Занятие по внеурочной деятельности Графики с модулем

Построение графиков линейных функций, заданными несколькими формулами

Модуль числа

Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число:

|а| = а

Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число:

|а| = - а

Короче это записывают так:

Геометрический смысл модуля числа: модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5| = 5.

Расстояние точки М(-6) от начала отсчета О равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного - противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули: |-а| = |а|

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков: |0| = 0.

РисунокЗадача 1. Постройте график функции y = |x|.

По определению модуля

В одной координатной плоскости построим графики функций y = x и y = -x (рис. 1)

Затем возьмем ту часть прямой y = x, когда и ту часть прямой y = -x, когда .

Получаем график функции y = |x| (рис. 2).

Рисунок

Рисунок

Задача 2. Постройте график функции y = |x| - 1.

По определению модуля В одной координатной плоскости построим графики функций

y = x-1 и y = -x-1.Затем возьмем ту часть прямой y = x-1, когда и ту часть прямой y = -x-1, когда .

Получаем график функции y = |x|-1 (рис. 3).

Задача 3. Постройте график функции y = |2x-4|.

РисунокПо определению модуля

В одной координатной плоскости построим графики функций

y = 2x-4 и y = -2x+4.Затем возьмем ту часть прямой y = 2x-4 , когда и ту часть прямой y = -2x+4, когда .

Получаем график функции y = |2x-4| (рис. 4).

Задача 4. Постройте график функции y = |||x|-1|-2|.

1. Используя определение модуля числа, раскроем модульные скобки y = |||x|-1|-2|:

- при х  0 |x| = x и функция примет вид y = ||x - 1| - 2|;

- при х < 0 |x| = -x и функция примет вид y = ||-x - 1| - 2| (рис. 5).

Рисунок

I. при х  0 функция задана формулой y = ||x - 1| - 2|. Раскроем модульные скобки y = ||x - 1| - 2|. Найдем те значения х, при которых х - 1 = 0, значит х = 1:

- при 0  х  1 |x-1|  0 и |x-1| = -(х-1) = -х +1, функция примет вид y = |-x + 1 - 2| = |-x -1|.

- при х > 1 |x-1| > 0 и |x-1| = х-1 = х -1, функция примет вид y = |x - 1 - 2| = |x - 3| (рис. 6).

Рисунок

Ia. При 0  х  1 |-x -1|  0 и y = |-x -1| = - (-х - 1) = х +1.

y = x + 1.

Ib. при 1  х  3 |x-3|  0 и y = |x - 3| = - (x-3) = -x +3.

y = -x +3.

При х > 3 |x-3| > 0 и y = |x - 3| = x-3 = x -3.

y = x -3. (рис. 7).

Рисунок

II. при х < 0 функция задана формулой y = ||-x - 1| - 2|. Раскроем модульные скобки y = ||-x - 1| - 2|. Найдем те значения х, при которых -х - 1 = 0, значит х = -1:

- при -1  х < 0 |-x-1|  0 и ||-x-1|-2| =| -(-х-1)-2| =| х +1-2| = |x-1| = -(x-1) = -x +1.

y = -x +1.

- при -3 x <-1 |-x-1| > 0 и |-x-1| = -х-1 и ||-x-1|-2| =|-х-1-2| =| -х-3| = -(-x-3) = x +3.

y = x +3.

- при х < -3 |-x-1| > 0 и |-x-1| = -х-1 и ||-x-1|-2| =|-х-1-2| =| -х-3| = -x-3.

y = -x -3. (рис. 8).

Рисунок

Таким образом

x < - 3

-3x<-1

-1x<0

0x<1

1x <3

x  3

y = -x - 3

y =x +3.

y = -x + 1

y = x + 1

y= -x +3

y = x - 3

Строим в одной координатной плоскости 6 графиков и от каждой прямой берем часть в соответствии со значениями х (рис. 9, 10):

Рисунок

Рисунок

Задания для самостоятельной работы:

1. Постройте графики функций y = |3x + 3|; y = |x| - x; y = |||x|-2|-1|; .