Урок математики (проблемно-эвристический) по теме: «Число е. Понятие натурального логарифма. Производная показательной функции»

Урок математики (проблемно-эвристический) по теме: «Число е. Понятие натурального логарифма. Производная показательной функции».

Цели и задачи урока:

1) ввести понятия: «число е», «натуральный логарифм» «экспонента»;

2) формировать умение находить производную показательной функции;

3) развивать логическое мышление, математическую речь;

4) развивать умение выражать свою точку зрения, умение работать в группах;

5) воспитывать интерес к предмету, внимательность, чуткое отношение друг к другу.

Оборудование: интерактивная доска, компьютерная презентация, дидактические карточки.

Ход урока.

1. Организационный момент. (1 мин.)

Приветствие. Пожалуйста, настройтесь на работу. Сегодня на уроке нам понадобится внимание, умение мыслить логически, строить предположения и доказывать их.

2. Постановка целей и задач урока. (4 мин.)

Совсем недавно мы познакомились с показательной и логарифмической функциями. Эти функции применяются во многих областях физики, химии и других наук. В частности логарифмы с особым основанием могут характеризовать естественные процессы.

А чем отличаются друг от друга логарифмические и показательные функции? (Основанием. Каждая из этих функций связана с каким-то положительным числом, называемым основанием функции).

Как вы думаете, с чем может быть связана тема нашего урока? (Учащиеся строят предположения).

Сегодня на уроке мы познакомимся с числом, которое может быть основанием показательной и логарифмической функций, а также само по себе играет большую роль в математике, физике и других науках.

Ещё мы вместе выведем формулу производной показательной функции и будем применять полученные знания при решении задач.

Откройте тетради и запишите тему урока.

III. Открытие нового знания.

1. Исторические сведения. (7 мин.)

(Слайд)

В конце XVI века шотландский любитель математики Джон Непер и швейцарский часовщик, мастер астрономических приборов Иоганн Бюрги, независимо один от другого занимались сравнением арифметической и геометрической прогрессий:

0,

1,

2,

3,

4,

…

y,

y+1

1,

,

,

,

,

,

Оба математика искали такое число в качестве основания степени, чтобы второй ряд был «гуще», т.е. разность между двумя соседними членами была по абсолютному значению возможно меньше.

Давайте представим, как же можно было решить эту проблему.

Вопрос: Как вы думаете, при каком значении основания все члены второго ряда равны между собой? (При ).

Но для нас важно, чтобы все эти числа не были одинаковыми, а были близки между собой. Какое же основание нужно взять? (Близкое к 1).

Поэтому оба учёных взяли числа, близкие к 1.

(Слайд): (Бюрги);

(Непер).

Они составили таблицы степеней этих чисел, правда, славу таблицы принесли только Неперу (Бюрги создал свой труд раньше, но опубликовал позднее).

А как вы думаете, какие ещё числа можно было взять? (Например, и т.д.)

В начале XVII века Леонард Эйлер выразил общий вид таких чисел. (Слайд).

В честь Эйлера число стали называть буквой «е», но его также называют «неперовым числом».

В XIX веке было доказано, что это число иррационально и не может быть корнем никаких алгебраических уравнений (т.е. трансцендентно).

Число е входит в большое число различных формул самых разных областей науки. Сейчас найдено более 2000 знаков этого числа.

На экране: (запишите в тетради).

Мнемоническое правило: сначала 2 и 7, потом дважды дата рождения Л.Н. Толстого, затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

2. Введение понятий «экспонента», «натуральный логарифм». (3 мин.)

Задание: составить две функции - показательную и логарифмическую с основанием е. (Выполняют в тетрадях, затем один человек записывает на доске.)

На экране:

Логарифмы по основанию е выражают математическую зависимость, которая характеризует разнообразные химические, физические и др. процессы. По-видимому, этим и объясняется название «натуральные логарифмы», т.е. естественные.

3. Вывод формул производной показательной функции. (12-13 мин.)

Оказывается, что экспонента обладает рядом интересных свойств.

Сейчас мы познакомимся с одним из этих замечательных свойств. Для этого нам необходимо вспомнить некоторые факты о производной.

Задание: Сформулировать определение производной. Объяснить геометрический смысл производной в точке. (Самостоятельное повторение).

(Слайд): По очереди появляются:

А) график функции y=2^x и касательной к нему в точке x=0.

Учитель сообщает: Угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ox, примерно равен 35⁰;

Б) график функции y=3^x и касательной к нему в точке x=0. Учитель: Соответствующий угол примерно равен 48⁰.

Построение гипотезы: Какой табличный угол заключён между данными? Чему равен его тангенс?

Можно предположить, что существует функция, для графика которой данный угол равен 45⁰.

В) Появляется график функции y=e^x и касательная в точке x=0.

Вопрос: Как записать это свойство, используя понятие производной? (строят предположения).

Далее проверяем данные предположения, делаем вывод.

(Слайд): , т.к. тангенс угла в 45⁰ равен 1.

Вспомним определение производной в точке.

Учащийся у доски: .

В нашем случае попробуйте записать определение производной экспоненты в точке 0 : .

Это равенство нам понадобится сейчас для вывода формулы производной функции в любой точке.

Работаем самостоятельно в группах. У каждой группы алгоритм вывода формулы производной с пропусками. Их необходимо заполнить.

Вывод формулы производной функции .

1. Найти приращение функции: .

2. Составить отношение : .

3. Найти предел такого отношения при :

4. Сделать вывод: .

Или, заменяя x₀ на произвольную точку, получим: .

Проверяем вывод, комментируя по очереди с места и используя презентацию, в которой шаги 1-4 появляются друг за другом. Формулу производной записать в тетрадь.

Вывод формулы производной функции .

На экране алгоритм вывода с пропусками. На столах такие же алгоритмы с пропусками. Заполняем их вместе, по цепочке, с комментированием. При этом на экране появляются нужные выкладки в пропущенных местах.

1. Записать число а в виде степени числа е, используя основное логарифмическое тождество: .

2. Записать функцию , используя п.1: .

3. Найти производную этой функции, пользуясь формулой производной сложной функции: .

4. Сделать вывод: .

В тетрадь записать формулу.

IV. Первичное закрепление изученного. (15 мин.)

№ 1

(фронтальная работа).

Найти производные (по одному учащемуся у доски).

А) ;

Б)

в) ;

(работа в группах, проверка ответов по таблице на слайде)

Г) .

д) ;

е) ;

ж)

Данные во второй строке таблицы появляются по щелчку мыши по очереди. После окончания решений появляется строка с буквами.

а

б

в

г

д

е

ж

Х

М

А

Д

Е

Р

И

Ошибочным ответам соответствуют буквы, не входящие в ключевое слово

*

*

*

*

К

О

С

П

Из букв составляем слово: «Архимед». (Архимед высказал идею упрощения вычислений, сопоставив арифметическую и геометрическую прогрессии, что привело в конечном счёте к открытию логарифмов.)

5. Информация о домашнем задании. (1 мин.)

Обязательный уровень: П. 41 (учебник Колмогорова), №539(а,г). №540(а,б)

Дополнительно: №144(7,9),с. 87 (учебник Виленкина).

5. Итог урока. (1-2 мин.)

С какими понятиями вы сегодня познакомились? Чему научились?

Какие трудности возникли на уроке?

Что нужно сделать, чтобы преодолеть эти трудности?

Литература.

1. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 кл. средней школы / А.Н.Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.: Под ред. А.Н. Колмогорова. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 320с.

2. Виленкин Н.Я.и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.-5-е изд.-М.: Просвещение, 1996.-288с.

3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике /М.Я. Выгодский.- М.: Наука, 1998.- 416с.

4. Елизаветина Т. М. Компьютерные презентации: от риторики до слайд-шоу. -М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2003. - 240с.

5. Жарковская Н. История логарифмов: Неперовы логарифмы / Н. Жарковская // Математика. - 2009. - №10. - с. 24-25

6. Прокопчик Л. Групповая форма работы // Математика. - 2009. - №9. - с. 21-23

7. Удалова Л. Советы по созданию эффективной презентации к уроку математики // Математика. - 2008. - №15. - с. 23-25

8. Шень А. Логарифм и экспонента // Математика. - 2009. - №2. - с. 43-46, №3. - с.42-47