Подбор задач по теме Среднее арифметическое

Составитель: учитель математики МОУ СОШ №26

г. Ярославля

Мизулина Т.Н.

2015-2016

Тема «Среднее арифметическое» 5-6 класс

Результаты:

1. Оперировать понятием среднее арифметическое двух и нескольких чисел.

2. Изображать среднее арифметическое на координатной прямой.

3. Решать задачи на нахождение среднего арифметического двух и нескольких чисел.

4. Находить сумму чисел по среднему арифметическому.

5. Читать и извлекать информацию, представленную в таблицах и диаграммах.

6. Решать задачи практической направленности и уметь интерпретировать полученный результат.

7. Познакомиться со свойствами среднего арифметического.

Подбор задач, соответствующих теме «Среднее арифметическое»

1. В таблице показан расход электроэнергии некоторой семьёй в течение года:

Месяц

Я

Ф

М

А

М

И

И

А

С

О

Н

Д

Расход электроэнергии, кВт-ч

85

80

74

61

54

34

32

32

62

78

81

83Найдите средний ежемесячный расход электроэнергии этой семьёй.

Решение:

(85+80+74+61+54+34+32+32+62+78+81+83):12=63

Ответ: среднемесячный расход электроэнергии составляет 63 КВт-ч.

2. На соревнованиях по фигурному катанию судьи поставили спортсмену следующие оценки:

5,2 5,4 5,5 5,4 5,1 5,4 5,5 5,3.

Для полученного ряда найдите среднее арифметическое. Что характеризует это показание?

Решение:

Заметим, что сумму этих чисел можно посчитать следующим способом

(5,1+5,2+5,3+5,4*3+5,5*2):8=5,32

Ответ: 5,32 - это средний балл за выступление спортсмена.

3. Все числа равны между собой. Чему равно их среднее арифметическое?

Решение:

1)Проверить на примере двух, нескольких чисел.

2)Доказать утверждение в общем виде.

Пусть неизвестные числа будут х, тогда их сумма запишется как х*n, где n-это количество чисел, по определению среднего арифметического получим (х *n):n=х

Ответ: среднее арифметическое совпадает с указанным числом в ряду.

4. Пусть а - некоторое число. Вычислите среднее арифметическое набора чисел:

а) х б) х

5. Придумайте четыре таких числа, что их среднее арифметическое равно:

а)второму по величине числу;

б)третьему по величине числу;

в)Полусумме второго и третьего по величине этих чисел.

Решение:

а) Учащиеся могут подобрать данный ряд чисел. Но можно предложить и решение в общем виде, например: обозначим числа a,b,c,d. По условию (a+b+c+d):4=b, тогда a+b+c+d=4b; a+c+d=3b, например пусть a=5, c=7,d=9, тогда b=21:3=7.

Ответ : задача имеет много решений.

б) Аналогично а)

в) Учащиеся также могут попробовать подобрать ряд чисел, удовлетворяющих условию, таких вариантов окажется несколько, поэтому можно рассуждать подобным образом как в упражнении а) придём к выводу, что b+c=a+d.

6. Придумайте 5 таких чисел, что их среднее арифметическое

а) больше четырёх из них;

б) меньше четырёх из них.

Решение:

а) 4*a >

теперь можно подобрать такие числа, например: 1, 2, 3, 4 и 79 и их среднее арифметическое 17,8;

б) аналогично 4*a <, например 19,15, 17, 20 и -1 их среднее арифметическое 14.

7. Отметьте числа, полученные в предыдущей задаче на координатной прямой. Укажите положение их среднего арифметического. Какую особенность вы заметили?

Указание:

в задаче речь идёт о центре равновесия, положение которого соответствует среднему арифметическому ряда чисел, а также на координатной прямой видна удалённость чисел от значения среднего арифметического.

Например: 1, 2, 3, 4, 79 и их среднее арифметическое 17, 8

8. Можете ли вы без вычислений указать среднее значение набора чисел. Проверьте свои предположения вычислениями:

а) 13, 14, 15, 16,17;

б)16, 17, 18, 19, 20;

в)21, 22, 23, 24, 25;

г)20, 25, 30, 35, 40;

д)22, 24, 26, 28, 30;

е)102, 104, 106, 108, 110.

Ответ: в каждом случае среднее арифметическое совпадает с третьим числом из ряда.

9. Отметьте числа и их среднее арифметическое на числовой прямой:

а) 1, 2, 3, 4;

б) 2, 3, 4, 5;

в) 10, 11, 12, 13.

Какую закономерность в поведении среднего значения можно заметить в каждом из случаев?

Ответ: в каждом случае среднее арифметическое совпадает с полусуммой двух средних чисел.

10. Вычислите средние арифметические наборов чисел:

а)2, 4, 7, 8, 9;

б) 20, 40, 70, 80, 90;

в) 200, 400, 700, 800, 900.

Какую закономерность можно наблюдать в поведении средних значений?

Ответ: в задаче используется свойство: среднее арифметическое ряда чисел ахравно произведению числа а на среднее арифметическое ряда х

10. Вычислите среднее арифметическое наборов чисел:

а) 10, 20, 35, 40, 45;

б) 13, 23, 38, 43, 48;

г) 7, 13, 28, 33, 38.

Какую закономерность можно наблюдать в поведении средних значений?

Ответ: в задаче используется свойство: среднее арифметическое ряда чисел а+хравно сумме числа а и среднего арифметического ряда х

10. При изучении качества продукции, выпущенной цехом, определяли число бракованных деталей в каждом из 50 произвольным образом выбранных ящиков с одинаковым числом деталей. Получили такую таблицу:

Число бракованных деталей

0

1

2

3

4

Число ящиков

8

22

13

5

2

Найдите среднее арифметическое полученного ряда данных. Объясните практический смысл этой статистической характеристики.

Решение:

(0*8+1*22+2*13+3*5+4*2):50=1,42

Ответ: по 1,42 бракованной детали было бы в каждом ящике, если бы распределяли детали равномерно, причём 1,42*50=71 - общее число бракованных деталей во всей партии.

10. В ряду данных, состоящем из 12 чисел, наибольшее число увеличили на 6. Изменится ли среднее арифметическое этого ряда?

Решение:

Пусть среднее арифметическое чисел первоначального ряда было х, тогда 12*х - это сумма всех чисел, получим (12*х+6):12=х+0,5

Ответ: среднее арифметическое увеличится на 0,5.

10. В ряду данных, состоящем из 15 чисел, наименьшее число уменьшили на 5. Изменится ли среднее арифметическое?

Решение:

(15*х-5):15=х-1/3

Ответ: среднее арифметическое уменьшится на 1/3.

10. После урока по теме «Статистика» на доске осталась таблица:

Число учащихся

4

7

Количество ошибок

5

2

3

и ответ: «Ср. арифм.=10».

а) Заполните пустое место в таблице

б) Может ли в ответе для среднего арифметического стоять 15?

Решение:

а)

арифметически: 10*10=100

100-20-14=66

66:3=22

с помощью уравнения: обозначим отсутствующее число х, тогда (4*5+7*2+х*3):10=10

х=22

б) Если среднее арифметическое будет 15, то

(4*5+7*2+х*3):10=15 или (15*10-20-14):3= 38

х= 38 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: А) пропущенное число 22,

Б) не может.

10. Проведя учёт бракованных деталей в контрольной партии ящиков, составили таблицу, в которой два числа оказались стёртыми:

Число бракованных деталей

Число ящиков

0

12

1

28

2

-

3

-

4

7

5

2

Восстановите их, зная, что ящиков с двумя бракованными деталями оказалось вдвое больше, чем ящиков с тремя бракованными деталями, а в среднем в каждом ящике было по 1, 85 бракованных деталей.

Решение:

Пусть ящиков с тремя бракованными деталями было х, тогда по условию задачи получим (0*12+1*28+2*2х+3*х+4*7+5*2):(3х+49)=1,85

х=17.

2*17=34

Ответ: 34 и 17.

10. У группы из 20 учащихся спросили, сколько примерно часов в день они тратят на приготовление домашних заданий. Ответы представлены на диаграмме, изображённой на рисунке. Сколько времени в день в среднем тратит ученик из этой группы на приготовление домашних заданий?

Ответ: 2,4

10. Предприниматель Семён открыл мужскую парикмахерскую «Куафер Симон». Семён предлагает следующий прейскурант цен:

А - « Под нуль» 40 р.

Б - «Полубокс 50 р.

В - Канадка 60 р.

Г - «Звезда рока» 180 р.

Д - « Мамин сын» 400р.

Будучи человеком рачительным, Семён ведёт строгий учёт дохода, для чего он завёл специальную книжку. Вот записи по месяцам за первые полгода:

Месяц

Количество стрижек

А

Б

В

Г

Д

1

30

50

55

25

5

2

45

45

43

20

6

3

42

52

58

28

12

4

32

68

45

17

1

5

28

39

70

34

4

6

49

62

68

30

7

1. Каково среднее количество стрижек в рабочий день? (В месяце 20 рабочих дней).

2. Какой средний доход от одной стрижки?

3. Чему равен среднемесячный доход Семёна?

4. Каков чистый среднемесячный заработок Семёна, если он платит налог в размере 13% от дохода и ежемесячную арендную плату 2000 рублей в месяц?

Решение:

1. (165+159+192+163+175+216):120 8,9

2. (226*40+316*50+339*60+154*180+35*400):107081,2

3. (226*40+316*50+339*60+154*180+35*400): 614483,33

4. (86900 - ((226*40+316*50+339*60+154*180+35*400)* 0,13+6*2000)) :6= 10600,5

Ответ: 1) 8,9;

2) 81,2 руб.;

3) 14483,33 руб.;

4) 10600,5 руб.