- Преподавателю
- Математика
- Подготовка к ГИА Свойства прямоугольного треугольника 8, 9, 11 кл
Подготовка к ГИА Свойства прямоугольного треугольника 8, 9, 11 кл
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Мясникова Т.Ф. |
Дата | 08.11.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Свойства прямоугольного треугольника
в задачах ГИА
Прямоугольный треугольник среди других плоских фигур выделяется благодаря множеству его интересных свойств. Всем известны теоремы Пифагора, она связывает длины катетов и гипотенузу прямоугольного треугольника. Теорема, обратная теореме Пифагора, позволяет по трем сторонам треугольника определить, каким он является - прямоугольным, остроугольным или тупоугольным. Заслуживает внимание формула для вычисления высоты, проведённой к гипотенузе. К сожалению, в учебниках геометрии Атанасяна и Погорелова эти важные знания отражены лишь в задачах.
Итак, важные свойства прямоугольного треугольника:
-
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).
-
Если в треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный (теорема, обратная теореме Пифагора).
-
Если квадрат большей стороны треугольника меньше суммы квадратов двух других сторон, то этот треугольник остроугольный.
-
Если квадрат большей стороны треугольника больше суммы квадратов двух других сторон, то этот треугольник тупоугольный.
-
Треугольник, стороны которого пропорциональны числам 3, 4 и 5, - египетский, а потому прямоугольный.
-
Некоторые пифагоровы тройки: 5, 12 и 13; 8, 15 и 17; 7, 24 и 25.
-
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, вычисляется по формуле , где а и в - катеты, с - гипотенуза.
-
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит в середине гипотенузы.
-
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
-
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два равнобедренных треугольника.
-
Если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный и эта сторона - его гипотенуза.
Полезной при решении задач будет формула медианы треугольника со сторонами a, b и c: , отсюда ;
а также свойство параллелограмма:
сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Несколько простых задач
Решения.
№ 1. В треугольнике АВС сторона АВ равна 10. Найти угол между медианами АМ и ВК, равными 12 и 9.
Решение. Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому АО = 8 и ВО = 6. Получается, что стороны треугольника АОВ пропорциональны числам 3, 4 и 5, поэтому он египетский, т.е. прямоугольный с прямым углом О. Ответ: 90°.
№ 2. Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.
Решение. Пусть в треугольнике АВС медиана АМ в полтора раза больше стороны ВС. Если считать длину стороны ВС равной 2а, то АМ = 3а. Известно, что медианы треугольника, пересекаясь, делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть О - точка пересечения медиан треугольника, тогда ОА = 2а, ОМ = а. Получается, что в треугольнике ВСО медиана ОМ равна половине стороны ВС, к которой она проведена. Это значит, что треугольник ВСО - прямоугольный с прямым углом О, что в свою очередь означает: угол между двумя другими медианами равен 90°. Ответ: 90°.
№ 3. Стороны параллелограмма АВСД равны 3 и 5, а большая диагональ АС равна . Найти площадь круга, описанного около треугольника АВД.
Решение. Пусть ВД = х. По свойству параллелограмма, сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон., т.е. ()2 + х2 = 2∙(32 + 52), отсюда х = 4. Итак, ВД = 4. В треугольнике АВД стороны равны 3, 4 и 5. Значит, треугольник АВД прямоугольный. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, поэтому R = 0.5АД = 2,5. Площадь круга равна πR2, т.е. 6,25π. Ответ: 6,25π.
№ 4. В треугольнике АВС АВ = 24, АС = 10, медиана АМ равна 13. Найти косинус угла А.
Решение. Из формулы медианы треугольника найдём сторону ВС. ВС2 = 2(242 + 102) - (2·13)2 = 676, отсюда ВС = 26. Получилось, что медиана АМ равна половине стороны ВС, а это значит, что треугольник АВС - прямоугольный с прямым углом А,
поэтому cos A = 0. Ответ: 0.
Мясникова Т.Ф.
___________________
PS. См также на сайте ИНФОУРОК мои статьи:
Подготовка к ЕГЭ. «Решение задач с помощью таблицы»,
Подготовка к ОГЭ. «Углы на клетках».