Методические рекомендации по математике Графы

ГРАФЫ

Представленный ниже теоретический материал не претендует на полноту, это лишь вариант, который возможен не для теоретического изучения теории графов, а для применения их в решении задач. Для глубокого изучения смотрите рекомендованную литературу.

Определение. Под графом мы будем понимать картинку, адекватно описывающую задачу. При этом элементы множеств, как правило, показываются точками. Желательно, чтобы при решении точки не лежали на одной или паре прямых. Точки при этом называются вершинами графа, а линии, соединяющие эти точки, - ребрами. Отметим, что точки могут соединяться произвольными (не обязательно прямыми) линиями.

Поясним понятие графа на примере нескольких задач.

Пример 1. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля - Меркурий, Плутон - Венера, Земля - Плутон, Плутон - Меркурий, Меркурий - Венера, Уран - Нептун, Нептун - Сатурн, Сатурн - Юпитер, Юпитер - Марс и Марс - Уран. Можно ли добраться (возможны пересадки) с Земли до Марса?

Решение. Нарисуем схему: планетам будут соответствовать точки, а соединяющим их маршрутам - непересекающиеся между собой линии.

Сделав набросок рисунка маршрутов, мы нарисовали граф, соответствующий условию задачи. Видно, что все планеты Солнечной системы разделились на две не связанных между собой группы. Земля принадлежит одной группе, а Марс - второй. Долететь с Земли до Марса нельзя.

Пример 2. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией тогда и только тогда, когда двузначное число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли из города 1 добраться в город 9?

Решение. Покажем возможные маршруты, нарисовав граф

И в этой задаче 1 и 9 попали в две разных части графа. Ясно, что в правой части графа сгруппировались города-цифры нацело делящиеся на 3, а в левой части графа ребра соединяют две цифры: одну - делящуюся на 3 с остатком 1, а другую - делящуюся на 3 с остатком 2.

Примечание. Отметим, что один и тот же граф можно нарисовать по-разному. Если учащиеся одного класса нарисуют графы к одной задаче, то мы можем получить столько графов, сколько учащихся их рисовали. Нарисованные по-разному графы (если они нарисованы без ошибок) принято называть изоморфными. Любой читатель может нарисовать бесконечное множество изоморфных графов.

Правило. Для подсчета числа ребер графа необходимо просуммировать степени вершин и полученный результат разделить на два.

Следствие. Сумма степеней всех вершин графа должна быть четной (иначе ее нельзя было бы разделить на 2 нацело).

Определение. Вершина графа, имеющая нечетную степень называется нечетной, а имеющая четную степень - четной.

Теорема. Число нечетных вершин любого графа - четно.

Для доказательства этой теоремы остается заметить, что сумма нескольких целых чисел четна тогда и только тогда, когда количество нечетных слагаемых четно.

Примечание. Теорема о четности числа нечетных вершин - одно из центральных мест теории графов.

Далее нумерация задач продолжена.

36 Можно ли, сделав несколько ходов конями из положения на рисунке 3, расположить их так, как показано на рисунке 4?

Рис. 3 Рис. 4

37 Можно ли на клетчатой бумаге закрасить 15 клеток так, чтобы у каждой из них было а) четное; б) нечетное число закрашенных соседей? (Клетки называются соседями, если они имеют общую сторону.)

38 В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было 4 телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, 8 телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и 3 телефона, каждый из которых соединен с пятью другими?

39 У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что число марсиан, у которых нечетное число рук, четно.

40 У царя Гвидона было 5 детей. Из всех его потомков (детей, внуков, правнуков и т.д.) 57 имели ровно трех сыновей, а остальные умерли бездетными. Сколько потомков было у царя Гвидона?

41 Футбольный мяч сшит из 32 лоскутов: белых шестиугольников и черных пятиугольников. Каждый черный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый - с тремя черными и тремя белыми. Сколько лоскутов белого цвета?

42 В государстве система авиалиний устроена таким образом, что любой город соединен авиалиниями не более чем с тремя другими и из любого

города в любой другой можно проехать, сделав не более одной пересадки. Какое максимальное число городов может быть в этом государстве?

43 На рисунке 5 - план подвала из 10 комнат. Можно ли пройти через все двери всех комнат, запирая каждый раз ту дверь, через которую Вы проходите? С какой комнаты надо начинать движение?

44 Турист обошел 6 улиц одного города, Рис.5

пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую по одному разу. Могло ли так быть, если а) улицы могут оканчиваться тупиком; б) конец каждой улицы - перекресток?

45 а) («игровой вид») В стране Древляндия городов и некоторые из них соединены дорогами. При этом любые два города соединяет ровно один путь. Сколько в этой стране дорог? б) точек соединены отрезками так, что любые две точки связывает ровно одна цепочка отрезков. Докажите, что общее число отрезков равно .

46 В стране Озерная 7 озер, соединенных между собой 10 каналами, причем от любого озера можно доплыть до любого другого. Сколько в этой стране островов?

47 Можно ли построить три дома, вырыть три колодца и соединить тропинками каждый дом с каждым колодцем так, чтобы тропинки не пересекались?

Граф из задачи 47 называют иногда графом типа «домики - колодцы».

Имеет место теорема (Понтрягина-Куратовского).

Граф является плоским тогда и только тогда, когда он не содержит (в топологическом смысле) графа с шестью вершинами типа «домики - колодцы» и полного графа с пятью вершинами.

Определение. Граф содержит в топологическом смысле, если из графа можно получить последовательностью таких операций: удаление ребра, удаление изолированной вершины и стягивание ребра (при этой операции две вершины и , соединенные ребром, сливаются в одну, а ребра, шедшие к и , заменяются на ребра, идущие к этой вершине).

48 Каждый из районов города имеет на центральной станции 4 телефонных аппарата. Каждый аппарат соединяет линии двух районов. Каждая пара районов имеет только один соединяющий их аппарат. Сколько в городе районов и сколько телефонных аппаратов?

49 В турнире 18 команд сыграли между собой 8 туров. Каждая команда сыграла с 8 разными командами. Докажите, что найдутся три команды, не сыгравшие между собой пока ни одного матча.

50 В гостиницу приехал путешественник. Денег он не имел, а обладал лишь серебряной цепочкой, состоящей из семи звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивался одним звеном цепочки, при этом хозяин предупредил, что согласен взять не более одного распиленного звена.

Как путешественнику распилить цепочку, чтобы прожить в гостинице неделю и ежедневно расплачиваться с хозяином?

51 И сказал Кощей Ивану-Царевичу: «Жить тебе до завтра. Утром явишься пред мои очи, задумаю я три цифры - Назовешь ты мне три числа - Выслушаю я тебя и скажу, чему равно Не отгадаешь цифры - голову с плеч долой». Запечалился Иван-Царевич, пошел думу думать. Как ему помочь?

52 Как погрузить 21 бочку, из которых 7 полны кваса, 7 пусты, а 7 наполнены ровно наполовину, на три автомобиля так, чтобы на всех грузовиках было поровну бочек и кваса?

53 Из карьера нужно вывести 870 т глыб, причем каждая весит не более 8 т. Докажите, что для перевозки достаточно 17 платформ грузоподъемностью 58 т каждая.

54 В стране 100 городов. Из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним способом. Сколько в стране дорог? (Каждая дорога соединяет два города и не имеет разветвлений.)

Ответы и решения

36 Решение. Занумеруем клетки доски числами 1 - 9 так, как показано на рисунке 24. Каждой клетке сопоставим точку на плоскости, и если из одной клетки можно попасть в другую ходом коня, то соединим соответствующие точки линией (см. рисунок 25). Исходная и требуемая расстановки коней изображены на рисунок 26. Порядок следования коней на окружности, очевидно, не может измениться. Поэтому переставить коней требуемым образом невозможно.

Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8

37 а) можно (см. рисунок 27). б) Нельзя. Пусть - число соседей каждой из 15 закрашенных клеток. Тогда они имеют всего общих сторон - не целое число.

38 Ответ: нельзя.

39 Следует из теоремы 1.

40 Число потомков равно количеству Рис. 9

ребер графе - родословном дереве царя Гвидона.

41 Пусть на мяче белых лоскутов, - черных. Тогда границ белых с черными - , отсюда

42 Ответ: 10 городов. Из любого города можно добраться не более, чем до трех городов, а из каждого из них не более, чем до двух (не считая ). Итак, всего городов не более Пример на рисунке (граф Петерсона) показывает

Рис.10

существование нужной системы авиалиний.

43 Можно, так как есть лишь две комнаты с нечетны числом дверей - 8 и 10, с одной из которых и надо начинать.

44 Решение. а) Да. Например, все улицы прямые и выходят из одной точки. б) Да. Например, 3 улицы образуют правильный треугольник, и еще 3 улицы соединяют центр треугольника с его вершинами (теорема Эйлера).

45 Решение этой задачи - доказательство часто используемой теоремы.

Теорема. В дереве число вершин на одну больше числа ребер.

Верное и обратное утверждение.

Решение. Из условия граф Древляндии - дерево. У него есть висячая вершина. Удалим ее и выходящее из нее ребро. Оставшийся граф также дерево. У него есть висячая вершина, которую также удалим и т. Д. Проделав эту операцию раз, получим граф, состоящий из одной вершины. Так как удалялось по одному ребру, вначале их было .

46 Ответ: 4.

47 Нельзя. Если бы такой граф был плоским, то так как каждый кусок должен быть ограничен по меньшей мере 4 ребрами, получим аналогично решению 6.89, (т. е. каждый кусок (грань) ограничивается не менее, чем тремя ребрами) В задаче , поэтому А из формулы Эйлера имеем

48 Ответ: 5 районов, 10 аппаратов.

49 Для любой команды найдутся 9 команд, с которыми она еще не играла, а среди этих девяти - две, не игравшие между собой.

50 Если распилить третье звено, то цепочка распадется на три части; 1, 2 и 4 звена. С их помощью удается расплатиться, так как хозяин может давать сдачу звеньями, полученные им ранее.

51 Нужно назвать числа

52 На рисунке приведены два решения.

Рис.11

53 Будем грузить глыбы, не выбирая, на платформу №1 до тех пор, пока их общая масса не превысит 58 т. Последнюю глыбу снимем с платформы и положим рядом. Аналогично будем грузить глыбы на платформы №№2-14. Общая масса глыб, положенных на эти 14 платформ и рядом с ними, более тонн. Оставшиеся глыбы весят меньше т, и их можно целиком погрузить на платформу №15. На последние две платформы можно погрузить оставшиеся 14 глыб следующим образом: положим на каждую по 7 штук, тогда их масса на каждой платформе не превысит т.

54 Удаление любой дороги приводит к тому, что сеть городов распадается на две части, не связанные между собой (это следует из условия единственности пути). Удаление еще одной дороги разделяет одну из таких частей еще на две, всего получится три части. Удалив 99 дорог, получим 100 частей, т.е. 200 городов, не связанных друг с другом. Следовательно, число дорог равно 99.