Курс по выбору «Решение экстремальных задач»

Курс по выбору «Решение экстремальных задач»

Пояснительная записка курса.

Сегодня Россия интегрируется в мировую экономическую систему, и жизнь требует изучения основных законов экономики уже в школе и как можно раньше. Развитие информационного общества, научно-технические преобразования, рыночные отношения требуют от каждого человека высокого уровня профессиональных и деловых качеств, предприимчивости, способности ориентироваться в сложных ситуациях, быстро и безошибочно принимать решения. Экономическая образованность и экономическое мышление формируются не только при изучении курса экономики, но и на основе всего комплекса предметов, изучаемых в школе, математике здесь принадлежит особая роль.

Программа данного курса в сочетании с программой курса математики способствует углубленному изучению и самой математики, и тех ее экономических приложений, которые в ней рассматриваются. В нем систематизирован избранный алгебраический материал 8 и 9 классов, что способствует интеграции знаний.

Одним из самых распространенных средств воспитания экономической грамотности учащихся на уроках математики, являются задачи, фабула которых связана с производством. Решения таких задач помогут учащимся понять, что эффективность производства зависит не только от увеличения выработки конкретной продукции, но и от рационального, экономного использования времени, сырья, материалов, улучшения качества выпускаемой продукции

Курс рассчитан на 10 часов в год. Его изучение целесообразно проводить во II полугодии девятого класса.

Цели курса:

1. Сформировать у учащихся умения и навыки математического моделирования экстремальных задач экономического содержания.

2. Формировать у учащихся умения решать экстремальные задачи элементарными методами математики.

Задачи курса:

1. Повышение уровня компетентности учащихся.

2. Формирование у учащихся опыта работы на уровне интеграции математики и экономики.

3. Развитие учебной мотивации.

4. Формирование интереса к изучению математики.

5. Развитие интеллектуальных умений: логически и аналитически рассуждать при решении нестандартных задач; находить общее и учитывать детали.

6. Развитие творческих способностей, умения работать самостоятельно и в группе, вести дискуссию, аргументировать свою точку зрения и уметь слушать другого.

7. Воспитание умения публично выступать, задавать вопросы, рассуждать.

Программа курса

№

Содержание

Количество часов

1

Использование свойств линейной функции

1 час

2

Использование свойств квадратичной функции

1 час

3

Метод оценки

1 час

4

Метод перебора

1 час

5

Метод преобразования плоскости

1 час

6

Метод опорной функции

1 час

7

Решение задач оптимизации

3 часа

8

Итоговое занятие

1 час

Всего:

10 часов

Методы обучения:

• по источнику передачи и характеру восприятия информации - словесные (эвристическая беседа)

• практические;

• по характеру познавательной деятельности учащихся - частично-поисковая;

• по степени управления учебной деятельностью - через систему целесообразно подобранных задач и вопросов;

• метод мотивации - практическая необходимость;

Итоговое занятие: подготовка презентации.

Каждый учащийся (или группы учащихся) готовит презентацию, в которой показывает решение экстремальной задачи, одним из изученных способов.

Наборы задач:

Занятие №1. Использование свойств линейной функции

1. Расстояние между двумя заводами A и B по шоссейной дороге равно 8 км. Где нужно построить общежитие, в котором должны жить 500 рабочих заводы A и 300 рабочих завода B, чтобы общее расстояние, которое они должны проезжать, было наименьшим?

2. Расстояние между двумя заводами A и B равно 40 км. Потребность в нефти завода А составляет 80 т в сутки, а завода B - 70 т. Перевозка 1 т нефти на расстояние 1 км для завода A стоит 80 р., а для завода B - 100 р. Где нужно построить нефтебазу, которая должна обеспечивать горючим заводы A и B, чтобы расходы на перевозку горючего в общем были наименьшими?

3. Для изготовления столов и шкафов имеется 60 древесины. Расход древесины и доход за одно изделие таковы:

Изделие

Древесина (куб.м)

Доход (руб.)

Стол

Шкаф

0,15

0,2

10

16

Сколько столов и сколько шкафов должна изготовить мастерская, чтобы обеспечить наибольший доход, если используется вся древесина?

4. Населенные пункты расположенные на отрезке , снабжаются некоторыми потребительским товаром как из пункта , так и из пункта . Одна тонна этого товара в обходится в 5 тыс. руб., а в В - в 7 тыс. руб. Транспортировка 1 т груза на расстояние 1 км стоит 200 руб. расстояние между пунктами и равно 100км. Нужно составить план снабжения товарами пунктов при котором будет допускаться минимальный расход денег.

Занятие №2. Использование свойств квадратичной функции

1. Число 15 представить в виде суммы двух чисел, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

2. Определите при заданном периметре длину и ширину прямоугольного участка земли, при которых его площадь будет наибольшей.

3. Имеется 40 м проволоки, которой нужно огородить участок прямоугольной формы и наибольшей площади. Какие размеры должен иметь прямоугольный участок?

4. Заготовлен материал на 240 м ограждения двух участков прямоугольной формы одинаковых периметров, граничащих между собой. Какую длину и ширину должны иметь участки, чтобы их площадь была наибольшей?

5. В цирке 1500 мест. Администрация исследует зависимость общей выручки от цены билетов. При цене 100 рублей было продано 200 билетов, при цене 50 рублей - 1000 билетов. Предложите оптимальную цену билета, при которой выручка будет наибольшей.

Занятие №3. Метод оценки

1. Проектируется канал оросительной системы с прямоугольным сечением в 4,5 . Какими должны быть размеры сечения, чтобы для облицовки стенок и дна пошло наименьшее количество материала?

2. Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться 108 . Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала?

3. Спортплощадку площадью имеющую форму прямоугольника, нужно огородить с двух противоположных сторон деревянным забором, с двух других противоположных сторон - проволочным. Постройка одного метра деревянного забора стоит 5 руб., проволочного - 3 руб. Каковы должны быть размеры спортплощадки, чтобы затраты на ограждения были минимальные?

4. Тракторная бригада должна послать в совхоз для выполнения определенной работы некоторое количество тракторов Известно, что 10 тракторов делают эту работу за 12 рабочих дней, и что совхоз выплачивает ремонтной бригаде на протяжении всего периода работ 30 руб. за один день, каждому трактористу - 4 руб. 80 коп. за один день работы и 4 руб. за перегон трактора в совхоз и обратно (на протяжении периода работ тракторы находятся в совхозе). При каком количестве тракторов суммарная оплата рабочим за выполнение всех работ будет наименьшей? Чему равна минимальная оплата рабочих?

Занятие №4. Метод перебора

1. На колхозной ферме нужно провести водопровод длиной 167 м. Для этого имеются трубы длиной 5 и 7 м. Сколько труб той или иной длины нужно использовать, чтобы сделать наименьшее количество сварочных швов (трубы не резать)?

2. Из лесного хозяйства в город нужно вывезти 1590 деревьев. Для перевозки деревьев можно заказать полуторатонки, трехтонки, пятитонки. На полуторатонке можно перевезти за один раз 26 деревьев, на трехтонке - 45, на пятитонке - 75 деревьев. Стоимость одного пробега для полуторатонки равна 9 руб., для трехтонки - 15 руб., для пятитонки - 24 руб. Как следует организовать перевозки, чтобы их общая стоимость была наименьшей? (Недогрузка машин не допускается.)

3. Полосы профильного проката длиной 5 м необходимо раскроить для серийного производства некоторого изделия длиной 6 см и 7 см. как раскроить материал, чтобы максимально использовать его и получить при этом почти одинаковое количество изделий общих видов?

4. Требуется соорудить канал с поперечным сечением ABDC, где АВ=CD, АВ и CD перпендикулярны к BD. Сумма длин АВ, ВD и СD должны быть равной P метрам. Какими надо сделать ширину и глубину канала, чтобы площадь его поперечного сечения, т.е. площадь прямоугольника с вершинами в точках А, В, С, D оказалась бы наибольшей?

Занятие №5. Метод преобразования плоскости

1. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг, найдите прямоугольник наибольшей площади.

2. В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую деревни А и В, чтобы путь AMNB был кратчайшим? (Берега реки считаются параллельными прямыми, мост перпендикулярен берегам).

3. Две деревни А и В находятся по одну сторону от прямого шоссе а. В какой точке С на шоссе а надо установить остановку автобуса, чтобы сумма расстояний АС + СВ была кратчайшей?

Занятие №6. Метод опорной функции

1. Требуется построить одноэтажное здание с общей площадью 180 при наименьшей затрате материала на наружные стены. Каковы должны быть размеры здания, если оно будет строиться из железобетонных блоков длиной 3 м каждый?

2. Для ограды прямоугольного участка заготовлено 78 щитов длиной 2,5 м каждый. Какую длину и ширину должен иметь прямоугольный участок, чтобы его площадь была наибольшей?

3. Из металлической пластинки нужно изготовить деталь в виде треугольника площадью и углом при вершине . Какими должны быть две стороны, сходящиеся в вершине , для того, чтобы сторона , противолежащая вершине , имела наименьшую длину?

4. По конвейеру движется 10 деталей, вдоль конвейера расположен ряд рабочих мест. На первом рабочем месте снимается 3 детали, а на каждом следующем на 2 детали больше, чем на предыдущем рабочем месте. Кроме этого, на каждом рабочем месте конвейера поступает дополнительно13 деталей. Какое наибольшее количество деталей может быть на конвейере, и на каком рабочем месте?

Занятие № 7-9.

1. Какой из всех параллелограммов с заданными диагоналями а и b имеет наибольшую площадь?

2. Предполагается использовать 2000 руб. на путевки в дома отдыха, которые расположены в одной местности. Путевки есть на 12, 22 и 24 дня. Стоимость их соответственно равна 21 руб., 40 руб., 48 руб. Сколько и каких путевок нужно купить, чтобы общее число дней отдыха было наименьшим?

3. Объекты расположены между двумя прямолинейными путями . Соединить эти объекты между собой замкнутой дорогой кратчайшей длины с выходом на прямолинейные пути.

4. По разные стороны от полотна железной дороги АВ расположены два завода М и N. Где нужно построить на железной дороге платформу CD длиной а так, чтобы общая длина дороги MCDN была наименьшей?

5. Среди всех трапеций с заданной высотой 3 см и диагоналями длиной 6 см и 5 см найдите трапецию максимальной (минимальной) площади. Вычислите площадь.

6. Заготовлен материал на 240 м ограждения двух участков прямоугольной формы одинаковых периметров, граничащих между собой. Какую длину и ширину должны иметь участки, чтобы их площадь была наибольшей?

7. Найдите максимальный объем прямоугольного параллелепипеда, если задана площадь его полной поверхности.

8. Из цилиндрического бревна надо выпилить прямоугольный брус наибольшего объема. Какой формы должно быть его сечение?

9. Три деревни расположены на одной прямой. Где на этой прямой следует вырыть колодец и проложить трубы к деревням, чтобы затраты были наименьшими, если проведение трубы стоит руб за 1 метр, к рублей за метр, к рублей за метр. Трубы считать прямолинейными.

10. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6 м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?

11. Содержание витамина в 1 кг вишни 150 мг, а в 1 кг абрикосов 75 мг. Причем стоимость 1 кг вишни составляет 0,3 руб., а одного кг абрикосов - 0,4 руб. Сколько граммов вишни и сколько граммов абрикосов следует включить в дневной рацион, чтобы в нем оказалось 75 мг витамина и не менее 0,25 кг вишни при минимальных затратах?

12. Прямоугольная цветочная клумба должна занимать площадь 216 . Вдоль длины клумбы должны быть дорожки шириной по 2 м, а вдоль ее ширины - по 3 м. каковы должны быть размеры клумбы, чтобы площадь дорожек была наименьшей?

1. Методика работы с экстремальными задачами в рамках курса по выбору

Методы решения экстремальных задач были нами рассмотрены в 1 главе. Теперь опишем методику их решения в рамках изучаемого курса по выбору.

Решить задачу - это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется найти в задаче, ее ответ. ([46], c. 25)

В методике обучения математике выделяют четыре основных этапа процесса решения математической задачи:

1. Анализ текста задачи;

2. Осуществление поиска решения и составление плана решения;

3. Реализация плана решения;

4. Анализ найденного решения.

На первом этапе решения задачи предполагается осмысление текста задачи и анализ ее содержания, выделить условия и требования, выделить данные величины и зависимости между ними; постановка специальных вопросов и поиск ответов на них: о чем говорится в задаче? Что требуется найти в задаче? Что известно в данной задаче? Что неизвестно? Ответив на эти вопросы, мы сможем разобраться в деталях задачи, которые впоследствии, вероятно, будут играть определённую роль. Результаты анализа условия задачи удобно зафиксировать в виде таблицы, схемы, рисунка. Главная задача первого этапа 0 перевод условия задачи, сформулированного на естественном языке, на язык математики.

Второй этап работы над задачей предполагает составление математической модели к задаче. В качестве модели может служить формула, уравнение, система уравнений, график и т. п.

Третий этап работы над задачей - это исследование построенной модели. Конкретно, для экстремальных задач, на этом этапе мы должны найти экстремальное значение исследуемой функции.

На четвертом этапе работы над задачей можно установить, правильно ли понята задача, правдоподобен ли результат, не противоречит ли полученный ответ условиям задачи. Ответив на эти вопросы мы, возможно, сможем найти новое, лучшее решение, можем обнаружить новые интересные факты.

Занятие 1. Использование свойств линейной функции

Цели занятия: познакомить учащихся с методом решения экстремальных задач с помощью свойств линейной функции.

На этапе актуализации знаний, при изучении метода решения экстремальных задач с помощью линейной функции, можно предложить учащимся ответить на вопросы и выполнить следующие задания.

- Какая функция называется линейной?

- Что называется областью определения функции?

- Какова область определения функций, изображенных на рисунке?

Рис. 2.1. Рис. 2.2

- Что называют областью значений функции?

- Какие значения принимают данные функции?

- Какая функция называется возрастающей?

- Какая функция называется убывающей?

- От чего зависит возрастание и убывание линейной функции?

- Рассмотрим функцию на промежутке от [-1;2]. Чему равно значение функции при ;0;1?

- При каких значениях функция принимает положительные (отрицательные) значения?

- Укажите наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [-1;2].

- Какой вывод можно сделать?

Вывод: если линейная функция рассматривается на отрезке, то она принимает наибольшее и наименьшее значение на концах этого отрезка.

Задача 1. Расстояние между двумя заводами A и B по шоссейной дороге равно 8 км. Где нужно построить общежитие, в котором должны жить 500 рабочих заводa A и 300 рабочих завода B, чтобы общее расстояние, которое они должны проезжать, было наименьшим?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

Заводы расположены на шоссе, на расстоянии 8 км друг от друга. В заводе проживают 500 рабочих, в заводе - 300 рабочих. Нам нужно определить, где удобнее расположить общежитие, чтобы общее расстояние, которое будут проезжать все рабочие, было наименьшим.

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Нам известно, что расстояние между двумя заводами составляет 8 км. Обозначим расстояние от общежития до завода A через (. Тогда расстояние от общежития до завода составляет . Общее расстояние, которое должны проезжать рабочие, можно представить в виде следующей линейной функции:.

III этап. Реализация плана решения

Нам необходимо найти, наименьшее расстояние, значит, решение задачи сводится к нахождению минимума линейной функции на отрезке [0;8]:

При .

Ответ: общежитие нужно построить ближе к заводу A.

Задача 2. Расстояние между двумя заводами A и B равно 40 км. Потребность в нефти завода А составляет 80 т в сутки, а завода B - 70 т. Перевозка 1 т нефти на расстояние 1 км для завода A стоит 80 р., а для завода B - 100 р. Где нужно построить нефтебазу, которая должна обеспечивать горючим заводы A и B, чтобы расходы на перевозку горючего в общем были наименьшими?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

Анализируя условие данной задачи, выполним краткую запись в виде таблицы.

Потребность в нефти

Стоимость перевозки 1 т нефти на 1 км

Завод A

80 т/сутки

80 руб

Завод B

70 т/сутки

100 руб

Вопрос в задаче заключается в следующем: где удобнее построить нефтебазу, чтобы расходы в общем были наименьшие?

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Обозначим расстояние от нефтебазы до пункта через (. Зная, что расстояние между двумя заводами равно 40 км, расстояние от нефтебазы до пункта можно выразить как . Тогда, будет обозначать общие расходы на перевозку горючего.

III этап. Реализация плана решения

Решение данной задачи сводится к нахождению минимума на отрезке функции .

Ответ: нефтебазу нужно строить в пункте .

Задача 3. Для изготовления столов и шкафов имеется 60 древесины. Расход древесины и доход за одно изделие таковы:

Изделие

Древесина (куб.м)

Доход (руб.)

Стол

Шкаф

0,15

0,2

10

16

Сколько столов и сколько шкафов должна изготовить мастерская, чтобы обеспечить наибольший доход, если используется вся древесина?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

Условие задачи сразу представлено в виде таблицы, из которой известны расход и доход древесины на 1 шкаф и на 1 стол. Количество столов и шкафов нам неизвестно, знаем только то, что всего имеется 60 древесины.

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Обозначим количество шкафов и столов соответственно через и y (. Расход древесины можно выразить следующим уравнением . Функция обозначает доход. Решение задачи сводится к нахождению максимума функции.

III этап. Реализация плана решения

Так как , выразим через :

.

Тогда,

. Далее решение задачи сводится к нахождению максимума данной функции на отрезке.

При . Следовательно, если изготовить 300 шкафов, можно будет обеспечить наибольший доход 4800 рублей.

Ответ: наибольший доход составляет 4800 рублей.

Задача 4. Населенные пункты расположенные на отрезке АВ, снабжаются некоторыми потребительским товаром как из пункта А, так и из пункта В. Одна тонна этого товара в А обходится в 5 тыс. руб., а в В - в 7 тыс. руб. Транспортировка 1 т груза на расстояние 1 км стоит 200 руб. расстояние между пунктами А и В равно 100км. Нужно составить план снабжения товарами пунктов при котором будет допускаться минимальный расход денег.

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

Для лучшего понимания задачи, представим условие в виде таблицы:

Стоимость 1 т

Транспортировка 1 т на 1 км

Пункт A

5тыс. руб

200 руб

Пункт B

7 тыс. руб

200 руб

Расстояние между пунктами и - 100 км.

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Представим эту жизненную ситуацию в математическом описании. Пусть расстояние тогда . Стоимость транспортировки 1т груза из пункта в пункт равна тыс. руб. Стоимость транспортировки 1 т груза из пункта в пункт равна: 0,2 тыс. руб, или тыс. руб. Чтобы узнать, на каком расстоянии стоимость транспортировки груза от пункта будет не больше, чем от пункта , составим и решим следующее неравенство:

III этап. Реализация плана решения

Итак, из пункта нужно транспортировать товар на расстояние не больше, чем на 55 км, а из В - не больше, чем на 45 км.

IV этап. Анализ найденного решения

Целесообразно предложить ученикам подсчитать, сколько будет стоить транспортировка 1 т груза в пункт , который находится от А на расстоянии 20 км, 55 км, 70 км, а потом от В - на расстоянии 80 км, 45 км, 30 км. Наконец, необходимо сделать вывод и оценить важность применяемых математических методов.

Занятие 2. Использование свойств квадратичной функции

Цели занятия: обучить учащихся аналитическому методу решения экстремальных задач с использованием свойств квадратичной функции.

На этапе актуализации знаний учитель может предложить учащимся задание на построение графика квадратичной функции при и . По данным графикам ученики вспомнят основные свойства квадратичной функции, определят, в какой точке парабола принимает наибольшее и наименьшее значение, и при каких условиях. Далее они смогут сделать вывод о графике квадратичной функции.

При объяснении нового материала, в качестве примера, учителю следует рассмотреть задачу 2 (теоретическая часть). В дальнейшем, вывод, полученный из этой задачи, будет использоваться при решении конкретных задач.

Рассмотрим одну из задач, которая встречается в учебниках под редакцией Мордковича, Алимова.

Задача 1: Число 15 представить в виде суммы двух положительных чисел, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

На первый взгляд учащимся хочется решить эту задачу перебором возможных вариантов. Так как число 15 достаточно мало, то особо не возникает трудностей это выполнить. Однако, в качестве констатирующего эксперимента, эта задача была предложена учащимся для самостоятельного решения, и никто не решил ее правильно.

В данной задаче известно, что сумма двух чисел должна быть равна 15. Требуется найти наибольшее произведение этих чисел.

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Зная, что сумма чисел равна 15, не составляет труда одно число обозначить за , а другое число за . Пусть произведение этих чисел. Решение данной задачи сводится к нахождению экстремального значения квадратичной функции.

III этап. Реализация плана решения

По основной теореме о квадратных трехчленах, наибольшее значение функция будет принимать при . Тогда второе число равно . Чтобы произведение этих чисел оказалось наибольшим, эти числа должны быть равны друг другу.

Задача 2. Определите при заданном периметре длину и ширину прямоугольного участка земли, при которых его площадь будет наибольшей.

I этап. Анализ текста задачи

Разберемся с условием задачи.

- Что известно? (периметр и площадь участка)

- Что требуется найти в задаче? (длину и ширину участка)

- Как найти периметр участка?

- Как найти площадь?

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Поскольку, стороны участка неизвестны, обозначим их за соответственно. Выразим периметр и площадь, и найдем наибольшее значение, воспользовавшись известными нам теоремами и следствиями из них.

III этап. Реализация плана решения

Периметр участка равен , площадь участка выражается формулой . Так как периметр является величиной постоянной, тогда по следствию 3 наибольшее значение достигается, если . Следовательно, участок имеет форму квадрата.

Ответ: .

Задача 3. Имеется 40 м проволоки, которой нужно огородить участок прямоугольной формы и наибольшей площади. Какие размеры должен иметь прямоугольный участок?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

В задаче известно, что искомый участок имеет форму прямоугольника. Размеры участка нам тоже не даны. Так как участок нужно огородить проволокой длиной 40 м., значит, периметр участка должен быть равен 40 м.

Условие задачи представим в виде рисунка:

Рис. 2.3.

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Обозначим одну из сторон участка через . Тогда длина другой его стороны будет равна . Площадь участка выражается как

III этап. Реализация плана решения

Так как наибольшее значение квадратного трехчлена равно (по основной теореме о квадратных трехчленах).

Значит, прямоугольник имеет размеры . Следовательно, прямоугольник является квадратом.

Ответ: прямоугольный участок должен иметь размеры .

Задача 4. Заготовлен материал на 240 м ограждения двух участков прямоугольной формы одинаковых периметров, граничащих между собой.. Какую длину и ширину должны иметь участки, чтобы их площадь была наибольшей?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

Мы знаем длину материала, которым необходимо огородить два одинаковых, граничащих между собой, участка. Значит, периметр этих участков равен 240м. Длина и ширина участков нам неизвестна. Представим условие задачи в виде рисунка:

Рис.

Рис. 2.4.

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Пусть ширина искомого участка равна , а длина

Тогда площадь участка , а периметр выражается следующим уравнением

III этап. Реализация плана решения

Из уравнения выразим через : . Подставляя в уравнение , получаем:

Решение данной задачи сводится к нахождению максимума функции :

Ответ: Чтобы площадь участка была наибольшей, он должен иметь ширину 40 м, длину 60 м.

Задача 5. В цирке 1500 мест. Администрация исследует зависимость общей выручки от цены билетов. При цене 100 рублей было продано 200 билетов, при цене 50 рублей - 1000 билетов. Предложите оптимальную цену билета, при которой выручка будет наибольшей.

I этап. Анализ текста задачи

Для лучшего понимания задачи, представим условие в виде таблицы:

Цена

100 руб

50 руб

Количество

200 билетов

1000 билетов

Известно общее количество мест - 1500. Требуется найти оптимальную цену, при которой выручка будет наибольшей.

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

- Если количество проданных билетов, а цена, тогда какой зависимостью можно связать две эти величины? ( зависимость количества проданных билетов от цены).

- Зная первую цену и количество проданных билетов, какое уравнение можно составить? ()

- Аналогично составим второе уравнение .

III этап. Реализация плана решения

Из условий задачи получим систему из двух уравнений, с двумя неизвестными:

Откуда .

Вернемся к уравнению, обозначающему зависимость количества проданных билетов от цены:

Очевидно, что общая выручка равна произведению количества проданных билетов и цены:

Решение данной задачи сводится к исследованию квадратичной функции. А мы знаем, что при квадратичная функция имеет максимальное значение в вершине параболы.

Значит, Тогда .

Ответ: максимальная выручка 50625 рублей будет при цене за билет 56,25 рублей.

Помимо исследования квадратичной функции, в этой задаче присутствовала и линейная функция, изученная ранее.

Занятие №3. Метод оценки

Цели занятия: изучить метод оценки для решения задач на нахождение наибольших и наименьших значений.

Задача 1. Проектируется канал оросительной системы с прямоугольным сечением в 4,5 . Какими должны быть размеры сечения, чтобы для облицовки стенок и дна пошло наименьшее количество материала?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

- Что известно в задаче? (сечение канала)

- Какую форму представляет собой сечение? (прямоугольник)

- Чему равна площадь сечения? (4,5 )

- Что требуется найти в задаче? (размеры сечения, чтобы на облицовку стенок и дна пошло наименьшее количество материала)

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Так как размеры прямоугольного сечения нам неизвестны, обозначим их соответственно через . Тогда . Решение задачи сводится к нахождению минимума функции .

III этап. Реализация плана решения

Из формулы площади , выразим черех и подставим в искомую функцию:

Произведение величина постоянная, значит сумма принимает наименьшее значение при , или при . (по теореме 3: сумма двух положительных слагаемых, произведение которых постоянно, имеет наименьшее значение при равенстве слагаемых.)

Значит, для того, чтобы на облицовку стенок и дна пошло наименьшее количество материала, прямоугольное сечение должно иметь длину равную 1,5 м и ширину, равную 3 м.

Ответ: м.

Задача 2. Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться 108 . Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

- Что известно в задаче? (объем коробки)

- Какую форму имеет коробка? (форма прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат)

- Чему равен объем коробки? (108 )

- Что требуется найти в задаче? (размеры коробки, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала)

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Длину стороны основания обозначим через см., а высоту коробки - Тогда ее объем Площадь поверхности коробки

III этап. Реализация плана решения

Учитывая, что V= 108 , имеем .

Представим выражение для S следующим образом:

Произведение , следовательно, S достигает наименьшего значения, если .

Тогда = 108 .

Ответ: коробка должна иметь длину равную 6 м, высоту равную 3 м.

Задача 3.Спортплощадку площадью имеющую форму прямоугольника, нужно огородить с двух противоположных сторон деревянным забором, с двух других противоположных сторон - проволочным. Постройка одного метра деревянного забора стоит 5 руб., проволочного - 3 руб. Каковы должны быть размеры спортплощадки, чтобы затраты на ограждения были минимальные?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

- О чем эта задача? (о спортплощадке, которую необходимо огородить забором)

- Что нам известно? (площадь спортплощадки, стоимость 1 м деревянного забора и 1 м проволочного забора)

- Чему равна площадь спортплощадки? ()

- Какую форму представляет собой спортплощадка? (прямоугольник)

- Сколько стоит 1 м забора каждого вида? (1 м деревянного забора стоит 5 руб., а стоимость 1 м проволочного забора составляет 3 руб.)

- В чем заключается вопрос задачи? (Найти размера спортплощадки, при которых затраты на ограждения будут наименьшими)

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Раз нас просят найти размеры спортплощадки, значит удобнее всего их обозначить за неизвестное. Пусть длина прямоугольной спортплощадки, а ширина. Тогда длина деревянного забора, длина проволочного забора. Значит площадь прямоугольной спортплощадки . Зная, что постройка одного метра деревянного забора стоит 5 руб., а проволочного - 3 руб.можем составить следующее уравнение, выражающее общую стоимость строительства: .

III этап. Реализация плана решения

Из уравнения выразим через : . Подставляя во второе уравнение, получаем

Для нахождения наименьшего значения C воспользуемся неравенством получим: ;

Знак равенства имеет место только при , т. е. при (по теореме 3).

Ответ: Минимальная стоимость забора составляет 1200 рублей, а размеры спортплощадки - м.

Задача 4. Тракторная бригада должна послать в совхоз для выполнения определенной работы некоторое количество тракторов Известно, что 10 тракторов делают эту работу за 12 рабочих дней, и что совхоз выплачивает ремонтной бригаде на протяжении всего периода работ 30 руб. за один день, каждому трактористу - 4 руб. 80 коп. за один день работы и 4 руб. за перегон трактора в совхоз и обратно (на протяжении периода работ тракторы находятся в совхозе). При каком количестве тракторов суммарная оплата рабочим за выполнение всех работ будет наименьшей? Чему равна минимальная оплата рабочих?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

- Известно, сколько тракторов должна послать в совхоз тракторная бригада? (нет)

- Какие условия нам известны?

( 10 тракторов выполняют задание за 12 дней;

10 тракторов получают в день по 30 руб.;

Каждый тракторист получает 4 руб. 80 коп за 1 день и 4 руб. за перегон трактора туда и обратно)

- Что требуется найти в задаче? (количество тракторов, чтобы суммарная оплата рабочим была наименьшей)

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Так как количество тракторов нам неизвестно, обозначим их за . Тогда совхоз выплачивает 10 тракторам за 12 дней.

Каждый тракторист за 12 дней получает

Суммарная оплата рабочим за выполнение всей работы обозначим через . Решение данной задачи сводится к нахождению минимума данной функции.

III этап. Реализация плана решения

Для решения этой задачи используем неравенство о среднем арифметическим и среднем геометрическим и дадим оценку для величины S:

.

Ответ: суммарная оплата рабочим за выполнение всех работ будет наименьшей, если будет 30 тракторов. Минимальная оплата составляет 816 рублей.

Занятие №4. Метод перебора

Цели занятия: освоить метод перебора при решении экстремальных задач.

Задача 1. На колхозной ферме нужно провести водопровод длиной 167 м. Для этого имеются трубы длиной 5 и 7 м. Сколько труб той или иной длины нужно использовать, чтобы сделать наименьшее количество сварочных швов (трубы не резать)?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

Разберемся с условием задачи. Известно, что нужно провести водопровод, длиной 167 м, использовав при этом пятиметровые и семиметровые трубы. Требуется узнать, количество этих труб, чтобы количество сварочных швов было наименьшим.

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Поскольку, количество труб как 5-метровых, так и 7-метровых может меняться, следует обозначить их соответственно через и .

Пусть длина 7-метровых труб, длина 5-метровых труб. Составим уравнение с двумя неизвестными .

III этап. Реализация плана решения

Из уравнения выразим, например, переменную и получим:

Так как , то методом перебора несложно найти соответствующие пары чисел.

Данному уравнению удовлетворяют следующие пары чисел (1;32), (6;25), (11;18), (16;11), (21;4). Из данных решений, наиболее выгодным является последнее решение, т.е. необходимо взять 21 7-метровую трубу и 4 5-метровых труб.

Рассмотрим методические приемы решения одной из задач, решение которой сводится к нахождению если и, при этом учитываются соотношения где заданные числа.

Задача 2. Из лесного хозяйства в город нужно вывезти 1590 деревьев. Для перевозки деревьев можно заказать полуторатонки, трехтонки, пятитонки. На полуторатонке можно перевезти за один раз 26 деревьев, на трехтонке - 45, на пятитонке - 75 деревьев. Стоимость одного пробега для полуторатонки равна 9 руб., для трехтонки - 15 руб., для пятитонки - 24 руб. Как следует организовать перевозки, чтобы их общая стоимость была наименьшей? (Недогрузка машин не допускается.)

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

Чтобы лучше понять условие задачи, представим все данные в виде таблицы:

полуторатонки

трехтонки

пятитонки

Деревья за один раз

26

45

75

Стоимость одного пробега

9 руб.

15 руб.

24 руб.

Всего деревьев: 1590

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Количество машин каждого вида мы не знаем, поэтому обозначим через соответственно полуторатонки, трехтонки и пятитонки. Тогда можем составить следующее уравнение

По условию задачи нужно выбрать таким образом, чтобы стоимость перевозки была наименьшей. Решим данную задачу способом, доступным для учащихся 8 класса. Используем метод простого перебора.

III этап. Реализация плана решения

Оценим, где перевозка одного дерева будет наиболее дешевой: на полуторатонке , на трехтонке , на пятитонке . Сравним получившиеся дроби. Поскольку то выгоднее перевозить деревья в пятитонках по 75 деревьев, менее выгодно перевозить в трехтонках по 45 деревьев и наименее выгодно перевозить в полуторатонках по 26 деревьев. Следовательно, необходимо найти максимальное количество деревьев, которое можно перевести в пятитонках по 75 деревьев.

Чтобы найти максимальное количество деревьев, будем рассматривать числа, близкие к числу 1590, кратные 75.

Если возьмем число 1575, то останется 21 дерево, которое нельзя никуда загрузить, т. к. недогрузка машин не допускается. Если возьмем число 1500, то останется 90 деревьев, которые можно распределить в две трехтонки по 45 деревьев в каждую.

Таким образом, наиболее целесообразно взять 20 пятитонок по 75 деревьев и 2 трехтонки по 45 деревьев. При такой организации перевозок стоимость окажется наименьшей и составит 510 рублей.

Ответ: 20 пятитонок и 2 трехтонки. Наименьшая стоимость перевозок составит 510 рублей.

Задача 3. Полосы профильного проката длиной 5 м необходимо раскроить для серийного производства некоторого изделия длиной 6 см и 7 см. Как раскроить материал, чтобы максимально использовать его и получить при этом почти одинаковое количество изделий общих видов?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

В данной задаче известна длина материала- 5м, которую необходимо раскроить для изделия двух видов. Длина одних изделий равна 6 см., а длина других - 7 см. Количество изделий нам неизвестно.

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Так как нам не известно количество изделий каждого вида, то следует обозначить эти переменные через соответственно. Зная что, полосы профильного проката длиной 500 см надо раскроить для изделия длиной 6 см и 7 см, мы сможем составить и решить уравнение.

III этап. Реализация плана решения

Пусть количество изделий одного вида, количество изделий другого вида. Составим и решим следующее уравнение . Выразим через и получим новое уравнение Для решения данного уравнения воспользуемся методом простого перебора. Найдем несколько пар уравнений, например: (81;2), (74;8), (67;14). Далее простой перебор использовать нецелесообразно, так как количество изделий достаточно велико. Поэтому, здесь лучше увидеть некоторую закономерность, т. е. количество изделий записать формулами:

. Поскольку то методом оптимального перебора легко получить пару чисел (39;38).

Задача 4. Требуется соорудить канал с поперечным сечением ABDC, где АВ=CD, АВ и CD перпендикулярны к BD. Сумма длин АВ, ВD и СD должны быть равной Р метрам. Какими надо сделать ширину и глубину канала, чтобы площадь его поперечного сечения, т.е. площадь прямоугольника с вершинами в точках А, В, С, D оказалась бы наибольшей?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

Рис. 2.5.

• Что представляет собой сечение канала? (прямоугольник)

• Что известно про это сечение? ( и )

• Что требуется найти в задаче? (ширину и длину канала, чтобы площадь сечения была наибольшей)

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Поскольку мы еще не знаем, какими надо сделать глубину и ширину канала, то естественно надо обозначить эти переменные через . Далее надо выразить через и ту величину, наибольшее значение которой нам надо найти, т.е. площадь сечения канала. Эта площадь выразится произведением , будет зависеть от двух переменных величин и Но наше исследование облегчится, если нам удастся выразить площадь только от одной переменной. Очевидно, что в данном случае это сделать легко, т.к. по условию задачи .

III этап. Реализация плана решения

Пусть , а . Площадь сечения будет равна Задача сводится к определению наибольшего значения функции

. Очевидно, что

.

Отсюда видно, что наибольшая площадь получится в том случае, когда мы сделаем глубину канала . Тогда ширина , а наибольшая площадь равной .

Ответ: ширина , глубина .

Занятие №5. Метод преобразования плоскости

Цели занятия: изучить метод преобразования плоскости для решения геометрических экстремальных задач.

Задача 1. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг, найдите прямоугольник наибольшей площади.

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

Построим рисунок к задачи:

Д

В

С

Р

Д

R

х

Рис. 2.6.

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Решим данную задачу методом преобразования плоскости. Используя осевую симметрию, достроим полуокружность до окружности.

III этап. Реализация плана решения

Пусть - прямоугольник, вписанный в полуокружность, -диаметр окружности. Построим образ данной полуокружности относительно диаметра. Объединение данной полуокружности и её образа при осевой симметрии относительно - окружность. В эту окружность вписан прямоугольник ; . Площадь прямоугольника - половина площади прямоугольника . Отсюда следует, что площадь максимальна тогда и только тогда, когда площадь максимальна. Давайте вспомним, какой прямоугольник вписанный в круг имеет наибольшую площадь? Ответить на этот вопрос нам поможет задача, которую мы решали при изучении метода решения, с помощью квадратичной функции. (смотри задачу 2: В данный круг вписать прямоугольник наибольшей площади).

Наибольшую площадь имеет квадрат. Тогда длина прямоугольника - , ширина - . Значит, отношение сторон прямоугольника - 2:1, а его площадь равна , где - радиус данной полуокружности.

Ответ: прямоугольник, отношение сторон которого 2:1.

Задача 1. В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую деревни А и В, чтобы путь AMNB был кратчайшим? (Берега реки считаются параллельными прямыми, мост перпендикулярен берегам).

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

Результаты анализа условия задачи зафиксируем в виде следующего рисунка: две параллельные прямые, изображающие два берега реки, мост, перпендикулярно и перпендикулярно .

Рис. 2.7.

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Решим данную задачу методом преобразования плоскости, с помощью параллельного переноса. Главное в этой задаче, заметить, что длина отрезка не зависит от положения точки на прямой а, а вектор определяется прямыми . Поэтому надо найти такое положение точки , чтобы сумма была наименьшей.

III этап. Реализация плана решения

Отрезки и удалены друг от друга. Поэтому, с помощью параллельного переноса на вектор переведем отрезок в положение . Получим ломаную . Длина ломаной , а значит и длина пути будет наименьшей в том случае, когда точки лежат на одной прямой. Итак, - точка пересечения отрезка и прямой , а точка проекция точки на прямую .

Если переносить другой отрезок на вектор , то тогда точки должны принадлежать одной прямой. Тогда точка пересечения отрезка с прямой а, а точка проекция на прямую .

Вся трудность задачи заключается в том, чтобы заметить особенности, при которых искомая ломаная может принять наименьшую длину.

Задача 2. Две деревни А и В находятся по одну сторону от прямого шоссе а. В какой точке С на шоссе а надо установить остановку автобуса, чтобы сумма расстояний АС + СВ была кратчайшей?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

Выполним краткую запись условия задачи в виде рисунка:

Рис. 2.8.

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Решим данную задачу с использованием осевой симметрии. Построим точку, симметричную точке или , затем выберем на прямой произвольную точку , отличную от точки и рассмотрим расстояния между этими точками.

III этап. Реализация плана решения

Пусть точка, симметричная точке , относительно прямой а. (рис.111) Для любой точки . Поэтому Становится ясно, что сумма становится кратчайшей, когда попадает в точку пересечения отрезка и прямой . Эта точка С и дает решение задачи.

Рис. 2.9.

Занятие №6. Метод опорной функции

Цели занятия: обучить учащихся методу опорных функций.

Задача 1. Требуется построить одноэтажное здание с общей площадью 180 при наименьшей затрате материала на наружные стены. Каковы должны быть размеры здания, если оно будет строиться из железобетонных блоков длиной 3 м каждый?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

- О чем эта задача?

- Что известно в задаче? (Известна площадь здания)

- Как найти площадь здания? (нужно длину умножить на ширину)

- Известны ли нам длина и ширина? (не известны, но мы можем длину обозначить за , а ширину выразить через площадь и длину).

- Какие еще данные известны? (здание должно строиться из железобетонных блоков длиной 3 м каждый)

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Если мы обозначим за длину здания, тогда ширину можно выразить как . Длина наружных стен, для которых используется некоторый материал, представляют собой периметр здания. Значит, решение данной задачи сводится к исследованию на минимум функции Приведем данную функцию к квадратичной функции, которая будет являться опорной функцией при решении данной задачи.

III этап. Реализация плана решения

.

Так как и должно быть кратно 3, то

Значит, длина здания должна быть равна 12, а ширина 15.

Ответ: Размеры здания .

Задача 2. Для ограды прямоугольного участка заготовлено 78 щитов длиной 2,5 м каждый. Какую длину и ширину должен иметь прямоугольный участок, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

- Форму какой геометрической фигуры имеет участок? (форму прямоугольника)

- Знаем ли мы площадь участка?

- Что требуется найти в задаче? (длину и ширину участка, чтобы площадь была наименьшей)

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

Поскольку мы не знаем ни длину, ни ширину данного участка, и сколько конкретно щитов помещается по длине и по ширине, то логичнее всего обозначить за количество щитов, которое помещается по длине участка, количество щитов, которое помещается по ширине участка. Тогда, можно составить следующее уравнение: , обозначающее общее количество щитов. Из этого уравнения сможем выразить либо , либо . Задача сводится к нахождению наименьшей площади, следовательно, нам нужно составить функцию для ее вычисления.

III этап. Реализация плана решения

. Из полученного уравнения выразим через : .

Площадь прямоугольно участка выражается как . Приведем данную функцию к квадратичной функции, которая будет являться опорной функцией при решении данной задачи..

Отсюда площадь принимает наибольшее значение при или .

Ответ: прямоугольный участок должен иметь следующие размеры .

Задача 3. Из металлической пластинки нужно изготовить деталь в виде треугольника площадью и углом при вершине . Какими должны быть две стороны, сходящиеся в вершине , для того, чтобы сторона , противолежащая вершине , имела наименьшую длину?

Решение:

I этап. Анализ текста задачи

Представим условие задачи в виде рисунка:

Рис. 2.10.

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана решения

- Какую формулу будем использовать для вычисления площади?

()

• Как можно найти длину стороны ? (по теореме косинусов)

В качестве опорной функции используем теорему косинусов.

III этап. Реализация плана решения

По теореме косинусов .

. Подставляя в первую формулу, получим

.

а значит и достигают наименьшего значения, если . Значит треугольник равнобедренный, и .

Ответ: стороны должны быть равны.

Задача 4. По конвейеру движется 10 деталей, вдоль конвейера расположен ряд рабочих мест. На первом рабочем месте снимается 3 детали, а на каждом следующем на 2 детали больше, чем на предыдущем рабочем месте. Кроме этого, на каждом рабочем месте конвейера поступает дополнительно13 деталей. Какое наибольшее количество деталей может быть на конвейере, и на каком рабочем месте?

Решение: Допустим, что наибольшее количество деталей на конвейере будет на -м месте. Тогда на рабочих местах с конвейера будет снято деталей, а поступит деталей. Общее количество деталей на -м месте будет следующее:

Далее найдем максимум данной функции: при Значит, наибольшее количество деталей на 5 6 рабочих местах дудет 40 штук.