- Преподавателю
- Математика
- Упражнения по теме «Степени и корни»
Упражнения по теме «Степени и корни»
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Журавлёва Л.В. |
Дата | 21.03.2014 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Департамент среднего профессионального и начального профессионального образования Томской области
областное государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Асиновский техникум промышленной индустрии и сервиса»
ОГБОУ СПО «АТпромИС»
Упражнения
по теме
«Степени и корни»
Асино-2014
Одобрено на заседании предметно-цикловой
комиссии общеобразовательных дисциплин
Протокол № от
Председатель: Кучина Е.П.
Автор: Журавлёва Л.В.
Рецензенты :
Соответствует Государственному стандарту базового уровня
Утверждаю
Зам. директора по
Учебно-методической работе Орленко Л.И.
СОДЕРЖАНИЕ
-
Аннотация
-
Основной теоретический материал
-
Система упражнений по теме « Степени и корни»
1.Аннотация
В данной разработке предложен материал, касающийся степеней и корней. Даны основные определения, сформулированы свойства.
Приведены примеры заданий различной сложности: арифметические задания на вычисление значений выражений с корнями и степенями, алгебраические задания на преобразование выражений, решение уравнений и неравенств.
Рассматриваемые вопросы широко применяются в алгебре и часто используются при подготовке к итоговой государственной аттестации.
Данная тема не является самой сложной в курсе алгебры. Однако при выполнении заданий встречается много ошибок.
Использование данных упражнений поможет закрепить умения и углубить знания по данной теме.
2. Основные определения и теоремы.
Историческая справка
В наше время прогресс науки неотделим от достижений
талантливых математиков-прикладников.
Математик-прикладник не узкий ремесленник, а творец.
Наряду с математикой ему необходимо и глубокое знание
предмета прикладного исследования.
Б. В. Гнеденко
Истоки понятия степени находятся в глубокой древности; дошедшие до нас глиняные плитки древних вавилонян содержат записи таблиц квадратов, кубов и их обратных значений.
Первоначально под степенью понимали произведение нескольких одинаковых сомножителей. Способы записи степеней и связанных с ними обратных величин - корней из числа менялись с течением времени, пока не приняли современную форму.
Дальнейшее развитие науки вызвало необходимость расширения степени. В XIV в. Французский епископ города Лизье в Нормандии Н. Орем (1323-1382гг.) впервые стал заменять в отдельных случаях корни из чисел дробными показателями степени и ввёл символические обозначения степени с дробными показателями. Например, 8 как 41,5. Показатели, введённые Оремом, по существу выступают в виде логарифмов чисел. Орем словесно сформулировал правила для выполнения различных операций со степенями.
Значительно позднее бухгалтер из Брюгге, а впоследствии военный инженер С. Стевин (1548-1620) вновь открыл дробные показатели и указал в более общем виде, что корень энной степени из числа а можно выразить как а1/n, где а>0.
Степенью с нулевым показателем первым стал пользоваться самаркандский учёный ал-Каши в начале XV в. Независимо от него Н. Шюке в работе «Наука о числах в трёх книгах» в 1484 г. применял нулевой и отрицательный показатели.
Завершили введение современного изображения степени англичане Джон Валлис и Исаак Ньютон.
Обобщение понятия степени аn, где n- любое действительное число, позволило рассматривать показательную функцию (y=ax) на множестве действительных чисел и степенную функцию (y=xn) на множестве положительных чисел, а при целых n степенная функция определена и для x<0.
Теоретический материал
Пусть дано положительное число а и произвольное действительное число п. Число ап называется степенью,
число а - основанием степени, число п - показателем степени.
По определению полагают: а1 = а,
а0 = 1,
а-п = , п R
Если а - положительное число, т - целое число, а п - натуральное число и п2, то = .
Свойства степени. Если а и в - положительные числа, х и у - любые действительные числа, то справедливы
следующие свойства: ах ау = а х + у,
ах : ау = а х - у,
(а х) у = а х у,
ах в х = (а в) х,
= ( )х.
Пусть п - натуральное число, отличное от единицы, а - неотрицательное число.
Арифметическим корнем п -й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, п - я степень которого равна а.
Для арифметического корня п- й степени из неотрицательного числа а используется обозначение . Если п=2, пишут . По определению
( )п = а.
Для любых, в том числе отрицательных, значений, а справедлива формула = /а/, в частности,
= /а/ и 2 = /а - в/.
Свойства арифметического корня.
Если а и в - неотрицательные числа, п и к - натуральные числа, отличные
от единицы, т -целое число, то имеют место следующие соотношения:
= ( ),
= ,
= , b неравно 0,
= ,
= ,
: = .
Степень с дробным показателем.
Если а - положительное число, т - целое число, а п - натуральное число и
п 2, то = = (m.
Степенная функция
Степенная функция - это функция вида , где - это любое действительное число.
Степенная функция, показатель степени которой натуральное число
Кубическая функция
Кубическая функция - это функция . Графиком этой функции является кубическая парабола. Построим график этой функции:
х
-3
-2
-1
0
1
2
3
у
-27
-8
-1
0
1
8
27
Функция с четным показателем степени
Графиком этой функции является парабола 2n-степени. Например, графиком функции является парабола четвертой степени.
Функция с нечетным показателем степени
Графиком этой функции является парабола (2n+1)-степени. Например, графиком функции является парабола пятой степени.
Степенная функция, показатель степени которой целое число
В предыдущем пункте мы рассмотрели степенные функции с натуральным показателем, теперь рассмотрим функции, показателем которых будут отрицательные целые числа.
Функция
Составим таблицу значений для этой функции
х
-2
-1
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
1
2
у
0,25
1
4
16
не существует
16
4
1
0,25
Начертим график этой функции
Оказывается, что графиком является парабола с выколотой точкой (0; 0).
Степенная функция, показатель степени которой рациональное число
Функция
Рассмотрим функцию или . Первое, на что хочется обратить внимание, это область определения функции.
Теперь составим таблицу значений и построим график функции
х
0,25
1
4
9
у
0,5
1
2
3
3.Система упражнений
Вычислить:
1) ; 5) ;
2) ; 6) ;
3) ; 7) , если , ;
4) ; 8) , если , .
Упростить:
1) ; 3) ;
2) ; 4) .
Решить графически уравнения:
1) ; 3) ;
2) ; 4) .
Извлечь арифметический корень:
1) ; 4) ;
2) ; 5) ;
3) ; 6) .
Вычислите степени с рациональным показателем:
8
7
6
5
4
3
6-2
2-4
3-3
5-1
3-4
2-3
7-2
4-1
2
1
34
43
24
53
25
33
50
23
a
c
d
e
f
g
h
Вычислите:
, , , , ,
2 - + , ,
1,70+ 32:3-1 - 251/2 , 163/4 - 71,7:7-0,3 + 430,
- 0,430,4-252 +160,5, ( )2 1,4 + 1251/3 - ( )-1,
811/49-1/2 + 13,40 -(52)-1 , 641/3:90,5 - 35,2 3- 6,2 +5,20,
(641/3 272/3 2432/5 128 3/7 )1/
(62,5 36 -1)4 - ( 51/4253/8) sin П/ 2.
Найдите значение выражения:
, + - - , 0,3 -0,1, + , , : , , .
Найдите значение выражения:
, при п = 8,
46Р4 -4Р , при р = ,
- , при х = 7,
, при х =16,
+ , при р = 49,
- , при р =16, q = 9,
+ , при х = 16, у = 25,
- , при х = 9, у = 49,
+ , при а = 625, в = 16,
- 2 , при а = 9, в =16.
Решить иррациональные уравнения и системы иррациональных уравнений
Решите уравнения:
1) =6; 2); 3)
4) ; 5) ; 6)
Решить систему уравнений.
Задания по решению уравнений:
75х+6 = 49, ()0,5х - 1 = 4, ( )1 - 3х = 9,
2-х = ( )1-х, 3х = ( )1 + х, 10-х = ,
3х2 -5х+1 = 81, = 0,125 х-7 , 53х-123х-1 = 0,1 ,
2 х+2 - 2 х = 96, 57 х-1 + 43 х + 3 х+1 - 27 х = 0, 4 х - 102 х-1 = 24,
9 х - 3 х-1 = 6, 4 х + 36 х - 49 х = 0, 2 х-1 + 2 -х-1 = 1.
Задания по решению неравенств:
16 2 х+3, 2 5х+7 8 х, 2 х - ,
5 х , 24 х+1 2 -х -1 , 39 х+1 3 - х - 1
9 х - 93 -х 0, 7 х - 77 - х -2 0, ( ) х - 82 - х 0,
х+1, ( ) х+2+4/ х , 2 х+1 + 32 х 10,
9 х - 3 х+1 4, 2 х - 2 1-х 1, 9 х - 5 6х - 6 4 х 0.
Задания по степенным функциям
Задание 1Начертите графики следующих функции
Задание 2Напишите уравнения следующих функции