- Преподавателю
- Математика
- Методическое пособие по математике Прогрессии (9 класс)
Методическое пособие по математике Прогрессии (9 класс)
Раздел | Математика |
Класс | 9 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Кидалова Л.Л. |
Дата | 07.01.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
МАОУ Центр образования №47
Методическое пособие
по теме «Прогрессии»
Выполнила:
учитель математики
МАОУ ЦО №47
Кидалова Лариса Леонидовна
Иркутск
2015 г.
Содержание
Предисловие
3
Исторические сведения
4
Арифметическая прогрессия
-
Основные понятия
-
Формула n-ого члена арифметической прогрессии
-
Свойства арифметической прогрессии
-
Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии
-
Задачи обязательного уровня
-
Задачи среднего уровня
-
Задачи повышенной сложности
-
Задачи для самостоятельного решения
6
7
8
9
10
12
15
18
Геометрическая прогрессия
-
Основные понятия
-
Формула n-ого члена геометрической прогрессии
-
Свойства геометрической прогрессии
-
Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии
-
Бесконечная геометрическая прогрессия
-
Задачи обязательного уровня
-
Задачи среднего уровня
-
Задачи повышенной сложности
-
Задачи для самостоятельного решения
19
20
21
22
22
24
27
29
36
Литература
38
Пояснительная заниска
Что математика … имеет высокую образовательную силу,
что она развертывает и упражняет
превосходно умственные способности учащихся,
в этом не сомневался еще никто
из самых заклятых ненавистников ужасной и неприступной науки.
Смышленость учеников растет постоянно во время их математических занятий,
это так же верно и неизбежно, как то,
что мускулы человека крепнут, и ловкость его увеличивается,
когда он занимается гимнастическими упражнениями.
Писарев Д. И.
Тема «Прогрессии» не особенно глубоко изучается в школьном курсе элементарной алгебры.
Данное методическое пособие поможет систематизировать имеющиеся знания и ликвидировать пробелы в них, если таковые окажутся. Особенно оно может быть полезно при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе и при подготовке к вступительным экзаменам в высшие учебные заведения. Им могут пользоваться как школьники и слушатели подготовительных отделений вузов, так и учителя.
Обозначения, принятые в пособии, совпадают с обозначениями, принятыми в школьных учебниках.
Пособие отличается логическим единством и достаточной степенью подробности в изложении материала. Вводимые математические понятия и методы решения задач проиллюстрированы многочисленными примерами.
В пособии рассмотрены две прогрессии: арифметическая и геометрическая.
Структура изложения материала:
-
Теоретическая часть, где понятия сопровождаются примерами, а в доказательстве различных утверждений также используется метод полной математической индукции.
-
Практическая часть содержит задачи обязательного уровня, среднего уровня и повышенной сложности. Также включены задачи из вступительных экзаменов различных вузов страны. Этот раздел содержит примеры решения задач, разбирая которые можно восстановить, а если отсутствовали, то и приобрести необходимые умения и навыки, связанные с соответствующим теоретическим материалом. Решение каждого упражнения сопровождается подробным пояснением со ссылкой на используемый теоретический материал. Все этапы решения включают необходимую информацию о правомочности того или иного шага. При решении упражнений теоретический материал находит практическое применение. Очень часто именно использование теоретического материала в практической деятельности вызывает наибольшие затруднения. Этот раздел может устранить многие трудности, если они возникнут при самостоятельном решении задач из раздела «Задачи для самостоятельного решения», в котором предложены только тексты с ответами.
Интерес к «трудному» предмету, каким для многих учащихся представляется математика, можно воспитывать различными средствами. Одним из них служит ознакомление с историей науки. В данном пособии приведены интересные исторические факты, связанные с прогрессиями.
В заключении нужно отметить, что данное методическое пособие можно успешно использовать не только в общеобразовательных классах и классах с углубленным изучением математики, но и для организации дифференцированной работы на уроках, занятий математического кружка.
Историческая справка
Слово «прогрессия» (лат. progressio) буквально означает «движение вперед» (как слово «прогресс»).
С начала нашей эры известна следующая задача-легенда: «Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сессу, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сесса, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую - 2 зерна, за третью - 4 зерна и т.д. Оказалось, что царь не в состоянии выполнить это скромное желание Сессы».
В этой задаче надо найти сумму 64 членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем 2.
Эта сумма равна 264-1=18446744073709551615.
Такое количество зерна пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше всей поверхности Земли.
Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах». Так, в одной из клинописных табличек вавилонян предлагается найти сумму девяти членов прогрессии: 1; 2; 22; …
В папирусе Райнса предлагается задача: «У семи лиц по семь кошек, каждая кошка съедает по семь мышей, каждая мышь съедает по семь колосьев, из колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»
Отметим также, что Архимед знал, что такое геометрическая прогрессия, и умел вычислять сумму любого числа ее членов. Правило нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абак» Леонардо Пизанского (1202 г.). Формула для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии была известна П. Ферма (XVII в.).
В Старорусском юридическом сборнике «Русская правда» (X-XI вв.) содержатся выкладки количества зерна, собранного с определенного участка земли; некоторые из них содержат вычисление суммы геометрической прогрессии со знаменателем 2.
Интересные задачи на прогрессии есть в «Арифметике» Магницкого. Вот одна из таких задач: «Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. «Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за одни гвозди в его подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне платить таким образом: за первый гвоздь заплатишь полушку копейки), за второй гвоздь - две полушки, за третий гвоздь - четыре полушки и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше, чем за предыдущий». Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей согласился. Проторговался ли купец, и если да, то на сколько?».
С формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно: 1+2+3+4+5+…+40». Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил». Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.
Вот схема его рассуждений. Сумма чисел в каждой паре равна 41:
1; 2; 3; …; 20
40; 39; 38; …; 21
таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41*20=820.
Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с древних времен. Греческих математиков интересовала связь прогрессий с так называемыми многоугольными числами, вычислением площадей, объемов, красивыми числовыми соотношениями типа:
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1=13
3+5=23
7+9+11=33
13+15+17+19=43
Большой популярностью даже в наши дни пользуются магические квадраты. Это квадраты, в каждую клетку которых вписаны числа так, что суммы чисел вдоль любой горизонтали, любой вертикали и любой диагонали равны.
Такой магический квадрат изображен на гравюре немецкого художника А. Дюрера «Меланхолия». Любопытно, что средние числа в последней строке изображают год 1514, в котором была создана эта гравюра.
Арифметическая прогрессия
3.1. Основные понятия.
Рассмотрим бесконечную последовательность натуральных четных чисел 2; 4; 6; 8; 10; …
Каждый ее член, кроме первого, равен сумме предшествующего члена и числа 2:
4=2+2 6=4+2 8=6+2 10=8+2 и т.д.
Определение 1: арифметической прогрессией называется числовая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью арифметической прогрессии.
То есть арифметическая прогрессия - это числовая последовательность, заданная по правилу: иданы; ,
где - первый член арифметической прогрессии; d - разность арифметической прогрессии; an - n-ый член арифметической прогрессии.
Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т.е. a2 -a1=a3-a2=…=ak-ak-1=… , значит d=an+1-an
При вычитании равенства (2) из равенства (1) получим: an+1-an=an-an-1.
Преобразуем выражение an+1+an-1=2an. Откуда
То есть .
Следовательно, можно дать еще одно определение арифметической прогрессии.
Определение 2: арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен среднему арифметическому последующего и предыдущего членов.
Данное определение иногда называют характеристическим свойством арифметической прогрессии.
Например, числа 1; 2; 3; 4; …; n; … образуют арифметическую прогрессию с первым членом, равным 1 и разностью d=1.
Числа же 7; 4; 1; -2; -5; …; 7-3n; … образуют арифметическую прогрессию с первым членом, равным 7 и разностью d=-3. В данном случае n-ый член прогрессии есть an=7-3n.
Последовательность 5; 5; 5; 5; …; 5; … есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 5 и разностью d=0.
Итак, если , то арифметическая прогрессия называется возрастающей,
если - убывающей. Если d=0, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
Для обозначения того, что последовательность (an) является арифметической прогрессией, применяют иногда запись a1; a2; a3; …; an; …
Значок заменяет словосочетание «арифметическая прогрессия».
Если в арифметической прогрессии отбросить все члены, следующие за каким-то конкретным членом последовательности, например за an, то получится конечная арифметическая прогрессия a1; a2; a3; …; an.
3.2. Формула n-ого члена арифметической прогрессии.
Пусть дана арифметическая прогрессия a1; a2; a3; …; an; …
Выразим каждый ее член через первый a1 и разность этой прогрессии d по определению
а2=a1+d
а3=a2+d=a1+2d
а4=a3+d=a1+3d
а5=a4+d=a1+4d
На (n-1)-м этапе этих рассуждений получим an=a1+(n-1)d.
Для любой арифметической прогрессии a1; a2; a3; …; an; … ее n-ый член an выражается через ее первый член a1 и разность этой прогрессии d при помощи формулы: an=a1+(n-1)d,называемой формулой n-ого члена арифметической прогрессии.
Докажем методом полной индукции:
-
проверим для n=1 а1=a1+0d=a1 - верно
-
предположим, что верно для n=k, т.е. верно равенство ak=a1+(k-1)d
-
докажем верность и для n=k+1
ak+1=ak+d= a1+(k-1)d+d=a1+kd-d+d=a1+kd -верно
Тем самым, согласно принципу полной индукции, доказана справедливость свойства 1 для любого натурального числа n.
Пример1: Является ли конечная последовательность 12; 8,5; 5; 1,5; -2 арифметической прогрессией?
Если данная последовательность является арифметической прогрессией, то должны быть равны разности второго и первого, третьего и второго, четвертого и третьего, пятого и четвертого ее членов: 8,5-12=5-8,5=1,5-5=-2-1,5=-3,5=d
Делаем вывод, что, данная последовательность чисел является арифметической прогрессией с разностью d=-3,5.
Так, бесконечная числовая последовательность 1; 3; 1; 3; 1; … не является арифметической прогрессией, т.к. 3-1 1-3.
Пример 2: Доказать, что последовательность, заданная формулой n-го члена cn=5n+8 является арифметической прогрессией.
Достаточно показать, что при всех натуральных n значение разности cn+1 и cn не зависит от n. cn+1=5(n+1)+8=5n+13; cn+1- cn=5n+13 - (5n+8)=5
Делаем вывод, что, данная последовательность чисел является арифметической прогрессией с разностью d=5.
3.3. Свойства арифметической прогрессии.
Свойство 1: используя определение 2 арифметической прогрессии верно и более общее свойство
Доказательство: по свойству 1 имеем:
an+k=a1+(n+k-1)d; an-k=a1+(n-k-1)d .
Сложим почленно эти равенства: an+k+an-k=2a1+nd+kd-d+nd-kd-d=2a1+2nd-2d=
=2a1+2d(n-1)=2(a1+(n-1)d)=2an. Откуда
Например: .
Свойство 2: для любой арифметической прогрессии a1; a2; a3; …; an; … верно равенство ak+al=ar+as, где k, l, r, s - номера членов, удовлетворяющих условию k+l=r+s.
Доказательство:
Используя свойство 1 имеем: ak+al=a1+(k-1)d+a1+(l-1)d=2a1+(k+l-2)d
ar+as=a1+(r-1)d+a1+(s-1)d=2a1+(r+s-2)d. Так как k+l=r+s, то и k+l-2=r+s-2,
а значит ak+al=ar+as.
Например: a3+a7=a2+a8=a1+a9=a4+a6=a5+a5.
Из этого свойства можно сформулировать более частные случаи:
а) у конечной арифметической прогрессии a1; a2; a3; …; an сумма членов, равноотстоящих от ее концов, равна сумме крайних членов, т.е. для k=1, 2, 3, …, n ak+an-k+1=a1+an, где 1+n=k+(n-k+1). (доказательство аналогично предыдущему). То есть a1+an=a2+an-1=…
Например: a6+a15=a1+a20 или a10+a11=a1+a20
б) при любом натуральном k имеет место равенство: ap+al=ap+k+al-k (доказательство аналогично предыдущему).
Свойство 3:
Перепишем формулу n-ого члена арифметической прогрессии an=a1+(n-1)d в виде an=dn+(a1-d) и введем обозначения: an=y a1-d=m. Получим y=dn+m или y=dx+m, где . Значит, арифметическую прогрессию можно рассматривать как линейную функцию y=dx+m, заданную на множестве натуральных чисел, где разность арифметической прогрессии d- есть угловой коэффициент этой линейной функции.
Например, графиком арифметической прогрессии 1; 2; 3; 5; … являются изолированные точки на прямой y=x, т.к. a1=1 d=1, то m=a1-d=0.
3.4. Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии.
I. Пусть дана арифметическая прогрессия a1; a2; a3; …; an; …
Число, равное сумме n-первых членов арифметической прогрессии обозначается Sn, т.е. Sn= a1+ a2+ a3+ …+ an-1+an. Члены a1 и an называются крайними членами суммы.
Сумма n-первых членов арифметической прогрессии Sn равна произведению полусуммы крайних членов на число ее членов, т.е. справедлива формула .
Доказательство:
Рассмотрим конкретный пример для отыскания Sn. Дана конечная арифметическая прогрессия 1; 2; 3; …; 98; 99; 100. сумму ее членов вычислим следующим образом: S100=1+2+3+…+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=
=101+101+101+…+101=101*50=5050
Применим аналогичную идею для произвольной арифметической прогрессии. Имеем:
Sn= a1+ a2+ a3+ …+ an-1+an
Sn= an+ an-1+ an-2+ …+ a2+a1
При сложении почленно этих равенств получим:
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-1+a2)+(an+a1)
a2+an-1=a1+d+a1+(n-1-1)d=a1+a1+(n-1)d=a1+an
a3+an-2= a1+2d+a1+(n-2-1)d=a1+a1+(n-1)d=a1+an и т.д.
Таким образом, сумма в каждой скобке равна (a1+an), а таких скобок n, следовательно, 2Sn=(a1+an)n, а значит .
Данную формулу можно доказать методом полной индукции.
-
проверим для n=1 - верно
-
предположим, что верно для n=k, т.е. справедлива формула
-
докажем верность и для n=k+1
Тем самым, согласно принципу полной индукции, доказана справедливость формулы для любого натурального числа n.
II. Сумму n-первых членов арифметической прогрессии Sn можно выразить через ее первый член a1 и разность d.
=
Эту формулу также можно доказать методом полной индукции.
III. Иногда полезно использовать соотношение для сумм:
Sn+k=Sn+Sk+nkd или Sn+Sk=Sn+k-nkd
Доказательство:
.
3.5. Задачи обязательного уровня
№1. Определите, является ли заданная последовательность арифметической прогрессией.
-
2; 4; 6; 8; 10; 12;… Да, т.к. a1=2; d=2
-
3; 1; 3; 1; 3; … Нет, т.к. 1-33-1.
№2. Доказать, что последовательность, заданная формулой n-ого члена an=-1,5+4n, является арифметической прогрессией.
Требуется доказать, что разность an+1-an одна и та же для всех n, т.е. не зависит от n.
an+1-an=-1,5+4(n+1)+1,5-4n=4. Разность является числом постоянным, значит, последовательность является арифметической прогрессией. Что и требовалось доказать.
№3. Записать первые шесть членов арифметической прогрессии, если
а) a1=-3; d=2
b) an=3-2n
-
a2=a1+d=-1; a3=-1+2=1; a43; a5=5; a6=7
Ответ: -3; -1; 1; 3; 5; 7.
-
a1=3-2=1; a2=3-4=-1; a3=3-6=-3; a4=3-8=-5; a5=3-10=-7; a6=3-12=-9
Ответ: 1; -1; -3; -5; -7; -9.
№4. Найдите сто тридцатый член арифметической прогрессии, если a1=-1,2; d=
a130=a1+129d=7,8
Ответ: a130=7,8
№5. Число -29 является членом арифметической прогрессии 21; 16; 11; …
-
Найдите номер этого члена.
Пусть n - искомый номер. Т.к. a1=21, d=-5; an=-29, то по формуле n-ого члена арифметической прогрессии an=a1+(n-1)d имеем: -29=21-5(n-1) n=11; значит a11=-29.
б) Является ли число -10 членом этой прогрессии?
Предположим, что -10 является членом данной прогрессии. Тогда по формуле n-го члена имеем: -10=21-5(n-1), откуда n=7,2. Т.к. n- натуральное числа, 7,2 , то -10 не является членом данной арифметической прогрессии.
в) Является ли число 30 членом этой прогрессии?
Нет, т.к. данная прогрессия является убывающей (d, а 30.
№6. Найдите разность арифметической прогрессии 100; 90; 80; 70; …
d=a2-a1=100-90=10
Ответ: d=10
№7. Решить следующие задачи, где по трем известным величинам требуется определить две неизвестные.
№
a1
d
N
an
Sn
1.
1,5
1,5
3,6
54
999
2.
-28
7
9
28
0
3.
10
10
14
140
1050
4.
0
0,5
11
5
27,5
5.
-38
2
15
-10
-360
6.
-9
0,5
25;12
3;-3,5
-75
7.
1
2/3
100
67
3400
8.
-45
3
31
45
0
9.
0,2
0,1
51
5,2
137,7
Полезно научить учащихся выражать неизвестную величину из формулы n-ого члена и суммы n-первых членов арифметической прогрессии.
an=a1+(n-1)d
1. a1=an-(n-1)d
1.
2.
2.
3. an=a1+nd-d
3.
Обратить особое внимание на задачу №6.
Используем формулу для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии Sn=
-75= Преобразуем выражение к уравнению вида n2-37+300=0, n=25; n=12. Оба значения уравнения являются натуральными числами, значит, существует две арифметические прогрессии, а, следовательно, и два n-ых члена этой прогрессии.
a25=-9+24*0,5=3; a12=-9+11*0,5=-3,5.
Полезно сделать проверку для нахождения S12 и S25, чтобы учащиеся убедились в правильности решения.
Ответ: n=25; a25=3; или n=12; a12= -3,5.
№8. Составьте формулу n-ого члена арифметической прогрессии 2; 5; 8; 11; …
Из условия имеем a1=2; d=a2-a1=3
Составим формулу n-ого члена этой прогрессии:
an=a1+(n-1)d=2+(n-1)*3=2+3n-3=3n-1
Ответ: an=3n-1
№9. Найдите двенадцатый член арифметической прогрессии, если известно, что a11+a13=122.
Используя определение 2 арифметической прогрессии (или так называемое характеристическое свойство) имеем:
Ответ:а12=61
№10. Найдите a3+a15, если известно, что a1+a17=35.
По свойству 3 имеем: a3+a15= a1+a17=35
-
Задачи среднего уровня
К задачам среднего уровня можно добавить следующие типы задач.
№11. Выясните, является ли последовательность, заданная формулой n-ого члена, арифметической прогрессией? Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.
а) an=3*2n
d= an+1-an=3*2n+1-3*2n=3*2n
d зависит от n, значит данная последовательность не является арифметической прогрессией.
б) an=
d=-1. d не зависит от n, значит данная последовательность является арифметической прогрессией. Найдем a1=.
№12. Запишите формулу n-ого члена арифметической прогрессии, если известно, что a7=-5; a12=55.
По формуле n-ого члена арифметической прогрессии имеем систему двух уравнений:
Решая систему методом алгебраического сложения, получаем: d=12; a1=-77.
Запишем формулу n-ого члена арифметической прогрессии:
an=a1+(n-1)d=-77+12(n-1)=12n-89 .
Ответ: an=12n-89 .
№13. Найдите седьмой член арифметической прогрессии, если известно, что a3+a11=20.
По свойству 2 имеем: .
Ответ: а7=10
№14. Сколько нужно взять членов в арифметической прогрессии, первый член которой равен 16, а разность равна 8, чтобы сумма членов составила 1840?
Используем формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии Sn=; получаем равенство. Преобразуем выражение к уравнению вида n2+3n-460=0. Откуда n=-23 или n=20. Так как -23 не является натуральным числом, то n=20.
Ответ: n=20.
№15. Найдите те значения x, при которых числа 5х+2; 7х+1; 3х-6 образуют арифметическую прогрессию.
1 способ: d=(7х+1)-(5х+2)=2x-1; d=(3x-6)-(7x+1)=-4x-7; приравняв правые части обоих равенств, имеем уравнение: 2х-1=-4х-7, откуда х=-1.
2 способ: согласно характеристического свойства арифметической прогрессии имеем уравнение: , откуда х=-1.
При этом значении х заданные выражения 5х+2; 7х+1; 3х-6 принимают соответственно значения -3; -6; -9. Это арифметическая прогрессия. Ее разность d=-3.
Ответ: х=-1.
№16. Между числами -8 и -35 вставьте два числа так, чтобы получились четыре последовательных члена арифметической прогрессии.
a1=-8; a4=-35. Найдем d из равенства a4=a1+3d; -35=-8+3d; d=-9. Тогда a2=a1+d=-8-9=-17; a3=a2+d=-26. Получаем конечную арифметическую прогрессию -8; -17; -26; -35.
Ответ: -17; -26.
№17. Найдите сумму всех натуральных чисел от 2 до 98 включительно.
2; 3; 4; …; 98 - конечная арифметическая прогрессия с первым членом a1=2 и разностью d=1; an=98. Найдем количество членов данной прогрессии по формуле n-ого члена: 98=2+n-1; n=97. Используя формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии, получаем равенство S97=
Ответ: S97=4850.
№18. Начиная с какого номера n все члены арифметической прогрессии будут больше заданного числа А, если an=7n-121; A=?
Так как , то и an. Значит 7n-121; следовательно, n=18.
Сделаем проверку: a18=7*18-121=5; 5.
Ответ: n=18.
№19. Являются ли числа 4,6 и -1,2 членами арифметической прогрессии, заданной формулой n-ого члена an=13-0,4n?
Предположим, что данные числа являются членами данной прогрессии. Тогда по формуле n-го члена имеем:
4,6=13-0,4n; n=21 - является натуральным числом, значит, число 4,6 является членом данной прогрессии.
-1,2=13-0,4n; n=35,5 - не является натуральным числом, значит, число -1,2 не является членом данной прогрессии.
№20. Второй член арифметической прогрессии составляет 96% от первого. Сколько % от первого члена составляет семнадцатый член этой прогрессии?
По условию a2=0,96a1; d=a2-a1=-0,04a1; a17=a1+16(-0,004a1)=0,36a1.
Значит, семнадцатый член арифметической прогрессии составляет 36% от первого члена этой прогрессии.
Ответ: 36%
№21. Найдите сумму всех трехзначных чисел, не делящихся на 19.
Выделим все числа, делящиеся на 19. Первое из них 114, an; по формулу n-ого члена получаем неравенство 114+19(n-1); откуда n.
Так как n - натуральное число, то n=47.
Значит, последнее трехзначное число, делящееся на 19, это an=114+46*19=988.
Последовательность 114; 133; …; 988 является арифметической прогрессией с первым членом, равным 114 и разностью d=19. Найдем сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 19 по формуле S47=
Последовательность всех трехзначных чисел 100;101; …; 999 является арифметической прогрессией с первым членом, равным 100 и разностью d=1. Найдем сумму всех трехзначных чисел по формуле S47=
Значит, сумма всех трехзначных чисел, не делящихся на 19,
будет равна 494550-25897=468653.
Ответ: 468653.
№22. Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии и сумму ее первых двадцати членов, если известно, что a7=-100; a9=-78.
По формуле n-ого члена арифметической прогрессии имеем систему двух уравнений:
Решая систему методом алгебраического сложения, получаем: d=11; a1=-166.
a15=a1+14d=-166+14*11=-12; S20=
Ответ: a15= -12; S20=1850.
№23. Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30см, а за каждую следующую минуту - на 5см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?
Составим последовательность чисел 30; 35; 40; …, которая является арифметической прогрессией с первым членом, равным 30 и разностью d=5.
Так как длина дерева 5,25 м=525см, Sn=525
Используем формулу для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии Sn=; 525=. Преобразуем выражение к уравнению вида 5n2+55n-1050=0. Откуда n=-21 или n=10. Так как -21 не является натуральным числом, то n=10. Следовательно, за 10 минут улитка достигнет вершины дерева длиной 5,25см.
Ответ: 10 минут.
№24. Определить первый член и разность арифметической прогрессии, в которой:
а) a7-a3=8; a2*a7=75
б) a4:a6=-1; a2*a8=-1
в) a42+a122=1170; a7+a15=60
Во всех случаях используем формулу n-ого члена арифметической прогрессии
an=a1+(n-1)d и сводим к решению системы двух уравнений. Во всех случаях, получается, по две арифметические прогрессии.
Ответ: а) a1=3; d=2 или a1=-17; d=2
б) a1=4/3; d=-1/3 или a1=-4/3; d=1/3
в) a1=-12; d=4,2 или a1=0; d=3.
№25. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с шестого по двадцать пятый включительно, если первый ее член равен 21, а разность равна -0,5?
Решение задачи сводится к нахождению суммы S=S25-S5.
3.7. Задачи повышенной сложности
№26. При каких значениях a корни уравнения 3х3-(а+1)х2+(а-2)х=0, взятые в определенном порядке, составляют арифметическую прогрессию?
Найдем корни данного уравнения.
3х3-(а+1)х2+(а-2)х=0; х(3х2-(а+1)х+а-2)=0
Данное уравнение имеет три корня. Рассмотрим случаи различного расположения данных чисел в арифметической прогрессии (xn).
a) 0; 1; x1=0; d=1; x3=x1+2d=2; =2; a=8
получаем арифметическую прогрессию 0; 1; 2
б) 0; ;1 x1=0; x3=x1+2d; 1=0+2d; d=0,5; x2=x1+d=0,5; =0,5; a=3,5
получаем арифметическую прогрессию 0; 0,5; 1
в) 1;0; x1=1; d=-1; x3=x1+2d=-1; =-1; a=-1
получаем арифметическую прогрессию 1; 0; -1
г) 1; ;0 x1=1; x3=x1+2d; 0=1+2d; d=-0,5; x2=x1+d=0,5; =0,5; a=3,5
получаем арифметическую прогрессию 1; 0,5; 0
д) ; 0; 1 d=1; x3=x1+2d; 1=x1+2; x1=-1; =-1; a=-1
получаем арифметическую прогрессию -1; 0; 1
е) ; 1; 0 d=-1; x3=x1+2d; 0=x1-2; x1=2; =2; a=8
получаем арифметическую прогрессию 2; 1; 0
Ответ: a=-1; 3,5; 8
№27. Найти х из уравнения (х+1)+(х+4)+(х+7)+…+(х+28)=155
Последовательность (х+1); (х+4); (х+7); …; (х+28) составляет конечную арифметическую прогрессию с первым членом a1=х+1 и разностью d=3; Sn=155.
Используем формулу n-ого члена арифметической прогрессии an=a1+(n-1)d.
Из уравнения х+28=х+1+3(n-1) находим n=10.
Используем формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии Sn=; получаем равенство. Откуда x=1.
Ответ: x=1.
№28. В арифметической прогрессии Sn-a1-an=21; Sn-a2-an-a1-an-1=7. Найдите Sn и n.
Преобразуем выражения следующим образом:
Sn-(a1+an)=21; (1)
Sn-(a2+an-1)-(a1+an)=7; Sn-2(a1+an)=7 (2)
Вычитая из равенства (1) равенство (2) получим a1+an=14. При подстановке в (1) получим Sn=35; найдем n из формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии ; n=5.
Ответ: Sn=35; n=5.
№29. Вычислите первый член арифметической прогрессии с разностью 8, зная, что сумма первых десяти членов в 4 раза больше суммы первых пяти членов.
; ; по условию S10=4S5; составляем уравнение (2a1+9d)5=20(a1+2d); 10a1=5d; a1 =0,5d=4.
Ответ: a1=4.
№30. Найти сумму первых тридцати нечетных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1.
Общий вид чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1: 5k+1.
При k=0; 1; 2; 3; … получим числа 1; 6; 11; 16; 21; …
По условию нам надо брать только нечетные числа из этого ряда, т.е. 1; 11; 21; …
Эта последовательность является арифметической прогрессией с первым членом,
равным 1 и разностью d=10. Найдем a30=a1+29d=291; тогда S30=(1+291)15=4380.
Ответ: S30=4380.
№31. Найти арифметическую прогрессию с положительными членами, если дано: a1+a2+a3+a4+a5=25 (1)
a1*a2*a3*a4*a5=945 (2)
Перепишем первое уравнение в виде: a1+ (a1+d) + (a1+2d) + (a1+3d) + (a1+ 4d) =25; 5a1+10d=25; a1+2d=5 откуда a3=5; a1=5-2d
Тогда второе уравнение перепишется так: (5-2d)(5-d)5(5+d)(5+2d)=945.
Преобразуем уравнение к виду: 4d4-125d2+436=0; откуда
Рассмотрим получившиеся арифметические прогрессии:
а) d=-2; a1=5-2d=9 9; 7; 5; 3; 2; -1; … не удовлетворяет условию задачи, т.к. есть отрицательные члены
б) d=2; a1=5-2d=1 1; 3; 5; 7; 9; … удовлетворяет условию задачи
в) d=0,5; a1=5- - не удовлетворяет условию задачи
г) d=-0,5; a1=5+; d, значит прогрессия убывающая, будут отрицательные члены - не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 1; 3; 5; 7; 9; …
№32. Найти m-ый член арифметической прогрессии, в которой Sn=pn+qn2.
Так как по условию Sn=pn+qn2 действительно для любого числа членов n, то при n=1 S1=p+q, а значит a1=p+q, т.к. S1 - сумма одного члена - есть первый член.
Пусть n=m, n=m-1; тогда Sm=pm+qm2; Sm-1=p(m-1)+q(m-1)2;
am= Sm- Sm-1= pm+qm2- p(m-1)-q(m-1)2=2qm+p-q.
Ответ: am=2qm+p-q.
№33. Первый член арифметической прогрессии равен числу, логарифм которого при основании равен 1,5. Если произведение первых трех членов арифметической прогрессии разделить в отдельности на каждый из них, то сумма полученных частных равна 167. Найти сумму десяти первых членов этой прогрессии.
Прежде всего, вычисляем a1 из условия . Отсюда a1=()1,5=3. Пусть разность прогрессии равна d, тогда a2=3+d; a3=3+2d.
По условию задачи имеем уравнение:
;; (3+d)(3+2d)+3(3+2d)+3(3+d)=167 или d2+9d-70=0, откуда d=-14 или d=5.
Следовательно, будет две арифметической прогрессии:
а) 3; -11; -25; …
a10=3+9*(-14)=-123; S10=(3-123)*5=-600
б) 3; 8; 13; …
a10=3+9*5=48; S10=(3+48)*5=255.
Ответ: S10= -600 или S10=255.
№34. Сумма n членов арифметической прогрессии определяется из уравнения
, где an=7n-6. Определить число членов n прогрессии.
Потенцируя, получаем уравнение:
; ; преобразуем к уравнению вида s2-138s-13464=0;
s=-66 не удовлетворяет области допустимых значений для логарифма, значит Sn=204.
По условию задачи an=7n-6. При n=1 a1=1.
Найдем n из формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии ; 204=; 7n2-5n-408=0; откуда n=8 или n=-7.
-7 не является натуральным числом, значит, число членов данной прогрессии будет 8.
Ответ: n=8
№35. Найдите стороны прямоугольного треугольника, если известно, что они составляют арифметическую прогрессию, разность которой d=25.
Стороны треугольника a-d; a; a+d.
По теореме Пифагора имеем (а+25)2=(а-25)2+а2; 100а-а2=0; откуда а=0 или а=100. Так как сторона треугольника не может быть равной 0, то а=100. Следовательно, стороны треугольника 75; 100; 125.
Ответ: 75; 100; 125.
№36. Доказать, что для арифметической прогрессии с отличными от 0 членами имеет место равенство:
Обозначим левую часть равенства через А и выполним некоторые преобразования:
А===
=)=()=
=.
Что и требовалось доказать.
3.8. Задачи для самостоятельного решения
№37. В возрастающей арифметической прогрессии а4 и а7 являются корнями квадратного уравнения 0,1х2-5х+58,9=0. Сумма n членов на 30 больше наименьшего целого числа, которое при делении на 37 дает остаток 33, а при делении на 53 - остаток 12. определить число членов n.
Ответ: n=30
№38. Найти сумму четырех членов арифметической прогрессии, содержащей целые и положительные члены, если известно, что произведение этих чисел равно 1680, а разность прогрессии равна модулю при переходе от системы логарифмов с основанием 81 к системе логарифмов с основанием 3.
Ответ: 32
№39. Определить х из уравнения 1+7+13+ … +х=280
Ответ: х=55
№40. Найти все арифметические прогрессии с целыми и положительными членами, в которых S5=35
Ответ: 1) a1=5; d=1 2) a1=3; d=2 3) a1=1; d=3
№41. В арифметической прогрессии a1+a3+a5+ … +a2n+1=25; a1+a2n-1=10. Найдите n.
Ответ: n=4
№42. В арифметической прогрессии Sn=7; S2n=34; a1+a2n=17. Найти S30.
Ответ: S30=2205.
№43. Найти Sn арифметической прогрессии, любой член которой равен am=2m-1.
Ответ: Sn=n2
№44. Найти n= таких дробей, числители которых составляют возрастающую арифметическую прогрессию, а знаменатели - арифметическую убывающую. Разности обеих этих прогрессий по абсолютной величине равны между собой. Предпоследняя из искомых дробей равна обратному значению последней; знаменатель второй больше ее числителя на n единиц, а сумма всех числителей искомых дробей относится к сумме их знаменателей, как (n-1):(n+2).
Ответ:
№45. Разность арифметической прогрессии равна 27; седьмой и восьмой члены ее соответственно равны квадратам двух последовательных натуральных чисел. Найти эту прогрессию.
Ответ: 7; 34; 61; …
№46. Определить при каком значении m корни уравнения x4-(3m-5)x2+(m+1)2=0 составляют арифметическую прогрессию.
Ответ: m=-25; -.
Геометрическая прогрессия
4.1. Основные понятия.
Рассмотрим бесконечную числовую последовательность 2; 6; 18; 54; 162; …
Каждый член данной последовательности, кроме первого, равен произведению предшествующего члена и числа 3:
6=2*3 18=6*3 54=18*3 162=54*31и т.д.
Определение 1: геометрической прогрессией называется числовая последовательность (bn), у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же, отличное от 0 число, называемым знаменателем геометрической прогрессии.
То есть геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, заданная по правилу: b1 и q даны; ,
где - первый член геометрической прогрессии; q - разность геометрической прогрессии; bn - n-ый член геометрической прогрессии.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение ее любого члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т.е. b2:b1=b3:b2=…=bn:bn-1=bn+1:bn=… Это число и есть знаменатель геометрической прогрессии. Значит, q= bn+1:bn
При делении равенства (1) на равенств (2) получим: .Преобразуем выражение bn+1 bn-1=bn2. Откуда = при n .
То есть .
Следовательно, можно дать еще одно определение геометрической прогрессии.
Определение 2: геометрическая прогрессия - это такая числовая последовательность (bn), модуль каждого члена которой, начиная со второго, равен среднему геометрическому последующего и предыдущего членов.
= при n .
Данное определение иногда называют характеристическим свойством геометрической прогрессии.
Случай, когда b1=0, как правило, не рассматривается, т.к. получается последовательность из одних нулей. Поэтому в геометрической прогрессии часто включается условие b1
Например, числа 3; -6; 12; -24; … образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 3 и знаменателем q= -2.
Если b1=1 и q=10, то получим геометрическую прогрессию 1; 10; 100; …; 10n-1; …
Ее n-ый член есть bn=10n-1.
Последовательность 3; 3; 3; 3; …; 3; … есть геометрическая прогрессия с первым членом, равным 3 и знаменателем q=1.
Итак, если , то геометрическая прогрессия является монотонной последовательностью.
При b1=1 и q=10 - это возрастающая прогрессия.
При b1=3 и q=1/3 (3; 1; 1/3; 1/9; …) или b1=-2 и q=3 (-2; -6; -18; …) -это убывающие прогрессии.
Если , то прогрессия является ни убывающей, ни возрастающей. Например: b1=2 и q= -3 (2; -6; 18; -54; …) или b1= -2 и q= -3 (-2; 6; -18; 54; …)
Если q=1, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
Для обозначения того, что последовательность (bn) является геометрической прогрессией, применяют иногда запись b1; b2; b3; …; bn; …
Значок заменяет словосочетание «геометрическая прогрессия».
Если в геометрической прогрессии отбросить все члены, следующие за каким-то конкретным членом последовательности, например, за bn, то получится конечная геометрическая прогрессия b1; b2; b3; …; bn.
4.2. Формула n-ого члена геометрической прогрессии.
Пусть дана геометрическая прогрессия b1; b2; b3; …; bn; …
Выразим каждый ее член через первый b1 и знаменатель этой прогрессии q по определению
b2=b1 q
b3=b2 q=b1 q2
b4=b3 q=b1 q3
b5=b4 q=b1 q4
На (n-1)-м этапе этих рассуждений получим bn=b1 qn-1.
Для любой геометрической прогрессии b1; b2; b3; …; bn; … ее n-ый член bn выражается через ее первый член b1 и знаменатель этой прогрессии q при помощи формулы: bn=b1 qn-1,называемой формулой n-ого члена геометрической прогрессии.
Докажем методом полной индукции:
-
проверим для n=1 b1=b1 q0=b1 - верно
-
предположим, что верно для n=k, т.е. верно равенство bk=b1 qk-1
-
докажем верность и для n=k+1
bk+1=bk q= b1 qk-1 q=b1 q(k+1)-1 -верно
Тем самым, согласно принципу полной индукции, доказана справедливость свойства 1 для любого натурального числа n.
Пример1: Является ли конечная числовая последовательность 3; 9; 27; 81; 243 геометрической прогрессией?
Если данная последовательность является геометрической прогрессией, то должны быть равны отношения второго и первого, третьего и второго, четвертого и третьего, пятого и четвертого ее членов: 9:3=27:9=81:27=243:81=3=q
Делаем вывод, что, данная последовательность чисел является геометрической прогрессией со знаменателем q=3.
Так, бесконечная числовая последовательность 3; 6; 9; 12; 15; … не является геометрической прогрессией, т.к. 6:3 9:3.
Пример 2: Доказать, что последовательность, заданная формулой n-го члена bn= является геометрической прогрессией.
Достаточно показать, что при всех натуральных n значение частного bn+1 и bn не зависит от n. bn+1=; bn+1:bn=
Делаем вывод, что, данная последовательность чисел является геометрической прогрессией со знаменателем q=2.
4.3. Свойства геометрической прогрессии.
Свойство 1: используя определение 2 геометрической прогрессии
= при n .
верно и более общее свойство
Доказательство: по свойству 1 имеем:
bn+k=b1 qn+k-1 , bn-k=b1 qn-k-1 .
Умножим почленно эти равенства: bn+k bn-k=b12 q2n-2=(b1 qn-1)2=(bn)2.
Откуда
Например: .
Свойство 2: если последовательность b1; b2; b3; …; bn; …является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов ее членов, т.е. b12; b22; b32; …; bn2; … является геометрической прогрессией.
У второй геометрической прогрессии первый член равен b12, а знаменатель равен q2.
Свойство 3: для любой геометрической прогрессии b1; b2; b3; …; bn; … верно равенство bk bn=bm bl, где k, n, m, l - номера членов, удовлетворяющих условию k+n=m+l.
Доказательство:
Используя свойство 1 имеем: bk bn=b1 qk-1 b1 qn-1=b12 qk+n-2
bm bl=b1 qm-1 b1 ql-1=b12 qm+l-2. Так как k+n=m+l, то и k+n-2=m+l-2, а значит bk bn=bm bl.
Например: b3 b7=b2 b8=b1 b9=b4 b6=b5 b5.
Из этого свойства можно сформулировать более частные случаи:
а) у конечной геометрической прогрессии b1; b2; b3; …; bn произведение членов, равноотстоящих от ее концов, равно произведению крайних членов, т.е. для k=1, 2, 3, …, n bk bn-k+1=b1 bn, где 1+n=k+(n-k+1). (доказательство аналогично предыдущему). То есть b1 bn=b2 bn-1=…
Например: b6 b15=b1 b20 или b10 b11=b1 b20
б) при любом натуральном k имеет место равенство: bp bl=bp+k bl-k (доказательство аналогично предыдущему).
Свойство 4.
Перепишем формулу n-ого члена геометрической прогрессии bn=b1 qn-1 в виде bn= и введем обозначения: bn=y =m. Получим y=mqn или y=mqx, где . Аргумент х содержится в показателе степени, поэтому эту функцию называют показательной функцией. Значит, геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию y=mqx, заданную на множестве натуральных чисел.
Графиком геометрической прогрессии будут служить изолированные точки с абсциссами х=1; 2; 3; …, лежащие на графике показательной функции.
Например, y=2x (2; 4; 8; 16; 32; …)
y= (
4.4. Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии
I. Пусть дана геометрическая прогрессия b1; b2; b3; …; bn; …
Число, равное сумме n-первых членов геометрической прогрессии обозначается Sn,
т.е. Sn= b1+ b2+ b3+ …+ bn-1+bn. Члены b1 и bn называются крайними членами суммы.
Для суммы n-первых членов геометрической прогрессии Sn справедлива формула
Sn= при q .
Доказательство:
Пусть q=1 Sn= b1+ b1+ b1+ b1+…+ b1. Таких членов будет n, а значит Sn= nb1
Пусть q1 Для отыскания Sn применим искусственный прием.
Sn= b1+ b2+ b3+ …+ bn-1+bn. Умножим обе части равенства на q;
qSn= qb1+ qb2+ qb3+ …+ qbn-1+qbn
qSn= b2+ b3+ …+ bn-1+bn+qbn
Для получения Sn в правой части прибавим и отнимем b1.
qSn= b1+ b2+ b3+ …+ bn-1+bn-b1+bnq ; qSn=Sn -b1+bnq ; qSn- Sn= bnq-b1; Sn(q-1)= bnq-b1 Откуда Sn=. Что и требовалось доказать.
Докажем справедливость формулы методом полной индукции.
-
проверим для n=1 - верно
-
предположим, что верно для n=k, т.е. справедлива формула Sk=.
-
докажем верность и для n=k+1
Sk+1=Sk+bk+1=+bkq= - верно.
Тем самым, согласно принципу полной индукции, доказана справедливость формулы для любого натурального числа n.
II. Сумму n-первых членов геометрической прогрессии Sn можно выразить через ее первый член b1 и знаменатель q.
Sn===, при q
Эту формулу также можно доказать методом полной индукции.
4.5. Бесконечная геометрическая прогрессия
Рассмотрим бесконечную периодическую дробь 0,(1)=0,111111…..
Рассмотрим последовательность чисел 0,1; 0,11; 0,111; …
Каждый из членов этой последовательности можно рассмотреть как сумму n первых членов бесконечной геометрической прогрессии 0,1; 0,01; 0,001; …
S1=0,1
S2=0,11=0,1+0,01
S3=0,111=0,1+0,01+0,001
На n-ом этапе этих рассуждений получим:
Sn=0,111…11=0,1+0,01+0,001+…+0,00…01
n раз n слагаемых
При n, стремящемся к бесконечности, сумма n первых членов этой прогрессии стремится к числу 0,(1).
Если при n, стремящемся к бесконечности, сумма n первых членов этой прогрессии стремится к некоторому числу, то это число называют суммой данной последовательности.
Таким образом, число 0,(1)- сумма бесконечной геометрической прогрессии 0,1; 0,01; 0,001; …
Найдем сумму этой прогрессии с помощью рассмотренной раннее формулы: Sn=. b1=0,1; q=0,1; Sn=.
При n, стремящемся к бесконечности, 0,1n стремится к нулю, разность 1-0,1n стремится к числу 1, и, следовательно, произведение стремится к числу.
Значит Sn= =0,(1). и 0,(1) - это две различные записи одного и того же числа.
Утверждение: n-я степень числа, по модулю меньше единицы, стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.
Используя это утверждение, докажем, что: любая бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем, по модулю меньшим единицы, имеет сумму.
Геометрическая прогрессия b1; b2; b3; …; bn; …называется убывающей, если .
Например: 1;- убывающая, т.к. q=1/2 ;
Надо доказать, что при n, стремящемся к бесконечности, сумма n первых членов этой прогрессии стремится к некоторому числу. Преобразуем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:
Sn====-= -qn.
Так как , то при n, стремящемся к бесконечности, qn стремится к нулю. Значение разности 1- qn стремится к 1, и, следовательно, значение произведения числа и разности 1- qn стремится к числу . Значит сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии при S=. Исходя из этого, при n, стремящемся к бесконечности, n-й член бесконечной геометрической прогрессии bn=b1 qn-1 при стремится к нулю.
Можно доказать, что: если при n, стремящемся к бесконечности n-й член бесконечной последовательности не стремится к нулю, то последовательность суммы не имеет.
Значит, ни арифметическая прогрессия, ни геометрическая прогрессия при не имеют суммы.
4.6. Задачи обязательного уровня
№47. Определите, является ли заданная последовательность геометрической прогрессией.
-
5; -5; 5; -5; 5;… Да, т.к. b1=5; q=-1
-
2; 4; 6; 8; 10; … Нет, т.к. 4:26:4.
№48. Доказать, что последовательность, заданная формулой n-ого члена bn=5n-1, является геометрической прогрессией.
Требуется доказать, что отношение bn+1:bn одно и то же для всех n, т.е. не зависит от n.
bn+1:bn=5n+1-1: 5n-1=5. Частное является числом постоянным, значит, последовательность является геометрической прогрессией.
№49. Записать первые пять членов геометрической прогрессии, если
а) b1=6; q=2
b) bn=
а) b2=b1q=12; b3=12*2=24; b4=48; b5=96;
Ответ: 6; 12; 24; 48; 96.
в) b1=; b2=; b3=; b4=; b5=.
Ответ: ; ; ; ; .
№50. Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если b1=2; q=
b7=b1q6=2()6=
Ответ: b7=
№51. Найдите знаменатель геометрической прогрессии 7; 1; …
q=b2:b1=
Ответ: q=
№52. Число 192 является членом геометрической прогрессии 6; 12; 24; …
-
Найдите номер этого члена.
Пусть n - искомый номер. Т.к. b1=6, q=2; bn=192, то по формуле n-ого члена геометрической прогрессии bn=b1 qn-1 имеем: 192=6*2n-1; 2n-1=32; 2n-1=25; n=6; значит b6=192.
б) Является ли число 36 членом этой прогрессии?
Нет, т.к. b3=24, а значит b4=48. Число 36 находится между числами 24 и 48.
Либо 36=6*2n-1; 2n-1=6. Нет такого натурального числа m, чтобы 6=2m.
в) Является ли число 3 членом этой прогрессии?
Нет, т.к. данная прогрессия является возрастающей, а 3a1.
№53. Решить следующие задачи, где по трем известным величинам требуется определить две неизвестные.
№
b1
q
N
bn
Sn
1.
3
2
6
96
189
2.
1
2
9
512
1023
3.
1,5
4
4
96
127,5
4.
256
0,5
8
2
510
5.
2; 32
3; -
3
18
26
6.
-1
2
5
-16
-31
7.
15
3
8.
-4,5
-3
4
121,5
90
9.
4
-
3
3
Полезно перед решением этих задач научить учащихся выражать неизвестную величину из формулы n-ого члена и суммы n-первых членов геометрической прогрессии.
bn=b1 qn-1
Sn= при q
b1=
q=
qn-1=; если n- четное, то q=;
если n- нечетное, то q=.
b1=Sn-q(Sn-bn)
bn=
В данном задании задачи №5 и №7 относятся к задачам среднего уровня и повышенной трудности. Поэтому на решение этих задач следует обратить особое внимание.
В задаче №5 используем формулу n-ого члена и суммы n-первых членов геометрической прогрессии. Имеем систему уравнений с двумя неизвестными b1и q.
q. Выразим из второго уравнения системы b1и подставим его значение в первое уравнение: b1=26-8q; 18=(26-8q)q2. Преобразуем уравнение к виду 4q3-13q2+9=0. q=1 является корнем уравнения, т.к. 4-13+9=0, поэтому последнее уравнение можно разложить на множители: (q-1)(4q2-9q-9)=0.
q=1 не удовлетворяет условию задачи, значит решением будет q=3; -.
Мы получили два значения знаменателя, значит, существует две геометрические прогрессии, а, следовательно, и два первых члена этих прогрессии.
а) q=3; b1=18: q2=2 2; 6; 18; …
б) q= -; b1=18:=32 32; -24; 18; …
Ответ: q=3; b1=2 или q= -; b1 =32
В задаче №7 используя формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии, имеем: . Преобразуем выражение, используя формулу разности кубов, к виду: 9q2+9q-4=0. Откуда . Аналогично предыдущей задаче, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие данным условиям.
а) q= -; b3=15 15; -20; ; …
б) q=; b3=15 15; 5; …
Ответ: q= -; b3= или q=; b3=.
В этих задачах полезно сделать проверку для нахождения суммы первых трех членов получившихся прогрессий, чтобы учащиеся убедились в правильности решения.
№54. Составьте формулу n-ого члена геометрической прогрессии 8; 4; 2;…
Из условия имеем b1=8; q=b2 :b1=
Составим формулу n-ого члена этой прогрессии:
bn=b1 qn-1=8()n-1=
Ответ: bn=
№55. Найдите девятый член геометрической прогрессии, если известно, что b4 b14=144.
Используя определение 2 геометрической прогрессии (или так называемое характеристическое свойство) имеем:
Ответ:
№60. Найдите b2 b7, если известно, что b4 b9=17.
По свойству 4 имеем: b2 b7= b4 b9 =17
4.7. Задачи среднего уровня.
К задачам среднего уровня можно добавить следующие типы задач.
№61. Выясните, является ли последовательность, заданная формулой n-ого члена, геометрической прогрессией? Если да, то укажите первый член и знаменатель прогрессии.
а) bn=-
q= bn+1 :bn=-
q зависит от n, значит данная последовательность не является геометрической прогрессией.
б) bn=
q= bn+1:bn =:()=. q не зависит от n, значит, данная последовательность является геометрической прогрессией. Найдем b1=.
№62. Начиная с какого номера n все члены геометрической прогрессии будут больше заданного числа А, если bn=3,5; A=14?
Так как bn, значит, 3,5; ; ; n-2; n; следовательно, n=7.
Сделаем проверку: b7=3,5=14; b6=14.
Ответ: n=7.
№63. Является ли число -0,218 членом геометрической прогрессии (bn),
если bn= 3,5(- .
Предположим, что является, тогда имеет место равенство: -0,218=3,5(-
Путем преобразований приходим к выражению вида:
Делаем вывод: так как нет такого натурального числа n, чтобы выполнилось данное равенство, то число -0,218 не является членом заданной геометрической прогрессии.
№64. Между числами 1 и вставьте два положительных числа так, чтобы получились четыре последовательных члена геометрической прогрессии.
b1=1; b4=. Найдем q из равенства b4=b1 q3; = q3; q=. Тогда b2=b1q=; b3=b2 q=. Получаем конечную арифметическую прогрессию 1; ; ; .
Ответ: ;.
№65. Найдите те значения переменной x, при которых числа х-1; ; 6х образуют конечную геометрическую прогрессию.
b1= х-1; b2=; b3=6х Из условия следует, что х
1 способ: q=b2:b1=b3:b2 Имеет место равенство: ; ()2=6х(х-1); 3=6х2-6х; так как х, то 3х=6х2-6х; 6х2-9х=0. Откуда х=0 или х=1,5. х=0 не удовлетворяет условию задачи, значит х=1,5.
2 способ: согласно характеристического свойства геометрической прогрессии имеем уравнение: ()2=6х(х-1), откуда х=1,5.
При этом значении х=1,5 заданные выражения х-1; ; 6х принимают соответственно значения . Это геометрическая прогрессия. Ее знаменатель q=.
Ответ: х=1,5.
№66. Найдите двенадцатый член геометрической прогрессии. Если b7-b5=48; b5+b6=48.
По условию задачи имеем систему уравнений:
По формуле n-ого члена геометрической прогрессии имеем систему уравнений с двумя неизвестными b1и q.
;
Так как правые части обоих уравнений системы равны, приравняем их левые части:
b1q4(q2-1)=b1q4(q+1); b1; q; b1q4
Разделим обе части уравнения на b1q4.
Получаем: q2-1=q+1; (q-1)(q+1)-(q-1)=0; (q+1)(q-2)=0; откуда q= -1 или q=2.
Рассмотрим два случая:
а) q= -1; b1q4(q+1)=48; откуда 0, значит q= -1 не является решением.
б) q=2; b1q4(q+1)=48; откуда b1=1. Найдем b12=b1q11=1*211=2048.
Ответ: b12=2048.
№67. Прирост населения города составляет 10% в год. В конце 1997 г. население города составляло 15 миллионов человек. Сколько человек будет проживать в городе в конце 2001 года?
1996 1997 1998 1999 2000 2001
b1b2b3b4b5b6
Последовательность чисел b1; b2; b3; b4; b5; b6 есть конечная геометрическая прогрессия с первым членом b1и знаменателем q=0,1
10%=0,1, значит, в конце 1997 года население города будет составлять
b2= b1+0,1b1=1,1b1; 1,1b1=15000000; b1=13636364;
q= b2: b1=1,1; b6=b1q5=13636364*1,15=21961500
Ответ: 21 миллион 961 тысяч 500 человек.
№68. Составьте конечную геометрическую прогрессию из шести членов, зная, что сумма трех первых членов равна 14, а сумма трех последних 112.
По условию задачи имеем систему уравнений:
По формуле n-ого члена геометрической прогрессии имеем систему уравнений с двумя неизвестными b1и q.
;
Разделим первое уравнение системы на второе: ; ; откуда q=2 . Подставив его значение в любое из уравнений системы получим b1=2. Зная первый член и знаменатель, составим геометрическую прогрессию: 2; 4; 8; 16; 32; 64.
Ответ: 2; 4; 8; 16; 32; 64.
№69. Найдите сумму 1+х+х2+х3+…+х100.
Все слагаемые данной суммы образуют геометрическую прогрессию, где b1=1, q=1.
Используя формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии Sn= имеем: Sn=.
Ответ: 1+х+х2+х3+…+х100=
№70. Найдите сумму квадратов первых шести членов геометрической прогрессии, если известно, что b1=3, q=2.
По свойству 3 (если все члены геометрической прогрессии возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия с первым членом b12 и знаменателем q2) имеем: Sn=
Ответ: Sn=12285.
4.8. Задачи повышенной сложности
№71. При каких значениях переменной t числа 4t-2; 6-2t; 6+2t; 24-8t являются четырьмя последовательными членами геометрической прогрессии.
По определению знаменателя геометрической прогрессии имеем:
или = = (1)
а) Рассмотрим пропорцию =; путем преобразований приведем данное выражение к уравнению вида: t2+11t-12=0; откуда t=12 или t= -1.
Сделаем проверку: при подстановке значения t=12 в уравнение (1) имеем:
Делаем вывод: t=12 не удовлетворяет условию задачи.
При подстановке значения t= -1 в уравнение (1) имеем: . Делаем вывод: t= -1 не удовлетворяет условию задачи.
б) Рассмотрим пропорцию =; путем преобразований приведем данное выражение к уравнению вида: t2-4t+3=0; откуда t=3 или t= 1.
t3 по условию задачи.
Сделаем проверку: при подстановке значения t= 1 в уравнение (1) имеем: 2=2=2
Делаем вывод: t=1 удовлетворяет условию задачи.
в) Рассмотрим пропорцию =; путем преобразований приведем данное выражение к уравнению вида: t2-10t+9=0; откуда t=9 или t= 1.
t= 1 является решением задачи.
Сделаем проверку для значения t=9: при подстановке значения t=9 в уравнение (1) имеем:
Делаем вывод: t=9 не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: t=1
№72. Найти восьмой член геометрической прогрессии, в которой сумма первых пяти членов равна 93, а сумма членов от второго до шестого включительно равна 186.
Из условия задачи имеем:
S5=93 или b1+b1q+b1q2+b1q3+b1q4=93 или b1(1+q+q2+q3+q4)=93 (1)
S6-b1=186 или b1+b1q+b1q2+b1q3+b1q4+b1q5=186 или b1q(1+q+q2+q3+q4)=186 (2)
При делении второго уравнения на первое получим q=2; найдем значение b1 из любого уравнения. b1=3; b8= b1 q7= 3*27=384.
Ответ: b8=384
№73. Чему равно произведение: .
Данное произведение можно представить так: .
Последовательность чисел - есть геометрическая прогрессия с первым членом b1= ; знаменателем q= и n-ым членом bn=. Используя формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии имеем: Sn== .
Ответ: =.
№74. Найти произведение: .
Данное произведение можно представить так: .
Последовательность чисел - есть бесконечная убывающая геометрическая прогрессия с первым членом b1= ; знаменателем q=. Используя формулу суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии имеем: S==.
Следовательно, =
Ответ: =.
№75. Найдите сумму
Данное выражение можно представить в виде суммы двух бесконечно убывающих прогрессий, а именно .
Используем формулу суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии при S=.
Сумма первой бесконечно убывающей прогрессии будет равна
Сумма второй бесконечно убывающей прогрессии будет равна
Следовательно, общая сумма .
Ответ:
№76. Решить уравнение (1+x2)2=2ax(1-x2), где a равняется пределу суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии, у которой b1=, b2=. Найдем знаменатель геометрической прогрессии: q=b2:b1=.
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии при равна
S= = . Значит, a= .
Решаем уравнение (1+x2)2=x(1-x2).
Путем преобразований приведем данное выражение к уравнению вида: 6x4+25x3+12x2-25x+6=0.
Путем подбора найдем корень данного уравнения.
x=1 6+25+12-25+60; х= -1 6-25+12+25+60; х=2 96+200+48-50+60;
х= -2 96-200+48+50+6=0, значит корень уравнения х= -2 и мы можем разделить левую часть уравнения на (х+2).
При делении получим выражение 6х3+13х2-14х+3.
Аналогичным образом найдем корень данного выражения: х=-3.
При делении 6х3+13х2-14х+3 на х+3 получим квадратный трехчлен 6х2-5х+1, который имеет корни х= и х=. Следовательно, левую часть уравнения четвертой степени можно разложить на множители следующим образом:
6x4+25x3+12x2-25x+6=(х+2)(х+3)(х-)(х-),
откуда (х+2)(х+3)(х-)(х-)=0 или х= ; х=; х= -2; х= -3.
Ответ: х= -3; -2; ;
№77. Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, зная, что сумма крайних членов равна большему, а сумма средних членов равна меньшему корню уравнения .
Прежде всего, решаем уравнение: .
Откуда х2-65х+1050,5=0,5 или х2-65х+1050=0; х=30;х=35.
Меньший корень уравнения 30, а больший корень уравнения 35, значит, из условия задачи имеем систему двух уравнений с неизвестными первым членом и знаменателем геометрической прогрессии: ; ; .
При b10 и q-1 разделив первое уравнение на второе, получим: или . Путем преобразований приведем к уравнению вида: 6q2-13q+6=0, откуда q=или q=.
Мы получили два значения знаменателя, а, значит, существует две геометрические прогрессии, а, следовательно, и два первых члена этих прогрессии.
а) q=; b1=8 8; 12; 18; 27; …
б) q=; b1=27 27; 18; 12; 8; …
Ответ: 8; 12; 18; 27.
№78. Сумма первых двух членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 39, а сумма кубов тех же чисел равна 17199. Найти при основании логарифм предела суммы членов этой прогрессии.
Пусть х - первый член, у - второй член этой прогрессии. Тогда по условию задачи имеем систему двух уравнений: . При решении данной системы находим две пары решений: х=15; у=24 или х=24; у=15. так как прогрессия по условию убывающая, то b1=24; b2=15, а поэтому q=.
Используя формулу суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии имеем: S== 24:=64. Решаем уравнение: ; откуда
Ответ: .
№79. Найти геометрическую прогрессию со знаменателем q=2, последний член которой равен квадрату четвертого члена, а сумма на единицу меньше числа х, определяемого из уравнения .
Решаем уравнение ; ; ; х=27=128. А, следовательно, Sn=128-1=127. По условию bn=b42=(b1q3)2=64b12. Используя формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии Sn= имеем: . Путем преобразований приведем к уравнению вида: 128b12-b1-127=0, откуда b1=1или b1=.
Следовательно, исходных прогрессий будет две: 1; 2; 4; 8; … или ;
Ответ: 1; 2; 4; 8; … или ;
№80. Найти S= (1)
3; 4; 5; 6; … - арифметическая прогрессия, где первый член равен 3, а разность d=1.
4; 8; 16; 32; … - геометрическая прогрессия, где первый член равен 4, а знаменатель q=2.
Умножим обе части равенства (1) на знаменатель q=2: 2S=(2).
Вычтем второе выражение из первого:
S-2S==
Стоящая в скобках сумма представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом , ее сумма равна =.
Следовательно, -S=; S=2.
Ответ: S=2.
№81. Доказать, что
- геометрическая прогрессия со знаменателем , 2; 4; 8; 16; … - геометрическая прогрессия со знаменателем 2.
Преобразуем левую часть исходного равенства: .
Найдем сумму S=
Умножим обе части равенства на знаменатель 2: 2S=
S-2S==. Стоящая в скобках сумма представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом , ее сумма равна =.
Следовательно, -S=; S=1.
Следовательно, =21=2. Что и требовалось доказать.
№82. При каких значениях а три корня уравнения (х-а)(х2-13х+36)=0 различны и, взятые в некотором порядке, составляют геометрическую прогрессию?
Найдем корни данного уравнения.
Данное уравнение имеет три корня. Рассмотрим случаи различного расположения данных чисел в геометрической прогрессии (bn).
a) 4; 9; a b1=4; b2=9; q= b2: b1=; b3=b2 q; a=9;
получаем геометрическую прогрессию 4; 9;
б)4; a; 9 b1=4; b3=9; b3=b1q2; q2=; q=.
q= b2=b1q; a=4 ;получаем геометрическую прогрессию 4; 6; 9
q= - b2=b1q; a=4; получаем геометрическую прогрессию 4; -6; 9
в) 9; 4; a b1=9; b2=4; q= b2: b1=; b3=b2q; a=44
получаем геометрическую прогрессию 9; 4;
г) 9; a; 4 b1=9; b3=4; b3=b1q2; q2=; q=.
q= b2=b1q; a=9; получаем геометрическую прогрессию 9; 6; 4
q= - b2=b1q; a=4 ; получаем геометрическую прогрессию 9; -6; 4
д) a; 4; 9 q=; b2=b1q; b1=b2:q; a= ;
получаем геометрическую прогрессию ; 4; 9
е) a; 9; 4 q=; b2=b1q; b1=b2:q; a= ;
получаем геометрическую прогрессию ; 9; 4
Ответ: a=-6; ; 6; .
№83. Историческая задача.
Арабский историк Асафад рассказывает, что шах Шерам, желая наградить Сессу, изобретателя шахматной игры, спросил: что он желает получить?
Сесса отвечал: «дайте мне столько пшеницы, сколько потребуется, если на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую - 2 зерна, на третью - 4 зерна и т.д. постоянно удваивая число зерен вплоть до последней, 64-й клетки». Удивленный скромностью изобретателя, шах приказал тотчас же выдать ему требуемое количество зерна.
Найти:
а) Сколько зерен нужно было выдать?
б) Какую площадь нужно было бы засеять, чтобы собрать требуемое количество зерна, если 1 га дает 25 гектолитров, а гектолитр содержит около 2 миллионов зерен?
в) Какова стоимость требуемого зерна, если гектолитр стоит 20 франков?
а) 1; 2; 4; 8; … - геометрическая прогрессия с первым членом b1= 1, знаменателем q=2 , n=64. S64==264-1=18 446 744 073 709 551 615.
Итак, всего нужно было выдать 18 446 744 073 709 551 615 зерен.
б) Гектар дает 25*2 млн.=50 млн. зерен. Следовательно, нужно было бы засеять 18 446 744 073 709 551 615 : 50 000 000 = 368 934 881 474 га. Поверхность суши содержит приблизительно 13 миллиардов га. Следовательно, потребовалась бы площадь в 28 раз большая всей поверхности суши. А если принять в расчет бесплодные земли, леса и т.д., то очевидно, что для уплаты потребовался бы сбор всего урожая на земле в течение нескольких столетий.
в) Стоимость требуемого количества зерна составляет 184 467 млрд. франков.
№84. Две прогрессии - арифметическая и геометрическая - имеют по четыре члена, причем первый и последний члены у обеих прогрессий одинаковы. Определить, у какой из этих прогрессий сумма членов больше?
Пусть a; b; c; d - члены арифметической прогрессии (1)
a; k; m; d - члены геометрической прогрессии (2).
Обе прогрессии будут одновременно возрастающими или убывающими. Пусть прогрессии будут возрастающими, тогда da. Так как числа a; k; m; d составляют геометрическую прогрессию, то ; откуда ; но ma, а, следовательно, и d-mk-a, или d+ak+m. Но если бы числа a; b; c; d составляли арифметическую прогрессию, d+a=b+c, потому неравенство d+ak+m можно переписать в виде b+ck+m, из чего видно, что для арифметической прогрессии сумма членов будет больше.
Ответ: для арифметической прогрессии сумма членов будет больше.
№85. Три целых числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе увеличить на 8, то прогрессия сделается арифметическою; но если после этого увеличить последний член на 64, прогрессия снова сделается геометрическою. Найти эти числа.
x; y; z-геометрическая прогрессия (1);
x; y+8; z-арифметическая прогрессия (2);
x; y+8; z +64- геометрическая прогрессия(3).
Из первого условия находим знаменатель геометрической прогрессии:
q1= или у2=хz
Из второго условия находим разность арифметической прогрессии:
d=y+8-x=z-y-8 или 2у=z+x-16
Из третьего условия находим знаменатель геометрической прогрессии:
q2= или (y+8)2=xz+64x.
Рассмотрим систему трех уравнений: ; x
Ответ: 4; 12; 36.
№86. Доказать, что если a; b; c составляют арифметическую прогрессию, x; y; z - геометрическую прогрессию, то xbycza=xcyazb.
Так как a; b; c - арифметическая прогрессия, то пусть d - разность этой прогрессии, тогда а=b-d; c=b+d или d=b-a; d=c-b. Найдем . Тогда ; или xbycza=xcyazb. Что и требовалось доказать.
-
Задачи для самостоятельного решения
№87. В геометрической прогрессии b3-b1=16; b5-b3=144. Найти S4.
Ответ: S4=80 или S4= -40.
№88. В геометрической прогрессии b1+b2+… +b5=31; b2+b3+…+b6=62. Найти восьмой член этой прогрессии.
Ответ: b8=128.
№89. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма первых четырех - равна 45. Найдите эту прогрессию.
Ответ: 3; 6; 12; 24; …
№90. Предел суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен12, а предел суммы квадратов тех же членов равен 48. Вычислите сумму шести первых членов этой прогрессии.
Ответ: S6=.
№91. В геометрической прогрессии 1; х; х2; …; х2n произведение нечетных членов равно 64, а произведение четных членов равно 32. Найти n и x.
Ответ: n=5; x=.
№92. Найдите сумму чисел
Ответ: S=2.
№93. Найдите сумму 1-3q+4q2-5q3+… при q2 .
Ответ: S=.
№94. В уравнении х3-8х2-6х+а=0 найти а такое, чтобы корни составляли геометрическую прогрессию.
Ответ: а=.
№95. Сумма четырех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна -40, а сумма их квадратов равна 3280. Найдите эти числа.
Ответ: 2; -6; 18; -54.
№96. Определите сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
10; 9; …
Ответ: 100.
№97. Дан квадрат, сторона которого равна а. Середины каждых двух смежных сторон этого квадрата соединены отрезком, и таким образом получился квадрат, вписанный в первый; точно также во второй квадрат вписан третий, в третий четвертый, и т. д. до бесконечности. Вычислить сумму периметров всех этих квадратов.
Ответ: 4а(2+).
№98. Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна а. На высоте этого треугольника построен другой равносторонний треугольник, на высоте второго третий и т. д. до бесконечности. Определить суммы периметров и площадей всех этих треугольников.
Ответ: 6a(2+); a2.
№99. Две прогрессии, арифметическая и геометрическая, содержат в себе по четыре члена. Если из членов геометрической прогрессии вычесть одноименные им члены арифметической прогрессии (т. е. из первого члена геометрической прогрессии вычесть первый член арифметической прогрессии и т. д.), то остатки соответственно будут числа: 1; 5; 19; 53. найдите крайние члены и сумму членов каждой из этих прогрессий.
Ответ: а1=9; d=6; b1=10; q=2.
№100. Определите сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
; …
Ответ: 4+3.
Литература
Муравин К.С., Муравин Г.К. Пробный учебник для 7-9 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1995.
Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. 8-11 класс: пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. - М.: Дрофа, 1999.
Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. - М.: Педагогика, 1989.
Шмулевич П.К. Сборник задач, предлагавшихся на конкурсных экзаменах при поступлении в специальные высшие учебные заведения. Алгебра. Часть 2.- Санкт Петербург, 1910.
Симонов А.Я., Бакаев Д.С. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. - М.: Просвещение, 1991.
Ивлев Б.М., Абрамов А.М. и др. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа. - М.: Просвещение, 1990.
Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. - М.: Просвещение, 1992.
Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. - М.: Наука, 1984.
Ларичев П.А. Сборник задач по алгебре, часть 2. - М.: Просвещение, 1965.
Финисов П.Н. Решения алгебраических задач, часть 2. - Санкт Петербург, 1905.
Маракуев Н.Н. Элементарная алгебра. Задачи. - М., 1903.
Маракуев Н.Н. Элементарная алгебра. Теория. - М., 1916.
Никольский С.М., Потапов М.К. Алгебра: пособие для самообразования. - М.: АО «Столетие», 1994.
Бычков О. Сборник примеров и задач, относящихся к курсу элементарной алгебры. - Санкт Петербург, 1913.
Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Алгебра. 9 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2000.
Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2003.
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. - М.: Просвещение, 1990.
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. Алгебра. 9 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 1999.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра. 9 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2000.