Индивидуальные задания по устранению ошибок

Индивидуальные задания

по устранению ошибок

Положительный эффект индивидуальных заданий несомненен. В них можно учесть особенности каждого ученика, дать сильному трудную задачу, а слабому - простое «алгоритмическое» упражнение. Особенно полезно предлагать индивидуальные домашние задания. Просматривать их лучше всего вместе с теми учащимися, которые их выполняли. По ходу проверки можно задать различные вопросы, вовлекая учеников в беседу.

Одна из главных методических нагрузок индивидуальных домашних заданий состоит в профилактике возможных ошибок и в преодолении уже допущенных. Для того, чтобы индивидуальное задание имело точное «попадание в ошибку», учителю нужно вести учет ошибок. По каждой теме целесообразно фиксировать основные затруднения учащихся и отражать в мониторинге ошибок.

Мониторинг ошибок обычно пополняется во время проверки контрольных работ. Но полезно также иметь такой список заранее, поскольку в своем большинстве ошибки не оригинальны. По каждой теме они повторяются из года в год. Молодому учителю будет полезно ознакомиться с ошибками, которые учащиеся допускают в самом начале изучения курса алгебры. В этой заметке мы не только перечислим типичные ошибки, но и укажем некоторые приемы их устранения, которые можно реализовать в индивидуальных заданиях.

В тождественных преобразованиях целых выражений наиболее распространены следующие ошибки:

Учащиеся складывают коэффициенты, а переменные перемножают, например: 9a+3a=12a²

Складывают отдельно коэффициенты и отдельно - буквенные выражения, например: 8z+5z=13+2z

Вычитают коэффициенты, а про буквенные выражения «забывают», например: 5x-4x=1

Такого типа ошибки связаны с непониманием распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания.

При сложении (вычитании) степеней учащиеся часто складывают (вычитают) и коэффициенты и показатели степеней. Аналогичная ошибка наблюдается и при умножении (деления) степеней. Например: 3а²+5а²=8а² , а⁴-а²=а² , х³*х²=х⁶ ,m⁶:m²=m³

Для устранения всех этих ошибок мы практикуем задания, в которых от учащихся требуются доказательства истинности или ложности выводов, которые сделали сами учащиеся. Вот некоторые из таких заданий.

Докажите, что в равенствах b^m+bⁿ=b^m+n, 2a³*3a=18a², 3x+5x+2x=10+3x допущены ошибки. Найдите эти ошибки.

Сравните значения выражений 3а²+5а², 8а⁴, 8а² при а=1/2, а=2. Объясните, между какими двумя из данных выражений можно поставить знак «=» и почему.

Даны равенства 2а+?=8а, ?*3а²=6а⁷. Вместо вопросов такие числа или выражения, чтобы равенства были верными. Перечислите свойства чисел, которыми вы при этом пользуетесь.

Среди выражений 17+2х, 7х+10х, 20х-3х, 17х найдите такие, которые принимают равные значения при любых значениях х.

Рассмотрим теперь ошибки, допускаемые при разложении многочленов на множители.

Вынося за скобки общий множитель, совпадающий с одним из членов многочлена, учащиеся забывают поставить 1 на место этого члена. Так появляются записи вида:

4а⁴b²+36a²b³+4a²b²=4a²b² (a²+9b)

Если общий множитель - многочлен, то учащиеся часто записывают его дважды. Например:

m² (m+a) - b (m+a)= (m+a)(m+a)(m²-b)

Если общий множитель - разность, то учащиеся могут не учесть, с какими знаками входят в исходной выражение компоненты этой разности. Такая ошибка допущена в преобразовании:

x⁴ -x ³y -y ³+xy²=x³(x -y ) - y²(y -x )=(x -y )(x³ -y ²)

Для преодоления таких ошибок мы используем следующие индивидуальные задания.

Дан одночлен 18х⁴у⁶. Представь его в виде произведения двух одночленов так, чтобы у первого из них коэффициент был 3, а у второго - множитель у³. Сколько таких произведений можно составить?

Даны одночлены 5х²у³, 25х³у⁴, 15х⁴у⁵. Укажите несколько их общих множителей.

Даны равенства:

b² (x+a) - b³(…) =b²(x+a)(1 - b)

m⁵(1 - n) - m³(n - 1)=m³(…)(m²+1)

Вместо многоточий поставьте такие выражения, чтобы равенства получились верными.

Выполните умножение: а) 2ах²(3у+1).

Вынесите за скобки общий множитель: б) 6ах²у+2ах²

Можно ли поставить знак «=» между выражениями а) и б)?

При умножении многочленов часто встречаются такие ошибки:

(а+b)(a+b)=a²+b², (2a+3b)(4c+5a)=8ac+15ab, (3ab+1)(3ab - 1)=9a²b²+3ab

Многие ошибки являются следствием торопливости учителя. Не отработав у учащихся должным образом навыков умножения многочленов, учитель переходит к формулам сокращенного умножения. В торопливости учителя отчасти виновата и слишком насыщенная программа. Сильным учащимся быстрый темп не вредит, а для слабых его можно несколько замедлить, воспользовавшись индивидуальными заданиями. В них целесообразно включать наборы однотипных упражнений на умножение двучленов, двучлена на трехчлен и т.д. Очень полезны задания, в которых требуется возвести двучлен в квадрат или в куб непосредственно, пользуясь определением степени и определением умножения многочленов.

В преобразованиях алгебраических дробей наиболее распространены ошибки, аналогичные тем, которые возникают в действиях с обыкновенными дробями.

При сложении дробей складывают числители и знаменатели:

+=

Складывают дроби, забывают умножить их числители на дополнительные множители:

+ =

Целое выражение прибавляют к числителю без привидения к общему знаменателю:

=

Изменяют знак лишь у первого члена вычитаемого многочлена, забывая изменить его у последующих членов:

- =

Учащимся, допускающим такие ошибки, можно предложить индивидуальные задания на числовом материале. В заданиях, что приведены ниже, фактически предлагаются контрпримеры. Учащиеся поставлены перед необходимостью обсуждать эти контрпримеры и объяснять причину ошибки.

Найдите ошибку в «сложении» трех дробей:

+ + = =

Заметьте, что сумма трех положительных чисел оказалась равна второму слагаемому. Выполните сложение правильно и придумайте аналогичное упражнение с алгебраическими дробями.

Объясните, верны ли результаты двух «вычитаний»:

1. - = = 0 б) - = = 0

Может ли выражение - принимать нулевое значение, если а≠b? Не выполняя вычитания в случае б), укажите , каким числом должна быть разность: положительным или отрицательным?

Выполните верно оба вычитания.

В «сложении» 2+ сумма целого числа и дроби оказалась меньше первого слагаемого. Может ли это случиться с положительными слагаемыми? Выполните сложение верное. Укажите аналогичное задание с буквами вместо чисел.