План урока Правило Крамера решения систем линейных уравнений по дисциплине Элементы высшей математики

План урока

Учебная дисциплина ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Тема урока Правило Крамера решения систем линейных уравнений

Цели:

Учебные:

1. Научить применять правило Крамера для решения систем линейных уравнений.

2. Научиться решать системы линейных уравнений с использованием информационных технологий.

3. Продемонстрировать студентам рациональность использования электронных таблиц для решения систем п линейных уравнений с п неизвестными.

4. Умение и способность самостоятельно работать по теме.

Воспитательные и развивающие:

1. Развитие личностно смыслового отношения к предмету.

2. Развитие творческого и познавательного потенциала студентов.

3. Демонстрация тесной связи многих предметных областей, а также применение знаний из этих областей во многих профессиональных сферах нашей жизни.

4. Вооружение студентов правильным методологическим подходом к познавательной и практической деятельности.

Оснащение урока: плакаты, дидактический материал, компьютерный кабинет, проектор, электронная презентация, MS Excel, варианты с заданиями, листки контроля.

Ход урока:

1. Организационный момент: (2 мин)

проверка отсутствующих, заполнение журнала.

2. Актуализация опорных знаний: (3 мин)

На экране - эпиграф к уроку: (СЛАЙД 1)

«Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим тонким инструментом человеческого гения! В формулах увековечены ценнейшие достижения людского рода, в них заключено величие и могущества разума, его торжество над покоренной природой.»

академик И. И. Артоболевский

(из книги «Машина» под редакцией академика И.И. Артоболевского)

Наш сегодняшний урок я хотела бы начать со слов академика Ивана Ивановича Артоболевского, которые вы видите на экране.

(ЦЕЛИ) Сегодня вы должны научиться решать системы линейных уравнений по правилу Крамера, которые представляют из себя готовые формулы.

Поэтому слова Артоболевского очень хорошо отражают цель нашего занятия.

А так как формулы легко программируются, то мы также научимся сегодня применять эти методы еще и в электронном виде, т.е. решать системы линейных уравнений с помощью MS Excel, для этого будем записывать системы в виде матриц. А с матрицами вы уже знакомы и умеете выполнять с ними многие действия. Все эти знания пригодятся вам на занятии.

(МОТИВАЦИЯ) Для чего мы изучаем эту тему? Многие экономические задачи для решения моделируются в виде систем линейных уравнений, которые компактно записываются с помощью матриц.

Особенно актуально это при работе с базами данных, почти вся информация БД хранится и обрабатывается в матричной форме.

3. Изучение нового материала: (40 мин)

Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему уравнений:

(1) (СЛАЙД 2)

Такие системы порядка 2*2, 3*3 вы решали еще в школе.

( ?студентам?)

Вспомните основные способы решения систем уравнений:

1. метод подстановки;

2. метод исключения неизвестных (метод Гаусса);

3. графический метод;

4. метод сложения.

Если рассмотреть любой из этих методов, то можно заметить, что переменные при решении из строки в строку переписываются, а меняются только коэффициенты при этих переменных.

Поэтому существует упрощенная форма записи системы - матричная форма:

Пусть , (СЛАЙД 3)

тогда система (1) равносильна записи AХ=B.

Обращаю ваше внимание, что изучаемые сегодня методы решения систем подходят только для квадратных систем, когда количество уравнений совпадает с количеством переменных.

В этом и есть их недостаток.

Метод Крамера

Рассмотрим метод решения систем линейных уравнений - метод Крамера. Назвать его новым нельзя, т.к. это тот же метод сложения уравнений, только записанный в матричной форме.

Этот метод основан на понятии определителя матрицы.

( ?студентам?)

Кто нам напомнит определение определителя, хотя бы для матриц 3*3.

(это число, вычисляемое по правилу треугольников).

Записываем теорему. (СЛАЙД 4)

Теорема. Пусть ∆ - определитель матрицы системы А, а ∆_j - определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой j-ого столбца столбцом свободных членов В. Тогда система уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам:

.

Это правило названо именем швейцарского математика Крамера (1704 - 1752), который одним из первых пришел к понятию определителя и доказал приведенную здесь теорему в 1750 году в своей работе «Введение в анализ кривых линий».

(Мотивация) Этот метод очень важен при решении теоретических вопросов, Он широко применяется (как и само понятие определителя) не только в высшей алгебре, но и в других разделах высшей математики, в механике и теоретической физике. Однако, для практического решения систем линейных уравнений самым экономным (в смысле объема производимых вычислений) оказывается метод последовательного исключения неизвестных, метод Гаусса, именно им часто пользуются на практике. С этим методом мы познакомимся позже.

А сегодня научимся применять теорему Крамера при решении систем линейных уравнений с использованием ваших знаний и умений, полученных на уроках математики и информатики.

Рассмотрим пример.

Пример:

Решить систему уравнений методом Крамера: (СЛАЙД 5)

Решение:

Запишем данную систему уравнений на языке матриц.

.

Вычислим главный определитель матрицы системы:

.

Вычислим вспомогательные определители (самостоятельно, у доски):

По формулам Крамера, получаем:

.

Ответ: (0;2;1).

( ?студентам?)

Вопросы по примеру?

Теперь рассмотрим, как можно облегчить решения систем, а именно как применять для их решения табличный процессор MS Excel.

С табличным процессором MS Excel вы знакомы уже давно, с 1 курса.

Напомню еще раз, что изученные нами на сегодняшнем занятии методы основаны на вычислениях по готовым формулам. А в MS Excel они записываются как встроенные функции. Именно они и помогут нам.

Напомню, что функция в информатике - это имя, которое возвращает нам единственное значение.

Зачем мы учимся решать системы линейных уравнений с помощью MS Excel?

Во-первых, если системы задана больших размеров (например, 4*4) ручные вычисления очень громоздкие.

Во-вторых, с их помощью можно проверять себя.

Какие же функции Excel нам необходимо знать для решения систем линейных уравнений?

Как правильно записать систему в MS Excel и как правильно записать применяемые функции, расписано у вас на листочках, которые я вам раздам.

(СЛАЙД 9)

Так как применяя метод Крамера, мы лишь вычисляем определители, то пользуемся встроенной функцией - МОПРЕД(МАССИВ).

Функция МОПРЕД - возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).

Запись формул начинается со знака «=».

3. Закрепление нового материала: (35 мин)

Самостоятельная работа

Для закрепления изученных формул, вам предстоит выполнить самостоятельную работу, в которой вам будет предложена система уравнений размера 3*3.

Вся необходимая справочная информация имеется в теоретической части работы.

(раздаю листы самостоятельной работы и листы контроля)

Эту систему вы решаете вручную и проверяете себя с помощью MS Excel.

Ручные вычисления (подробные) и результат компьютерных вычислений заносите в листок контроля, который сдадите мне по звонку.

На этом листке вам также предложено самим поставить себе оценку за самостоятельную работу и оценить свое настроение при ее выполнении. Она поможет мне узнать, насколько вы довольны нашим занятием.

Решите системы линейных уравнений методом Крамера:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

3. Подведение итогов урока: выводы, оценки, домашнее задание:

(1) с.52 6, задачи в тетради;

Задания СР7: решение СЛУ по правилу Крамера

Решить системы по формулам Крамера :

1) 2) (СЛАЙД 10)

Подпись преподавателя

Самостоятельная работа

«Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера с помощью MS Excel»

Цели:

1. Научиться решать системы линейных уравнений по правилу Крамера;

2. Познакомиться с функциональными возможностями табличного процессора и общей методологией использования электронной таблицы в профессиональной работе с данными, научиться применять в работе.

Выполнение работы

Excel позволяет ввести формулу, которая будет выполняться не в одной ячейке, а в прямоугольной области ячеек, вычисляя сразу несколько зависимых значений. Причем в качестве аргументов такая формула может принимать не одно значение, а опять же - массив. Чтобы ввести такую формулу, надо выделить прямоугольный диапазон, в строке формул набрать выражение формулы и нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МАТРИЦЫ

Теоретический материал:

Функция МОПРЕД(массив) возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).

Массив - числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

Определитель матрицы - это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. Для массива A1:C3, состоящего из трех строк и трех столбцов, определитель вычисляется следующим образом: МОПРЕД(A1:C3) равняется A1*(B2*C3-B3*C2) + A2*(B3*C1-B1*C3) + A3*(B1*C2-B2*C1)

Возможные ошибки

• Если какая-либо ячейка в массиве пуста или содержит текст, то функция МОПРЕД возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

• МОПРЕД также возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!, если массив имеет неравное количество трок и столбцов.

Указания к выполнению:

1. Введите матрицу размера 3х3 в диапазон ячеек А1:С3.

2. В ячейку D1 введите «определитель=»

3. Курсор поставьте в ячейку, в которой будет получено значение определителя, в E1.

4. Нажмите Вставка функции f_x

В появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция - имя функции МОПРЕД. После этого щелкните на кнопке ОК.

5. В рабочее поле Массив введите диапазон исходной матрицы А1:С3.

6. Нажмите ОК. В ячейке E1 появится значение определителя матрицы .

7. Аналогично вычислите вспомогательные определители, расположив матрицы в диапазонах А5:С7; A9:C11; A13:C15, а определители в ячейках E5, E9, E13.

Вычислим решение системы по формулам Крамера:

8. В ячейках G5, G9. G13 введите «х1=», «х2=», «х3=», соответственно.

9. В ячейке Н5 введите формулу E5/ E1 и нажмите ОК.

10. Протяните формулу в ячейки E9, E13.

Лист ответа.

Ф. И. _____________________________________ группа _______

Вариант № _________________

Ответы:

1. ____________________

2. ___________________

   Поставь себе оценку за урок: 1 2 3 4 5

   
   

   Оцени свое настроение на уроке:  ½ 

Вариант 1

Решите системы линейных уравнений методом Крамера:

1)

2)

Вариант 2

Решите системы линейных уравнений методом Крамера:

1)

2)

Вариант 3

Решите системы линейных уравнений методом Крамера:

1)

2)

Вариант 4

Решите системы линейных уравнений методом Крамера:

1)

2)

Вариант 5

Решите системы линейных уравнений методом Крамера:

1)

2)

Вариант 6

Решите системы линейных уравнений методом Крамера:

1)

2)