитель­ным числом, а другой отрицательным?».

• «Существуют ли такие значения с, что множеством решений неравенства … является: а) числовой промежуток …; б) множество всех чисел».

• «Верно ли, что функция … при любом а убывает в промежутке … и возрастает в промежутке …?».

После решения задач исследовательского характера необходимо, чтобы учащиеся осуществляли исследование ответа, вывода (т.е. ставили вопрос о существовании решения, о числе решений, об особых случаях, какие могут представиться) при рассмотрении каждой задачи, особенно такой, которая предлагается в общем виде.

Для развития творческого мышления нужно постепенно формировать у учащихся умение определять, какие частные случаи необходимо выделить в последствии.

Рассмотрим примеры задач исследовательского характера из курса алгебры IX класса.

Задача 1. Может ли корень уравнения являться положительным числом? При каком условии?

Решение. Данную задачу можно решить как аналитическим, так и графическим способом.

I способ (аналитический). Выразим переменную через :

Корень является положительным числом, если

II способ (графический). Выразим из данного уравнения : . Положим и построим график функции . По графику функции найдем множество ее значений и проанализируем полученный результат. По рис. 1 видно, что значения функции и изменяются в интервале , аргумент также изменяются в интервале . Из графика видно, что , если , т.е. .

у

1

0 1

Рис. 1

Существуют ли такие значения а, что уравнение не имеет корней?

Задача 2. Верно ли, что при любом значении k система уравнений

имеет единственное решение?

Решение. Выразим из второго уравнения системы и подставим в первое. Получим

, или .

Вычислим дискриминант последнего уравнения: . Система имеет единственное решение, если , т.е. при или

Но для любого значения k нельзя утверждать, что исходная система имеет единственное решение. Значит, на вопрос задачи надо ответить отрицательно.

Задача 3. Могут ли не пересекаться графики функций и ?

Решение. Найдем условие, при котором графики данных функций пересекаются. Для этого составим уравнение ,

Его дискриминант . Уравнение не имеет решения, если , т.е. . Следовательно, графики функций и не пересекаются при . Значит, к задаче надо дать такой ответ: да, графики исходных функций могут не пересекаться.

Задача 4. Могут ли числа быть одновременно последовательными членами арифметической и геометрической прогрессий?

Решение. Пусть - разность арифметической прогрессии, а - знаменатель геометрической прогрессии. Представим числа в виде арифметической прогрессии: и геометрической прогрессии:

Тогда (*)

Если , то и - любое действительное число, тогда последовательность выглядит так: 0, 0, 0.

Если , то от системы (*) переходим к квадратному уравнению относительно . Решая его, находим, что условие задачи выполняется лишь при . Тогда , и последовательность выглядит так: а, а, а.

Задача 5. Имеет ли решение уравнение

?

Решение. Слагаемые в скобках - члены арифметической прогрессии с разностью, равной 3. Тогда, использовав формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, получим

Отсюда Таким образом, данное уравнение имеет решение х = 11.

Исследовательская работа на уроках

Китайская мудрость гласит: "Я слышу - я забываю, я вижу - я запоминаю, я делаю - я усваиваю".

Считаю, что одним из активных методов формирования исследовательской компетенции на уроке является создание проблемных ситуаций, суть которых сводится к воспитанию и развитию творческих способностей учащихся, к обучению их системе активных умственных действий. Эта активность проявляется в том, что ученик, анализируя, сравнивая, синтезируя, обобщая, конкретизируя фактический материал, сам получает из него новую информацию.

Поэтому для меня в процессе обучения главным является постановка перед учащимися на уроках какой-то маленькой проблемы и старание совместно с ними ответить на поставленный вопрос.

При ознакомлении учащихся с новыми математическими понятиями, при определении новых понятий знания не сообщаются в готовом виде. Здесь уместно побуждать учащихся к сравнению, сопоставлению и противопоставлению фактов, в результате чего и возникает поисковая ситуация.

Например, в 6 классе, при введении понятий простого и составного числа, поступаю следующим образом.

Даю задание: Начерти как можно больше прямоугольников площадью в 17, 36, 23, 42 квадратных единиц, длины сторон которых - натуральные числа. Сколько прямоугольников удалось начертить? Чем это можешь объяснить?

Представь числа 17 и 23 в виде произведения максимального числа различных натуральных чисел. Сколько множителей в произведениях?

Сообщаю, что числа 17 и 23 (и еще многие другие) называют простыми числами. И прошу учеников дать самостоятельно определение простого числа. Даю название числам 36 и 42. Ребята формулируют определение составного числа. После этого уточняю определения.

Итак, при определении нового понятия учащимся предлагается только объект мысли и его название. Ученики самостоятельно определяют новое понятие, затем с помощью учителя уточняют это определение и закрепляют его.

Другой способ создания исследовательской ситуации - использование практического опыта учащихся, опыта выполнения ими практических заданий в школе, дома или на производстве. Исследовательские ситуации в этом случае возникают при попытке учащихся самостоятельно достигнуть поставленной перед ними практической цели. Обычно ученики в итоге анализа ситуации сами формулируют задачу поиска.

Сложение положительных и отрицательных чисел

Для определения знака суммы чисел (тема: сложение чисел с разными знаками) провожу исследовательскую работу практического характера.

Смешиваем краски:

красная красная голубая голубая

красная цвет зависит от количества голубая

той или иной краски

Проводим аналогию: если складываем числа с одинаковыми знаками, то результат сложения имеет знак, что и слагаемые; находим закономерность: знак суммы совпадает со знаком слагаемого с большим модулем, и чтобы найти модуль суммы надо из большего модуля вычесть меньший.

-2+(-4)=-6 -1+5=4 13+14=27

-8+(-8)=-16 13,5+(-8,9)=4,6 7,01+23,99=31

-2,1+(-1,9)=-4 65+(-84)=-19 +83,1+17,5=100,6

. Линейная функция

При изучении линейной функции одна из задач перед учениками - это «узнавать» эти функции.

Из предложенных функций выделяют линейные:

1)у=х²+1 2)у=3х^4_2 3) у = -х +4

4) у = 5)у=х³-1 6)у =

7)у=7,8 х + 0,2 8)у=-5х 9)у = -

10)8у= 11) 12)х²-у=0

Это 3, 4, 7, 8, 10, 11.

Возникает вопрос: обладают ли все выделенные функции одними и теми же свойствами?

Зная, что графиками данных функций являются прямые и построив их, замечают что все функции можно распределить в две группы:

После построения графиков переходим к чтению свойств функций по их графикам.

Общие свойства:

1. Область определения функций: все действительные числа.

2. Область значений функций - все действительные числа.

3. Нет наименьшего и наибольшего значений функции.

4. Функции непрерывные.

Есть и отличительные свойства:

Функции I группы - возрастающие (a >0), функции второй группы - убывающие (a<0).

П

ри изучении же линейной функции рассматриваем зависимость площади прямоугольного треугольника от катетов.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

Катет АС

2

2

4

1

2

Катет ВС

2

4

4

1

1

Площадь АВС

2

4

8

2

1

Вывод: при увеличении одного из катетов в n раз во столько же раз увеличивается площадь, т.е. зависимость линейная. При увеличении обоих катетов в n раз, площадь увеличивается в n² раз, зависимость квадратичная.

Зависимость длины окружности от радиуса (С=2πR)

1

2

3

0.5

10

C

2π

4π

6π

π

20π

Вывод: с увеличением радиуса в n раз увеличивается длина окружности в n раз.

УРОК-ИССЛЕДОВАНИЕ ПО ТЕМЕ: «ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ»

Цель урока: Вывести формулы квадратов суммы и разности двух чисел.

Сформировать умение учащихся практически применять эти формулы для упрощения выражений.

Воспитывать активность, внимательность, самостоятельность.

Развивать математическую речь, память, интерес к математике, умение логически рассуждать.

Ход урока.

Введение.

«Ещё в глубокой древности было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Так появились формулы сокращённого умножения. Их несколько. Сегодня вам предстоит сыграть роль исследователей и «открыть» две из этих формул».

I. Устные упражнения.

1. Найдите квадраты выражений.

b ; - 3 ; 6а ; 7х² у³.

2. Найдите произведение 5 b и 3 с. Чему равно удвоенное произведение этих выражений?

3. Прочитайте выражения.

а) х + у в) (к + 1)² д) (а -b)²

б) с² + р² г) р - у е) с² - х²

4. Перемножить данные многочлены.

( 4 - а) · (3 + а).

5.Объясните, как умножить многочлен на многочлен.

II. Новый материал.

Исследовательская работа.

Для исследовательской работы учащиеся объединяются в группы. В них входят ребята с разной математической подготовкой. Каждой группе предлагается заполнить на доске три строки таблицы, перемножив пары двучленов, приведённых в этой строке. После того как ребята справились с заданиями, один из них выходит к доске и записывает в правом столбце таблицы полученный ответ. Средняя часть таблицы закрыта.

Задание: Найти произведение данных многочленов.

I

II

III

1) (а + b) (а +b)

2) (с + d ) (d + c)

3) (x - y) (x - y)

Из Д / З

(x + 10) (x + 10)

(3a - 1) (3a - 1)

(5 - 6b) (5 - 6b)

(а +b)²

(c + d)²

(x - y)²

(x + 10)²

(3a - 1)²

(5 - 6b)²

= а ² + 2аb + b²

= c² + 2 c d + d²

= x² - 2 x y - y²

=

=

=

Вопросы: 1) Есть ли нечто общее в условиях и ответах?

2) Можно ли выражения в I cтолбце записать короче?

Получив ответы, учитель открывает II столбец.

( Открыть II столбец)

- Вы уже приступили к исследованию темы урока, поскольку находили произведение двух одинаковых двухчленов (1 столбец таблицы), т.е. возводили в квадрат сумму и разность двух выражений (2 столбец таблицы).

Обсуждение полученных результатов

Анализ III столбца:

1. После приведения подобных членов подсчитайте, сколько получилось членов в каждом многочлене? (ответ: трёхчлен)

2. Что представляет собой 1^й, 2^й и 3^й члены по сравнению с 1-м и 2-м выражениями, стоящими в основании соответствующей степени?

1-й член - квадрат первого выражения.

2-й член - удвоенное произведение первого и второго выражений.

3-й член - квадрат второго выражения.

Итог.

Учащиеся записывают общую формулу квадрата суммы двух чисел и дают словесное описание.

(а + b)² = а ² + 2аb + b² - формула сокращённого умножения.

(подчёркивается, что эта формула в дальнейшем будет применяться для возведения в квадрат суммы двух выражений).

Исследование начинается с вопросов.

1) Изменяется ли результат, если возвести в квадрат не (а + b)², а (а - b)?

2) Как можно проверить наше предположение?

(Выясняется, что можно проверить воспользовавшись таблицей, если во всех скобках левого столбца знаки «+» поменять на «- «).

Учащиеся (проверка происходит в группах) проверяют результат и выясняют, что « - « стоит только перед удвоенным произведением.

(а - b)² = а ² - 2аb + b²

-Для чего нужны формулы? ( Для упрощения выражений)

Задание: Сформулируйте эти две формулы, а затем прочитайте по учебнику

Приступаем к работе компактным методом.

Первый шаг. Ученики выполняют упражнение: «Разделить правило чёрточками на отдельные указания».

Квадрат суммы двух выражений ║ равен квадрату первого выражения ║ плюс удвоенное произведение первого и второго выражений ║ плюс квадрат второго выражения.

Расстановку чёрточек сверяют

Второй шаг. Учитель даёт образец выполнения упражнения с помощью подготовленного к работе правила.

Третий шаг. В соответствии с образцом, указанным учителем, вызванный ученик читает правила по учебнику и, останавливаясь после каждой чёрточки, выполняет соответствующую часть упражнения:

«Квадрат суммы двух выражений (убеждается, что дан именно квадрат суммы

(х² + 2хy)², а не что-либо другое) равен квадрату первого выражения (записывает: (х²)²) плюс удвоенное произведение первого и второго выражений (выполняет это указание: 2 (х²) (2 хy)) плюс квадрат второго выражения (записывает: (2 хy)² и упрощает полученное выражение х⁴ + 4 х³y + 4 х²y²)

Остальные следят за работой отвечающего на доске:

а) (х² + 2хy)²

б) (8х + 3)²

в) (10х - 7 y)²

г) (1/2а + 6с)²

III Закрепление нового материала

Групповая работа.

Каждая группа работает самостоятельно, получив тестовое задание.

1. Выбрать правильный ответ.

Результаты работы с тестами учащиеся записывают на доске.

1

2

3

4

В

Б

А

А

2. Игра «Кубик - экзаменатор».

На каждой грани, записан квадрат суммы или разности двух выражений. Вызванный по желанию ученик, подбрасывает кубик и комментирует выпавшую ему на верхней грани часть формулы, называет многочлен, в который можно преобразовать данный квадрат двучлена.

(4zy - 3р)²

(b - 3)²

(g + 5c)²

(4c²- 5t)²

(1/2x + 1)²

(7c + 5p)²

IV. Итог урока

(Формулы выводятся с помощью проектора на экран).

Повторить формулы квадрата суммы и разности двух выражений.

Выяснить с учащимися, почему эти формулы называются формулами сокращённого умножения.

-Объясните, как выводится формула (а + b)².

-Является ли формула квадрата суммы тождеством.

Урок-исследование

8 класс

Тема: Площадь треугольника

Цель урока: получить формулу площади прямоугольного и произвольного треугольника, научиться применять ее для решения практических и теоретических задач.

Необходимые принадлежности и оборудование: сигнальные таблички для команд, 4 чертежных треугольника для работы у доски, разноцветные карточки-оценки, карточки с заданиями.

Ход урока.

Перед началом урока класс делится на 4 команды. Парты расставляются таким образом, чтобы члены каждой команды могли общаться друг с другом. Каждой команде выдается сигнальная табличка, с помощью которой они будут показывать готовность к ответу. Каждый из ответов команды учитель оценивает и выдает соответствующую цветную карточку (красная карточка - 5, зеленая - 4, желтая - 3 и черная - 2).

Учитель показывает листочки с фигурами:

Задача: узнать площади этих фигур.

Чтобы узнать, надо - ? ... [измерить].

? Площади каких из этих фигур вы можете узнать сейчас?.

Итак, площади фигур 1 и 2 мы можем узнать, измерив длины их сторон и использовав формулы площадей прямоугольника и квадрата; площадь фигур 3 и 4 мы можем узнать, используя вторую аксиому площадей.

Чтобы узнать площадь фигуры 5 мы тоже могли бы воспользоваться 2 аксиомой площадей, т.е. разбить фигуру на более простые фигуры, площади которых мы можем измерять.

? Можно ли данную фигуру разбить на прямоугольники? на квадраты?

? На какие многоугольники можно разбить любой n-угольник? [треугольники]

Если бы мы смогли найти способ измерения площади треугольника, то мы бы нашли способ измерения площади любого n-угольника. Цель нашего урока - найти такой способ.

Любой исследование начинается с обобщения уже имеющихся знаний. Давайте вспомним, что мы знаем о треугольниках. (несколько фактов ребята предлагают сами, затем учитель задает наводящие вопросы)

? Вспомним, что называется высотой треугольника (отвечает команда, первая поднявшая сигнальную табличку).

На доске изображены треугольники:

В каждом треугольнике необходимо опустить высоту из вершины А на прямую, содержащую сторону ВС ( по 1 человеку от команды; команда 1 - первый треугольник, команда 2 - второй треугольник и т.д.).

? Как в данных случаях будет называться сторона ВС треугольника АВС. [основание]

? Вспомним, по какой формуле вычисляется площадь прямоугольника. (необходим ответ, в котором прозвучали бы "смежные стороны").

Командам выдается листочек с планом исследования. Выполняя задания в соответствии с этим планом, ученики все промежуточные действия и конечные выводы записывают в тетради.

План исследования.

I этап.

Конечная цель: формула площади прямоугольного треугольника.

Ход исследования.

Изобразить прямоугольник АВСD. Провести диагональ АС.

Сравнить треугольники АВС и ACD. Сравнить их площади.

На основе полученного вывода, второй аксиомы площадей и формулы для площади прямоугольника получить формулу площади прямоугольного треугольника.

II этап.

Конечная цель: выявить зависимость между высотой, основанием и площадью остроугольного треугольника.

Ход исследования.

Изобразить произвольный остроугольный треугольник.

Опустить высоту.

Используя вывод I этапа, получить формулу площади треугольника, в которой будут присутствовать высота и основание треугольника.

III этап.

Конечная цель: проверить, является ли полученная формула верной для тупоугольного треугольника, т.е. в том случае, когда высота треугольника не принадлежит его внутренней области.

Ход исследования составить самостоятельно.

После того, как команда получит конечную цель исследования этапа, капитан команды поднимает сигнальную карточку. Учитель вызывает 1 из членов команды к доске. Тот записывает на доске полученный результат, а в это время учитель проверяет записи в тетради ученика.

Итак, для того, чтобы узнать площадь треугольника, надо узнать его высоту и основание. Попробуйте измерить площади фигур, изображенных на рисунке, применив полученные на уроке знания. (командам выдаются картинки:

а)

в)

б)

г)

Площадь клетки считать равной 1ед².

На это задание отводится 5 мин. Подводятся итоги.

Конечное задание: измерить площадь фигуры 5. с точностью до 0,1.

Д/з : п.52, разобрать теорему и ее доказательство

План исследовательской работы в 9 классе по теме "ДЕЛЬТОИД".

1. Введение.

2. Дельтоид.

   • Определение.

   • Свойства (сформулированы и доказаны свойства сторон, углов, диагоналей, свойство симметрии дельтоида, определили вид параллелограмма Вариньона (четырехугольника с вершинами в серединах сторон)).

   • Признаки (сформулированы и доказаны 2 признака).

   • Количество элементов, определяющих дельтоид (сформулирован вывод, составлены и решены три задачи на построение дельтоида по трем элементам, составлены и решены три задачи на вычисление всех элементов дельтоида по трем данным элементам, в т.ч. радиусов вписанной и описанной окружностей).

   • Площадь дельтоида (выведены три формулы площади). Доказано, что площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади дельтоида.

   • Существование окружности, вписанной в дельтоид (доказано существование).

   • Существование окружности, описанной около дельтоида (доказана возможность вписать окружность в дельтоид с двумя прямыми углами).

3. Заключение. Показ практической значимости рассмотренного материала. Сформулированы (подобраны) три задачи, в которых используется теоретический материал работы.

План исследовательской работы в 8 класса по теме "Равнобедренная трапеция".

1. Введение.

2. Равнобедренная трапеция.

   • Определение. (Даны три определения через различные видовые понятия).

   • Свойства. (Сформулированы и доказаны свойства сторон, углов, диагоналей, свойство симметрии).

   • Свойства средних линий трапеции (для рассмотрения вводились две средние линии), например: "отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции делится точкой пересечения двух средних линий пополам".

   • Теоремы о трапеции, например "биссектрисы углов, примыкающих к боковой стороне перпендикулярны".

   • Признаки (сформулированы и доказаны 2 признака).

   • Количество элементов, определяющих трапецию (сформулирован вывод, составлены и решены три задачи на построение равнобедренной трапеции по четырем элементам, составлены и решены три задачи на вычисление всех элементов равнобедренной трапеции, включая радиус описанной окружности, по четырем данным элементам).

   • Площадь равнобедренной трапеции (выведены три формулы площади через различные наборы данных элементов).

   • Теоремы о площадях (например "при диагональном разбиении правильной трапеции произведения площадей противолежащих треугольников равны").

   • Существование окружности, вписанной в равнобедренную трапецию. Сделан вывод. Сформулировано и доказано условие, при котором в трапецию можно вписать окружность.

   • Существование окружности, описанной около равнобедренной трапеции (доказана возможность вписать окружность в трапецию. Рассмотрены условия, при которых центр описанной окружности лежит внутри трапеции, вне ее, на стороне трапеции).

3. Заключение. Показана практическая значимость рассмотренного материала. Сформулированы (подобраны) три задачи, в которых используется теоретический материал работы.

План исследовательской работы в 8 классе по теме: "Средние линии четырехугольника".

1. Вводная часть.

2. Средние линии четырехугольника.

   • Определение средней линии четырехугольника.

   • Свойства средних линий:
     - Полусумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника не меньше средней линии двух других сторон.
     - Отрезок, соединяющий середины диагоналей выпукло четырехугольника делится точкой пересечения средних линий пополам.
     - Выпуклый четырехугольник, диагонали которого являются средними линиями данного четырехугольника, является параллелограммом .

   • Свойства средних линий известных четырехугольников.
     - Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

   • Параллелограммы известных видов четырехугольников.

   • Свойства площадей, связанных со средними линиями:
     - При разбиении выпуклого четырехугольника средними линиями суммы площадей противоположных четырехугольников равны.
     - Площадь параллелограмма равна половине площади исходного четырехугольника.
     - Средняя линия трапеции, соединяющая середины оснований разбивает его на две равновеликие трапеции.
     - Площадь четырехугольника равна произведению средних линий на синус угла между ними.

3. Заключение. Показана практическая значимость рассмотренного материала. Сформулированы (подобраны) три задачи, в которых используется теоретический материал работы.

План исследовательской работы в 9 классе по теме: "Вписанные и описанные четырехугольники".

1. Вводная часть.

2. Вписанные и описанные четырехугольники.

   • Свойства сторон вписанного четырехугольника.

   • Признаки вписанных четырехугольников.

   • Свойства углов описанного четырехугольника.

   • Признаки описанных четырехугольников.

   • Формулы площадей четырехугольников через радиусы вписанной или описанной окружностей. Частные случаи формул площадей.

   • Возможность вписать (описать) окружность в (около) четырехугольников известных видов.

   • Частные случаи формул площадей для четырехугольников известных видов (через радиусы вписанных, описанных окружностей).

   • Свойство вписанности (описанности), как основание для классификации видов параллелограммов.

   • Свойство трапеций (прямоугольной, равнобокой) около которых можно описать окружность (или вписать окружность).

3. Заключение. Показ практической значимости рассматриваемого материала. Сформулированы (подобраны) три задачи, в которых используется теоретический материал работы.

План исследовательской работы в 8 классе по теме: "Симметрия четырехугольников".

1. Вводная часть.

2. Симметрия четырехугольников.

   • Виды симметрии.

   • Определение фигуры, обладающей свойством симметрии.

   • Симметрия известных видов четырехугольников.

   • Свойства четырехугольников известных видов, обусловленных наличием свойства симметрии.

   • Наличие свойств симметрии и признаки четырехугольников: а) если многоугольник имеет центр симметрии, то каждая его вершина симметрична другой вершине, т.е. имеет четное число вершин, б) если многоугольник имеет ось симметрии, то каждая его вершина не лежащая на оси, симметрична некоторой другой его вершине, в) если четырехугольник имеет центр симметрии, то он параллелограмм, г) если выпуклый четырехугольник имеет хотя бы одну ось симметрии, то он либо равнобокая трапеция, либо прямоугольник, либо дельтоид, д) если выпуклый четырехугольник имеет две оси симметрии, то он либо ромб, либо прямоугольник, е) если выпуклый четырехугольник имеет более двух осей симметрии, то он является квадратом и имеет четыре оси симметрии.

   • Свойства площадей четырехугольников, обладающих свойством симметрии.

3. Заключение. Показ практической значимости рассматриваемого материала. Сформулированы (подобраны) три задачи, в которых используется теоретический материал работы.

Занятие факультатива в 10 классе

Тема. Теоремы о корнях квадратного уравнения.

Цель. Формирование умений формулировать и обосновывать теоремы о корнях квадратного уравнения.

Учебная задача: научить учащихся самостоятельно формули­ровать теоремы о корнях квадратного уравнения, применять полу­ченные теоремы для решения задач с параметрами.

Развивающие задачи:

• развивать творческую сторону мышления;

• учить осуществлять исследовательскую деятельность.
  Воспитательная задача: формировать навыки умственного

труда - поиск рациональных путей решения. Оборудование:

- персональные компьютеры;

• презентации для создания проблемной ситуации

• презентации для самоконтроля ;

• карточки с заданиями.

План занятия

Информационный ввод-2 мин.

Актуализация ЗУН - 3 мин.

Исследовательская работа в группах- 20 мин.

Психофизиологическая пауза - 1 мин.

Решение задач с параметром - 17 мин.

Итог занятия - 2 мин.

Ход занятия

1. Информационный ввод.

Учитель сообщает тему занятия, цель.

- На предыдущем занятии мы с вами научились использовать теорему Виета для решения задач с параметрами. Сегодня мы по­святим наше занятие исследованию расположения корней квадрат­ного уравнения в задачах с параметрами. Тема нашего занятия - «Теоремы о корнях квадратного уравнения».

2. Актуализация ЗУН.

- Сначала повторим необходимые для нас сведения о квадрат­ных уравнениях.

На мониторах запись f(х) =Ах² + Вх+ С.

- Какую информацию о графике функции f(x) можно получить, зная коэффициенты квадратного трёхчлена?

Дети отвечают:

• если старший коэффициент квадратного трёхчлена больше нуля, то ветви параболы направлены вверх,

• если старший коэффициент квадратного трёхчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз,

• если старший коэффициент квадратного трёхчлена равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; и со­ответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное,

• если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках,

• если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси
  абсцисс,

• если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс,

• абсцисса вершины параболы равна -в/2а.

3. Исследовательская работа в группах.

Особую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения. Для решения таких задач можно сформулировать теоремы, но количе­ство таких теорем практически необозримо. Нам остается только одно - научиться придумывать теорему каждый раз, в каждой кон­кретной задаче.

Для придумывания таких теорем нужно не только знание свойств квадратного уравнения, которые мы с вами только что повторили, но и умение мыслить одновременно на двух языках - ал­гебраическом и геометрическом.

На доске сформулированы задачи в общем виде:

Работают три группы. Задание каждой группе: составь­те теорему для вашей задачи. Поможет вам в этом презентация Power Point.

Каждая группа запускает свою презентацию, составляет свою теорему.

- Какая группа готова сформулировать свою теорему?

Представители каждой группы выходят к доске, записывают свою систему неравенств и формулируют теорему.

На уроке геометрии при подготовке к изучению темы "Сумма внутренних углов треугольника" предлагаю решить задачи:

Один из углов треугольника содержит 36°, а другой - на 18° больше третьего. Найти величину второго угла.

В равнобедренном треугольнике, угол при основании на 18°больше угла при вершине. Найти величину каждого угла треугольника.

Здесь возникает исследовательская ситуация. Пытаясь самостоятельно достигнуть поставленной практической цели, учащиеся приходят к выводу, что для решения этих задач не хватает данных. Если бы было известно, чему равна сумма величин внутренних углов каждого из заданных треугольников и вообще любого треугольника, то задачи были бы разрешимы. Теперь каждому ясна цель поиска.

Одним из способов создания ситуации творческого поиска является варьирование задачи, переформулировка вопроса.

Например, в 5 классе при решении задачи: «Мама старше Кати в 3 раза, а Катя старше сестры Лены на 5 лет. Вместе им 55 лет. Сколько лет маме и сколько девочкам?» Полезно дать ученикам уже составленные уравнения (х-5)+х+3х=55; х+(х+5)+3(х+5)=55; х+(х+5)+3х=55; и предложить ответить на вопросы:

а) Какая величина принята за неизвестное в каждом случае?

б) Правильно ли составлены уравнения? Если есть ошибочное уравнение, найди его и укажи, в чем ошибка.

в) Чем различаются между собой правильно составленные уравнения?

Этот способ позволяет развить познавательную активность учащихся с низким и средним уровнем развития, помогает ребятам понять принципы решения задач алгебраическим способом, более глубоко осознавать внутренние связи между величинами.

Ценная ситуация возникает в том случае, когда имеется противоречие между теоретически возможным путем решения задачи и практической неосуществимостью избранного способа решения.

При изучении темы "Сравнение чисел" ученикам предлагаю задание.

Отметьте на прямой числа: -5; -7; -2; -10; -3; -12; -18; -6.

Сравните:

1. -5 и -3;

3. -12 и -2 ;

5. -7 и -6;

7. -999 и -1000;

2. -5 и -10;

4. -18 и -9;

6. -11 и -8;

8. -3543 и -2759.

Как только учащиеся дошли до последних двух заданий, они увидели, что с помощью числовой прямой сравнить эти числа невозможно. Перед ними возникает проблема: теоретически - можно, а известный способ не разрешает вопроса. Начинается творческий поиск учащихся.

В понимании детей учитель - это компьютер, который не может ошибиться никогда, и они обычно слепо копируют его решение.

Решаю быстро уравнение:

3х² - 2х - 2 = 0

Д = (-2)² - 4 ^. 3 ^. (-2) = 25 (Ошибка, заставляю делать проверку. Не получается. Где ошибка? Находят Д = 28)

Естественно при проверке ответ не сходится. Ищут ошибку. Дети решают проблему. После этого учащиеся очень внимательно следят за мыслью и решением учителя. Результат - внимательность и заинтересованность на уроке.

Даю задачу на дом и говорю: "У меня не получается". Попробуйте вы, обращайтесь к кому хотите за помощью. Хотя задача решается. На другой урок у них радостные лица - они решили.

Задача учителя - привить своим ученикам привычку к упорному, самостоятельному, творческому труду, выработать у учащихся умение преодолевать трудности при решении задач, а также при любой работе, связанной с учебной деятельностью.

Учебные исследования на уроках делают процесс изучения математики интересным, увлекательным, так как они дают возможность детям в результате наблюдения, анализа, выдвижения гипотезы и ее проверки, формулировки вывода - познать новое.

Покажу на примере, как учащиеся приобретают умения и навыки исследовательской работы.

Алгебра, 7-й класс, тема "Умножение разности двух выражений на их сумму"

Цель работы: Установить, чему равно произведение разности двух выражений и их суммы.

Одни учащиеся находят значения выражений (6 - 4) • (6 + 4) и 6² - 4²,

другие - (9 + 3) • (9 - 3) и 9² - 3²,

третьи - (2 - 8) • (8 + 2) и 2² - 8².

В результате учащиеся получают, что

(6 - 4) • (6 + 4) = 6² - 4²,

(9 + 3) • (9 - 3) = 9² - 3²,

(2 - 8) • (8 + 2) = 2² - 8².

Далее ученики анализируют результаты наблюдений и выдвигают гипотезу: произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Доказательство гипотезы:

Используя правило умножения многочлена на многочлен имеем, что

(a - b) • (a + b) = a² - ab + ab - b² = a² - b².

Итак, гипотеза доказана.

Вывод: произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Одним из мощных рычагов воспитания трудолюбия, желания и умения хорошо учиться является создание условий, обеспечивающих ребенку успех в учебной программе, на пути от незнания к знанию, от неумения к умению. К таким условиям, безусловно, можно отнести процесс решения нестандартных, логических задач, задач - головоломок, на соображение и догадку.

Задача будит мысль учащегося, активизирует его мыслительную деятельность. Решение задач считается гимнастикой ума.

Готовясь к уроку, я подбираю материал к нему и формы работы, чтобы обеспечить мыслительную деятельность каждого ученика каждую минуту.

Пример: Функция задана формулой у = х + 5

Найдите значение функции при х = 0, 7, -5, 1.

Приглашаю к доске ученика, даю ему карточку, на которой написано
у = х + 5. На доске заготовлена таблица.

Ученик из класса называет какое-нибудь значение х. Ученик у доски вписывает это число в таблицу и, поставив его в формулу, находит и вписывает в таблицу соответствующее ему значение у. Затем другой ученик из класса называет другое значение х и ученик у доски проделывает те же операции. Задача класса - "угадать" формулу, записанную на карточке. Выигрывает тот ученик, который первый назовет формулу.

Главный фактор занимательности - это приобщение учащихся к творческому поиску, активизация их самостоятельной исследовательской деятельности, так как уникальность занимательной задачи служит мотивом к учебной деятельности, развивая и тренируя мышление вообще и творческое, в частности.

Пример: Незнайка и Знайка хотели сравнить углы, где работа Незнайки. Почему?

Как правильно сравнивать углы?

Следующий момент занимательности - это смекалка. Смекалка - это особый вид проявления творчества. Она выражается в результате анализа сравнений, обобщений, установления связей, аналогии, выводов, умозаключений. Эти качества можно и нужно развивать в процессе обучения.

В своей практике я использую такие занимательные элементы урока:

1. Петух на одной ноге весит 4 кг. А на двух?

2. Кирпич весит 1,5 кг и ещё полкирпича. Какова масса кирпича?

А также задачи на внимание и сравнение.

3. Определите, сколько треугольников вы видите на рис.1?

4. Уберите лишнюю фигуру. Ответ обоснуйте.

Умение применять ранее усвоенные способы решения проблем в новой учебной или жизненной ситуации и находить новые способы решения учебных проблем характеризует уровень интеллектуального развития ученика. Учащиеся должны уметь анализировать учебный материал, выделять в нём главное, сравнивать и сопоставлять, синтезировать и обобщать, делать выводы. И самое главное - должны уметь держать в уме основную нить рассуждений.

Развитию исследовательской деятельности способствует использование геометрического материала.

1. В 5 классе при решении геометрических задач предлагаю решить задачу: На раскопках древнего города найдены остатки истлевшего от времени ковра. Восстановите ковер, если известно, что он прямоугольной формы, а точка О- точка пересечения диагоналей этого прямоугольника.

2. Раздаю учащимся развертки многогранников и даю задание - собрать модель многогранника и исследовать его простейшие свойства. Результаты исследования оформить в таблицу.

3. При изучении темы «Окружность» в 6 классе на заключительном этапе урока обсуждаем тела вращения и их сечения. Можно задать вопрос: «Какие тела вращения вы знаете?» ( Это конус и цилиндр). Дома вам предстоит провести эксперимент и определить, что же получится в сечении этих геометрических тел и заполнить таблицу.

В школьных учебниках, как правило, излагаются соответствующие программе фрагменты математических теорий (алгебры, геометрии, математического анализа), т.е. готовые системы знаний. Проблема состоит в том, чтобы в процессе обучения смоделировать потенциальную исследовательскую деятельность, результатом которой являются эти знания. Разумеется, к одним и тем же знаниям можно прийти в ходе различных исследований, причем неэквивалентных как с логической, так и с дидактической точки зрения. Поэтому приведенные дальше примеры маленьких исследований не единственно возможные для выбранного материала. Кроме этого, эти примеры представляют собой лишь наброски, этюды учебных исследований, которые могут быть по-разному детализированы и модифицированы.

Тема урока: «Окружность».

Цель урока: выявление связи между длиной окружности и длиной диаметра опытным путём.

Я хотел бы, чтобы изобретатели дали

историю путей, по которым они дошли

до своих открытий.

В тех случаях, когда они вовсе не сообщают этого,

нужно попробовать отгадать эти пути».

Г. Лейбниц.

После сообщения темы урока, эпиграфа, целей применяю коммуникативную атаку, что «мгновенно» включает их в урок - исследование. Рассказываю им такую историю.

Ребята, у кого-нибудь был дома недавно ремонт? Мы с сыном этим летом хотели на веранде заменить линолеум. Я вспомнила, что в сарае стоит очень старый, затвердевший рулон, который и развернуть-то трудно. Хватит его или нет? Знать бы, чтобы не зря разворачивать. И тут мой сын подсказал мне, как это сделать. А вы догадались?

Ученик предложил обернуть рулон верёвкой, затем измерить её длину и умножить на количество окружностей в рулоне. Эта идея совпала с той, что предлагал мне сын, а у меня появилась другая. К концу урока она, наверняка, появится и у вас.

Эксперимент.

Каждый ученик с помощью нити измеряет длину своей окружности, с помощью линейки длину диаметра этой же окружности. По просьбе учителя делит на микрокалькуляторе первое число на второе. Эта же работа производится учеником на доске. Все результаты с точностью до сотых записываются. При этом ученики следят за комментариями учителя: «4,45 - плохо, 3,55 - лучше, 6,33 - очень плохо, 3,16 - хорошо». Это стимулирует догадку. Ученики пытаются сообразить какого результата ждёт учитель. Опыт, полученный в результате такого исследования, предшествует проблемной ситуации. Сбор фактов дал основание для выдвижения различных гипотез: ответ должен быть определённым числом; чем больше диаметр окружности, тем больше получается это число; ответ должен приближаться к числу 3; результат не зависит от размеров окружности.

Далее, на этапе поиска решения проблемы, происходит обсуждение каждой из гипотез, дополнительная проверка фактов, что ведёт к формулированию выводов о числе π. Здесь применён принцип Шерлока Холмса - от частного к общему. Затем сообщаю формулу вычисления длины окружности. Её применение на практике происходит в виде составления заданий на использование нового знания. Примеры придуманных детьми задач:

1. вычислить длину бордюра клумбы в виде круга, которая находится в поселковом парке;

2. вычислить диаметр Земли, уточнив на географии длину экватора.

И, наконец, пришло время решить проблему, поставленную учителем в начале урока о вычислении длины ленты линолеума в рулоне. Достаточно измерить диаметр окружности, лежащей в основании рулона, затем по формуле С=πd вычислить длину этой окружности и умножить её на их количество.

И вторая проблемная задача на этом же уроке.

Две мухи путешествовали. Первая сидела на сидении велосипеда, а вторая примостилась на колесе. Какая из них проделала больший путь в пространстве?

Дети рассуждают.

Если они едут на одном велосипеде, то проедут одинаковый путь, т.к. они выедут из одного места и приедут в другое.

Нет, муха сидящая на колесе, совершает двойное движение: вперёд, вместе с велосипедом, и вращается вместе с колесом. Значит ее путь больше.

Чтобы научить учащихся творчески мыслить, предлагаю им задание на моделирование:

А давайте попробуем проследить траекторию пути каждой мухи с помощью следующей модели: круг, выполненный из картона, с небольшим отверстием на самом краю заставляем катиться по основанию классной доски. При этом в отверстие закрепляем мел (образ мухи). Он и будет вычерчивать траекторию движения мухи, сидящей на колесе.

После такого опыта сомнения рассеялись, и последовал верный однозначный вывод. Кривая, которую описывала муха в пространстве, имеет название циклоида. На этом же уроке мы построили циклоиду в Excel, занося её параметрические уравнения.

В конце урока задаю вопросы:

1. Что нового узнали для себя?

2. Что было самым интересным?

3. Что расскажете родителям, придя из школы домой?

4. Где могут пригодиться в жизни полученные знания?

5. Что удивило сегодня?

И, наконец, о «рефлексии себя в уроке». Предлагаю учащимся оценить себя по десятибалльной системе с позиции: «Я», «МЫ», «ДЕЛО».

Позиция «Я». Допускал ли я ошибки? Какие? Взял ли я их на вооружение? Каков мой вклад в общее дело?

Позиция «МЫ». Помогли ли мне одноклассники, учитель, я им? Чем?

Позиция «ДЕЛА». Узнал ли новое? Какова значимость узнанного? Может ли пригодиться информация, полученная на уроке жизни? Где?

В конце такого исследовательского занятия подвели итоги, анализируя баллы, выставленные учеником себе и учителем ученику. Определили рейтинг каждого ученика в данной работе. На этом уроке прослеживается связь с жизнью, практикой, другими школьными предметами

СЕЧЕНИЯ КОНУСА И ЦИЛИНДРА.

Проведи дома эксперимент и зарисуй сечения геометрических тел.

Тебе есть подсказка ( сколько клеточек в таблице, столько и различных сечений ты должен получить).

КОНУС

ЦИЛИНДР

Исследование провел ______________

Класс_________________________

Оценка_______________________

Можно предложить учащимся одну и ту же геометрическую задачу решить различными способами, это также вызывает у учащихся большой интерес. Например, в 9 классе, при повторении решаем такую задачу: «В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружности».

ОБУЧЕНИЕ ГЕНЕРИРОВАНИЮ ИДЕЙ

ПРИ РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ХАРАКТЕРА

Целями организации исследовательской деятельности по математике являются:

• создание мотивации к проведению исследования;

• удовлетворение познавательных потребностей учащихся;

• расширение круга интересов учащихся;

• воспитание культуры исследовательской деятельности;

• формирование навыков самостоятельной работы.

Для выявления способности учеников мыслить нестандартно необходимо создать условия для развития их представлений. Приведу примеры проблем и задач, при решении которых учащиеся могут продемонстрировать умение выдвигать гипотезы и генерировать различные идеи, и покажем, как учитель может организовать работу с учениками. Такая работа позволяет выделить тех ребят, кто способен решать задачи различными способами, и сформировать у школьников простейшие элементы культуры исследовательской деятельности по математике.

Задача 1. Предложите различные способы определения положения центра для данного круга.

Решение этой проблемы в классе вызовет интерес, так как задача посильна учащимся. Конечно, будет предложено несколько способов. Элемент соревновательности увлечет ребят. Но часть решений окажется ошибочной или не полностью проработанной, ответ одного ученика будет дополняться уточнениями других, поэтому сложно будет определить вклад каждого.

Лучше, если поставленную на уроке проблему каждый рассмотрит дома и оформит все найденные решения. На следующем уроке следует обсудить их и сравнить «достижения» учеников. В таком случае использование элемента соревновательности только усиливает мотивацию к дальнейшему занятию исследовательской деятельностью.

Коллективное обсуждение различных способов решения этой задачи и выявление у них общих шагов также будут способствовать формированию у школьников культуры исследовательской деятельности.

После постановки проблемы у учащихся, заинтересованных в решении задачи, могут возникнуть разные вопросы.

1. Какими инструментами можно пользоваться при решении задачи?

2. Каким образом задан круг: нарисован на листе бумаги, вырезан из картона или фанеры и т.д.?

3. Каков размер круга?

4. Что с ним можно делать (сгибать, разрезать на части и т.д.)?

В этом случае лучше не давать ответы на вопросы, чтобы не сужать круг возможных вариантов решения проблемы, а предоставить ученикам свободу выбора средств для самостоятельной деятельности и импровизации. Другими словами, «отпустить учащихся в свободное плавание» при решении этой проблемы.

Прежде чем читать статью дальше, попробуйте сами найти около десяти способов решения поставленной задачи.

Исследовательская деятельность начнет формироваться, если будет организована система действий по возбуждению мыслительной деятельности, направленной на выявление принципа решения данной проблемы и главных параметров, которыми можно варьировать при решении.

Всякая деятельность, связанная с изучением геометрии, предполагает ориентировочный, исполнительный (конструктивно-операционный) и контролирующий этапы.

В данном случае ориентировочный этап направ­лен на поиск идей, приводящих к пробным вари­антам решения. При этом используются опреде­ление и свойства центра круга.

Исполнительный этап характеризуется выпол­нением операций по конструированию искомого объекта.

На контролирующем этапе необходимо дока­зать, что полученный объект удовлетворяет задан­ным требованиям. В выбранном нами примере до­казательство становится очевидным после предъ­явления того или иного способа построения цен­тра круга, поэтому рассмотрим первые два этапа.

I. Ориентировочный этап

Отметим, что в школьных учебниках геометрии не дается определение центра круга, хотя все авторы под центром круга понимают центр окружности, являющейся границей этого круга.

Анализируя свойства центра круга, пробуем задать направление поиска.

•Центр круга является серединой диаметра, поэтому необходимо направить поиск на построение диаметра круга, а его можно получить, например, перегибанием круга.

•Центр круга лежит на оси симметрии фигуры. Но одной оси недостаточно для определения центра круга. Нужно либо построить еще одну ось симметрии (тогда пересечение двух осей даст центр окружности), либо найти середину построенного диаметра еще одним перегибанием.

Вторая идея почти совпадает с первой, так как диаметр круга лежит на его оси симметрии. Однако близкие идеи не следует сразу отождествлять: иногда небольшое отличие позволяет увидеть объект под другим углом зрения и предложить новый способ построения фигуры.

•Границу данного круга можно рассмотреть как окружность, описанную около треугольника. На диаметр круга опирается вписанный прямой угол. Если использовать прямой угол треугольника, вписанного в окружность, то появится возможность получить еще один способ построения диаметра.

II. Конструктивно-операционный этап

Пусть круг вырезан из листа бумаги, а его центр строится без использования геометрических инструментов. Приведем решения задачи.

Решение 1 (с помощью трех перегибаний листа бумаги)

Линии сгиба будем обозначать пунктиром, а операцию сгибания и разгибания стрелкой.

а) Согнем круг, как показано на рис. 1, получим хорду АВ.

б) Стрелка на рис. 2 показывает, что нужно согнуть круг таким образом, чтобы точки А и В совпали, а затем разогнуть. Получится еще одна линия сгиба - СD.

в) Стрелка на рис. 3 показывает, что нужно сначала согнуть фигуру таким образом, чтобы совместились точки С и D, а потом разогнуть. В результате получим линию МN.

Рис. 3

Обозначим точку пересечения СD и МN буквой О. Точка О - искомый центр круга (см. рис. 3).

Решение 2 (с помощью четырех перегибаний круга)

В этом способе центр круга получается как точка пересечения двух диаметров, перпендикулярных двум хордам. Построение показано на рис. 4-6.

Рис. 6

Решение 3(с помощью двух перегибаний круга)

Центр круга можно получить как точку пересечения взаимно перпендикулярных диаметров. Для этого достаточно двух сгибаний. Они выполняются таким образом, чтобы граница круга совместилась сама с собою, т.е. одна полуокружность совпала с другой полуокружностью (рис. 7, 8).

Рис. 7

Рис. 8

Решение 4 (с использованием листа прямоугольной формы и линейки без делений)

а) Сгибая лист, как показано на рис. 9, нахо­дим биссектрису прямого угла (луч, содержащий его ось симметрии).

б) Расположим круг поверх прямоугольника так, чтобы окружность касалась сторон угла, и с помощью линейки построим ось симметрии круга (рис. 10).

в) Повернем круг так, чтобы он по-прежнему касался сторон угла, и проведем вторую ось симметрии (рис. 11).

Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11

Пересечение двух осей симметрии определяет положение центра круга.

Решение 5 (с использованием центра тяжести материального объекта в форме круга)

Возьмем иголку (или гвоздь), подвесим круг на вертикальной стенке в точке А, которую желательно выбрать ближе к границе круга (рис. 12).

Убедимся в том, что круг может свободно вращаться вокруг точки А.

В этом случае мы имеем дело с материальной моделью круга, имеющей массу, и круг займет положение, при котором его ось симметрии будет направлена вертикально. Если на иголку подвесить груз на нитке, то по линейке, край которой проходит вдоль нити, можно провести ось симметрии АВ круга (см. рис. 12). Подвесив теперь круг в другой точке, расположенной вне построенной оси симметрии, проведем вторую ось симметрии - СD (рис. 13).

Рис. 12

Рис. 13

Заметим, что для этого способа решения вопрос о том, из чего сделан круг, вполне обоснован. Если круг вырезан из тонкой бумаги, то сила трения о стенку может исказить конечный результат, так как при отклонении круга на малый угол сила тяжести может оказаться незначительной.

Решения 6и7(с помощью прямоугольного треугольника)

Расположим прямоугольный треугольник* АВС так, чтобы вершина прямого угла С находилась на окружности, и обозначим точки пересечения окружности с катетами буквами Р и Q, тогда отрезок РQ будет диаметром круга (рис. 14).

Рис. 14

Применив описанный способ построения дваж­ды, получим два диаметра, точка их пересечения - искомый центр круга.

Если после нахождения диаметра круга переги­банием определим его середину (см. решение 3), то получим еще один способ решения проблемы.

Рис. 15

* Вообще говоря, размеры треугольника должны быть таковы, чтобы его катеты пересекали границу круга в различных точках. В качестве треугольника можно взять, например, линейку в форме прямоугольного треугольника.

Заметим, что если размеры треугольника оказались малы и катеты треугольника не пересекают окружность (рис. 15), то предложенный способ построения (см. решение 6) не годится. Этот пример показывает, что возможный вопрос учащихся о величине радиуса круга обоснован.

Решения 8и9(с помощью дополнительных построений)

а) Проведем с помощью линейки прямую t.

б) Расположим круг таким образом, чтобы он касался прямой t, точку касания обозначим буквой С (рис. 16).

С

Рис. 16

в) Пусть один из катетов прямоугольного треугольника находится на прямой, причем вершина прямого угла совпадает с точкой касания, тогда второй катет указывает положение диаметра круга.

г) Далее центр круга можно определить двумя способами: повернув круг и изобразив второй диаметр или перегибая круг (см. решение 3).

Имеет ли значение размер круга в описанном способе решения?

Решения 10-12 (с помощью перегибаний и дополнительных построений)

Чтобы улучшить точность построений в вариантах 1-3 на первом шаге вместо перегибания круга для построения первого отрезка используем линейку.

Решения 13 и 14 (с использованием циркуля и линейки)

а) С помощью линейки проводим произвольную хорду АВ круга (рис. 17).

б) Строим дуги окружностей одинакового радиуса с центрами в точках А и В. Пусть дуги пересекаются в точках С и Д тогда прямая СD содержит диаметр круга.

в) Центр круга можно получить либо перегибанием (см. решение 3), либо делением диаметра пополам с помощью циркуля и линейки.

Ясно, что при этом варианте решения уместен вопрос либо о величине радиуса круга, либо о размере циркуля.

Во всех рассмотренных способах решения можно выделить две общие операции:

1) нахождение диаметра круга;

2) нахождение середины диаметра.

Способы отличаются друг от друга только приемами (действиями), с помощью которых выполняется каждая операция. В одних случаях используются перегибания круга, в других - дополнительные построения. Иногда для нахождения середины построенного диаметра приходится строить второй диаметр. Однако наиболее простое действие - перегибание листа для построения центра круга как точки пересечения двух прямых линий.

Для того чтобы отличить один способ от другого, достаточно найти отличие в действиях по выполнению первой и второй операции.

Учащимся можно предложить проанализировать решение 4 и найти еще один вариант решения, взяв за основу построения, показанные на рис. 9 и 10.

Следующий этап анализа должен быть направлен на поиск ответа на вопрос: все ли способы обнаружены (если ограничиться перечисленными приемами выполнения первой и второй операций)? Учащихся следует побудить задуматься над приведенными способами решения задачи и ориентировать на их сравнение, которое должно помочь найти в этих способах общее и различия.

Операцию по нахождению диаметра круга можно выполнить следующими шестью приемами:

1) двумя перегибаниями с построением вначале произвольной хорды, а затем серединного перпендикуляра к ней (мы не обсуждаем тот факт, что это не самый рациональный путь);

2) одним перегибанием круга;

3) с помощью перегибания прямоугольника (прямоугольного листа бумаги) и проведения диаметра по линейке;

4) с помощью прямоугольного треугольника;

5) с помощью линейки и циркуля;

6) с помощью отвеса и линейки. Операцию по нахождению середины диаметра

можно выполнить такими шестью приемами:

1) двумя перегибаниями (для построения второго диаметра);

2) одним перегибанием диаметра;

3) с помощью прямоугольного листа бумаги и линейки;

4) с помощью прямоугольного треугольника;

5) с помощью линейки и циркуля;

6) с помощью отвеса и линейки.

Общее количество различных способов решения равно произведению числа приемов, которыми можно выполнить первую операцию, на число приемов, которыми можно выполнить вторую операцию, и равно 36.

Полезно также рассмотреть другие вариации данной проблемы, когда вводятся некоторые ограничения. Например, из круга удаляется несколько областей, не содержащих центр круга. Как тогда определить положение центра круга? Можно ли решить задачу, если от границы круга остались три дуги?

На примере решения этой задачи видим, что культура исследовательской деятельности направлена на:

- четкое понимание того, что все случаи рассмотрены;

- выделение общего элемента и различий в рассмотренных случаях;

- указание границ применимости предложенных способов решения.

Познавательная деятельность в этом случае характеризуется следующими признаками:

- стремлением и умением мыслить самостоятельно;

- умением найти собственный подход к решению проблемы;

- умением осуществить критический анализ способов решения - как собственных, так и предложенных другими учащимися.

Обсуждение любого варианта решения должно быть направлено на создание благоприятной обстановки, в которой ученик сможет не только защитить свой способ, но и высказать мнение о способах решения, предложенных другими учащимися.

Рассмотрим теперь еще одну задачу исследовательского характера.

Задача 2. Найдите зависимость между длинами сторон прямоугольного треугольника с катетами а и b и гипотенузой с.

Эта классическая задача описана в различных методических пособиях. Но формируем ли мы при ее решении нечто большее, чем просто умение оперировать с числами? А в какой-нибудь другой задаче снова будем экспериментально подбирать зависимость без путеводной нити? Как использовать на этом этапе рациональные пути поиска, т.е. эвристики?

Работу над задачей 2 можно организовать, например, так. Разбить класс на четыре группы и предложить каждой группе измерить катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника и найти зависимость между их длинами.

Результаты заносятся в таблицу.

Стороны

треугольника

Группа 1

Группа 2

Группа 3

Группа 4

а

3

12

8

6

4

5

15

8

с

5

13

17

10

Учащиеся предлагают различные гипотезы о соотношении длин сторон прямоугольного треугольника на основе числовых характеристик конкретного треугольника.

Первая группа: (учащиеся четвертой группы подтвердили выполнение этой зависимости для их конкретной геометрической фигуры). Третья группа: . Вторая группа: .

После подстановки чисел из таблицы в каждую формулу выясняется, что ни одна из формул не удовлетворяет требуемым условиям. В этот момент важно обратить внимание учащихся на то, что формула, полученная при проведении эксперимента одной группой, должна стать инструментом для вычислений при проведении эксперимента другими группами.

Дальнейший поиск следует осуществить уже под руководством учителя, параллельно обучая методам научного поиска.

Можно ли обосновать, что формулы не удовлетворяют заданным условиям, не осуществляя конкретную проверку? Проблема ведь в том, что иногда можно предложить бесконечно много треугольников со сторонами, удовлетворяющими случайно обнаруженной формуле. Например, в случае формулы это треугольники, длины сторон которых кратны числам и где

Учащимся следует предложить вычислить гипотенузу для треугольника с катетами а = 3 см и b = 4 см и для треугольника с катетами а = 4 см и b = 3 см. При перестановке длин катетов длина гипотенузы не меняется, поэтому формула для ее вычисления должна выглядеть одинаково относительно каждой переменной. Симметрия искомой формулы становится тем инструментом, с помощью которого можно быстро опровергнуть ошибочные формулы (в данном случае и ).

Этим действием мы формируем важнейшее понимание того, что симметрия формулы относительно переменных позволяет значительно сократить число возможных вариантов для экспериментирования. Чтобы эта эвристика была принята учащимся как руководство к действию, к ней следует возвращаться позже: при вычислении площадей фигур, объемов тел и т.д.

А можно ли теперь обосновать, что формула не удовлетворяет условиям, не осуществляя конкретную проверку? В этом случае можно предложить учащимся совершить «предельный переход» (не называя этого термина), а именно, начать уменьшать длину одного из катетов треугольника. Длина гипотенузы будет приближаться к длине (зафиксированной) другого катета, и формула не удовлетворяет предельному переходу.

Изучение функциональной зависимости с помощью предельного перехода важно потому, что оно формирует представление о методах научного исследования: при изменении одного из объектов (аргументов) осуществляется наблюдение за изменением результата (функции). На этом этапе не обязательно говорить об аргументе и о функции, но можно выполнить пропедевтическое действие, которое развивает мышление учащихся и также является эвристикой по сокращению числа вариантов решения задачи.

Другие возможные формулы: с = а + b, а = b + с и b = а + с удовлетворяют предложенным эвристикам, но ни одна из них не удовлетворяет конкретному набору числовых данных. Дальнейший поиск осуществляется значительным изменением этих формул с учетом сформулированных ранее эвристик. Начинаем увеличивать степень переменных а, b, с.

Формулы типа с = а² + b² опровергаются на основе идеи размерности. Поэтому все попытки «подогнать» эту формулу под экспериментальные данные путем введения числовых коэффициентов обречены на неудачу. На этом этапе поиска полезно установить межпредметную связь математики с физикой. Проверка правильности формулы путем сравнения размерностей величин, стоящих в ее левой и правой частях, является в физике доминирующей. Формулы, уравнивающие количество см² и количество см³ или число секунд и число метров, являются ошибочными.

Итак, третья важная идея, на которую можно и нужно опираться при поиске формулы для геометрического объекта, заключается в том, что левая и правая части формулы должны иметь одинаковую размерность.

Наконец, среди формул с² = а² + b², а² = b² + с², b² = а² + с², которые удовлетворяют требованиям симметричности и размерности, а также условиям предельного перехода, обнаруживается искомая формула с² = a² + b².

Описанный путь поиска функциональной зависимости кажется долгим. Но в этом и состоит его воспитательный эффект: ученикам показывается, что открытию предшествует большой труд по анализу данных, выдвижению и проверке гипотез. Особо следует подчеркнуть, что мы обнаружили лишь наиболее правдоподобную гипотезу, которая экспериментально была подтверждена на примере четырех треугольников, а доказательство того, что найденная зависимость будет выполняться для любого прямоугольного треугольника, является следующим важным этапом в решении проблемы.

Использование перечисленных эвристик способствует формированию целостного взгляда на объект, умения опровергать большую часть ошибочных функциональных зависимостей на основе проверки естественных условий. Эти эвристики особенно важны для учителя математики, так как, решая арифметические задачи, он должен возвышаться над конкретными вычислениями и видеть общие идеи при их выполнении.

Нестандартные и исследовательские задачи по геометрии.

Точки и прямые

1. Изобразите: а) четыре прямые и четыре точки так, чтобы на каждой прямой было ровно две точки; б) пять прямых и десять точек так, чтобы на каждой прямой было ровно четыре точки.

2. Сколько прямых можно провести через различные пары из: а) трех точек; б) четырех точек; в) пяти точек; г) n точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой.

3. Можно ли соединить пять точек отрезками так, чтобы каждая точка была соединена ровно с: а) двумя; б) тремя; в) четырьмя другими?

4. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь: а) три прямые; б) четыре прямые; в) пять прямых; г) n прямых?

5. Могут ли семь прямых попарно пересекаться: а) в семи точках; б) в восьми точках?

6. На какое наибольшее число частей разбивают плоскость: а) две прямые; б) три прямые; в) четыре прямые; г) n прямых?

7. Можно ли расположить на плоскости: а) 8 отрезков; б) 7 отрезков так, чтобы каждый из них пересекался ровно с тремя другими?

8. Можно ли семь прямых и семь точек расположить на плоскости так, чтобы через каждую точку проходили ровно три прямые и на каждой прямой лежали ровно три точки?

9. Даны n точек A₁, …, A_n, никакие три из которых не принадлежат одной прямой. Прямая a не проходит через эти точки и пересекает отрезок A₁A₂. Сколько всего отрезков, соединяющих данные точки, пересекает прямая a?

10. Расположите на плоскости шесть точек так, чтобы на расстоянии 1 от каждой из них находилось ровно три точки. Докажите, что шесть точек нельзя расположить так, чтобы на расстоянии 1 от каждой из них находилось ровно четыре точки.

Ломаные и многоугольники

1. Сколько диагоналей имеет: а) треугольник; б) четырехугольник; в) пятиугольник; г) n-угольник?

2. Может ли многоугольник иметь ровно: а) 10 диагоналей; б) 20 диагона­лей; в) 30 диагоналей?

3. Существует ли многоугольник, число диагоналей которого равно числу его сторон?

4. Может ли прямая пересекать все стороны: а) треугольника; б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) шестиугольника?

5. Докажите, что любой выпуклый n - угольник можно разбить на треугольники. Чему равно наименьшее число треугольников?

6. Могут ли четыре точки на плоскости быть вершинами разных че­тырехугольников?

7. Приведите пример десятиугольника, все стороны которого лежат на пяти прямых.

8. Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, состоящая из: а) пяти сторон; б) семи сторон?

9. На плоскости даны пять точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой. Докажите, что из них можно выбрать четыре точки, являющиеся вершинами выпуклого четырехугольника.

10. Докажите, что всякая простая замкнутая ломаная на плоскости разбивает точки плоскости на две области - внутреннюю и внешнюю. При этом всякие две точки из одной области могут быть соединены ломаной, целиком содержащейся в этой области. Если же две точки принадлежат разным областям, то любая ломаная, их соединяющая, пересекается с исходной ломаной.

11. Докажите, что в любом многоугольнике с числом сторон большим трех можно провести диагональ, целиком в нем содержащуюся.

12. Может ли прямая, не проходящая через вершины многоугольника, пересекать его стороны в нечетном числе точек?

13. Может ли прямая иметь с простой замкнутой ломаной нечетное число общих точек?

14. Может ли прямая пересекать все стороны: а) 2n+1-угольника; б) 2n-угольника?

15. Прямая l пересекает замкнутую ломаную в 2005 точках. Докажите, что существует прямая l', пересекающая эту ломаную более чем в 2005 точках.

16. Постройте замкнутую шестизвенную ломаную, пересекающую каждое свое звено ровно один раз.

17. В выпуклом многоугольнике проведены все его диагонали. Они разбивают этот многоугольник на более мелкие многоугольники. Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник разбиения, если исходный многоугольник имеет 13 сторон?

18. Нарисуйте какой-нибудь многоугольник и точку O внутри него так, чтобы ни одна из сторон не была видна из нее полностью. Нарисуйте многоугольник и точку вне его так, чтобы ни одна сторона не была видна из нее полностью.

19. На плоскости даны 4000 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно найти 1000 непересекающихся четырехугольников с вершинами в этих точках.

20. На плоскости даны n точек так, что любые четыре из них являются вершинами выпуклого четырехугольника. Докажите, что в этом случае все точки являются вершинами выпуклого многоугольника.

21. На какое наибольшее число частей разбивают плоскость: а) два треугольника; б) три треугольника?

22. Приведите пример, когда общей частью (пересечением) двух треугольников является: а) треугольник; б) четырехугольник; в) пятиугольник; г) шестиугольник. Может ли пересечением двух треугольников быть семиугольник?

23. Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырехугольника является восьмиугольник.

24. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

25. Докажите, что в любом выпуклом 11-угольнике найдутся две диагонали, угол между которыми не превосходит 5.

26. На плоскости даны n точек. Докажите, что кратчайшая ломаная с вершинами в этих точках не имеет самопересечений.

27. Для каких n существует выпуклый n-угольник, у которого одна сторона равна единице, а все диагонали выражаются целыми числами?

28. Соедините: а) 9 точек (рис. 1, а) 4-сторонней ломаной; б) 16 точек (рис. 1, б) 6-сторонней ломаной.

Соотношения между элементами треугольника

1. Точка M лежит внутри треугольника ABC. Какой из углов больше BAC или BMC?

2. Пусть в треугольнике ABC выполняется неравенство AC>BC. Докажите, что: а) для медианы CD выполняется неравенство ACD < BCD; б) для биссектрисы CD выполняется неравенство AD>BD; в) для высоты CH выполняется неравенство ACH > BCH.

3. Докажите, что медиана треугольника меньше его полупериметра.

4. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки вне треугольника до вершин этого треуголь­ника больше полупериметра треугольника, а в случае, если точка лежит внутри или на контуре треугольника, та же сумма меньше его периметра.

5. В каких пределах может изменяться периметр p треугольника, у ко­торого две стороны равны a и b (a<b)?

6. Докажите, что биссектриса треугольника лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.

Окружность и круг

1. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь: а) две окружности; б) три окружности; в) четыре окружности; г) n окружностей?

2. На какое наибольшее число частей разбивают плоскость: а) две окружности; б) три окружности; в) четыре окружности; г) n окружностей?

3. Сколько окружностей можно провести через различные тройки из: а) трех точек; б) четырех точек; в) пяти точек; г) n точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?

4. Могут ли попарно касаться друг друга: а) три окружности; б) четыре окружности; в) пять окружностей?

5. Могут ли попарно касаться друг друга внешним образом: а) три окружности; б) четыре окружности; в) пять окружностей?

6. Могут ли четыре окружности одинакового радиуса попарно касаться друг друга?

7. Найдите геометрическое место центров окружностей радиуса R₁, касающихся данной окружности с центром в точке O и радиусом R₂. Рассмотрите случаи: а) R₁ < R₂; б) R₁ = R₂; в) R₁ > R₂.

8. Докажите, что в круге радиуса 1 нельзя выбрать более пяти точек, все попарные расстояния между которыми больше 1.

9. На шахматной доске с обычной раскраской нарисуйте окружность наибольшего возможного радиуса так, чтобы она не пересекала ни одного белого поля.

10. Каково наименьшее число кругов, которыми можно покрыть круг вдвое большего радиуса?

11. Внутри окружности с центром O дана точка A, отличная от O. Найдите на окружности точку M, для которой угол AMO наибольший.

12. Известно, что шесть кругов имеют общую точку. Докажите, что хотя бы один из них содержит центр некоторого другого круга.

Углы многоугольника

1. По углам и при основании треугольника (<) определите угол между высотой и биссектрисой угла при вершине, противолежащей основанию.

2. По углам и прямоугольного треугольника (<) определите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.

3. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла.

4. В равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB=BC, ABC = 80°. Внутри треугольника взята точка O так, что OAC = 10°, а OCA = 30°. Найдите AOB.

5. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.

6. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

7. Докажите, что сумма углов произвольного n - уголь­ника равна 180°(n-2).

8. Чему равна сумма острых углов произвольной пятиконечной звез­дочки (рис. 11)?

9. Найдите суммы углов семиконечных звездочек (рис. 12, а,б).

10. Докажите, что в любом выпуклом 11-угольнике найдутся две диагонали, угол между которыми не превосходит 5°.

11. Даны угол и две точки A и В, лежашие на одной из его сторон. На дру­гой стороне угла найдите такую точку С, чтобы угол АСВ достигал наибольшего значения.

12. В выпуклом шестиугольнике все углы равны. Докажите, что разности противоположных сторон такого шестиугольника равны между собой.

Вписанные и описанные многоугольники

1. Можно ли описать окружность около: а) параллелограмма; б) прямоугольника; в) ромба?

2. Приведите примеры четырехугольников, около которых нельзя описать окружность.

3. Можно ли вписать окружность в: а) параллелограмм; б) прямоу­гольник; в) ромб?

4. Какой вид имеет четырехугольник, если центр вписанной в него окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей?

5. Может ли вписанный в окружность многоугольник иметь равные стороны, но неравные углы?

6. Может ли вписанный в окружность многоугольник иметь равные углы, но неравные стороны?

7. Докажите, что если сумма противоположных углов четырехуголь­ника равна 180°, то около него можно описать окружность.

8. Можно ли описать окружность около четырехугольника со сторонами 1 см, 2 см, 3 см, 4 см?

9. Стороны вписанного в окружность четырехугольника ABCD равны a, b, c, d. Найдите его диагонали.

10. Докажите, что произведение диагоналей произвольного четырехугольника меньше или равно сумме произведений его противоположных сторон, причем равенство достигается только в случае четырехугольника, вписанного в окружность.

11. Можно ли описать окружность около пятиугольника с углами 80°, 90°, 100°, 130°, 140°?

12. Докажите, что сумма любых двух несоседних углов вписанного пятиугольника больше 180°.

13. Докажите, что для пятиугольника ABCDE, вписанного в окружность радиуса R имеют место равенства:

14. Можно ли описать окружность около пятиугольника со сторонами 1, 2, 3, 4, 5?

15. Можно ли описать окружность около шестиугольника с углами 100°, 110°, 120°, 120°, 130°, 140°?

16. Докажите, что сумма трех несоседних углов вписанного шестиугольника равна 360°.

17. Докажите, что суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны.

18. Докажите, что если сум­мы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

19. Можно ли вписать окружность в четырехугольник с углами 70°, 80°, 100°, 110°?

20. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание. Можно ли в образованный ими выпуклый четырехугольник вписать окружность?

21. Докажите, что биссектрисы углов любого четырехугольника при пересечении образуют четырехугольник, который может быть вписан в окружность. 20. Можно ли вписать окружность в пятиугольник со сторонами 1, 2, 1, 2, 1?

22. Докажите, что сумма любых двух несоседних сторон описанного пятиугольника меньше суммы трех оставшихся сторон.

23. Докажите, что для пятиугольника ABCDE, описанного около окружности, радиуса R имеют место равенства:

24. Можно ли вписать окружность в пятиугольник с углами 80°, 100°, 110°, 120°, 130°?

25. Докажите, что сумма любых трех несоседних сторон описанного шестиугольника равна сумме трех оставшихся сторон.

Параллелограмм

1. Докажите, что биссектрисы внутренних уг­лов параллелограмма в пересечении образуют прямоугольник, диа­гональ которого равна разности соседних сторон па­раллелограмма.

2. Докажите, что биссектриса внешнего угла параллелограмма вместе с его сторонами (или их продолжениями), не проходящими через вершину этого угла, образует равнобедренный треуголь­ник, сумма боковых сторон которого равна периметру парал­лелограмма.

3. В параллелограмме ABCD точка М - середина СВ, N - середина CD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

4. Биссектрисы углов A и B при основании равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке Е и при продолжении встречают окружность, описанную около этого треугольника в точках D и F. Докажите, что четырехугольник EDCF - ромб.

5. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Какой четырехугольник образуют центры этих квадратов?

6. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются верши­нами параллелограмма.

7. У четырехугольника диагонали равны а и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

8. Докажите, что в четырехугольнике с непараллельными про­тивоположными сторонами середины диагоналей и середины двух противоположных сторон есть вершины некоторого параллело­грамма.

9. На сторонах AВ и ВС треугольника AВС построены вне его квадраты ABDE и BCFG. Докажите, что отрезок DG в два раза больше медианы ВР треугольника.

10. Каждая из сторон треугольника разделена на три равных отрезка и точки деления соединены отрезками. Найдите периметр образовавшейся при этом фигуры (рис. 13), если периметр исходного треугольника ра­вен p.

Трапеция

1. Докажите: а) сумма боковых сторон трапеции больше разности ос­нований; б) сумма диагоналей трапеции больше суммы оснований.

2. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапе­ции, параллелен ее основаниям и равен полуразности оснований.

3. Может ли средняя линия трапеции пройти через точку пересече­ния диагоналей?

4. В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов A и B пересекают противоположные стороны соот­ветственно в точках Е и F. Докажите, что четырехугольник AFEB есть трапеция с тремя равными сторонами.

5. Докажите, что биссектрисы углов, прилежащих к одной из непараллельных сторон трапеции, пересекаются под прямым углом в точке, лежащей на средней линии трапеции.

6. Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противополож­ных сторон выпуклого четырехугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырехугольник - трапеция или параллелограмм.

7. Существуют ли такие трапеции, в которые можно как вписать, так и описать около них окружность?

8. В четырехугольнике ABCD точки M, N, Р и Q являются соответственно серединами сторон AB, ВС, CD и DA. Докажите, что отрезки МР и QN в точке пересечения делятся пополам.

9. Середины сторон AB и CD, BC и ED выпуклого пятиугольника ABCDE соединены отрезками. Середины H и K полученных отрезков снова соединены. Докажите, что отрезок HK параллелен отрезку AE и равен AE.

10. Точка внутри равнобедренной трапеции соединена со всеми вершинами. Докажите, что из четырех получившихся отрезков можно сложить четырехугольник, вписанный в эту трапецию (на каждой стороне трапеции лежит вершина четырехугольника).

Движения

1. Докажите, что движение переводит: а) отрезок в отрезок; б) луч в луч; в) прямую в прямую.

2. Докажите, что движение переводит полуплоскость в полуплоскость, угол в угол.

3. Докажите, что движением является: а) параллельный перенос; б) центральная симметрия; в) осевая симметрия; г) поворот.

4. Может ли центр симметрии фигуры не принадлежать ей?

5. Может ли фигура иметь: а) ровно два центра симметрии; б) бесконечно много центров симметрии?

6. Какая точка при центральной симметрии переходит в себя?

7. Какие прямые при центральной симметрии переходят в себя?

8. Имеет ли луч центр симметрии?

9. Имеет ли центр симметрии пара пересекающихся прямых?

10. На какой угол нужно повернуть прямую вокруг точки, не принад­лежащей этой прямой, чтобы получить прямую, параллельную исходной?

11. Центром симметрии какого порядка является точка пересечения диагоналей: а) параллелограмма; б) ромба в) прямоугольника; г) квадра­та?

12. Имеет ли равносторонний треугольник центр симметрии?

13. Какие точки при осевой симметрии переходят в себя?

14. Какие прямые при осевой симметрии переходят в себя?

15. Приведите примеры фигур, имеющих осевую симметрию.

16. Имеет ли параллелограмм оси симметрии?

17. Укажите оси симметрии: а) прямоугольника; б) ромба; в) квадрата.

18. Сколько осей симметрии имеет правильный n - угольник?

19. Приведите пример фигуры имеющей ось симметрии и не имеющей центра симметрии.

20. Докажите, что если фигура имеет две перпендикулярные оси сим­метрии, то она имеет центр симметрии.

21. В каком случае прямая при осевой симметрии переходит в парал­лельную ей прямую?

22. Существует ли параллельный перенос, при котором одна сторона треугольника переходит в его другую сторону?

23. При каком условии существует параллельный перенос, отображаю­щий один отрезок на другой?

24. Даны две параллельные прямые. Сколько существует параллельных переносов, переводящих одну из них в другую?

25. Докажите, что параллельный перенос может быт получен как ре­зультат двух осевых симметрий с параллельными осями.

26. Докажите, что последовательное выполнение двух центральных симметрий представляет собой параллельный перенос.

27. Представьте поворот в виде последовательного выполнения двух осевых симметрий.

28. Докажите, что равные треугольники можно перевести один в дру­гой с помощью не более трех осевых симметрий.

29. Докажите, что если выпуклый многоугольник разбит на конечное число многоугольников, каждый из которых имеет центр симметрии, то и сам рассматриваемый многоугольник имеет центр симметрии.

30. На продолжении стороны AC равностороннего треугольника ABC построен равносторонний треугольник CDE (рис. 14). Докажите, что треугольник CMP, где M и P - середины отрезков AD и BE соответственно, - равносторонний.

Подобие

1. Можно ли треугольник пересечь прямой, не параллельной основа­нию, так, чтобы отсечь от него подобный треугольник?

2. В треугольнике АВС с острым углом С проведены высоты АЕ и BD. Докажите, что треугольники АВС и EDC подобны.

3. Докажите, что биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

4. Приведите примеры фигур, которые подобны сами себе при любом коэффициенте подобия.

5. Какие условия должны выполняться, чтобы были подобны: а) два ромба; б) два параллелограмма; в) две равнобедренные трапеции?

6. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка P так, что AP=AD/n; Q - точка пересечения прямых AC и BP. Докажите, что AQ=AC/(n+1).

7. Докажите, что среди содержащихся в полукруге прямоугольников наибольший периметр имеет тот, у которого одна из сторон лежит на диаметре и в четыре раза больше другой.

8. Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно целиком накрыть двумя меньшими подобными ему треугольниками.

9. Верно ли, что подобие переводит: а) параболы в параболы; б) эллипсы в эллипсы; в) гиперболы в гиперболы?

10. Верно ли, что подобны: а) любые две параболы; б) любые два эллипса; в) любые две гиперболы?

Замечательные точки и линии в треугольнике

1. К какой из сторон треугольника ближе расположен центр описанной окружности?

2. К какой из вершин треугольника ближе расположен центр вписанной окружности?

3. К какой из вершин треугольника ближе расположен ортоцентр (точка пересечения высот)?

4. К какой из сторон треугольника ближе расположен ортоцентр?

5. Какая из высот треугольника наименьшая?

6. К какой из вершин и какой из сторон треугольника ближе расположена точка пересечения медиан?

7. Какая из медиан треугольника наименьшая?

8. Где находится точка пересечения серединных перпендикуляров для: а) прямоугольного треугольника; б) остроугольного треугольника; в) тупоугольного треугольника?

9. В треугольнике соединены середины его сторон. Докажите, что точка пересечения медиан полученного треугольника совпадает с точкой пересечения медиан исходного треугольника.

10. Докажите, что если какие-нибудь две из замечательных точек треу­гольника совпадают, то этот треугольник - равносторонний.

11. Может ли одна биссектриса треугольника проходить через середину другой?

12. Выясните, для каких четырехугольников биссектрисы всех его углов пересекаются в одной точке.

13. Пусть ABCD и BKMN - два квадрата. Докажите, что продолжая медиану BE треугольника ABN за вершину B, получим высоту в треугольнике KBC.

14. Пусть в треугольнике ABC, точки A', B', C' обозначают середины сторон противоположных соответствующим вершинам; H - точка пересечения высот треугольника; D, E, F - основания высот; X, Y, Z - середины отрезков AH, BH и CH. Докажите, что точки A', B', C', D, E, F, X, Y, Z лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек.

15. Докажите, что центр S описанной окружности, ортоцентр Н и центр тяжести G треугольника лежат на одной прямой (прямая Эйлера). При этом центр окружности девяти точек лежит посередине между центром пересечения высот и центром описанной окружности.

16. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на три стороны вписанного в нее треуголь­ника, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

17. На сторонах треугольника построены равносторонние треугольники и около них описаны окружности. Докажите, что эти окружности пересекаются в одной точке, называемой точкой Торричелли.

18. Пусть a - произвольная прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольника ABC. Одну из полуплоскостей, определяемых этой прямой будем считать положительной, а другую - отрицательной. Докажите, что сумма расстояний от вершин треугольника до прямой a, взятых со знаком "+" или "-", в зависимости от того, какой полуплоскости принадлежит соответствующая вершина, равна нулю.

19. Докажите, что сумма расстояний от вершин треугольника ABC до произвольной прямой a, взятых со знаком "+" или "-", в зависимости от того, какой полуплоскости принадлежит соответствующая вершина, равна утроенному расстоянию (со знаком "+" или "-") от точки пересечения медиан данного треугольника до этой прямой.

Нахождение элементов треугольника

1. Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла равно диаметру описанной окружности.

2. Докажите, что для углов произвольного треугольника ABC имеет место формула: sin C = sin Acos B + cos Asin B.

3. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим боковым сторонам.

4. Докажите, что в равностороннем треугольнике сумма рас­стояний от всякой точки, взятой внутри этого треугольника до его сторон, есть величина постоянная, равная высоте треугольника.

5. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что OC=AB. Найдите угол при вершине C.

6. Найдите угол C треугольника ABC, если расстояние от вершины C до ортоцентра (точка пересечения высот) равно радиусу описанной окружности.

7. Найдите углы треугольника, в котором высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на три равные части.

8. Найдите углы треугольника, в котором высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на четыре равные части.

9. В треугольнике ABC точки D и E лежат на сторонах BC и AC и делят их в отношении 1:2, считая от вершины C. В каком отношении делятся отрезки AD и BE точкой M их пересечения?

10. В треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Найдите медиану CD = m_c этого треугольника.

11. По трем медианам треугольника ABC m_a, m_b, m_c вычислите его стороны a, b и c.

12. Докажите, что квадрат биссектрисы угла при вершине треугольника равен разности между произведением боковых сторон и произведением отрезков основания.

13. В треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Найдите биссектрису CD = c этого треугольника.

Площадь треугольника

1. Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

2. Внутри треугольника ABC взята точка P так, что площади треугольников ABP, BCP и ACP равны. Докажите, что P - точка пересечения медиан треугольника ABC.

3. В параллелограмме одна из вершин соединена с серединами противоположных сторон и с противоположной вершиной. Докажите, что об­разовавшиеся при этом треугольники равновелики.

4. Докажите, что прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая ее основания, делит трапецию на две равнове­ликие части.

5. Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что треугольники, прилегающие к ее боковым сторонам, равновелики.

6. Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Найдите ее площадь, если площади треугольников, прилегающих к основаниям трапеции, равны S₁ и S₂.

7. В треугольнике АВС через точку О пересечения его медиан про­ведены отрезки, параллельные сторонам треугольника (рис. 17). Докажи­те, что образовавшиеся при этом три трапеции равновелики.

8. Докажите, что площадь любого параллелограмма, лежащего внутри треугольника, не превосходит половины площади этого треугольника.

9. Докажите, что периметр всякого прямоугольника (отличного от квадрата) больше перимет­ра равновеликого ему квадрата.

10. Докажите, что среди всех треугольников с данной площадью и данной стороной наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник, основанием которого является данная сторона.

11. Будет ли площадь равностороннего треугольника, постро­енного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей равносторонних треугольников, построенных на его катетах?

12. В треугольнике проведены все средние линии. Какую часть площа­ди данного треугольника составляет площадь треугольника, образованного этими линиями?

13. Докажите, что из всех прямоугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет квадрат.

14. Стороны АВ и CD параллелограмма ABCD площади 1 разбиты на n равных частей, AD и ВС - на m равных частей. Точки деления соединены так, как показано на рисунке 18. Чему равны площади обра­зовавшихся при этом маленьких параллелограммов?

15. На плоскости расположены n точек так, что любой треугольник с вершинами в этих точках имеет площадь не больше 1. Докажите, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.

16. Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 м²?

17. Через точку, расположенную внутри угла, проведите прямую, отсекающую от этого угла треугольник наименьшей площади.

18. Из медиан данного треугольника построен треугольник. Найдите отношение площадей данного и построенного треугольников.

Площади фигур

1. Квадрат со стороной a повернут вокруг центра симметрии на угол 45°. Найдите площадь фигуры, которая является общей частью (пересечением) квадратов.

2. Внутри выпуклого четырехугольника ABCD, площади S, взята точка. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки, симметричные выбранной точке относительно середин сторон данного четы­рехугольника.

3. Каждая диагональ выпуклого пятиугольника отсекает от него тре­угольник, площадь которого равна 1. Найдите площадь пятиугольника.

4. Докажите, что в любом выпуклом шестиугольнике найдется диагональ, которая отсекает от него треугольник площади не большей, чем одна шестая площади шестиугольника.

5. Докажите, что если в выпуклом многоугольнике все стороны равны между собой, то сумма расстояний от произвольной точки, лежащей внутри мно­гоугольника до его сторон, есть величина постоянная.

6. Три окружности радиусов R₁, R₂, R₃ попарно касаются друг друга внешним образом. Через точки касания проведена окружность. Найдите площадь полученного круга.

7. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей полукру­гов, построенных на катетах.

8. У ломаной АВСDE все вершины лежат на окружности (рис. 19). Углы в вершинах В, С и D равны 45°. Докажите, что площадь заштрихован­ной части круга равна половине его площади.

9. На рисунке 20 заштрихованная фигура состоит из четырех лу­ночек Гиппократа. Найдите ее площадь, если сторона квадрата АВСD равна единице.

10. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF противоположные стороны параллельны. Докажите, что площади треугольников ACE и BDF равны.

11. Отрезок, соединивший середины противоположных сторон выпукло­го четырехугольника, разделил его площадь пополам. Докажите, что этот четырехугольник - трапеция.

12. В прямоугольнике вырезали дырку прямоугольной формы (рис. 21). Проведите прямую, которая делит образовавшуюся фигуру на две равновеликие части.

13. На клечатой бумаге со стороной клетки, равной 1, проведена окружность радиуса 10. Докажите, что внутри этой окружности лежит не менее 250 вершин клеток.

14. Через вершину выпуклого четырехугольника проведите прямую, разбивающую его на две фигуры одинаковой площади.

15. Длина спички равна 1. Составьте из 12 спичек многоугольник, ограничивающий площадь, равную четырем.

16. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Найдите геометрическое место точек M этого четырехугольника, для которых площади фигур ABCM и ADCM равны.

17. Выпуклый многоугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел является полным квадратом.

ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И

МИНИМУМ

1. Дана прямая с и две точки А и В, не лежащие на этой прямой. Найдите такую точку С на прямой c, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей.

2. Дана прямая с и две точки А и В, лежащие по одну сторону от этой прямой. Найдите такую точку С на прямой c, чтобы модуль разности АС - СВ был наибольшим.

3. Внутри угла со сторонами a и b даны точки C₁ и C₂. Найдите такие точки A и B на сторонах этого угла, чтобы длина ломаной C₁ABC₂ была наименьшей.

4. Внутри угла со сторонами a и b дана точка C. Найдите такие точки A и B на сторонах этого угла, чтобы периметр треугольника ABC был наименьшим. Рассмотрите случаи остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника.

5. На сторонах данного треугольника ABC найдите такие точки D, E, F, для которых периметр треугольника DEF был бы наименьшим.

6. Для данного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника принимает наименьшее значение.

7. Для данного четырехугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин четырехугольника принимает наименьшее значение.

8. Через точку, расположенную внутри данного угла, проведите прямую, отсекающую от этого угла треугольник наименьшей площади.

9. Докажите, что из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.

10. Докажите, что из всех треугольников данного периметра наибольшую площадь имеет правильный треугольник.

11. Из всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите треугольник наибольшей площади.

12. Из всех прямоугольников, вписанных в данную окружность, найдите прямоугольник наибольшей площади.

13. Максимальным будем называть n-угольник, имеющий наибольшую площадь из всех n-угольников заданного периметра. Докажите, что максимальный n-угольник должен: а) быть выпуклым; б) иметь равные стороны; в) иметь равные углы.

Координаты и векторы на плоскости

1. Докажите, что для точки O пересечения медиан треугольника ABC выполняется равенство

2. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин данного треугольника была бы наименьшей.

3. Докажите, что для центра O описанной около правильного пятиугольника ABCDE окружности выполняется равенство .

4. Докажите, что для любой системы точек A₁,…, A_n существует единственная точка O (центроид), для которой выполняется равенство

5. Докажите, что если система точек A₁,…, A_n имеет центр симметрии (m-го порядка), то центроид этой системы совпадает с центром симметрии.

6. Докажите, что для любой прямой a, проходящей через центроид O системы из n точек A₁,…, A_n, сумма расстояний от этих точек до прямой a, взятых со знаком + или -, в зависимости от того, какой полуплоскости принадлежит соответствующая точка, равна нулю.

7. Докажите, что сумма расстояний от точек A₁,…, A_n до произвольной прямой a, взятых со знаком + или -, в зависимости от того, какой полуплоскости принадлежит соответствующая вершина, равна n-кратному расстоянию (со знаком + или -) от центроида Oдо этой прямой.

8. Найдите уравнение параболы, приняв за фокус точку F(0,а) и за директрису прямую y=-a.

9. Найдите уравнение эллипса, приняв за фокусы точки F₁(-c,0), F₂(c,0).

10. Найдите уравнение гиперболы, приняв за фокусы точки F₁(-с,0), F₂(с,0).

11. Найдите уравнение лемнискаты Бернулли, приняв за фокусы точки F₁(-a,0), F₂(a,0).

12. Нарисуйте декартов лист - кривую, уравнение которой имеет вид

13. Нарисуйте спираль Архимеда - кривую, заданную уравнением в полярных координатах: r = a. Возьмите a=1; a=1/; a=-1/.

14. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?

15. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = sin 3.

16. Нарисуйте гиперболическую спираль - кривую, задаваемую уравнением r = a/.

17. Нарисуйте спираль Галилея - кривую, задаваемую уравнением r = a².

18. Нарисуйте логарифмическая спираль - кривую, задаваемую уравнением r = a^φ.

19. Докажите, что уравнения

задают циклоиду.

20. Найдите уравнение кардиоиды - кривой, являющейся траекторией дви­жения точки, закрепленной на окружности, которая катится с внешней стороны по другой окружности такого же радиуса (рис. 24).

21. Найдите уравнение астроиды - кривой, являющейся траекторией дви­жения точки, закрепленной на окружности, которая катится с внутренней стороны по другой окружности в 4 раза большего радиуса (рис. 25).

22. Нарисуйте кривую, напоминающую лист клевера и задаваемую уравнением r = 4(1 + cos 3) + 4sin²3.

Прямые и плоскости в пространстве

1. Сколько плоскостей можно провести через различные тройки из: а) четырех точек; б) пяти точек; в) n точек, никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости?

2. Какое наибольшее число прямых может получиться при попарных пересечениях: а) трех плоскостей; б) четырех плоскостей; в) n плоскостей?

3. В пространстве даны n параллельных между собой прямых. Сколько плоскостей можно провести через различные пары этих прямых, если известно, что никакие три из них не лежат в одной плоскости?

4. На сколько частей разбивают пространство плоскости граней: а) тетраэдра; б) куба?

5. На какое наибольшее число частей могут разбивать пространство: а) три плоскости; б) четыре плоскости; в) n плоскостей?

6. Сколько пар скрещивающихся прямых можно образовать из: а) трех прямых; б) четырех прямых; в) n прямых, никакие две из которых не лежат в одной плоскости?

7. В треугольной пирамиде ABCD середины ребер соединены последовательно отрезками. Докажите, что полученный четырехугольник есть параллелограмм.

8. Докажите, что два отрезка, соединяющих середины скрещивающихся ребер треугольной пирамиды ABCD, пересекаются.

9. Докажите, что если имеется конечное число прямых, каждые две из которых пересекаются, то или все они лежат в одной плоскости, или все проходят через одну точку.

10. Из шести спичек сложите четыре равных треугольника.

Многогранные углы

1. Докажите, что биссектральные плоскости всех трех двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одной прямой.

2. Докажите, что плоскости, проходящие через биссектрисы граней трехгранного угла и перпендикулярные этим граням, пересекаются по одной прямой.

3. Докажите, что плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и через биссектрисы его противоположных граней, пересекаются по одной прямой.

4. Докажите, что плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и перпендикулярные противоположным граням, пересекаются по одной прямой.

5. Докажите, что любой выпуклый четырехгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

6. Докажите, что сумма двух плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла.

7. Докажите, что сумма двугранных углов трехгранного угла больше 180.

8. Докажите, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360.

9. Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45° и 60°. Найдите величину двугранного угла между плоскостями плоских углов в 45°.

10. Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах, от вершины, отложены одинаковые отрезки OA, OB, OC. Найдите величину двугранного угла между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC.

Многогранники

1. Может ли в пирамиде быть 21 ребро?

2. Может ли в призме быть 16 ребер?

3. Может ли многогранник иметь 7 ребер?

4. Докажите, что у любого многогранника число граней с нечетным числом ребер четно.

5. Докажите, что у любого многогранника число вершин, в которых сходится нечетное число ребер, четно.

6. Докажите, что для числа вершин В, числа ребер Р и числа граней Г многогранника выполняются неравенства: 2Р 3В, 2Р 3Г.

7. Докажите, что для любого n > 5 и отличного от 7 существует многогранник с n ребрами.

8. Докажите, что у любого многогранника существуют, по крайней мере, две грани с одинаковым числом ребер. Приведите пример многогранника, у которого нет трех граней с одинаковым числом ребер.

9. Докажите, что у любого многогранника существуют, по крайней мере, две вершины, в которых сходится одинаковое число ребер. Приведите пример многогранника, у которого нет трех вершин, в которых сходится одинаковое число ребер.

10. Существует ли тетраэдр ABCD, для которого противоположные ребра равны соответственно: AB=CD=3; AC=BD=4; AD=BC=5.

11. Приведите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками.

12. Существуют ли отличные от куба многогранники, все грани которых являются равными между собой квадратами?

13. Существует ли многогранник, все грани которого являются параллелограммами, но который не является призмой?

14. Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию?

15. Верно ли, что высоты любого тетраэдра пересекаются в одной точке?

16. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке, называемой центроидом тетраэдра, которая делит эти отрезки в отношении 3:1, считая от вершин тетраэдра.

17. Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое пройдет куб таких же размеров.

18. Докажите, что если все четыре грани тетраэдра имеют одинаковую площадь, то они равны между собой.

19. Докажите, что две плоскости, проходящие через концы обоих троек ребер куба, сходящихся в концах диагонали куба, рассекают эту диагональ на три равные части.

20. Нарисуйте многогранник, ограниченный плоскостями, проходящими через все 12 ребер куба и образующими углы 45° с гранями куба, сходящимися в этих ребрах. Во сколько раз объем этого многогранника больше объема куба?

21. Докажите, что в правильном тетраэдре сумма расстояний от любой его внутренней точки до всех его четырех граней имеет постоянную величину, а именно, равна его высоте.

22. Какое минимальное число красок потребуется для окраски граней куба, при которой со­седние грани имели бы различные цвета?

23. Найдите самый короткий путь по поверхности куба A…D₁ из вершины A в вершину C₁.

24. Найдите расстояние между ребром куба и скрещивающейся с ним диагональю, если ребро куба равно a.

25. Ребро куба равно a. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней.

26. Найдите двугранные углы: а) куба; б) тетраэдра; в) октаэдра; г) икосаэдра; д) додекаэдра.

27. Докажите, что из равных правильных многогранников, отличных от куба, нельзя составить пространственный паркет (заполнить все пространство).

28. Через середины двух ребер куба, выходящих из одной вершины, параллельно третьему ребру, выходящему из той же вершины куба, проведено сечение, отсекающее от куба треугольную призму. Такие же сечения проведены через все возможные пары середин ребер, выходящих из вершин куба. Опишите многогранник, который останется от куба в результате этих отсечений. Сколько у него вершин, ребер и граней? Какую форму имеют грани? Нарисуйте этот многогранник.

29. Через вершины куба, перпендикулярно его диагоналям, проходящим через эти вершины, проведены плоскости. Какой многогранник ограничен этими плоскостями?

30. Через ребра правильного тетраэдра проведены плоскости параллельные противоположным ребрам. Какой многогранник ограничен этими плоскостями?

31. Через ребра октаэдра, перпендикулярно его диагональным сечениям, проведены плоскости. Нарисуйте многогранник, ограниченный этими плоскостями.

32. Разрежьте четыре куба на две части каждый и сложите из них многогранник, называемый усеченным октаэдром (см. рисунок), поверхность которого состоит из шести квадратов и восьми правильных шестиугольников.

Сечения пространственных фигур

1. Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) правильный треугольник; б) равнобедренный треугольник; в) прямоугольный треугольник, г) тупоугольный треугольник; д) квадрат; е) прямоугольник; ж) неравнобедренная трапеция; з) правильный пятиугольник; и) правильный шестиугольник; к) многоугольник с числом сторон больше шести?

2. Постройте сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки, указанные на рисунке 26.

3. Меньший куб поставлен на больший таким образом, что они име­ют общую вершину и их грани попарно параллельны (рис. 27). Постройте сечение полученной фигуры плоскостью, проходящей через три точки, которые лежат на скре­щивающихся ребрах меньшего куба.

4. Постройте сечения четырехугольной пирамиды плос­костями, проходящими через точки A, B, C, указанные на рисунке 28.

5. Может ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получиться квадрат?

6. Проведите плоскость, пересекающую тетраэдр по параллелограмму.

7. Может ли в сечении октаэдра плоскостью получиться: а) треугольник; б) четырехугольник; в) пятиугольник; г) шестиугольник; д) семиугольник; е) восьмиугольник?

8. Докажите, что октаэдр можно пересечь плоскостью так, что в сечении получится правильный шестиугольник.

9. Докажите, что додекаэдр можно пересечь плоскостью так, что в сечении получится правильный шестиугольник.

10. Может ли в сечении тетраэдра плоскостью получится четырехугольник, изображенный на рисунке 29.

11. Постройте сечение икосаэдра, проходящее через ребра KL и MN (рис. 30).

12. Докажите, что вершины K, L, M, N икосаэдра из предыдущей задачи являются вершинами золотого прямоугольника.

13. Докажите, что в сечении цилиндрической поверхности плоскостью получается эллипс. (Эллипсом называется кривая, сумма расстояний от точек которой до двух заданных точек постоянна).

14. Возьмем прямоугольный лист бумаги с нарисованными на нем осями координат Ox и Oy, параллельными соответствующим сторонам (рис. 31,а). Затем свернем этот лист в прямой круговой цилиндр, ради­ус основания которого примем за единицу. Ось Ox свернется в окружность радиуса 1, а ось Oy станет образующей цилиндра (рис. 31,б). Через диа­метр OD полученной окружности проведем сечение, составляющее с плос­костью окружности угол в 45°. В сечении будет эллипс. Развернем теперь лист бумаги. В какую кривую перейдет при этом эллипс. Выясните, какие кривые получатся, если сечение проводить не под углом 45°, а под другими углами?

15. Возьмем прямоугольный лист бумаги с нарисованными на нем осями координат (рис. 31,а). Свернем этот лист в боковую поверхность пря­мой четырехугольной призмы (рис. 31,в). Сторону основания призмы примем за 1. Через точки О и D проведем сечение плоскостью, составляющей с плоскостью основания угол 45°. Развернем лист бумаги. Выясните, какая при этом получится кривая? Что изменится, если сечение проводить под другими углами?

16. Пусть плоскость не проходит через вершину S ко­нической поверхности. Обозначим через φ угол между ее образующей и осью. Докажите, что если плоскость сечения пересекает ось под уг­лом, большим φ, то в сечении конической поверхности получается эллипс.

17. Пусть плоскость не проходит через вершину S конической поверхности и пересекает ее ось под углом φ, равным углу между образующей и осью конической по­верхности. Докажите, что в этом случае в сечении конической поверхности получается парабола. (Парабола - кривая, состоящая из всех точек, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой).

18. Пусть плоскость сечения конической поверхности не проходит через вершину S и пересекает ось под углом меньшим, чем угол φ между образующей и осью конической поверхности. Докажите, что в этом случае в се­чении конической поверхности получается гипербола (гипербола - кривая, состоящая из точек модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек есть величина постоянная).

Вписанные и описанные фигуры

1. Докажите, что около любой треугольной пирамиды можно описать сферу и притом только одну.

2. Может ли центр описанной около треугольной пирамиды сферы на­ходиться вне этой пирамиды?

3. На рисунке 32 изображена пирамида ABCD, ребро DC перпендику­лярно плоскости основания, угол ACB равен 90°. Укажите на рисунке точ­ку O - центр сферы, описанной около пирамиды.

4. Приведите пример пирамиды, около которой нельзя описать сферу.

5. Каким свойством должен обладать многоугольник, лежащий в осно­вании пирамиды, чтобы около нее можно было описать сферу?

6. При каком условии около прямой призмы можно описать сферу? Где будет располагаться центр описанной сферы?

7. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Высота призмы 24 см. Найдите радиус описанной сферы.

8. Можно ли описать сферу около: а) наклонной призмы; б) наклонного па­раллелепипеда?

9. Чему равно наибольшее число точек, которые можно разместить на сфере так, чтобы расстояние между любыми двумя точками были равны?

10. Докажите, что в любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

11. Можно ли вписать сферу в прямоугольный параллелепипед?

12. При каком условии в прямую призму можно вписать сферу?

13. Приведите пример пирамиды, в которую нельзя вписать сферу.

14. Сфера касается всех ребер пирамиды ABCD. Докажите, что AB + CD = AC + BD = AD + BC.

15. Найдите радиус r шара, вписанного в октаэдр с ребром a.

16. Найдите радиусы r, R шаров, вписанного и описанного около додекаэдра с ребром a.

17. Найдите радиусы r, R шаров, вписанного и описанного около икосаэдра с ребром a.

18. При каком условии в цилиндр можно вписать шар?

19. Можно ли описать шар около цилиндра?

20. Можно ли описать шар около наклонного кругового цилиндра?

21. Можно ли вписать шар в конус?

22. Можно ли описать шар около наклонного кругового конуса?

23. Найдите условия, при которых шар можно вписать в усеченный конус.

24. Докажите, что если около каждой грани многогранника можно описать окружность, и в каждой вершине этого многогранника сходятся три ребра, то около данного многогранника можно описать сферу. Приведите пример многогранника, около каждой грани которого можно описать окружность, а около самого многогранника нельзя описать сферу.

Движения в пространстве

1. Докажите, что движение пространства переводит: а) отрезок в отрезок; б) луч в луч; в) прямую в прямую.

2. Докажите, что движение пространства переводит: а) плоскость в плоскость; б) полуплоскость в полуплоскость; в) угол в угол.

3. Докажите, что движение переводит: а) полупространство в полупространство; б) двугранный угол в двугранный угол; в) многогранный угол в многогранный угол.

4. Докажите, что движением является: а) параллельный перенос; б) центральная симметрия; в) осевая симметрия; г) зеркальная симметрия.

5. Может ли центр симметрии фигуры не принадлежать ей?

6. Может ли фигура иметь: а) ровно два центра симметрии; б) бесконечно много центров симметрии?

7. Сколько осей симметрии имеет куб?

8. Сколько плоскостей симметрии имеет куб?

9. Сколько осей симметрии имеет шар?

10. Сколько плоскостей симметрии имеет шар?

11. Приведите примеры пространственных фигур, у которых есть ось симметрии, но нет плоскости симметрии и, наоборот, есть плоскость сим­метрии, но нет оси симметрии.

12. Приведите примеры пространственных фигур с осями симметрии 3-го, 4-го и т.д. порядков.

13. В правильном тетраэдре закрасили одну грань. В результате каких преобразований, оставляющих на месте закрашенную грань, он самосовместится?

14. В кубе закрасили одну грань. В результате каких преобразований, оставляющих на месте закрашенную грань, он само­совместится?

15. Оси симметрии какого порядка имеет: а) правильный тетраэдр; б) октаэдр; в) додекаэдр; г) икосаэдр?

16. Укажите какие-нибудь фигуры, вращением которых можно получить: а) шар; б) полушар; в) цилиндр; г) конус; д) усеченный конус.

17. Какая поверхность получается при вращении прямой, скрещивающейся с осью вращения?

18. Нарисуйте фигуру, получающуюся вращением куба относительно: а) диагонали; б) прямой, соединяющей середины противоположных ребер.

19. Представьте параллельный перенос в виде композиции двух зеркальных симметрий.

20. Представьте поворот вокруг оси в виде композиции двух зеркальных симметрий.

21. Представьте центральную симметрию в виде композиции трех зеркальных симметрий.

22. Докажите, что если грани выпуклого многогранника имеют центры симметрии, то и сам многогранник имеет центр симметрии. Приведите пример многогранника, у которого есть центр симметрии, а его грани не имеют центров симметрии.

23. Сколько имеется различных движений, переводящих в себя: а) правильный тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр?

24. Докажите, что если две пересекающиеся перпендикулярные прямые в пространстве являются осями симметрии данной фигуры Ф, то и прямая, проходящая через точку пересечения и перпендикулярная плоскости этих прямых также будет осью симметрии фигуры Ф.

25. Докажите, что фигура в пространстве не может иметь четное (ненулевое) число осей симметрии.

Параллельное проектирование

1. Какие фигуры могут быть параллельными проекциями: а) двух пересекающихся прямых; б) двух параллельных прямых; в) двух скрещивающихся прямых?

2. Верно ли, что для треугольника, плоскость которого не параллельна направлению проектирования: а) медианы проектируются в медианы; б) высоты проектируются в высоты; в) биссектрисы проектируются в биссектрисы?

3. На рисунке 33 дана параллельная проекция сферы с выделенной большой окружностью. Укажите, где на этом рисунке должны располагаться полюсы сферы.

4. Какой фигурой является ортогональная проекция куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали?

5. Пусть точки A', B' являются параллельными проекциями точек A, B. AA' = a, BB' = b. Точка C делит отрезок AB в отношении m:n. Найдите расстояние между точкой C и ее проекцией C'.

6. Треугольник A'B'C' является параллельной проекцией треугольника ABC. Расстояния между соответствующими вершинами этих треугольников равны a, b, c. Найдите расстояние между точками пересечения медиан треугольников.

7. Пусть многоугольник M лежит в плоскости , образующей угол с плоскостью ' ортогонального проектирования и M' - его ортогональная проекция. Докажите, что площади этих многоугольников связаны формулой: S(M') = S(M)cos.

8. Какова наибольшая площадь ортогональной проекции правильного тетраэдра с ребром a?

9. Какова наибольшая площадь ортогональной проекции куба с ребром a?

10. В каком случае площадь ортогональной проекции прямоугольного параллелепипеда будет наибольшей?

Объем и площадь поверхности

1. Докажите, что площадь любой грани произвольного тетраэдра меньше суммы площадей остальных трех граней.

2. Докажите, что для прямоугольного тетраэдре ABCD (плоские углы при вершине D равны 90°) сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания.

3. Плоскость пересекает ребра SA, SB, SC треугольной пирамиды SABC в точках A', B', C' соответственно. Найдите объем пирамиды SA'B'C', если объем исходной пирамиды равен V и SA':SA =1:2, SB':SB = 2:3, SC':SC = 3:4.

4. По двум скрещивающимся прямым скользят два отрезка АВ и CD постоянной длины. Докажите, что объем пирамиды АВCD при этом не меняется.

5. Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Один из них повернут на 60° по отношению к другому. Найдите объем их общей части.

6. Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Вершина одного из них лежит в центре основания другого и наоборот. Стороны оснований тетраэдров попарно параллельны. Найдите объем общей части этих тетраэдров.

7. Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общую высоту. Вершина одного из них лежит в центре основания другого и наоборот. Основание одного из тетраэдров повернуто на 60° по отношению к основанию другого. Найдите объем общей части этих тетраэдров.

8. Два правильных тетраэдра с ребрами a имеют общий отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер. Один тетраэдр повернут на 90° по отношению к другому. Найдите объем их общей части.

9. Докажите, что любая плоскость, проходящая через точку пересечения диагоналей произвольного параллелепипеда, делит его на две части равного объема.

10. Даны три параллелепипеда. Проведите плоскость так, чтобы она разделила каждый параллелепипед на две части равного объема.

11. Два куба с ребром a имеют общую диагональ, но один повернут вокруг этой диагонали на угол 60° по отношению к другому. Найдите объем их общей части.

12. Найдите объем октаэдра с ребром a.

13. Найдите объем додекаэдра с ребром a.

14. Найдите объем икосаэдра с ребром a.

15. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри правильного многогранника, до плоскостей всех его граней, не зависит от выбора этой точки.

16. Докажите формулу Симпсона для вычисления объема призматоида:

V = H(S₁+S₂+4S₀),

где H - высота призматоида, S₁, S₂ - площади его оснований, S₀ - площадь среднего сечения. (Призматоидом называется многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях. Многоугольники, расположенные в этих плоскостях, называются основаниями призматоида, а расстояние между этими плоскостями - его высотой)

17. Цилиндр пересечен двумя наклонными плоскостями, не пересекающими его оснований и так, что внутри цилиндра эти плоскости не пересекаются. Зная, что радиус цилиндра равен r и расстояние между точками пересечения секущих плоскостей с осью цилиндра равно d, найдите объем части цилиндра, заключенной между секущими плоскостями.

18. Квадрат со стороной a вращается вокруг оси, проходящей через вершину и середину стороны, не проходящей через эту вершину. Найдите объем тела вращения.

19. Докажите, что объемы конусов, получаемых от вращения треугольника вокруг его сторон, обратно пропорциональны этим сторонам.

20. Шар касается всех двенадцати ребер куба. Найдите объем части шара, заключенной внутри этого куба, если ребро куба равно a.

21. Найдите объем тора - фигуры, полученной вращением круга радиуса r вокруг оси, отстоящей от центра круга на расстояние h (h > r).

22. Прямая a вращается вокруг прямой c, скрещивающейся с a. Используя принцип Кавальери, найдите объем тела, ограниченного соответствующей поверхностью вращения и двумя плоскостями, перпендикулярными оси c. Угол между прямыми a и c равен j; длина их общего перпендикуляра - d; расстояния от секущих плоскостей до общего перпендикуляра прямых a и c равны c' и c" соответственно (рис. 34). (Используйте результат задачи 30.17).

23. В сферу радиуса R вписан правильный тетраэдр, и три его грани, исходящие из одной вершины, продолжены до пересечения со сферой. Вычислите площадь части поверхности сферы, заключенной внутри образовавшегося трехгранного угла.

24. Сфера радиуса R проходит через центр заданной сферы радиуса r. Докажите, что площадь шапочки, вырезанной из заданной сферы сферой радиуса R, не зависит от R.

25. В пирамиду ABCD с высотами h₁, h₂, h₃, h₄ вписан шар радиуса R. Докажите, что имеет место равенство

26. Развертка треугольной пирамиды представляет собой квадрат со стороной a. Найдите объем этой пирамиды.

Векторы в пространстве

1. В тетраэдре ABCD точки M и N являются серединами скрещивающихся ребер AB и CD. Докажите, что .

2. Докажите, что для произвольного тетраэдра ABCD выполняется равенство , где O - центроид (Центроид - точка пересечения отрезков, соединяющих вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней).

3. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке, совпадающей с центроидом.

4. Дан тетраэдр. Найдите точку, сумма квадратов расстояний от которой до его вершин была бы наименьшей.

5. Докажите, что для произвольной плоскости, проходящей через центроид тетраэдра, сумма расстояний от вершин тетраэдра до этой плоскости (взятых со знаком "+" или "-" в зависимости от того, какому полупространству принадлежит вершина) равна нулю.

6. Докажите, что для произвольной плоскости сумма расстояний от вершин данного тетраэдра до этой плоскости (взятых со знаком + или - в зависимости от того, какому полупространству принадлежит вершина) равна учетверенному расстоянию от центроида тетраэдра до этой плоскости (взятому со знаком "+" или "-" в зависимости от того, какому полупространству принадлежит центроид).

7. Докажите, что для любой системы точек A₁,…, A_n в пространстве существует единственная точка O (центроид) такая, для произвольной точки X выполняется равенство

8. Докажите, что для произвольной плоскости, проходящей через центроид системы точек A₁,…, A_n пространства, сумма расстояний от этих точек до данной плоскости (взятых со знаком + или -, в зависимости от того, какому полупространству принадлежит соответствующая точка) равна нулю.

9. Докажите, что сумма расстояний от точек A₁,…, A_n пространства до данной плоскости (взятых со знаком + или -, в зависимости от того, какому полупространству принадлежит соответствующая точка) равна n-кратному расстоянию (со знаком + или -) от центроида Oдо этой плоскости.

10. Докажите, что если система точек A₁,…, A_n в пространстве имеет ось симметрии (m-го порядка), то центроид этой системы лежит на этой оси.

11. Докажите, что если система точек A₁,…, A_n в пространстве имеет центр симметрии, то центроид этой системы совпадает с этим центром.

12. Докажите, что если система точек A₁,…, A_n в пространстве имеет плоскость симметрии (m-го порядка), то центроид этой системы лежит на этой плоскости.

Заключение

От исследовательской и творческой деятельности учащиеся получают импульс и желание расширять собственные горизонты. Это качество развивается подчас непросто, но, возникнув, способно увлекать желанием не сидеть, сложа руки, все время действовать. Общаясь с руководителем, ребята обучаются стилю поведения, принятом в научном (да и любом интеллектуальном) сообществе, манере говорить и умению общаться. Поэтому им гораздо легче быть признанными "своими" и в коллективе, да и в большинстве других таких сообществ. При этом приобретается навык содержательного общения, которое можно использовать как действенное средство повышения учебной, творческой и интеллектуальной активности

Содержание

I. Введение…………………………..

II. Что такое исследовательская

деятельность школьников………

III.Формирование исследовательской компетенции учащихся как условие развития личности ……………………………

IY. Использование исследовательских задач …………………………………………..

Y. Исследовательская работа на уроках……………………………………..

YI Обучение генерированию идей при решении геометрических задач исследовательского характера…………………..

YII . Нестандартные и исследовательские задачи по геометрии………………………..

YIII . Заключение…………………………..

Список использованной литературы

Список использованной литературы

1. Ермолаева Н.А. Маслова Г. Г. Новое в курсе математики средней школы: М: Просвещение, 1978.

2. Журнал "Математика в школе ".

3. Ирошников Н.П. Организация обучения математике в 4-5 классах школы: Пособие для учителей ,2-е издание переработано / М: Просвещение, 1982.

4. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Мокрушин Е.Л. и другие. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики / М., Просвещение, 1977.

5. Петров В.А. Преподавание математики в сельской школе. М.: Просвещение, 1996 г.

6. Степанов В.Д. Активизация внеурочной работы по математике в средней школе.- М.: Просвещение, 2001.-80с. ил.

7. Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в средней школе / Москва, Изд-во "Просвещение", 1985