Конспект урока по математике для 9 класса по теме Арифметическая прогрессия

Конспект урока по математике на тему

«Арифметическая прогрессия»

Тема урока: «Арифметическая прогрессия».

Тип урока: Урок ознакомления учащихся с новым материалом.

Цели урока:

1.Обучающие: ввести понятие арифметической прогрессии; формулы n-го члена; характеристическое свойство, которым обладают члены арифметических прогрессий.

2.Развивающие: вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.

3.Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Оборудование урока: учебник алгебры для 9 класса, доска, мел, проектор, компьютер, экран.

Литература: «Алгебра», 9 класс, Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.

Структура урока.

I.

Организационный момент.

(1 мин.)

II.

Подготовительный этап.

(7 мин.)

1.Подготовительная работа к изучению нового материала.

(2 мин.)

2.Сообщение темы и цели урока.

(1 мин.)

3.Актуализация опорных знаний.

(4 мин.)

III.

Формирование умения использовать изученную формулу.

(9 мин.)

1.Выполнение заданий.

(9 мин.)

IV.

Закрепление материала, изученного на уроке.

(19 мин.)

1.Решение упражнений.

(19 мин.)

V.

Подведение итогов урока.

(2 мин.)

VI.

Постановка домашнего задания.

(2 мин.)

Ход урока.

Записи на доске и в тетрадях учащихся

Этапы урока и задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность учеников

12 февраля.

Классная работа.

I. Организационный момент.

Задачи этапа:

1.Обеспечить нормальную обстановку для работы.

2.Психологически подготовить учащихся к уроку

Вхожу в класс и приветствую учащихся.

-Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста.

Откройте тетради, запишите число, классная работа.

(Слайд №2)

Арифметическая прогрессия.

(слайд №2)

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

(Самостоятельная работа)

a₁, a₂, a₃ …a_n

(Слайд № 4)

d- разность арифметической прогресси

II.Подготовительный этап.

Задачи этапа:

1.Организовать и целенаправить познавательную деятельность учащихся.

2.Подготовить к усвоению нового материала.

-Посмотрите, пожалуйста, на экран. На слайде №1 что вы видите?

-Что вы можете сказать про размеры одежды?

-Верно. Молодцы! Все числа - размеры одежды, составляют последовательность чисел, которую называют арифметической прогрессией.

-А теперь, ребята, запишите в тетрадях новую тему «Арифметическая прогрессия».

-Сейчас мы с вами, ребята, выполним несколько заданий.

-Посмотрите еще раз на слайд №1

42, 44,46,…

Продолжите, пожалуйста, ряд размеров.

-Правильно. Как вы можете объяснить такую закономерность?

-Каждое число в последовательности называется ее членом.

-Назовите мне 1-ый член последователь-ности?

-3-ий, 5-ый?

Рассмотрим последовательности чисел:

•2, 6, 10, 14, 18, …

•11, 8, 5, 2, -1, :.

•5, 5, 5, 5, 5, :.

Чему равен третий член первой последовательности,

Последующий член? Предыдущий член? Чему равна разность между вторым и первым членами? Третьим и вторым членами? Четвертым и третьим?

-Каким общим свойством обладают эти последователь-ности? Сформулируйте это свойство.

- Числовые последовательности, обладающие этим свойством, называются арифметическими прогрессиями.

-А теперь, ребята, давайте попробуем дать определение арифметической прогрессии.

-А теперь, посмотрите на слайд № 3 и запишите определение арифметической прогрессии.

-Ребята, пожалуйста, в тетрадях придумайте каждый свою арифметическую прогрессию.

(Один из ребят работает у доски).

А теперь, мы с вами сделаем вот что: мы с вами обозначим последовательность через

a₁, a₂, a₃ …a_{n .} Допустим, чтобы получить a₂ мы должны к а₁ прибавить некоторое число. Обозначим его через d. Тогда можно записать формулу получения n-го члена арифметической прогрессии.

А как найти число d, если известен первый и второй член арифметической прогрессии ?

-Правильно! То есть разность между вторым и первым- это есть число d.

-Число d называется разностью арифметической прогрессии. Запишите в тетрадях.

Одежда, расположенная по размерам

Они расположены в порядке возрастания. Каждый следующий размер отличается на две единицы от предыдущего.

- 48,50,52 и.т.д.

- Чтобы получить последующее число, нужно к каждому предыдущему размеру прибавить число 2

- Первый член последователь-ности - это число 42.

-46, 50

-10

- 14

-6

-4

-4

-4

-Чтобы получить каждый последующий член последовательности, нужно к предыдущему члену прибавить одно и тоже число.

-Арифметическая прогрессия- это последовательность чисел, к каждому предыдущему члену прибавляется одно и то же число.

-Нужно из второго члена вычесть первый.

, .

Ответ: 260

.

.

III. Формирование умения задавать, распознавать арифметическую прогрессию и находить любой член арифметической прогрессии.

Как задать арифметическую прогрессию? Рассмотрим следующую задачу.

Задача. На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.

Если выписать количество угля, находящегося на складе каждого числа, получим арифметическую прогрессию. Как решить эту задачу? Неужели придется просчитывать количество угля в каждый из дней месяца? Можно ли как-то обойтись без этого? Замечаем, что до 30 числа на склад придет 29 машин с углем. Таким образом, 30 числа на складе будет 50+3 ^х 29=137 тонн угля.

Таким образом, зная только первый член арифметической прогрессии и разность, мы можем найти любой член последовательности. Всегда ли это так?

Проанализируем, как зависит каждый член последовательности от первого члена и разности:

:::::::::::::

Таким образом, мы получили формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

Запишем в тетради формулу.

Пример 1. Последовательность ()-арифметическая прогрессия. Найдите , если и

Рассмотрим следующую задачу:

В арифметической прогрессии четные члены оказались затерты: 3, :, 7, :, 13: Можно ли восстановить утраченные числа?

-Все правильно. Не зная формулы, вы правильно рассуждали. А сейчас выведем формулу. Воспользуемся тем, что в арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна. Пусть - искомый член последовательности. Тогда

.

Замечание. Данное свойство арифметической прогрессии является ее характеристическим свойством. Это означает, что в любой арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего ( . И, наоборот, любая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего, является арифметической прогрессией.

-(У доски) Воспользуемся формулой n-ого члена , .

Ответ: 260.

-Можно. Так как известен 1 и 3 член арифметической прогрессии, то разность к 1 члену прибавили 2 раза. Т.е. нужно из 7 вычесть 3 и разделить все на 2. Число d=2, а значит второй член равен 5, четвертый равен 9 и т.д.

Ответ: -24,2.

№ 580 а

-6,5-(-8)=1,5.

Ответ: 25.

№584 а

128 =

,

.

Ответ: 12.

.

, , .

Ответ: является.

, .

Ответ: -2.

IV.Закрепление материала, изученного на уроке.

А теперь выполним задания

•№ 575 аб - устно

•№ 576 авд - устно

•№ 577 б - самостоятельно с проверкой

Последовательность ( - арифметическая прогрессия. Найдите , если и

№ 580 а

Найдите 23-й и n-ый члены арифметической прогрессии -8; -6,5; :

№584 а

Найдите первый член арифметической прогрессии ( ), если

Задача. Числовая последовательность задана формулой

Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Есть 2 способа решения этой задачи. Давайте рассмотрим

1-й способ. Поскольку

, при всех значениях n, то последовательность является арифметической прогрессией по определению. Из полученной формулы разность этой прогрессии равна 5.

2-й способ. Если последовательность является арифметической прогрессией, то должно выполняться характеристическое свойство: .

, , Выполнив преобразования в обратную сторону для любого n, получаем, что данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: является.

Замечание. Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой, где k и b - некоторые числа.

Задача. Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии.

Решение. По условию , . Заметим, что , откуда .

По формуле n-ого члена , откуда

Ответ: -2.

Воспользуемся

формулой

n-ого члена

Ответ: -24,2.

Первый член

Арифметической

прогрессии

равен -8.

Найдем разность

арифметической

прогрессии, для

этого надо из

последующего члена последовательности вычесть предыдущий:

-6,5-(-8)=1,5.

Воспользуемся формулой n-ого члена:

Ответ: 25.

Воспользуемся формулой n-ого члена, записав ее для тридцатого члена последовательности:

Подставив известные значения, получаем: 128 =

,

.

Ответ: 12.

V.Подведение итогов.

Задача: Систематизировать и обобщить полученные знания.

-Итак, подведем итог нашего сегодняшнего занятия.

-Скажите, что нового мы сегодня узнали?

-А теперь, пожалуйста, дайте определение арифметической прогрессии.

-Узнали, что такое арифметическая прогрессия.

-Научились задавать арифметическую прогрессию.

-Научились находить n-ый член арифметической прогрессии

-Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

VI.Постановка домашнего задания.

Задача: Постановка домашнего задания, которое нужно решить дома.

- Запишите домашнее задание.

Пункт 25, № 578а, № 580б, №582, №586а, №601а.

Творческое задание для сильных учеников: Докажите, что в арифметической прогрессии для любых номеров, таких что k и .

-Спасибо, ребята за работу. Урок окончен. До свидания.