Практическая работа №5 по теме Параллельность прямых и плоскостей для студентов 1 курса

Практическая работа №5

Тема: "Параллельность прямых и плоскостей".

Цель работы:

- формирование логического мышления, пространственного воображения через решение задач;

- развить умение составлять наглядные рисунки для задач;

- воспитывать самостоятельные навыки.

Ход работы:

1. Ответить на контрольные вопросы:

1). Записать признак параллельности прямой и плоскости (с рисунком).

2). Записать признак скрещивающихся прямых (с рисунком).

3). Записать признак параллельности плоскостей (с рисунком).

2. Выполнить контрольное задание.

Образец выполнения заданий.

1. Построить параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и найти пары:

1) параллельные прямые к АВ; 2) скрещивающиеся прямые к ВС.

Решение:

1). A₁B₁, CD и C₁D₁; 2) А₁В₁ и D₁C₁, AA₁ и DD₁

2. Точка М лежит на середине ребра AD тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию АВС.

Решение:

Т.к. секущая плоскость проходит параллельно основанию => отрезки параллельных плоскостей будут параллельны по свойству параллельности плоскостей ( 1°. Если 2-е параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения будут параллельны).

1. Построим через т. М, MNǁАВ.

2. Построим через т. N, NKǁВС.

3. Соединим МК по 2*.

4. MNK - искомое сечение.

3. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Докажите, что основания трапеции параллельны плоскости α.

Дано:

ABCD - трапеция

MN - средняя линия трапеции, MN ⊂α.

Доказать: ВСǁα, ADǁα.

Доказательство:

Т.к. MN - средняя линия трапеции, то по свойству средней линии MNǁAD, MNǁВС =>

ВСǁα, ADǁα по признаку параллельности прямой и плоскости ( Признак (- ти прямой и плоскости): Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости).

ч.т.д.

4. Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что m и АС - скрещивающиеся прямые.

Дано:

ABCD - ромб

mǁBD, m⊄α.

Доказать: m∸АС.

Доказательство:

Т.к. прямая mǁBD => mǁ ABCD по признаку параллельности прямой и плоскости. По определению параллельных прямых m и BD лежат в одной плоскости, а т.к. АС BD в точке не лежащей на прямой m, то по признаку скрещивающихся прямых, m∸АС ( Признак (∸ прямых): Если одна из 2-х прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся).

ч.т.д.

5. Дан тетраэдр SABC. Точки M,N и K - середины ребер DA,DB и DC. Доказать, что плоскость MNKǁABC.

Дано:

SABC - тетраэдр

Точки M,N и K - середины ребер DA,DB и DC.

Доказать: MNKǁABCD.

Доказательство:

Т.к. точки M,N и K - середины ребер DA,DB и DC => MN, NK и MK - средние линии ΔDAB, ΔDBC и ΔADC соответственно. По свойству средней линии треугольника MNǁAB, NKǁBC и MKǁAC. По признаку параллельности плоскостей, MNKǁABCD ( Признак (ǁ - ти плоскостей): Если две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся другой плоскости, то эти плоскости параллельны).

ч.т.д.

Выполнить самостоятельно:

I вариант

II вариант

1. Построить параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и найти пары:

1) параллельные прямые к АD;

2) скрещивающиеся прямые к AВ.

1. Построить параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и найти пары:

1) параллельные прямые к C₁D₁ ;

2) скрещивающиеся прямые к A₁D₁.

2. Точка М лежит на середине ребра AD тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости ВDС.

2. Точка М лежит на середине ребра DС тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости АDВ.

3. Точка Мплоскости параллелограмма ABCD. Доказать, что CDABM.

3. т.Aα и т.Bα, а точка Сα. Докажите, что прямая проходящая через середины AC и BC -на плоскости α.

4. Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием EK, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что AD∸EK.

4. Дан параллелограмм ABCD м точка S∉ABCD. Точки M и N - середины SB и SC. Доказать, что MN∸CD.

5. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки K,L,M и N середины сторон AD,BC, B₁C₁ и A₁D₁ соответственно. Докажите плоскость KLMNǁABB₁A₁.

5. Дана четырехугольная пирамида SABCD.

Точки K,L,M и N - середины ребер SA,SB,SC и SD соответственно. Доказать, что плоскость KLMNǁABCD.