Показательные уравнения. Конспект урока

Тема: Показательные уравнения.

Цели:

образовательная - дать определение показательным уравнениям; научить решать простейшие показательные уравнения, решать уравнения самостоятельно выбирая способ решения; различными методами с использованием свойств показательной функции;

развивающая - содействовать развитию логического мышления у учащихся, развивать умения анализировать, рассуждать, сравнивать, делать выводы, осмысливать материал;

воспитательная - воспитание познавательного интереса, элементов культуры общения, побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и навыков.

Ход урока.

1.Организационный момент.

2. Актуализация знаний. Работа с опорным конспектом. (ПРИЛОЖЕНИЕ)(Повторение определения и свойства показательной функции. Свойства степеней) 1.Актуализация знаний. УСТНО. а)Возведите в степень: 2²; 3³; 7⁰; 6^-2; ()²; ( )^-1.

б)Представьте в виде степени: 9; 0, 01; 81; 144. в) Вынесите общий множитель за скобки:

х³ -х; 4х-х²; х-. г) Примени свойства степеней: а)3^х*3²; ; (8²)^х; (4*3)^х; ( )^х. .

Записаны уравнения: Какие из данных уравнений вам знакомы, а какие нет? а) З2(x - 1) = 4x;

б) х² = 25; в) 5х² - 3х - 2 = 0; г) х⁴ =16; д) 2х⁵ = 64; е) 3^{x + 2} = 27; ж) 9^x - 4 ·3^x - 45 = 0; з) 3^{x + 1} - 2 · 3^{x - 2} = 25; и) 3^x = 5^x ; к) (1/3)^x = х + 1

- Какие из данных уравнений вам знакомы, а какие нет?
- Да, действительно, уравнения(е -к) относятся к одной группе - группе показательных уравнений, с которыми мы сегодня и должны познакомиться.

- Запишем в тетрадях тему урока «Показательные уравнения». Материал очень объёмный. Я познакомлю вас с разными видами показательных уравнений и алгоритмами их решений на более простых примерах.

Определение. показательное уравнение- это уравнение, содержащее переменную в показателе степени. Простейшие показательные уравнения вида а^х = в, где > 0, а 1.

1) при в > 0 уравнение имеет единственный корень, т.к. прямая у = в, при в> 0 имеет с графиком функции у = а^х одну единственную точку.

2) при в < 0 уравнение корней не имеет т. к. при в < 0 прямая у = в не пересекает график показательной функции.

Методы решения показательных уравнений.

1.Метод приведения степеней к одинаковому основанию. для решения уравнение редставляем в виде а^х = а^с.

2.Вынесение общего множителя за скобки.

3.Метод введения новой переменной. Уравнения, приводимые к квадратным.

4Метод почленного деления.

5.Графический метод.

Изучение темы:

1.Уравнения, приводимые к одному и тому же основанию.

Пример: =16, Представим правую часть уравнения в виде степени числа 2, получим:

, отсюда х=4.Запись: , , х=4.

(САМ. 2^х =512. 3^{x + 2} = 27)

1 вариант 2 вариант

а) 3^х-4=1; б)2^7-3х =0,5^х-4; в) * =4^-125. а) 0,8^2х-3 =1; б))^2х+3 =4,5^х-2; в) 10^2х =0,1 *

2. Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки. 4^х+1 +4^х =320.
3^{x + 1} - 2 · 3^{x - 2} = 25
3^x · 3 - 2 · 3^x · 3^-2 = 25
3^x ( 3 - 2/9 ) = 25
3^x · 25/9 = 25
3^x = 9
х = 2 ( САМ 4^х+1 +4^х =320.) :

3.Метод введения новой переменной, Уравнения, приводимые к квадратным уравнениям.
9^x - 4 · 3^x - 45 = 0
т.к. 9^x = (3²)^x = 3^2x = (3^x)², выполним замену 3^x = t, где t > 0
t² - 4t - 45 = 0
t₁; = 9 , t₂ = -5 (не удовл. пост. условию)
3^x = 9
х = 2 (САМ 25^х+3*5^х-4=0) приведением их к квадратным

Пример:

4) Уравнения, решаемые с помощью деления обеих частей на одно и то же выражение. 3^x = 5^x | : 5^x, т.к. 5^x != 0
3^x / 5^x = 1
( 3/5 )^x = 1
( 3/5 )^x = ( 3/5 )⁰
х = 0 ( САМ 2^0,5х =3^0,5х)

5) Уравнения, решаемые графически. ( 1/3 )^x = х+1

- Рассмотрим функции у = ( 1/3 )^x и у = х + 1. Первая убывающая, а вторая возрастающая. Значит, графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке. Поэтому данное уравнение имеет не более одного корня, который можно подобрать подбором.
х = 0

№ 1. Решите уравнение: 4^х =5-х.

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций: у=4^х и у=5-х.

№2. 3^-х =-

Необходимо найти вероятную ошибку и дать верное решение.

1)6^х+1+35 6^х-1=71 2)4^х-5*2^х+4 =0; 3) 7^х-2 =;

6^х 6+35 6^х 6^-1=71 2^2х-5 2^х+4=0 7^х-2=

6^х (6+35-6)=71 2^х (2²-5)+4=0 7^х-2=7^2/3

6^х 35=71 2^х (-1)=-4 х-2=2/3

6^х=36 2^х=-4/(-1) х=8/3 Ответ: х=8/3

6^х=6² 2^х=4, 2^х=2². х=2. Ответ: х=2

х=2 Ответ: х=2

Верное решение.

6^х+1+35 6^х-1=71 4^х-5 2^х+4=0 3) 7^х-2 =

6^х 6+35 6^х 6^-1=71 2^2х-5 2^х+4=0 7^х-2=

6^х (6+35 (1/6))=71 2^х =а

6^х 71/6=71 а²-5а+4=0,Д=25-16=9,а_1,2=4;1. х-2=2/3, х=8/3

6^х=71/ (71/6) 2^х=4 2^х=1

6^х=6¹ 2^х=2² 2^х=2⁰

х=1 Ответ: х=1 х=2 х=0 Ответ: х_1,2=2;0

^{Итог урока.}

^{Рефлексия.}

^{Математический диктант}

^{1.Является ли убывающей функция (нет)}

^{2.Является ли возрастающей функция (нет)}

^{3.Является ли показательным уравнение} 5 9^х+9^х-2=406 (да)

^{4 Верно ли, что областью определения показательной функции является R(да)}

5.Верно ли, что если b>0, то уравнение имеет один корень. (да)

6.Верно ли, что если b=0, то уравнение не имеет корней (да)

7.Является ли показательным уравнение

8.Верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатой(0;1)

9.Верно ли, что если b<0, уравнение, имеет корни (да)

10. Верно ли, что процесс радиоактивного распада можно выразить показательной функцией.

11.Верно ли, что явлением которое можно выразить показательной функцией , служит размножение живых организмов.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

Тема: Показательные уравнения.

1.Актуализация знаний. УСТНО. а)Возведите в степень: 2²; 3³; 7⁰; 6^-2; ()²; ( )^-1.

б)Представьте в виде степени: 9; 0, 01; 81; 144. в) Вынесите общий множитель за скобки:

х³ -х; 4х-х²; х-. г) Примени свойства степеней: а)3^х*3²; ; (8²)^х; (4*3)^х; ( )^х. .

Записаны уравнения: Какие из данных уравнений вам знакомы, а какие нет? а) З2(x - 1) = 4x; б) х² = 25;

в) 5х² - 3х - 2 = 0; г) х⁴ =16; д) 2х⁵ = 64; е) 3^{x + 2} = 27; ж) 9^x - 4 ·3^x - 45 = 0; з) 3^{x + 1} - 2 · 3^{x - 2} = 25;

и) 3^x = 5^x ; к) (1/3)^x = х + 1

Определение. Показательное уравнение- это уравнение, содержащее переменную в показателе степени. Простейшие показательные уравнения вида а^х = в, где > 0, а 1.

1) при в > 0 уравнение имеет единственный корень, т.к. прямая у = в, при в> 0 имеет с графиком функции у = а^х одну единственную точку.

2) при в < 0 уравнение корней не имеет т. к. при в < 0 прямая у = в не пересекает график показательной функции.

Методы решения показательных уравнений.

1.Метод приведения степеней к одинаковому основанию. Для решения уравнение представляем в виде

а^х = а^с.

2.Вынесение общего множителя за скобки.

3.Метод введения новой переменной.

4Метод почленного деления.

5.Графический метод.

Выполни самостоятельно.

1.Метод приведения степеней к одинаковому основанию

1 вариант 2 вариант

а) 3^х-4=1; б)2^7-3х =0,5^х-4; в) * =4^-125. а) 0,8^2х-3 =1; б))^2х+3 =4,5^х-2; в) 10^2х =0,1 *

2.Вынесение общего множителя за скобки.

1 вариант 2 вариант

а) 2^х+1 +2^х-1 +2^х =28; а)5^2х+1-3*5^2х-1 =550;

3.Метод введения новой переменной

1 вариант 2 вариант

а)9^х-6*3^х-27=0; а)4^х-14*2^х -32=0;

4.Метод почленного деления

1 вариант 2 вариант

3^2х-5 =2^х-25 14^х-2 =13^2-х

5.Графический метод ( 1/3 )^x = х+1

Написаны решения трех уравнений. Возможно, они ошибочны. Необходимо найти вероятную ошибку и дать верное решение.

1)6^х+1+35 6^х-1=71 2)4^х-5*2^х+4 =0; 3) 7^х-2 =;

6^х 6+35 6^х 6^-1=71 2^2х-5 2^х+4=0 7^х-2=

6^х (6+35-6)=71 2^х (2²-5)+4=0 7^х-2=7^2/3

6^х 35=71 2^х (-1)=-4 х-2=2/3

6^х=36 2^х=-4/(-1) х=8/3 Ответ: х=8/3

6^х=6² 2^х=4, 2^х=2². х=2. Ответ: х=2

х=2 Ответ: х=2