Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Интегрированный урок "Применение производной при решении физических задач" (11-й класс)

Учитель математики Куц Федор Иванович

Учитель физики Овчар Сергей Александрович.

Цели:

  • Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной.

  • Закрепить навыки нахождения производных.

  • Проверить уровень сформированности навыка нахождения производных, способствовать выработке навыков в применении производной к решению физических задач.

  • Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.

Оборудование: Мультимедийный экран, карточки с задачами по физике.

Ход урока

Организационный момент

Учитель математики: Здравствуйте. У нас сегодня необычный урок. Он будет объединять математику с физикой.

Тема нашего урока "Применение производной при решении физических задач"

Учитель физики - Перед тем, как перейти к решению задач, давайте повторим теоретические вопросы кинематики и динамики.

Актуализация знаний

(Фронтально, ответить на вопросы и записать формулы на доске):

  1. Что такое мгновенная скорость?

  2. Что такое ускорение?

  3. Записать уравнение зависимости координаты от времени для равномерного движения x(t) = x 0+Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)t

  4. Записать уравнение зависимости проекции вектора перемещения от времени для равномерного движения sx(t) = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) xt

  5. Записать уравнение зависимости координаты от времени для равнопеременного движения x(t) = x0+Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)0xt + axt2/2

  6. Записать уравнение зависимости проекции скорости от времени для равнопеременного движения Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) x (t)= Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) 0x + axt

  7. Записать формулы проекции перемещения для равнопеременного движения s x(t) = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) 0xt+axt2/2

  8. Записать формулу кинетической энергии E = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) .

  9. Записать формулу работы F = ma.

Учитель физики: Повторив вопросы, давайте решим задачу по теме «кинематика».

Учитель физики обращает внимание на экран, где спроектирована задача:

№1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -2 + 4t + 3t2. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 2с. (х - координата точки в метрах, t - время в секундах).

Решим задачу физическим способом: x(t) = x0 + Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) 0xt+axt2/2

1) x0 = - 2м;Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)0x= 4 м/с; ax= 3∙2 = 6(м/с)2.

2) Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) x(t)= v0x+ axt; Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) x(t) = 4+ 6t; Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) x(2) = 4+ 6∙2 = 16(м/с).

Ответ:Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)x=16м/с; ax= 6 м/с2.

Учитель математики: А теперь я хочу забрать инициативу и предложить ребятам вопрос, который мы изучали на уроках математики.

Пусть тело движется по закону S(t) = f(t). Рассмотрим пройденный телом путь за время от t0 до t0+ Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) t, где Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) t- приращение аргумента. В момент времени t0 телом пройден путь S(t0), в момент t0 + Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) t - путь S(t0+ Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) t). Поэтому за время Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) t тело прошло путь S(t0+ Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) t) - S(t0), т.е. мы получили приращение функции. Средняя скорость движения за этот промежуток времени Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) . Чем меньше промежуток времени t, тем точнее мы можем узнать с какой скоростью движется тело в момент t. Устремив t Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) 0, получим мгновенную скорость - числовое значение скорости в момент t этого движения:

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = Sʹ(t). Скорость - производная от пути по времени.

Еще раз вспомним определение ускорения: a(t) =Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) .

Применив выше изложенный материал, можно сделать вывод: при t Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) 0 a(t) = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) ʹ (t) Ускорение - есть производная от скорости по времени.

Итак, в чем состоит физический смысл производной? Ведь не даром у нас урок физики и математики (сформулировать: физический смысл производной заключается в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости есть ускорение.)

- Так с помощью чего можно найти мгновенную скорость?

Теперь вернемся к решенной на доске задаче. Мы ее решили, используя только знания физики, а т.к. мы вспомнили, в чем же заключается физический смысл производной, давайте решим эту же задачу, используя производную:

x(t) = - 2 + 4t + 3t2.

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) (t) = xʹ(t) = 4 + 6t.

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) (2) = 4 + 6∙2 = 16 (м/с).

a(t) = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) ʹ (t) = 6 м/с2.

Ответ: Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) =16м/с; a = 6 м/с2.

Вопрос: Какое решение вам больше нравится? Почему?

Вывод учащихся.

№ 2 .На доске в условии задачи № 1 заменить t2 на t3: x(t) = -2 + 4t + 3t3 и задать вопрос:

А смогли бы вы решить эту задачу физическим способом, используя тот теоретический материал, который мы повторили в начале урока? Почему нет?

x(t) = -2 + 4t + 3t3.

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) (t) = xʹ(t) = 4 + 9t2.

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)(2) = 4+ 6∙22 = 4 + 24 = 28(м/с).

a(t) = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) ʹ (t) =18t.

a(2) = 9 ∙2 = 18( м/с2).

Ответ. Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) (2) = 28м/с; a(2) = 18м/с2.

Учитель физики: Рассмотрим различные виды физических величин, которые удобнее находить через производную. ( Таблица проецируется на экран)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

t - время

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

S- перемешение

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

№ 3. Два тела совершают прямолинейное движение по законам:

S1 (t) = 3tИнтегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)- 2t+10, S2 (t) = tИнтегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)+ 5t + 1, где t - время в секундах, а S1 (t), S2 (t) - пути в метрах, пройденные, соответственно, первым и вторым телами. Через сколько секунд, считая от t=0, скорость движения первого тела будет в два раза больше скорости движения второго тела?

На доске задачу 3 решает средний ученик,

Решение. Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) 1 (t) = S1ʹ(t) = 6t - 2; Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) 2 (t) = S2ʹ(t) = 2t + 5.

Составим уравнение, отвечающее вопросу задачи: Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) 1 (t) = 2Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)2 (t), т. е. 6t - 2 = 2(2t + 5).

6t - 2 = 4t + 10; 2t = 12; t = 6(с).

Ответ. t = 6(с).

№ 4.Маховик вращается вокруг оси по закону Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) (t) = t4- 5t. Найдите его угловую скорость Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) в момент времени 2с ( Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) - угол вращения в радианах, Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) - угловая скорость в рад/с).

Решение.Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)) = (t4- 5t)ʹ = 4t3- 5.

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)) = 4∙23- 5= 32 - 5 = 27 (рад/с).

Ответ.Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)) = 27 (рад/с).

№ 5.Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t) = 2- 3t + 2t2. Найдите скорость тела и его кинетическую энергию через 3с после начала движения. Какая сила действует на тело в этот момент времени? (t измеряется в секундах, х - в метрах).

Решение.

Учитель математики: Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) (t) = xʹ(t)

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) (t) = (2- 3t + 2t2) ʹ= - 3 + 4t.

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) (3)= - 3 + 4∙3 = 9(м/с).

Учитель физики: E = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

E = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = 81Дж.

F = ma.

Учитель математики: a(t) = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) ʹ (t).

a(t) = (- 3 + 4t)ʹ = 4 (м/с2).

Учитель физики F = 2кг ∙ 4 м/с2 = 8 Н.

Ответ. E = 81Дж, F = 8 Н.

№ 6. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) , задается формулой q = 3t2 + t + 2. Найдите силу тока в момент времени t = 3c.

Решение. I(t) = qʹ(t) ; I(t) =(3t2 + t + 2)ʹ = 6t +1; I(3) = 6∙3 +1 =19(A)

Ответ: 19А.

№7. В тонком неоднородном стержне длиной 25см его масса (в г) распределена по закону m = 2l2 + 3l , где l - длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти линейную плотность в точке:

  1. отстоящей от начала стержня на 3см;

  2. в конце стержня.

Решение.Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = mʹ( l); Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = (2l2 + 3l)ʹ = 4l +3; Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = 4∙3+3= 15(г/см).

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)= 4∙25+3= 103(г/см)

Ответ: 15г/см; 103г/см.

№ 8.Электрическая цепь состоит из источника тока и реостата. ЭДС источника Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = 6 В, его внутреннее сопротивление r = 2 Ом. Сопротивление реостата можно изменять в пределах от 1 Ом до 5 Ом. Чему равна максимальная мощность тока, выделяемая на реостате?

Решение.

Учитель физики:

Максимальная мощность достигается в том случае, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника тока, т.е. при R= r. В нашем случае с данным реостатом это возможно.

Закон Ома для полной цепи: I = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) .

Мощность тока, выделяемая на реостате: P = IU= I2R = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) .

При R= r имеем: P = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) .= Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) . = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

P=Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = 4,5 (Вт).

Учитель математики:

Исследуем выражение для мощности на экстремум по сопротивлению:

Pʹ(R) =Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)= Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) =Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) .

Решив уравнение Pʹ(R) = 0,т.е. Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = 0, имеем R= r = 2.

При 1 ≤ R ≤ 2, Pʹ(R) Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) 0, при 2 ≤ R ≤ 2, Pʹ(R)Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) 0,следовательно, при R = 2 Ом мощность P достигает наибольшего значения. P (2) = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = 4,5 (Вт).

Ответ. 4,5 (Вт).

№ 9. Частица совершает гармонические колебания по закону x(t) = 24 cos Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) t см. Определите проекцию скорости частицы и ее ускорения на ось Ох в момент времени t = 4с.

Решение.Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) (t) = xʹ(t) = (24 cos Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) t)ʹ = -24∙ Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) sin Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) t = -2Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)sin Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) t;

Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)(4) = -2Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) sin (Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)∙ 4) = -2Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = - Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) .

a(t) = Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) ʹ (t) =(-2Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) sin Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) t)ʹ = -2Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) cos Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) t = - Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) cos Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) t;

a(4) = - Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) cos ( Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) ∙ 4) = - Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) = - Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Ответ. Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) (4) = - Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) , a(4) = - Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)

Учитель математики:

Теперь переходим к решению небольшой самостоятельной работы. В ней вы должны показать свое умение решать задачи, которые мы сегодня рассмотрели.

Самостоятельная работа в двух вариантах

Задания 1 варианта:

1.Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2t3 + t - 3. В какой момент времени ускорение будет равно 24 м/с2. (х - координата точки в метрах, t- время в секундах)

2.Колебательное движение точки описывается уравнением x = 0,05 cos 20Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)t .Найти проекцию скорости и проекцию ускорения спустя Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) с.

Задания 2 варианта

Материальная точка движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна x(t) = t4- 2t. Найдите ускорение точки в момент времени t =3 с.

Колебание маятника совершается по закону x = 0,2sin10Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс)t . Определите проекцию скорости маятника и ускорение через Интегрированный урок Применение производной при решении физических задач (11-й класс) с.

Итог урока

- Мы сегодня повторили применений производной в кинематике, но возможности применения производной намного шире, в чем мы сегодня и убедились: ее можно применять при изучении многих вопросов по динамике, так же при изучении электромагнитных явлений, в оптических явлениях, при решении задач по ядерной физике. Те вопросы, которые мы сегодня рассмотрели, помогут вам при решении задач по математике и физике на экзаменах

Учитель математики: А я хочу закончить наш урок высказыванием русского ученого Михаила Васильевича Ломоносова, в котором как нам кажется, мы сегодня убедились

«Слеп физик без математики»


© 2010-2022