Разработка занятия по подготовке учащихся к ЕНТ на тему Прогрессии (11 класс)

КГУ «Маяковская средняя школа отдела образования акимата Алтынсаринского района»

Занятие

на учебно-тренировочных сборах по подготовке учащихся 11-х классов к ЕНТ

Тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Подготовила и провела:

учитель математики

Кутенко Татьяна

Владимировна

Январь 2016 год

с.Первомайское

Тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Класс: 11

Цель:

1.Обобщить и систематизировать знания по арифметической и геометрической прогрессии.

2. Способствовать развитию навыков применения основных формул в ходе решения задач ЕНТ.

3. Воспитать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Задачи:

1. Повторить понятия арифметической и геометрической прогрессии.

2. Используя формулы вычисления n-го члена и суммы первых n-членов арифметической и геометрической прогрессии применить их для решения конкретных задач.

3. Сформировать глубину и оперативность мышления.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

А) Приветствие, знакомство с участниками занятия (ребята называют свое имя и говорят одно прилагательное, которое начинается на первую букву имени. Начинает учитель: Татьяна-трудолюбивая).

Б) Психологический настрой:

«Человек страшится только того, чего не знает. Знанием побеждается страх»(слайд №2)

Учитель: на уроках алгебры в 9 классе вы решали задачи по теме «Последовательности». На уроках вы знакомились с возрастающими, убывающими, ограниченными, неограниченными последовательностями, но особое внимание уделяли двум последовательностям, каким?

Ученик: Арифметическая и геометрическая последовательности.

Учитель: этим последовательностям дали имена и сказали о них: «Прогрессии». Что означает слово «Прогрессия»? (слайд №3)

Ученик: Движение вперед.

Учитель:Эпиграф к уроку: (слайд №4)

Закончился XX-ый век.

Куда стремится человек?

Изучен космос и моря,

Строенье звезд и вся Земля.

Но нас зовет известный лозунг:

«Прогрессио - движение вперед».

Учитель: Сегодня мы будем двигаться вперед и убедимся, что раздел математики «Прогрессии» является неотъемлемой частью окружающего нас Мира и часто встречается в заданиях по подготовке к ЕНТ.

2. Актуализация знаний учащихся.

А) Ответим устно на вопросы:

1. Какую прогрессию называют арифметической?

2. Какую прогрессию называют геометрической?

3. Как найти разность арифметической прогрессии?

4. Как найти знаменатель геометрической прогрессии?

5. Назовите формулу n -го члена арифметической прогрессии. Что в формуле обозначает n?

6. Назовите формулу n -го члена геометрической прогрессии.

Б) Давайте вспомним формулы. Посмотрите на слайд и соотнесите формулы в нужные столбцы. (слайд №5 )

В) (слайд №7) перед Вами несколько числовых последовательностей. Выберите те, которые являются арифметической прогрессией и найдите ее разность; геометрической прогрессией и найдите ее знаменатель. Для этого заполните небольшую таблицу на листочках. (Дается время 2мин.).

Сверяем свои ответы и оцениваем себя. (Слайд №6,7).

Г) Решение задач. Работа в парах.(слайды № 8,9)

3. Обобщение и систематизация знаний.

Роль прогрессий в повседневной жизни

Установочный этап.

Учитель: Прогрессии мы с вами изучали

И много новых формул вы узнали.

Различные задачи порешали,

И вот теперь настал для вас

Главнейший и важнейший час:

Где мы применим прогрессии сейчас?(Слайд №10).

1. Основная часть.

   1. Работа в парах.

Учитель: я вам расскажу легенду об изобретении шахматной доски (слайд 11)

Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного мудреца Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Мудрец Сета, попросил за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую- 2 зерна, за третью-4 зерна и т.д. Обрадованный царь приказал выдать такую «скромную» награду. Однако оказалось, что царь не в состоянии выполнить желание мудреца Сеты, так как нужно было выдать

такое количество зерен пшеницы, которое можно собрать лишь с

площади в 2000 раз большей поверхности Земли.

Сегодня мы с вами проведем небольшое исследование и решим эту задачу. Работаем в группах. Решение оформляем на листах А4. (приложение 2)

Дано: {bn} 1; 2; 4; 8;….

Найти: S64

Решение:

b1=1

b2=2

q= b2/ b1

q=2/1=2

S64=1(264-1)/2-1=264-1=18446744073709551615

Восемнадцать квинтильонов

четыреста сорок шесть квадрильонов

семьсот сорок четыре триллиона

семьдесят три биллиона

семьсот девять миллионов

пятьсот пятьдесят одна тысяча

шестьсот пятнадцать

2) Работа в группах:

Задача: Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а

заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь -

четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше, чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько?

Решение: За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить ¼+½+1+2+2²+2³+….+2²¹ копеек. Сумма эта равна копеек, т.е. около 42 тысяч рублей.

Купец проторговался. Продавцу же такая торговля принесла

богатство. При таких условиях не обидно будет даром дать и

лошадь в придачу к гвоздям.

Учитель:Вы убедились, что раздел математики «Прогрессии» являются неотъемлемой частью окружающего нас мира?

Учитель:Сейчас вам необходимо показать свои знания по этой теме и порешать задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию:

4. Решение задач по подготовке к ЕНТ с последующей проверкой

Учитель:Решение задач пройдет под девизом

«Гений состоит из 1 процента вдохновения и99 процентов потения»Т. Эдисон(слайд №14)

1. В арифметической прогрессии , а произведение . Найти прогрессию.

Решение:

В данной прогрессии 10 членов, значит .

; .

Систему можно решить, используя теорему, обратную теореме Виета.

Получаем: и .

Условию задачи удовлетворяет две прогрессии:

а) 5,7,9,11,13,15,17,19,21,23.

б) 23,21,19,17,15,13,11,9,7,5.

2. Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 16, а произведение первого и пятого ее членов равно 28. Найти и d.

Решение этой задачи окажется более простым, если воспользоваться свойством суммы членов, равноотстоящих от концов, для прогрессии, составленной из пяти членов:

; тогда .

Систему можно решить устно:

.

Зная и , находим d: , d = 3 и d = -3.

Ответ: 2; 14; 3; -3;

3. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна15. Если к ним прибавить соответственно числа 1, 4, 19, то получатся три числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найти эти числа.

Решение:

По условию , так как , то 2, , . Тогда , .

По условию , , .

Используя характеристическое свойство геометрической прогрессии, имеем: :

81 = (6 - d) (24 + d), d+ 18d - 63 = 0, d= 3, d= -21.

Тогда или .

Ответ: 2; 5; 8; и 26; 5; -16.

5. Подведение итогов занятия. Рефлексия.

Итак, ребята, наше занятие подошло к концу. Что мы сегодня с вами повторили? Что нового узнали? Завершить наше занятие хочу такими словами: (слайд № 16)

Урок сегодня завершен,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

6.Резервные задания:

Пример 1.

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Решение.

Кладку бревен рассмотрим в виде арифметической прогрессии, где а₁= 1, а₂= 2, а_n= 12

d = 2 - 1 = 1

a_n = a₁+ d · (n - 1)

12 = 1 + n - 1

n = 12

Ответ: 78 бревен.

Пример 2.

Найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если: а₁ = -5, d = 0,5

Решение

Ответ: -27

Пример 3.

Найти прогрессию, зная, что сумма первого и пятого членов ее равна 12, а

произведение второго члена на четвертый равно 32.

Решение.

По первому условию а 1 +а 5 =12. Следовательно, а 1 +а 1 +4d=12. По второму

условию а 2 а 4 =32 или (а 1 +d)(а 1 +3d)=32

. Решим систему: { ; { ; { ; {

Отсюда 1) d=2 2) d=-2

a 1 =6-4=2 a 1 =6+4=10

Искомая прогрессия имеет вид:

2,4,6,8,... или 10,8,6,4,...

Обе полученные прогрессии удовлетворяют условия задачи.

Пример 4.

Третий член арифметической прогрессии равен 4, а шестой равен -5. Сколько

нужно взять членов, чтобы их сумма была равна -4?

Решение.

По условию имеем а 3 =4; а 6 =-5; S n =-4; n=?

Имеем {

Решая эту систему, получаем: a 1 =10, d=-3.

Подставив теперь известные S n , a 1 и d в формулу суммы S n арифметической

прогрессии, будем иметь:

-8=(20-3n+3)n,

3n 2 -23n-8=0,

n 1 =8, n 2 =-1/3.

n 2 -не удовлетворяет условию задачи, так как .

Ответ: n=8.