Индивидуально-образовательный маршрут по теме Решение тригонометрических уравнений

Дидактический материал

Решение тригонометрических уравнений

Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений

Учебный элемент №1

Указание учителя:

Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений. Для этого прочитайте текст на с. 69.

Выполните письменно самостоятельную работу

Решите уравнения:

Вариант 1

cos x = 0,5 (1 б )

sin x = - ( 1 б )

tg x = 1 ( 1 б )

cos ( x + ) = 0 ( 2 б )

2 cos x = 1 (1 б )

3 tg x = 0 (1 б )

Sin 4 x = 1 ( 1 б )

Исправляйте ошибки и проставляйте число заработанных баллов в оценочный лист. Если набрали 6 баллов или больше, то переходите к следующему учебному элементу. Если набрали меньше шести, то решите задания другого варианта, аналогичные тем, в которых было допущена ошибка, и проставьте набранные баллы в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент №2

Указания учителя:

Прочитайте внимательно данные ниже пояснения. Выполните самостоятельную работу.

Метод сведения к квадратному уравнению состоит в том, что , пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию или комбинацию функций обозначить через у , получив при этом квадратное уравнение относительно у.

Например: 4 - cos x = 4 sin x

Вместо cos x подставим 1 - sin x. Тогда исходное уравнение примет вид :4 - (1 - sin x ) =4 sin x , преобразуем 3 + sin x. = 4 sin x или sin x. - 4 sin x +3 = 0

Если положить у = sin x, получим у - 4у + 3 = 0. оно имеет корни 1 и 3. Значит, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

sin x = 1 или sin x = 3

х = решений нет

Ответ: х =

Решите уравнения:

tg x - tg x + 2 = 0 (2 б)

2 cos x + 5 sin x - 4 = 0 (3 б)

+ 2 sin x = 3 (3 б)

Указание учителя: проверьте и оцените свою работу, правильные ответы. Исправьте ошибки, если они есть, проставьте количество баллов в оценочный лист.

Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему этапу, если же меньше, то решите задание другого варианта, аналогичное тому, в котором ошиблись. Проставьте набранные баллы в графу «Корректирующие задания».

Учебный элемент № 3

Внимательно прочитайте ниже пояснения и выполните задания.

Метод разложения на множители

Под разложением на множители понимаем представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит произведение нескольких множителей, а в другой 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде совокупности более простых уравнений. К сожалению, нельзя указать единого способа разложения на множители любого выражения.

Решите уравнение: 2 sin x - cos 2 x - sin x = 0. Сначала сгруппируем первый с третьим, а cos 2 x представим в виде cos x - sin x . Получим (2 sin x - sin x) - (cos x - sin x) =0

Из выражения, стоящего в первых скобках, вынесем sin x, а в выражении, стоящем во вторых скобках, вместо cos x запишем 1 - sin x. Уравнение примет вид sin x (2 sin x - 1) - (1- 2 sin x) = 0. Выполним дальнейшие тождественные преобразования sin x (2 sin x - 1+

(2 sin x - 1 ) = 0. (2 sin x - 1)( sin x+1) = 0. Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений 2 sin x - 1 =0 или sin x+1 = 0

sin x = 0,5 или sin x = -1

sin x =

Ответ : х = , х =

Задания самостоятельной работы

Вариант 1

sin x - sin x = 0 (2 б)

3 cos х +2 sin 2x = 0 (3 б)

Если набрано 5 баллов, то переходите к следующему элементу. Если меньше, то решите соответствующее задание другого варианта.

Учебный элемент №4

Прочитайте пояснения и выполните задания.

Однородными называются уравнения вида a sin x + b cos x = 0 и a sin x + b sin x cos x + c cos x = 0.

Покажем сначала, как решать однородное уравнение первой степени a sin x + b cos x = 0 .

Поделим обе части уравнения на sin x или cos x. Докажем, что выражение никогда не обращается в нуль: если cos x = 0, то а sin x = 0 и если sin x = 0, то b cos x = 0. Быть этого не может в виду равенства sin x + cos x = 1.. Значит можно поделить уравнение на cos x. Получим a tg x + b = 0, отсюда х = arctg .

Аналогично решается однородное уравнение вида a sin x + b sin x cos x + c cos x = 0.

Их решение начинается с того, что обе части уравнения делят на cos x или sin x.

Самостоятельная работа

Вариант 1

sin x - cos x = 0 (2б)

sin x - sin 2x = 3 cos x (3б)

Набрано 5 баллов, то переходите к следующему учебному элементу. Если набрано менее 5 баллов, то нужно взять консультацию.

Учебный элемент № 5

Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы стр. 7, 8 (учебник).

Выполните самостоятельную работу.

Решите уравнения:

Вариант 1

cos 2 x - 5 sin x -3 = 0 (1б)

sin 2 x + cos 2 x = 0 (1б)

cos x - cos 2 x = 0 (2б)

sin 4 x - cos 2 x = 0 (2б)

5 - 5 cos ( = 2 cos ( (2б)

Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Проставьте баллы в оценочный лист. Если набрано 5 баллов или больше, то переходите к следующему учебному элементу, если меньше, то решайте задания другого варианта, аналогичны тем, в которых была допущена ошибка.

Учебный элемент № 6

Молодцы Вы освоили решение уравнений второго уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Самостоятельная работа.

sin 6 x + cos 6 х = 1- 2 sin 3 х (2б)

29 - 36 sin (х -2) - 36 cos (х - 2) = 0 (3б)

2 sin x cos x + - 2 cos х - sin х = 0 (2б)

sin 4 x = 2 cos х - 1 (2б)

sin х (sin х + cos х) = 1 (3б)

(3б)

Проверьте и оцените свои работы. Подсчитайте количество баллов.