Контрольная работа №3.

Вариант 1.

1. При прямолинейном движении тела путь S(t) (в метрах) изменяется по закону

В какой момент времени ускорение тела будет равно нулю.

2. Исследовать функцию . Найти координаты точек экстремума и промежутки выпуклости функции.

3. Найти производные функций:

Контрольная работа №3.

Вариант 2.

1. При движении тела по прямой расстояние S(t) в метрах от начальной точки М изменяется по закону . (t - время в секундах). Через сколько секунд после начала движения мгновенное ускорение тела будет равно 58 м/с².

2. Исследовать функцию . Найти промежутки монотонности и координаты точек перегиба.

3. Найти производные функций:

   1. 

   2. 

   3. 

Контрольная работа №3.

Вариант 3.

1. При прямолинейном движении тела путь S(t) (в метрах) изменяется по закону В какой момент времени ускорение тела будет равно нулю?

2. Исследовать функцию . Найти координаты точек экстремума и промежутки выпуклости функции.

3. Найти производные функций:

Контрольная работа №3.

Вариант 4.

1. Тело движется по прямой так, что его скорость (в метрах в секунду) изменяется по закону . Какую скорость приобретет тело в момент, когда его ускорение станет равным 12

2. Исследовать функцию . Найти промежутки монотонности и координаты точек перегиба.

3. Найти производные функций:

Контрольная работа №3.

Вариант 5.

1. Тело движется по прямой так, что его скорость (в метрах в секунду) изменяется по закону . Какую скорость приобретет тело в момент, когда его ускорение станет равным 10

2. Исследовать функцию . Найти координаты точек экстремума и промежутки выпуклости функции.

3. Найти производную функции:

Контрольная работа №3.

Вариант 6.

1. При прямолинейном движении тела путь S(t) (в метрах) изменяется по закону В какой момент времени ускорение тела будет равно нулю.

2. Исследовать функцию . Найти промежутки монотонности и координаты точек перегиба.

3. Найти производную функции:

Контрольная работа№3.

Вариант 7.

1. При прямолинейном движении тела путь S(t) (в метрах) изменяется по закону Вычислить ускорение движения в момент t=3 сек.

2. Исследовать функцию . Найти координаты точек экстремума и промежутки выпуклости функции.

3. Найти производную функции:

Контрольная работа №3.

Вариант 8.

1. Две тела движутся по законам соответственно. В какой момент времени ускорения движения тел будут равны?

2. Исследовать функцию . Найти промежутки монотонности и координаты точек перегиба.

3. Найти производную функции:

Критерии оценок:

оценка «5» - при выполнении всех заданий

оценка «4» - при выполнении 1 и 3 задания и части 2 задания

оценка «3» - при выполнении 50% работы

Что такое производная?

Таблица производных.

Производная - одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

Это знакомство позволит:

- понимать суть несложных заданий с производной;

- успешно решать эти самые несложные задания;

- подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

Для успешного выполнения большинства заданий достаточно знать всего несколько терминов - чтобы понять задание, и всего несколько правил - чтобы его решить. И всё. Это радует.

Термины и обозначения.

В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование.

Важно понять, что дифференцирование - это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

Дифференцирование - действие над функцией.

Производная - результат этого действия.

Так же, как, например, сумма - результат сложения. Или частное - результат деления.

Зная термины, можно, как минимум, понимать задания. Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y' или f'(x) или S'(t) и так далее.

Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)', (x³)', (sinx)' и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

Нахождение производной - это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

2. Правила дифференцирования.

3. Производная сложной функции.

Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

Таблица производных.

В мире - бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Этот класс функций называется элементарные функции. Дифференцирование функций "с нуля", т.е. исходя из определения производной и теории пределов - штука достаточно трудоёмкая. Таблица производных самых популярных функций. Слева - элементарная функция, справа - её производная.

Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции - одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)

Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице - вроде и нету...

Рассмотрим несколько примеров:

1. Найти производную функции y = x³

Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:

(x³)' = 3·x^3-1 = 3x²

Вот и все дела.

Ответ: y' = 3x²

2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.

Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию... Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню - это уже новая функция.

По табличке находим синус и соответствующую производную:

y' = (sin x)' = cosx

Подставляем ноль в производную:

y'(0) = cos 0 = 1

Это и будет ответ.

3. Продифференцировать функцию:

Что, внушает? ) Такой функции в таблице производных и близко нет.

Напомню, что продифференцировать функцию - это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает...

Но если увидеть, что наша функция - это косинус двойного угла, то всё сразу налаживается!

Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:

Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx. А это - табличная функция. Сразу получаем:

Ответ: y' = - sin x.

Пример для продвинутых выпускников и студентов:

4. Найти производную функции:

Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями... То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:

А икс в степени одна десятая - это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:

Вот и всё. Это будет ответ.

Надеюсь, что с первым китом дифференцирования - таблицей производных - всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования

Правила дифференцирования.

Чтобы найти производную от любой функции, надо освоить всего три понятия:

1. Таблица производных.

2. Правила дифференцирования.

3. Производная сложной функции.

Дифференцирование - это операция нахождения производной. Более за этим термином ничего не кроется. Т.е. выражения "найти производную функции" и "продифференцировать функцию" - это одно и то же.

Выражение "правила дифференцирования" относится к нахождению производной от арифметических операций.

Вот они, правила дифференцирования:

Действие

Производная

1

Производная суммы

(U+V)' = U'+V'

2

Производная разности

(U-V)' = U'- V'

3

Производная произведения

(U·V)' = U'·V +U·V'

4

Производная от произведения на постоянное число

(C·V)' = CV'

5

Производная частного

Под обозначениями U и V подразумеваются какие-то (совершенно любые!) функции U(x) и V(x).

Рассмотрим несколько примеров. Сначала - самые простые.

Найти производную функции y=sinx - x²

Здесь мы имеем разность двух элементарных функций. Применяем правило 2. Будем считать, что sinx - это функция U, а x² - функция V. Имеем полное право написать:

y' = (sinx - x²)' = (sinx)'- (x²)'

Осталось найти производные от синуса и квадрата икса. Для этого существует таблица производных. Просто ищем в таблице нужные нам функции (sinx и x²), смотрим, какие у них производные и записываем ответ:

y' = (sinx)' - (x²)' = cosx - 2x

Правило 1 дифференцирования суммы работает точно так же.

А если у нас несколько слагаемых? Разбиваем функцию на слагаемые и ищем производную от каждого слагаемого независимо от остальных. Например:

Найти производную функции y=sinx - x²+cosx - x +3

Смело пишем:

y' = (sinx)' - (x²)' + (cosx)' - (x)' + (3)'

Опять находим в таблице производные синуса, квадрата икса, косинуса, чистого икса и тройки. Тройка - постоянная величина, в таблице обозначена буквой "С". Производная любой постоянной величины равна нулю. Можно сразу записать ответ:

y' = cosx - 2x - sinx - 1

Как видим, первые два правила дифференцирования просты и безотказны.)

Переходим к примерам на правило 3. Производная произведения чуть посложнее. Главное здесь - увидеть в исходной функции, что взять за U, а что - за V. Например:

Найти производную функции y=sinx · cosx.

Здесь всё очевидно. sinx - это U, cosx - это V. Пишем прямо по правилу:

y' = (sinx)' ·cosx + sinx · (cosx)' = cosx·cosx - sinx·sinx = cos²x - sin²x

Производную мы уже нашли. Обычно, если упрощение простое и очевидное, его нужно сделать. В нашем случае получилась формула косинуса двойного угла. Можно написать ответ:

y' = cos²x - sin²x = cos2x

Рассмотрим следствие из правила 3, т.е. правило 4. Эта формула получается прямо из производной для умножения функций. Если y=CU, где С - какое-то постоянное число, а U - любая функция, то:

y' =(C·U)' = C'·U + C·U' = 0·U + C·U' = C·U'

Словами говорят, что постоянную можно вынести из под знака производной.

Например, по этому правилу все производные от выражений, типа 5х, 3,4х, -2х и так далее, сразу же превращаются в постоянные числа:

(5х)' = 5·(x)' = 5·1 = 5

(-2х)' = -2·(x)' = -2·1 = -2

Пример посложнее:

Найти производную функции y=5sinx - 3x².

Если расписывать подробно, получится вот так:

y' = (5sinx - 3x²)' = (5sinx)'- (3x²)'

В скобках - произведения функций (постоянное число - тоже функция!). К первой и второй скобкам надо бы использовать правило 3, но сокращённый вариант (правило 4) - куда приятнее! Просто выносим числа за знак производной:

y' = (5sinx)'- (3x²)' = 5(sinx)'- 3(x²)'

Далее находим в таблице значения производных и результат просто умножаем на эти числа:

y' = 5(sinx)'- 3(x²)' = 5cosx - 3·2x = 5cosx - 6x

Переходим к производной частного.

Правило 5.

Пример:

Найти производную функции

Расписываю по правилу 5. Подробно, со всеми скобочками и штрихами:

Берём производные (они табличные) в правой части:

Приводим к приличному виду:

Если требуется дальнейшее упрощение, можно в числителе вынести икс за скобки и сократить с иксом в знаменателе. Получим ответ:

Вот мы и рассмотрели, как находить производные функций с помощью правил дифференцирования.

Разумеется, сумма, разность, частное и произведение могут комбинироваться в самых разных сочетаниях. Например:

Продифференцировать функцию:

y=(x²+2) · (x³-4)

Здесь под функцией U скрывается выражение (x²+2), а под функцией V - выражение (x³-4). Расписываем прямо по правилу:

y' = (x²+2)' · (x³-4) + (x²+2) · (x³-4)'

Теперь нужно довести дело до конца, т.е. вычислить производные от скобок. В первых скобках будет сумма функций:

(x²+2)' = (x²)' + 2' = 2x

Во вторых - разность функций:

(x³-4)' = (x³)' - 4' = 2x

Можно записать ответ:

y' = 2х · (x³-4) + (x²+2) · 3x²

Упрощаем, т.е. перемножаем и приводим подобные:

y' = 2x⁴-8х + 3x⁴+6x² = 5x⁴+6x²-8х

Вот и всё. Достаточно производную от сложной функции расписать подробно, со всеми скобочками и штрихами, по подходящему правилу. Затем последовательно брать производные от скобок. Всё и получится.

Всё просто, но... могут случиться и сюрпризы. Попадётся, например, вот такое задание:

Найти производную функции y=x³· sinx · cosx.

Здесь у нас умножаются три функции. Нет подходящего правила. Мы вправе превратить умножение трёх функций в произведение двух, чтобы правило 3 в дело запустить. Просто возьмём за U и V то, что нам нужно. Например, пусть

U=x³· sinx

Тогда

V = cosx

Выделим эти U и V скобочками в исходной функции:

y=(x³· sinx) · (cosx).

Скобки никак не меняют исходную функцию, можно брать производную по правилу 3:

y'=((x³· sinx) · (cosx))'= (x³· sinx)'· (cosx)+(x³· sinx) · (cosx)'

Теперь видно, что в скобках (x³· sinx)' у нас опять произведение функций. Но уже двух. Можно расписать производную этих скобок отдельно. Теперь за U у нас пойдёт x³, а за V - sinx:

(x³· sinx)' = (x³)' · sinx +x³· (sinx)'= 3x²· sinx + x³· cosx

Вот практически и всё. Возвращаемся к исходной функции и вставляем наш результат промежуточного дифференцирования на своё место. Сразу же и производную от косинуса во втором слагаемом возьмём:

y'= (3x²· sinx + x³· cosx) · cosx + (x³· sinx) · (-sinx)

Производную нашли. Если требуется, перемножаем скобки и записываем ответ:

y'= 3x²· sinx · cosx + x³· cos²x - x³· sin²x

Замечу, что в этом примере U и V можно было выбрать по другому. За U взять x³, а за V - sinx · cosx. Это без разницы. Результат будет тот же самый.

В примерах постоянно приходится дифференцировать дроби. Но, если в знаменателе дроби - постоянное число, правила 5 можно избежать! Действия с дробями гласят, что деление можно заменить на умножение. Вот так:

Это даёт возможность вместо правила 5 использовать куда более простое и удобное правило 4. Например:

Найти производную функции:

В процессе дифференцирования слегка преобразуем исходную функцию. Превратим деление в умножение:

Кстати, преобразование исходной функции перед дифференцированием вполне возможно и, иногда, очень помогает. Скажем, производная от функции:

берётся достаточно хлопотно. Таблицы производных и правил дифференцирования здесь недостаточно. Это сложная функция. Но если её преобразовать до дифференцирования, применив формулу

cos2α, пример решается в уме.

Практические советы:

1. Перед дифференцированием смотрим, нельзя ли упростить исходную функцию.

2. В замороченных примерах расписываем решение подробно, со всеми скобочками и штрихами.

3. При дифференцировании дробей с постоянным числом в знаменателе, превращаем деление в умножение и пользуемся правилом 4.