Методические указания к практическому занятию по теме Построение графиков функций

Министерство образования и науки Самарской области

государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Самарский машиностроительный колледж»

Методические указания к практическим работам

дисциплины «Математика»

Тема:

«Построение графиков функций»

Разработал преподаватель математики Еремеева Н.А.

(дисциплина, Ф.И.О.)

Практическая работа

Построение графиков функций

1. Цель работы

   1. Обобщить изученный материал по теме.

   2. Выработать навык построения графиков функций с помощью производных

2. Разделы, темы программы, которые необходимо знать при выполнении и сдаче практической работы

Тема 6.5 Признаки постоянства, возрастания и убывания функции. Экстремумы функции

Раздел 6 Производная и её приложения

3. Краткие теоретические сведения

Общая схема исследования функции:

1. Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

2. Установить, является ли функция чётной или нечётной.

Функция называется четной если и ее график симметричен относительно оси ; если для всех x из данного множества, то функция называется нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат.

3. Найти точки пересечения с осями координат (если это не вызывает затруднений).

4. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

5. Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

Вычислить производную функции. Найти критические точки - точки, в которых производная равна нулю или не существует. Определить знак производной на каждом из интервалов слева и справа от критических точек. Где производная положительная, функция монотонно возрастает, а на интервалах, где производная отрицательная - функция убывает.

6. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

Вычислить вторую производную функции. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Определить знак производной на каждом из интервалов. Где вторая производная положительная, функция вогнута, а на интервалах, где вторая производная отрицательная - функция выпукла. Точки, в которых вторая производная меняет свой знак, являются точками перегиба функции.

7. Используя полученные сведения, построить график функции.

Этот план исследования функции и построения графика является примерным, его не всегда нужно придерживаться пунктуально: можно менять порядок пунктов, некоторые опускать, если они совсем не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с большими трудностями, то это можно не делать; если функция - четная, то ее график симметричен относительно оси ОУ, поэтому достаточно построить график для положительных значений аргумента, принадлежащих области определения функции и т.п.

4. Задание

Исследовать функцию по схеме и построить ее график.

5. Структура отчета

5.1. Номер и название практической работы

5.2. Цель работы

5.3. Задание

5.4. Выполнение работы и оформление отчета по практической работе.

6. Пример выполнения задания

Исследовать функцию и построить и ее график.

1. Область определения: D(f)=R

2. Исследовать функцию на четность, нечетность.

f(-x)= 3(-x)⁵- 5(-x)³+2= -3x⁵+5x³+2

Функция - общего вида.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

Найдем точку пересечения с осью . Для этого положим , тогда . Если решить уравнение , то получим уравнение пятой степени, и решить его в данном случае не представляется возможным. То есть точки пересечения кривой с осью пока найти не можем.

4. Найдем производную и исследуем функцию на экстремум с помощью производной.

.

Найдем интервалы знакопостоянства производной.

f '(x)=0

x=0, x=1, x=-1 - критические точки функции.

Определим знак производной на каждом из интервалов:

f '(2)=15∙2²(2-1)(2+1) f '(-2)=15∙(-2)²(-2-1)(-2+1),

f '(0,5)=15∙0,5²(0,5-1)(0,5+1) f '(-0,5)=15∙(-0,5)²(-0,5-1)(-0,5+1).

Запишем результаты в таблицу.

(-;-1)

-1

(-1;0)

0

(0;1)

1

(1;+)

+

0

-

0

-

0

+

4

↘

2

↘

0

↗

max

min

.

5. Найдем вторую производную f ''(x)= (15x⁴-15x²)'=60x³- 30x=30x(2x²-1)

30x(2x²-1)=0

x=0 x= x= -

Определим знаки второй производной справа и слева от найденных точек:

f ''(-1)= 60∙(-1)³-30∙(-1),

f ''(-0,5)= 60∙(-0,5)³-30∙(-0,5),

f ''(0,5)= 60∙(0,5)³-30∙(0,5),

f ''(1)= 60∙1³-30∙1,

Найденные точки являются точками перегиба.

Составим таблицу:

x

(

(

0

(0)

f ''(x)

-

0

+

0

-

0

+

f(x)

2

f(-)= 3∙(-⁵ - 5∙(-³+23,25

f()= 3∙(⁵ - 5∙(³+20,75

f(0)=2

5. Построим эскиз графика функции

Список используемой литературы

1 Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. - б-е ИЗД., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 495с.

2 Дадаян А.А. Математика: Учебник. - 2-е издание. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М.200б.- 552с. - (Профессиональное образование).

3 Пехлецкий И.Д. Математика: Учеб. для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / Игорь Дмитриевич Пехлецкий . - 2-е ИЗД., стереотип. - М.: Издательский центр «Академия», 2003. - 304с.

4 Конспект лекций

5. Настоящая методическая разработка

6interneturok.ru/ru/school/algebra

Приложение

Варианты индивидуальных заданий

Вариант 1

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график

y = x³ - x² +

Вариант 2

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график

у= x³ - x

Вариант 3

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график

y=x³- 6x²+9x-3

Вариант 4

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график

y= -x⁴+2x²+3

Вариант 5

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график

y =- x³ + x² + 1

Вариант 6

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график

y=x³+ 6x²+9x+8

Вариант 7

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график

у=x³ - 3x

Вариант 8

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график

у=-x³+ x

Усложненные варианты

Вариант 9

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график

y =

Вариант 10

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график

y =

Вариант 11

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график

y =

Вариант 12

Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график

y =