Урок по геометрии по теме Теорема, обратная теореме Пифагора, 8 класс

Урок по геометрии по теме «Теорема, обратная теореме Пифагора»

Класс 8 Учитель Саморукова И.Г.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: повторить теорему Пифагора; изучить теорему, обратную теореме Пифагора и применять их к решению задач.

Задачи:

- образовательные:

• формировать представление о теореме, обратной теореме Пифагора;

• использовать при решении задач.

- развивающие:

• формировать общеучебные (метапредметные) умения обучающихся;

• развивать познавательную активность учащихся, навыки самопроверки;

• формировать логическое мышление.

- воспитательные:

• воспитывать интерес к предмету,

• развивать умения самооценивания.

В результате ученик

узнает:

• какие учебные цели стоят перед ним при изучении темы,

• формулировку теоремы, обратной теореме Пифагора,

• доказательство теоремы, обратной теореме Пифагора,

• о особых видах прямоугольных треугольников - пифагоровых,

• сведения о египетском треугольнике,

научится:

• составлять план доказательства теоремы, обратной теореме Пифагора,

• решать задачи с использованием теоремы, обратной теореме Пифагора,

усвоит:

• логическое построение теоремы, обратной теореме Пифагора,

• для решения каких задач можно использовать теорему, обратную теореме Пифагора.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, метод диалогического изложения.

Средства обучения: мел, доска, тетрадь, ручка, веревка с 12 метками; компьютер и мультимедийный проектор; презентация «Теорема, обратная теореме Пифагора»; учебник «Геометрия,7-9» авторы Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. -М: Просвещение,2009.

Структура урока:

1. Организационный момент. (1мин.)

2. Проверка домашнего задания. (7 мин.)

3. Подготовка к изучению нового материала. (7 мин)

4. Изучение нового материала. (10 мин.)

5. Релаксация (1 мин)

6. Закрепление. (10 мин)

7. Домашнее задание (1мин)

8. Подведение итогов. (3 мин.)

   1. Организационный момент. Слайд 1

- Здравствуйте, ребята. Давайте улыбнемся друг другу и начнем урок. А эпиграфом нашего урока будут слова Гарольда Коксетер и Самуэля Грейтцера

«Геометрия и сейчас обладает всеми достоинствами, за которые её ценили педагоги прошлых поколений. На свете есть ещё геометрия, которая ждёт, чтобы её познали и оценили… Так давайте же вновь перелистаем Евклида, познакомимся с некоторыми новыми результатами. Быть может, мы вновь сумеем испытать тот же восторг и трепет, как и при первых встречах с геометрией» (слайд 2)

- Сегодня мы докажем теорему, обратную теореме Пифагора, познакомимся с треугольниками, которые называют пифагоровыми, с египетским треугольником.

2. Проверка домашнего задания.

Еще в 17 веке немецкий астроном и математик И. Кеплер сказал, что геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, которую можно сравнить с мерой золота…

Напомните, пожалуйста, формулировку теоремы Пифагора.

Один из обучающихся дает формулировку теоремы. Учитель акцентирует внимания. Что равенство в теореме верно только для прямоугольных Пифагора треугольников.

Воспользуемся теоремой для решения следующих устных задач по готовым чертежам: слайд 3

Найти:

1) АВ; 2) ВС; 3) АС; 4) ВС, если АВСД - ромб; 5) АД, если АВСД - прямоугольник,

АВ : АД = 3 : 4 ; 6) АВ.

3. Подготовка к изучению нового материала.

В виде беседы

Ребята, в последней задаче какой треугольник мы рассматривали? (прямоугольный, равнобедренный)

Да, он является не только прямоугольным, но и равнобедренным. Как вы догадались? (у него два угла были равными) Мы использовали признак равнобедренного треугольника. Сформулируйте его, пожалуйста. (Если два угла в треугольнике равны, то треугольник равнобедренный) А какое свойство равнобедренного треугольника вы знаете? Сформулируйте его. (В равнобедренном треугольнике углы при основании равны)

Посмотрите, следствие теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника (признак равнобедренного треугольника ) перекликается с теоремой о углах при основании равнобедренного треугольника (свойство равнобедренного треугольника).

Может быть, существует такое утверждение, с помощью которого мы, не измеряя угол в треугольнике, можем сказать, что треугольник будет прямоугольным.

И оказывается есть! Египтяне ещё до Пифагора, не зная ни теоремы, ни доказательства, применяли это правило для построения углов и при строительстве домов, дворцов и гигантских пирамид. Слайд 4,5,6

По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. слайд 7

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на веревке делали метки делящие её на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами 3 и 4 оказывался прямым. Такой треугольник даже назвали египетским.

Давайте мы проделаем также. (Уч-ся строят треугольник с помощью верёвки)

Значит, у теоремы Пифагора существует обратная теорема.

Вспомним, из каких двух частей состоит теорема.

(Условия и заключения. Условие -это то, что дано, а заключение - то, что требуется доказать.)

Теорему можно сформулировать в виде: Если………, то………

Прямая теорема и обратная теорема. Слайд 8

Какая теорема является обратной данной?

( теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы.)

1. 4. Изучение нового материала.

1) Предложить учащимся самим сформулировать теорему Пифагора в виде: Если…….., то……. Слайд 9

А теперь поменяем местами условие и заключение.

Сформулируйте обратную теорему.

Теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник прямоугольный.

2) Докажем её. (Доказательство проводится учителем, учащиеся пишут в тетрадях) слайд 10

Дано:

АВС- произвольный треугольник,

АВ²=АС²+ВС²,

А₁В₁С₁- прямоугольный треугольник,

А₁С₁=АС, В₁С₁=ВС,

С₁- прямой угол.

Доказать: С прямой.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник А₁В₁С₁.

А₁В₁²=А₁С₁²+В₁С₁² (теорема Пифагора)

2. А₁С₁=АС (по условию), В₁С₁=ВС (по условию),

А₁В₁²= АС²+ВС²

3. АВ²=АС²+ВС² (по условию),

А₁В₁²=АВ², А₁В₁=АВ,

4. А₁В₁С₁=АВС ( по трем сторонам)

А₁В₁=АВ (п.3),

А₁С₁=АС (по условию),

В₁С₁=ВС (по условию),

5. С₁= С=90 ⁰( как соответственные углы в равных треугольниках)

Давайте вспомним, какие теоремы, свойства, признаки мы использовали при доказательстве?

Теорему Пифагора, третий признак равенства треугольников, т.е. по трем сторонам, свойство равных треугольников, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы.

3)Ознакомление с пифагоровыми треугольниками. Слайд 11

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольники со сторонами 3, 4и 5; 5, 12,13; 8, 15, 17 являются прямоугольными (Учащиеся объясняют почему).

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, являются пифагоровыми треугольниками.

Вопрос учащимся:

С помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, зная две стороны, можно найти третью сторону. А какие задачи мы можем решать с помощью обратной теоремы?

С помощью обратной теоремы мы решаем задачи такого плана:

зная стороны треугольника, мы можем определить, является он прямоугольным или нет?

5. Релаксация - минутка отдыха. Музыка «Одинокий пастух» в исполнении Лондонского симфонического оркестра слайд 12

4. 6. Закрепление изученного. Решение задач. Слайд 13

№ 498 (б,в)- 1 вариант, №498(г,д) -2 вариант. С последующим самоконтролем.

Решение:

Пусть треугольник прямоугольный, тогда наибольшая сторона треугольника, будет гипотенузой.

б) Применим теорему, обратную теореме Пифагора: 7= 5+6, 49=25+36 (неверно). Значит треугольник со сторонами 7, 5 и 6 не является прямоугольным.

в) 15=9+12, 225=81+144,225=225(верно), значит по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник сторонами 9, 15 и 12 является прямоугольным.

г)26=24+10, 676=576+100, 676=676(верно), значит по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник сторонами 26, 24 и 10 является прямоугольным.

д)6=3+4, 36=9+16,36=25(неверно), значит по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник сторонами 3, 4 и 6 не является прямоугольным.

Задача №49, 50 рабочей тетради по геометрии слайды 14и 15

7. Домашнее задание слайд 16

1) п.55 учебника

2) №498 (е, ж), № 499(а)

3) Практическое задание: с помощью веревки с 12 метками проверить, точность построения прямых углов в вашем кабинете.

8.Итог урока:

Ребята, что нового вы узнали на уроке? Пригодятся ли полученные вами знания в дальнейшем?

Оценки за урок получают …. (идёт комментарий оценок)

А закончить урок я бы хотела словами академика А.Д. Александрова:

«Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика -привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины - «лёд и пламень не столь различны меж собой». Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают и направляют друг друга». Слайд 17

Постигайте азы геометрии и помните, что эти знания пригодятся вам в жизни.

10