Урок по математике на тему Решение логарифмических уравнений

Решение логарифмических уравнений.

Цель урока: формирование понятия логарифмического уравнения, изучение способов решения логарифмических уравнений.

Задачи:

• Формировать понятие логарифмического уравнения, научить решать логарифмические уравнения различными методами.

• Развивать логическое мышление, вычислительные навыки.

• Воспитывать добросовестное отношение к учебе.

Тип урока: урок типовых задач.

План урока:

1. Приветствие. Постановка цели урока.

2. Повторение.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление.

5. Домашнее задание.

6. Итоги.

Ход урока:

Повторение.

1. Перечислите свойства функций по заданным графикам:

Ответ: свойства функции : область определения - множество всех положительных чисел; множество значений - множество всех действительных чисел; функция возрастающая, т.к. .

Свойства функции : область определения - множество всех положительных чисел; множество значений - множество всех действительных чисел; функция возрастающая, т.к. .

Свойства функции : область определения - множество всех положительных чисел; множество значений - множество всех действительных чисел; функция возрастающая, т.к. .

Свойства функции : область определения - множество всех положительных чисел; множество значений - множество всех действительных чисел; функция убывающая, т.к. .

2. Перестрелка: поиграем в морской бой. Называете число по горизонтали, букву по вертикали, кто первый даст правильный ответ, получает 1 балл.

Ответ:

Изучение нового материала.

Попробуйте сформулировать определение логарифмического уравнения. (Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма).

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: (где а>0, a ≠ 1 ). Так как логарифмическая функция возрастает (или убывает) на множестве положительных чисел и принимает все действительные значения, то по теореме о корне следует, что для любого b данное уравнение имеет, и притом только одно, решение, причем положительное.

Вспомните определение логарифма. (Логарифм числа х по основанию а - это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число х). Из определения логарифма сразу следует, что является таким решением.

Методы

1. По определению логарифма.

Так решаются простейшие уравнения вида:

Решить уравнение:

По определению логарифма:

Решение:

Ответ: х = 2.

В этом задании , так как , поэтому посторонних корней появиться не может, и проверку нет необходимости делать. Условие в этом задании выписывать не надо.

2. Потенцирование (переход от логарифма данного выражения к самому этому выражению).

Решить уравнение: .

Какую особенность вы заметили? (Основания одинаковы и логарифмы двух выражений равны). Что можно сделать? (Потенцировать).

При этом надо учитывать, что любое решение содержится среди всех х, для которых логарифмируемые выражения положительны.

Решение 1. ОДЗ:

Потенцируем исходное уравнение , получим уравнение 2x + 3 = х + 1. Решаем его: х = -2. Это решение не входит в ОДЗ, значит, данное уравнение корней не имеет.

Можно решить это уравнение иначе - переходом к равносильной системе:

Уравнение

(Система содержит избыточное условие - одно из неравенств можно не рассматривать).

Решение 2. Уравнение равносильно системе:

Эта система решений не имеет.

Есть еще один вариант решения - переход к следствию из данного уравнения. При неравносильных преобразованиях найденное решение необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение.

Решение 3.
.

Сделаем проверку: Ответ: корней нет.

Вопрос классу: Какое из этих трех решений вам больше всего понравилось? (Обсуждение способов).

Вы имеете право решать любым способом.

3. Введение новой переменной.

.

Что вы заметили? (Это квадратное уравнение относительно log3x). Ваши предложения? (Ввести новую переменную)

Решение. ОДЗ: х > 0.

Пусть , тогда уравнение примет вид:. Дискриминант D > 0. Корни по теореме Виета:.

Вернемся к замене: или .

Решив простейшие логарифмические уравнения, получим:

Ответ: 27; .

4. Логарифмирование обеих частей уравнения.

Решить уравнение:..

Решение: ОДЗ: х>0, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:.

Применим свойство логарифма степени:

Пусть lgx = y, тогда (у + 3)у = 4, , (D > 0) корни по теореме Виета: и .

Вернемся к замене, получим: .

Ответ: 0,0001; 10.

5. Приведение к одному основанию.

Решите уравнение:

Решение: ОДЗ: х > 0. Перейдем к основанию 3:

или

Ответ: 9.

Закрепление:

Определить каким методом решается уравнение, и решить его:

Решение:

;

Ответ: х = 25, х = .

2. .

Ответ: .

Проверка: а) не имеет смысла, - посторонний корень.

b) .

Ответ: х = 2.

4. прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

применим свойство логарифма:

.

Замена: .

Проверка: ,

Ответ: .

5. . Так как , то разделив обе части уравнения на это число, получим, , откуда х = 2.

Ответ: х = 2.

Домашнее задание: (стр 259: №507-508(в,г); 511-512 (в,г); 514-516 (в,г)).