Методическое пособие для выполнения домашней контрольной работы

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Суражский промышленно-аграрный техникум»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

«МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

Специальность «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений»

Преподаватель: И.Г. Агеенко

Рассмотрено на заседании

методической комиссии

общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___________

от «___»______________ 20___г.

___________________________

ВВЕДЕНИЕ

Учебная дисциплина «Математика» предназначена для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников среднего профессионального образования.

В результате изучения дисциплины студент должен:

иметь представление:

• о роли математики в современном мире, общности её понятий и представлений;

знать и уметь:

• использовать математические методы при решении прикладных задач.

Данное методическое пособие содержит примерный тематический план учебной дисциплины, общие рекомендации по выполнению контрольной работы, краткие теоретические сведения, необходимые для выполнения контрольной работы, образцы решения задач, приведены примеры использования математических методов при решении экономических задач, контрольные задания.

ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1 Матрицы и определители

Тема 1.2. Системы линейных уравнений

Раздел 2. Основы математического анализа

Тема 2.1. Функция

Тема 2.2. Пределы и непрерывность

Раздел 3. Дифференциальное исчисление

Тема 3.1. Производная функции

Тема 3.2. Приложение производной

Раздел 4. Интегральное исчисление

Тема 4.1. Неопределенный интеграл

Тема 4.2. Определенный интеграл

Раздел 5. Комплексные числа

Тема 5.1. Комплексные числа

Раздел 6. Теория вероятностей и математическая статистика

Тема 5.1. Теория вероятностей и математическая статистика

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Контрольная работа имеет 10 заданий. Вариант контрольной работы выбирается по последней цифре зачетной книжки.

Работы, выполненные не по своему варианту, не засчитываются и возвращаются студенту без оценки.

Студент должен ознакомиться с рецензией преподавателя, исправить все ошибки, допущенные в работе, а в случае неудовлетворительного выполнения работы исправить её и представить вторично или по указанию преподавателя выполнить другой вариант и представить его на рецензию.

При выполнении контрольной работы надо помнить следующие правила:

• каждая работа выполняется в отдельной тетради в рукописном варианте, на титульном листе указываются предмет, номер работы, номер варианта, фамилия, имя, отчество и шифр студента;

• контрольные работы, выполненные в рукописном варианте, должны быть написаны чернилами, аккуратно и разборчиво, для пометок преподавателя должны быть оставлены поля;

• в конце работы проставляется дата её выполнения.

Замечания рецензента стирать и исправлять нельзя, все проверенные контрольные работы сохраняются и представляются на дифференцированном зачете.

Распределение вариантов контрольной работы

Последняя цифра зачетной книжки

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

№ заданий

1,

11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81,

91

2,

12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82,

92

3,

13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83,

93

4,

14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84,

94

5,

15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85,

95

6,

16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86,

96

7,

17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87,

97

8,

18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88,

98

9,

19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89,

99

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

И ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Матрицы

Матрица - это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ - это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов:

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом - количество столбцов. Мы только что разобрали матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: - матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

Действия с матрицами:

1. Умножение матрицы на число.

Пример:

Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае - на тройку.

2) Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное.

НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:
Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример:
Найти разность матриц ,

3) Умножение матриц.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу необходимо, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая запись не имеет смысла

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Как умножить матрицы?

Начнем с самого простого:

Пример:
Умножить матрицу на матрицу
Сразу привожу формулу для каждого случая:

- попытайтесь сразу уловить закономерность.

Пример сложнее:

Умножить матрицу на матрицу

Формула:

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу на матрицу

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу на матрицу

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 - нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Пример:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Системы линейных уравнений

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? - Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание - решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая - системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы.

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение: Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая - довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

;

;

Ответ: ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение: Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие. Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа - занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором - переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
- на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы - это, по существу, частный случай матричного уравнения.

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение: Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формуле.

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение . Обратную матрицу найдем по формуле:
, где - транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключение неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра - это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра - это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать устно.

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

Таким образом:

- матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

- матрица алгебраических дополнений.

- транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Теперь записываем обратную матрицу:

Ни в коем случае не вносим в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот - упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение..

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь.
Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.

Ответ:

Раздел 2. Основы математического анализа

Таблица производных

Пример 1

Вычислить производную функции в точке

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:


В некоторых задания бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.

На втором шаге вычислим значение производной в точке :

Готово.

Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Вычислить производную функции в точке

Полное решение и ответ в конце урока.

Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремум, исследование функции на перегиб графика, полное исследование функции и др.

Раздел 3. Дифференциальное исчисление

Общая схема исследования функции и построения ее графика

1. Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

3. Найти точки пересечения с осями координат

4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.

5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

8. Найти наклонные асимптоты функции.

9. Построить график функции.

Пример:

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график y = x³+6x²+9x+2

РЕШЕНИЕ:

1) Область определения функции - вся числовая прямая, то есть

D (y) = (−∞; +∞) .

Точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.

2) Точки пересечения с осями координат:

Ox : найти затруднительно

Oy:x=0⇒ 0³ +6*0² +9*0+2=2 ⇒ Точка (0;2)

3)Функция общего вида, так как

y(-x) = -x³ +6x² -9x+2≠ ±y(x)

4) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:

y'=3x² +12x+9

Находим критические точки: y'=0; 3x² +12x+9=0; x₁ =-1; x₂ =-3.

Исследуем знак производной на интервалах,

на которые критические точки делят область определения функции.

y' + - +

y -3 -1 x

Функция возрастает на интервалах (−∞ ;-3),(-1; +∞) , убывает на интервале

(-3;-1). Функция имеет минимум в точке x = -1 , y(-1) =-2 , функция имеет максимум в точке x = -3 , y(-3)=2.

5) Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную.

y''=(3x² +12x+9)'=6x+12

Находим критические точки: y''=0; 6x+12=0; x=-2.

Исследуем знак производной на интервалах, на

которые критические точки делят область определения функции.

y'' - +

y -2 x

Функция выпукла вверх на интервале (−∞;-2) , выпукла вниз на интервале

(-2 ; +∞) . Точка перегиба: x =-2, y(-2) = 0.

6) Асимптоты.

Так как = =∞ , асимптот нет.

7) Строим график функции.

x

Раздел 4. Интегральное исчисление.

Основные правила интегрирования

1. Если тогде - произвольная постоянная.

2. где - постоянная.

3.

2.Таблица основных неопределенных интегралов

1..

2.

3..

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

3.Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

Пример:

- + )dx = 2dx - dx - dx + 3 = 2 - +3 arcsin x + C

При интегрировании использованы правила 2 и 3, а также табличные формулы 2,4,6,11.

4.Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где - монотонная, дифференцируемая функция; б) - новая переменная.

В первом случае формула замены переменной имеет вид:

. (1)

Во втором случае:

. (2)

В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой.

Пример 1.

Вычислить интеграл:

Решение.

Сделаем замену переменных t=x+1 и найдем дифференциал от обеих частей, тогда

dt = (x+1)'dx ⇒ dt= dx

Подставляя все в исходный интеграл, получим:

= = +C = +C,

где C - const . Здесь заключительное действие - это обратная замена переменных.

В данном случае с помощью замены в интеграле удалось свести интеграл к табличному, затем была произведена обратная замена переменных и получен ответ.

Пример 2:

(положим t = 2x+3, тогда x= t- , dx = dt)

= =- +C= =- +C

Пример 3:

dx= (положим t= x² +25, тогда dt = 2x dx, x dx= dt) =*dt=dt= +C = +C = +C = +C

Определенный интеграл.

Если существует определенный интеграл от функции f(x) , то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке .

Для интегрируемости функции на отрезке достаточно, чтобы она была непрерывна на нем или имела конечное число точек конечных разрывов.

Если функция непрерывна на , то от нее существует неопределенный интеграл

и имеет место формула

т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.

Формула

называется формулой Ньютона-Лейбница.

Пример 1:

Необходимо найти определенный интеграл

Имеем:

Таким образом искомый интеграл равен 6.

Пример 2:

Вычислить интеграл:

Решение:

=( 3 + 4 +5x) = +2-

- (+2 26- 8=18.

Раздел 4. Основы теории комплексных чисел

Основные понятия теории комплексных чисел.

Комплексным числом называется число вида , где и - действительные числа, - так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью комплексного числа , число называется мнимой частью комплексного числа .

- это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: - от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:

Сложение комплексных чисел

Пример 1:

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: - от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2:

Найти разности комплексных чисел и , если

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем - стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть - составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Рассчитаем вторую разность:

Здесь действительная часть тоже составная:

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3:

Найти произведение комплексных чисел ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.

Повторим школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

Деление комплексных чисел

Пример 4:

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем формулу и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:

Пример подобран «хороший», если взять два произвольных числа, то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .

Раздел 5. Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1:

В партии из N деталей имеется n бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k деталей окажется s бракованных?

Решение.

Количество всех элементарных исходов равно . Для подсчета числа благоприятных случаев рассуждаем так: из n бракованных можно выбрать s деталей способами, а из N - n небракованных можно выбрать

k - s небракованных деталей способами; по правилу произведения число благоприятных случаев равно . Искомая вероятность равна:

p = (1)

Замечание:

Всякое k-членное подмножество n-членного множества называется сочетанием из n элементов по k.

Число различных сочетаний из n элементов по k обозначается .

Справедлива формула

= , (2)

n! =1234…n

Пример 2:

В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных.

Решение.

Искомую вероятность найдем по формуле (1) для случая

N =12, n =7, k = 6, s = 4.

p = = = = .

ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание №1.

Задание № 2.

Задание № 3.

Задание № 4.

Задание № 5.

Задание № 6.

Задание № 7.

Задание № 8.

Задание № 9.

Задание № 10.

Вопросы к зачету

1. Матрицы, действия над матрицами.

2. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Правило треугольников.

3. Определители n-го порядка. Теорема Лапласа.

4. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

5. Ранг матрицы. Алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

6. Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Формулы Крамера. Метод Гаусса.

7. Векторы и операции над ними.

8. Проекция вектора на ось и ее свойства.

9. Декартова прямоугольная система координат. Полярная система координат.

10. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

11. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах.

12. Предел функции при x, стремящемся к бесконечности. Замечательные пределы. Число е.

13. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точка непрерывности функции. Точка разрыва функции. Свойства непрерывных функций. Приращение аргумента. Приращение функции.

14. Производная функции. Дифференциал функции. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной.

15. Таблица производных. Понятие сложной функции. Производная сложной функции.

16. Схема исследования функции. Область определения функции. Множество значений функции. Четность и нечетность функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции. Возрастание и убывание функции, правило нахождения промежутков монотонности. Точки экстремума функции, правило нахождения экстремумов функции.

17. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной. Исследование функции с помощью второй производной.

18. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

19. Таблица неопределенных интегралов.

20. Методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования; метод замены переменной (метод подстановки); метод интегрирования по частям.

21. Определенный интеграл. Понятие интегральной суммы. Достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции).

22. Основные свойства определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла.

23. Методы вычисления определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.

24. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

25. Функции нескольких переменных. Частные производные.

26. Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Интегральные кривые. Задача Коши.

27. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

28. Методы решения дифференциальных уравнений.

29. Понятие числового ряда. Сходимость и расходимость числовых рядов.

30. Необходимый признак сходимости ряда. Признак сравнения. Признак Даламбера.

31. Понятие знакочередующегося ряда. Признак сходимости Лейбница.

32. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда.

33. Функциональные ряды. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

34. Понятие события. Достоверные, невозможные, совместные, несовместные, противоположные события. Классическое определение вероятности.

35. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.

36. Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины.

37. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Отклонение случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение случайной величины.

Задания к зачету

1. Вычислить предел .

2. Вычислить пределы:

а) ; б) ; в) .

3. Вычислить предел .

4. Вычислить предел .

5. Вычислить предел .

6. Вычислить предел .

7. Исследовать функцию на непрерывность в точке .

8. Исследовать функцию и построить ее график.

9. Вычислить значение производной следующих функций в точке :

а) ; б) .

10. Найти производную функции .

11. Найти производную функции .

12. Найти производную функции .

13. Найти производную функции .

14. Найти неопределенный интеграл .

15. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной .

16. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной .

17. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной .

18. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной .

19. Вычислить определенный интеграл .

20. Вычислить определенный интеграл .

21. Вычислить определенный интеграл .

22. Скорость движения точки изменяется по закону (м/с). Найти путь s, пройденный точкой за 4 с от начала движения.

23. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями , , , , вокруг оси Ox.

24. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

25. Решить дифференциальное уравнение .

26. Решить задачу Коши: , .

27. Решить дифференциальное уравнение .

28. В одной корзине находятся 5 белых и 10 черных шаров, в другой - 4 белых и 11 черных. Из каждой корзины вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся черными.

29. В лотерее 1000 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 200 рублей и десять выигрышей по 100 рублей. Пусть Х - величина возможного выигрыша для человека, имеющего один билет. Составить закон распределения этой случайной величины Х.

30. Случайная величина Х задана законом распределения:

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение этой случайной величины Х.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основные источники:

1)Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. - 3-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2011.-256 с.

2)Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие.- 2-е изд., перераб. и доп.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990-576 с.

3)Пехлецкиий И.Д. Математика: учебник.- М., 2003.

Дополнительные источники:

4)Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. -11-е изд.,стер. -М.: Мнемозина, 2010.-399 с.

5)Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений ( базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича.-10-е изд., стер.-М.: Мнемозина,2009.-239 с.

43