Первое знакомство с понятием вероятность

Тема: «Первое знакомство с понятием вероятность», 6 класс.

Предмет: математика

Учитель: И. В. Грицай

Должность: учитель математики

Основная цель:

• На популярном уровне познакомить учащихся с разделом математики, который приобрёл сегодня серьёзное значение в связи с развитием теории вероятностей, математической логики, информационных технологий.

Цели урока:

• способствовать формированию у учащихся первоначальных вероятностно-статистических представлений;

• способствовать ознакомлению учащихся со случайными величинами и числами, необычными для школьников и естественными в повседневной жизни;

• способствовать развитию у учащихся первоначальных навыков решения задач, связанных, в том числе, с жизненными ситуациями.

Задачи урока:

• повышение математической культуры, интеллектуального уровня учащихся.

• расширение кругозора учащихся;

• формирование у учащихся представления о комбинаторике и основных элементах теории вероятностей;

• формирование первоначального навыка решения задач, связанных, в том числе, с конкретными жизненными ситуациями;

• способствование развитию творческих способностей и дарований учащихся;

• способствование формированию у школьников интереса к изучению математики.

Структура урока:

I. Организационный момент.

II. Сообщение темы урока. Изучение нового материала.

III. Физкультминутка.

IV. Закрепление изученного материала.

V. Подведение итогов учебной деятельности.

VI. Домашнее задание.

Место проведения: учебный кабинет c мультимедийным оборудованием.

Материальная база:

• Презентация.

• Экран или интерактивная доска.

• Проектор и компьютер.

Продолжительность: 45 мин.

Ход урока

1. Организация класса.

2. Первое знакомство с понятием вероятность.

«То, что мы знаем, - ограниченно, а то, что не знаем, - бесконечно»,- сказал французский математик Пьер Симон Лаплас (1749-1827). Впервые основы теории вероятности были последовательно изложены в его книге «Аналитическая теория вероятностей». В предисловии автор писал: "Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами теории вероятностей"

В последние годы теория вероятностей вернулась в школьную программу, медленными, но уверенными шагами. И наша задача - научиться решать жизненные задачи с помощью теории вероятностей. Во время этого урока я хочу на популярном уровне познакомить вас с разделом математики, который приобрёл сегодня серьёзное значение в связи с развитием теории вероятностей, математической логики, информационных технологий.

Сценка из жизни.

Влад и Миша идут в школу на первый урок - математику. Между ними происходит следующий диалог.

Влад: Вероятно, меня сегодня вызовут к доске.

Миша: Меня тоже, вероятно, сегодня вызовут.

Влад: Ты недавно отвечал, а меня давно не спрашивали, так что более вероятно, что вызовут меня, а не тебя.

Миша: Согласен. Меня тоже могут вызвать отвечать, но это менее вероятно.

Обратите внимание, какие термины использовали ребята: вероятно, более вероятно, менее вероятно. Все мы довольно часто говорим так, когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом обычно опираемся на интуицию, жизненный опыт, здравый смысл и т.п.

Событие - то, что совершается, происходит, случается. В математике чаще изучают события, которые еще не произошли. Они делятся на невозможные (игральная кость упадет семеркой кверху), достоверные (после ночи наступит утро) и случайные (приобретенный лотерейный билет выиграет).

О некоторых событиях мы можем твердо сказать, что они произойдут. В наступлении других событий мы не так уверены. Например, в самый жаркий и солнечный летний день мы твердо знаем, что лето кончится, наступит осень, а за ней зима. Но невозможно сказать заранее, будет эта зима теплой или холодной.

Мы также не можем предвидеть, будет ли следующий год влажным или засушливым, урожайным или нет, хотя все эти события влияют на нашу жизнь. В неурожайный год дорожает хлеб, предприятия сельского хозяйства несут убытки, а некоторые из них могут разориться. Урожайный год тоже лучше бы предвидеть, хотя бы затем, чтобы приготовить хранилища для зерна.

Упомянутые выше события - случайные. Мы называем событие случайным, если нельзя утверждать, что это событие в данных обстоятельствах непременно произойдет.

Есть события, которые при рассматриваемых условиях не происходят никогда. Например, Буратино по совету лисы Алисы и кота Базилио решил зарыть свои золотые монеты на поле Чудес, чтобы из них появилось денежное дерево. Возможно ли, что из посаженных монет вырастет дерево? Если событие при рассматриваемых условиях не происходит никогда, то оно называется невозможным.

Есть события, о которых заранее известно, что они произойдут. Такие события называют достоверными. Например, заранее известно, что летом у вас будут каникулы.

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

В теории вероятностей шансы того, что случайное событие произойдет, выражают числом. Это число называют вероятностью случайного события. Если событие никогда не наступает (его шансы равны нулю), то вероятность этого события полагают равной 0. Такое событие является невозможным. Если же событие наступает всегда, его вероятность полагают равной 1. Такое событие является достоверным. Вероятности других событий - это числа между 0 и 1.

Таким образом, вероятность случайного события - это числовая мера правдоподобия. И сегодня мы научимся ее вычислять. Ведь люди заметили, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности.

3. Разминка. Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достоверное, невозможное или случайное поднятием рук вверх - в первом случае, разведением в стороны- во втором и отведением назад - в третьем.

1. Вас завтра спросят на уроке.

2. На игральном кубике кости выпало 7 очков.

3. Число дней в следующем месяце не превысит 31.

4. Номер открытой страницы в книге меньше 1.

5. Вам сегодня встретится черная кошка.

6. Сборная нашего класса выиграет в футбол у «Спартака».

7. На морозе вода в стакане через некоторое время замерзнет.

8. Завтра на улице вам встретится Баба-Яга.

9. На игральном кубике выпадет четное число очков.

10. В вашей ванной поселится красный крокодил в синюю полоску.

11. 1 января в школе не будет уроков.

12. Среди ночи выглянуло солнце.

13. На уроке математики ученики делали физические упражнения.

14. Вода в холодильнике закипела.

4. Решение задач на определение вероятности случайного события.

Задача 1. В качестве домашнего один из учащихся получил экспериментальное задание по подбрасыванию монеты. Если монету, например, рубль, подбросить вверх и позволить ей упасть на пол, то возможны только два исхода: «монета упала гербом вверх» и «монета упала решкой вверх». Случай, когда монета падает на ребро, подкатывается к стене и упирается в нее, бывает очень редко и обычно не рассматривается. Ребенок рассказывает о том, сколько раз в результате эксперимента, состоящего из 100 попыток, у него выпал «герб», а сколько раз - «решка». И записывает на доске число, равное отношению числа раз, когда выпала герб к общему числу попыток.

Отношение числа тех опытов, в которых событие «выпал «герб»» произошло, к общему числу проведенных опытов называется частотой события.

Но очень часто, такие приблизительные оценки, оказываются недостаточными: бывает важно знать, на сколько или во сколько раз совершение одного случайного события вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные оценки, надо уметь численно характеризовать возможность наступления того или иного события.

Вообще, в теории вероятностей отношение количества благоприятных для этого события результатов к общему числу всех возможных результатов называют вероятностью события.

Например, если событие не наступило ни разу, то его частота равна 0. Если событие наступало каждый раз, то его частота равна 1.

Аналитически вероятность события определяется следующим образом:

1. Найдем количество всех возможных вариантов равновероятных событий.

2. Найдем количество вариантов, приводящих к данному событию.

3. Найдем вероятность по формуле Р(А) =, где n - число всех равновозможных случаев, m - число случаев, благоприятствующих событию А.

Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и является случайным событием, при неоднократном повторении подвластны объективному закону.

Пример 1. Пусть на стол бросают монету. В результате обязательно произойдет одно из двух событий (либо "выпала решка", либо "выпал орел")

РЕШЕНИЕ:

Событие А: "Выпал орел"

Событие В: "Выпала решка"

Р(А) =

Р(В) =

Ответ: , .

Задача 2.

Другой учащийся дома провел серию экспериментов по подбрасыванию игрального кубика. Его целью было подсчитать, сколько раз из 100 опытов выпадет 3 очка.

Пример 2. Пусть на стол бросают игральный кубик.

Возможны 6 случаев: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Эти случаи равновозможные. Какова вероятность того, что выпадет 3 очка?

РЕШЕНИЕ:

Событие А: "выпадение 3 очков",

Р(А) = .

Ответ:

Задача 3. Третий ученик рассказывает о результатах своего эксперимента, который заключался в том, чтобы подсчитать сколько раз из 100 попыток он достанет черный шар из мешка в котором 2 черных и пять белых шаров.

Пример 3.Из ящика, где находятся 2 черных и 5 белых шаров, вынут наугад один шар.

Какова вероятность того, что вынут:

1. Черный шар;

2. Белый шар?

РЕШЕНИЕ:

Событие А: "вынут черный шар"

Событие В: "вынут белый шар"

Р(А) = Р(В) =

Ответ:

Задача 4. На двух карточках написали буквы А и Д, положили карточки на стол буквами вниз в произвольном порядке. Какова вероятность того, что после переворачивания карточек получится слово "ДА"?

- всего 2 возможных случаев.

РЕШЕНИЕ:

Событие А: "получилось слово "ДА"".

Р(А) = .

Ответ: .

Задача 5. Какова вероятность того, что случайно вырванный из нового календаря не в високосный год листок соответствует 30-му числу?

РЕШЕНИЕ:

Событие А: «Листок соответствует 30-му числу»

n= 365; m=11(в феврале 28 дней)

Р(А) =

Ответ:

Задача 6. В лотерее разыгрывалось 5 автомобилей, 12 мотоциклов и 23 телевизора. Всего было выпущено 4000 лотерейных билетов. Какова вероятность:

1. Выиграть мотоцикл; 2) Выиграть какой-нибудь приз; 3) Не выиграть никакого приза.

РЕШЕНИЕ: 1) Событие А: «Выиграли мотоцикл»

2) Событие В: «Выиграли какой-нибудь приз»

3) Событие А: «Не выиграли никакого приза»

Р(А)=12/4000=3/1000=0,003;

Р(В)=(5+12+23) /4000=40/4000=0,01;

Р(С)=(4000-40) /4000=3960/4000=99/100=0,99.

Ответ: 0,003; 0,01; 0,99.

В заключении отметим, что можно выиграть в лотерее большие деньги и жить безбедно, не учась и не работая. Но вероятность этого события настолько мала, что разумные люди на это не рассчитывают. Но пренебрегая маловероятными событиями, надо учитывать возможные последствия. Вероятность попасть под машину, перебегая улицу, невысока, но последствия этого события таковы, что относиться к нему как к невозможному не следует. Поэтому перебегать через улицу нельзя!

5. Итог урока.

1. Какие события мы называем случайными?

2. Что такое вероятность случайного события?

3. Какие значения может принимать вероятность случайного события?

4. Какие события называют достоверными? Какова вероятность достоверных событий?

5. Какие события называют невозможными? Какова вероятность невозможных событий?

6. Приведите примеры невозможных и достоверных событий.

7. Приведите примеры маловероятных событий. Обсудите, какими из них можно, а какими нельзя пренебрегать.

6. Домашнее задание: стр. 36-38, №162(б,г), 169, 172(а,б)