Биквадратные уравнения и его корни

Конспект урока алгебры в 8 классе.

Тема - «Биквадратное уравнение и его корни».

Цели урока:

образовательная: дать определение биквадратного уравнения, научиться решать биквадратные уравнения, исследовать число корней биквадратного уравнения;

воспитательная: формировать умение работать в группах, выслушивать мнение товарища, доказывать свою точку зрения;

развивающая: развивать навыки самостоятельной и исследовательской работы.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Форма урока: урок-исследование.

План урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Открытие детьми темы урока (кроссворд).

4. Постановка детьми целей урока.

5. Самостоятельная работа.

6. Итог самостоятельной работы.

7. Пример решения биквадратного уравнения.

8. Разминка

9. Исследование.

10. Итоги исследования.

11. Задание на дом.

12. Итог урока.

Ход урока.

1. Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята! Начинаем урок. Сегодня на уроке вы будете исследователями, свои исследования будете проводить в группах. Желаю вам удачи, хорошего настроения и взаимопонимания! Девизом урока пусть будут слова Л. Н. Толстого «Ум человеческий только тогда понимает общения, когда он сам его сделал или проверил».

2. Актуализация знаний.

- В начале для разминки выполним устные упражнения:

1) Решить уравнения: х² = 81, а² = 16, у² = 1, в² = 0, с² = 23, р² = - 25, к² = - 16, х² = . 2) Что записано на доске? (уравнения)

6 - х = 0

- Какое уравнение лишнее? (лишнее уравнение . 1, 2 и 4 уравнения - квадратные)

-Как называется первое уравнение? (неполное квадратное)

-Назовите способ решения (вынесение общего множителя)

- Как называется второе и четвертое уравнения ( приведенное квадратное уравнение)

-Назовите способ решения (по теореме Виета). Сформулируйте теорему.

3. Открытие темы урока.

- Для того чтобы узнать как называется третье уравнение, давайте разгадаем кроссворд.

1. Третья степень числа. (Куб)

2. Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения. (Дискриминант)

3. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство. (Корень)

4. Уравнения, имеющие одинаковые корни. (Равносильные)

5. Равенство с переменной. (Уравнение)

6. Квадратное уравнение, с первым коэффициентом равным нулю. (Приведенное)

7. Многочлен в правой части квадратного уравнения. (Трехчлен)

8. Равенство, содержащее числа и переменные. (Формула)

9. Французский математик. (Виет)

10. Числовой множитель - в произведении. (Коэффициент)

11. Один из видов квадратного уравнения. (Неполное)

12. Множество корней уравнения. (Решения)

- Прочитайте слово, которое получилось в выделенной горизонтальной строке.

(Биквадратное). Третье уравнение называется биквадратным.

- Теперь вы можете сказать, какова тема нашего урока.

( Тема урока «Биквадратное уравнение»). Открываем тетради, записываем число, тему урока.

4. Постановка целей урока.

- Какие цели мы можем поставить перед собой на урок? У вас на столах есть цветные треугольники, на них вы напишите цели, какие вы определяете для своей группы на данный урок и в этом вам поможет список целей для любого урока.

Каждая группа озвучивает свои цели, прикрепляет на доске.

5. Самостоятельная работа.

- Переходим к работе, работа с учебником по определенному плану.

План самостоятельной работы:

1. Прочитайте определение БУ (учебник № 435, стр. 110)

2. Запишите определение в тетрадь

3. Существенно ли замечание, что а не равно нулю

4. Разберите решенное уравнение

5. На листе А-3 распишите алгоритм решения биквадратного уравнения.

6. Обсудите составленный алгоритм в группе

7. Дайте сигнал о готовности.

Тому, кто закончит быстрее всех, предложить решить биквадратное уравнение.(№ 435, б)

6. Итог самостоятельной работы.

- Итак, что же вы узнали?

(Биквадратным называется уравнение вида ах⁴ + вх² + с = 0, где а ≠ 0).

- Существенно ли замечание, что а ≠ 0?

( Да, т.к. если а будет равно 0, то уравнение будет квадратным (неполным)).

- Какой алгоритм решения биквадратного уравнения вы записали?

(Каждая группа проговаривает что они записали и вывешивает на доску).

Для проверки ребятам раздаются правильный вариант АЛГОРИТМА решения уравнения.

Алгоритм решения биквадратного уравнения.

• Ввести замену переменной: пусть у²=х

• Составить квадратное уравнение с новой переменной:

aх²+bx+c=0

• Решить новое квадратное уравнение.

• Вернуться к замене переменной.

• Решить получившиеся квадратные уравнения

• Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения.

• Записать ответ.

8. Разминка.

- Вы, наверное устали, взбодримся. Группы учащихся становятся друг перед другом в цепочку, взявшись за руки возле доски. В начале цепи, на равном расстоянии стоит ведущий (учитель) и держит за руку участника из каждой цепи.

Все играют молча. Ведущий одновременно сжимает руку каждого участника (подает сигнал). Получив сигнал, он должен сжать руку своему соседу. Таким образом, сигнал передается по всей цепи. Задача, чтобы сигнал быстрее был передан и загорелась лампочка, последний в цепи (поднимает руку).

9. Исследование.

- Сейчас мы проведём исследование: сколько корней имеет биквадратное уравнение. Каждая группа получит по три уравнение и решает их. А потом мы сделаем выводы о том, сколько корней имеют биквадратные уравнения.(Учитель раздаёт уравнения: х⁴-10х²+9=0, 2х⁴ -х²-1=0, х⁴+5х²+4=0, 2х⁴+5х²+4=0, х⁴-8х²+16=0, х⁴+8х²+16=0.)

Дети решают уравнения……………………………………………………………

- Итак, что получилось?

1группа показывает решение у доски.

- х⁴-10х²+9=0. У нас получился дискриминант положительный, значит, квадратное уравнение имеет 2 корня, корни тоже положительные, значит всего 4 корня.

- х⁴+5х²+4=0. Дискриминант квадратного уравнения положительный, но корни отрицательные, значит, биквадратное уравнение не имеет корней.

- Уравнение х⁴+8х²+16=0 не имеет корней, т.к. хотя и Д=0, но корень-то отрицательный.

- Вторая группа.

+ 2х⁴ -х²-1=0. Дискриминант положительный, один корень положительный, а другой отрицательный, значит, биквадратное уравнение имеет 2 корня.

+ 2х⁴+5х²+4=0. А у нас дискриминант отрицательный, поэтому уравнение не имеет корней.

+ Уравнение х⁴-8х²+16=0 имеет 2 корня, т.к. квадратное уравнение имеет 1 корень (Д=0).

9. Итог исследования. Из рассмотренных примеров видно, что биквадратное уравнение может иметь четыре, три, два, один действительный корень, но может и не иметь корней. (Биквадратное уравнение может иметь от 0 до 4 решений)

Итоги исследования оформляем в таблицу.

10. Итог урока. Метод «Какой путь прошли?»

-Сегодня на уроке вы самостоятельно разобрались с биквадратными уравнениями. И мы должны подвести итог. ( Каждая группа получает набор бумаги, вырезанной в форме ступни. Задача группы - написать о том, что понравилось, что не понравилось на уроке, достигли ли поставленных целей на урок? После заполнения все ступни вывешиваются на доску и прочитываются).

11. Задание на дом.

-Провести исследование может ли БУ иметь ровно 3 корня? 1 корень?

- Почему уравнения такого вида называются биквадратными? Что означает приставка «би» к известному термину «квадратное уравнение»?

Приложения.

1. Кроссворд

1. Третья степень числа.

2. Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения.

3. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство.

4. Уравнения, имеющие одинаковые корни.

5. Равенство с переменной.

6. Квадратное уравнение, с первым коэффициентом равным нулю.

7. Многочлен в правой части квадратного уравнения.

8. Равенство, содержащее числа и переменные.

9. Французский математик.

10. Числовой множитель - в произведении.

11. Один из видов квадратного уравнения.

12. Множество корней уравнения.

Список целей урока

1. Изучить материал модулей.

2. Составить собственное представление о предлагаемом объекте.

3. Усвоить основные понятия темы.

4. Выполнить самостоятельно исследование по данной теме.

5. Проявить и развить свои способности (назвать их).

6. Научиться аргументированно спорить, доказывать и опровергать утверждения педагога.

3)

План самостоятельной работы:

1. Прочитайте определение БУ (учебник № 435, стр. 110)

2. Запишите определение в тетрадь

3. Существенно ли замечание, что а не равно нулю

4. Разберите решенное уравнение

5. Составьте алгоритм решения этого уравнения и запишите его

6. Обсудите составленный алгоритм в группе

7. Дайте сигнал о готовности.