Урок Геометрическая прогрессия 9 класс

МОУ Сосновская средняя (полная) общеобразовательная школа

МО «Тереньгульский район» Ульяновской области

Учитель математики: Адаева Надежда Ивановна

ОТКРЫТЫЙ УРОК АЛГЕБРЫ В 9 КЛАССЕ

по теме: «АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕСССИИ»

ЦЕЛЬ УРОКА:

- выделение наиболее общего и существенного из изученных понятий;

-развитие любознательности, интереса к математике;

- усиление межпредметных связей;

- формирование знаний об окружающем мире и его закономерностей в целом;

-воспитание интереса к истории математики.

ХОД УРОКА:

1. Вводное слово учителя.

2. ПОНЯТИЕ ПРОГРЕССИИ

Слово «прогрессия» латинского происхождения (proqressio), буквально означает «движение вперед» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VI вв). Прогрессии -частные виды числовых последовательностей - встречаются в памятниках II тысячелетия до н.э.(в клинописных табличках вавилонян, в египетских папирусах). Некоторые задачи древности, связанные с процессами суммирования, даже приобрели формы легенд. Вот одна из них.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.

3. ЛЕГЕНДА О ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

В IX веке стала известна задача об изобретателе шахматной игры. В награду за своё изобретение он потребовал от индийского царя пшеницу. Ее должно быть столько, чтобы на первую клетку доски можно положить одно пшеничное зерно, на вторую - два, на третью - четыре, на четвертую - восемь, т.е. чтобы число зерен все время удваивалось. Сначала индийский царь обрадовался, что дешево отделался, и лишь потом выяснил, что такого количества пшеницы нельзя собрать со всех полей Земли в течении десятков лет

Всего на шахматной доске 64 клетки. Расположение зерен на них:

1; 2; 2^2; 2³…..2⁶³

b₁=1, q=2, b₆₄=2⁶³

S=(2⁶³ *2 - 1)/(2-1)

Искомое число зерен равно: 18 446 744 073 709 551 615

В 1м³ вмещается 15млн зерен. Значит, награда шахматного изобретателя приблизительно 12000 км³.

При высоте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на 300 млн км, т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца!

4. ПРОГРЕССИИ И ФИЗИКА

Задача: (используется модель разряжающего насоса с поршнем).

После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящего в нем воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня, если первоначально давление было 760 мм рт ст.

Решение:

Т.К. после каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% имевшегося воздуха, то остается 80% воздуха. Чтобы узнать давление воздуха в сосуде после очередного движения поршня, нужно давление после предыдущего движения поршня умножить на 0,8. Мы имеем геометрическую прогрессию, первый член которого равен 760 мм рт ст, а знаменатель равен 0,8.Число, выражающее давление воздуха в сосуде после шести движений поршня , является седьмым членом этой прогрессии. Оно равно:

b₇= 760*0,8⁶=200 (мм рт ст)

5.ВОЗНАГРАЖДЕНИЕ ВОИНА

Из старинного русского учебника математики . Задача.

Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 3 копейки, за вторую - 9 копеек, за третью - 27 копеек и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 32 руб 79 коп. Спрашивается число его ран.

Решение.

Последовательность чисел 3; 9; 27 ….; 3^п действительно является геометрической прогрессией, т.к. b₁=3, q=3

Составим уравнение:

S_n=(b_nq-b₁)/(q-1) , q не равен 1.

3279=(3ⁿ*3-3)/ (3-1)

6558= 3ⁿ⁺¹

3⁸ = 3ⁿ⁺¹

8 = n+1

n =7

Ответ: n = 7 - число ран

5. ДЕЛЕНИЕ ХЛЕБА.

Задача, записанная в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося к третьему тысячелетию до нашей эры.

ЗАДАЧА. Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого.Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение.

Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию.

Пусть первый ее член равен х, разность - у, тогда

Доля первого х

доля второго х+у

доля третьего х+ 2у

доля четвертого х+3у

доля четвертого х+4у

На основании условия задачи, составим систему уравнений:

Х+(х+у)+(х+2у)+(х+3у)+(х+4у)=100

7(х+(х+у))= (х+2у)+(х+3у)+(х+4у) , отсюда следует

Х=1 ²/₃ у= 9 ¹/₆

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части:

1² /₃ ; 10⁵/6 ; 20; 29¹/₆ ; 38¹/₃

II. Итоги урока

III. Домашнее задание.

Повторить п.18-20