- Преподавателю
- Математика
- Тетрадь для правил по геометрии 7 класс глава 2
Тетрадь для правил по геометрии 7 класс глава 2
Раздел | Математика |
Класс | 7 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Коритько С.Д. |
Дата | 30.10.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
9
Глава II
Треугольники
Треугольник - многоугольник с тремя сторонами.
Соотношения между сторонами и углами треугольника:
- если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого;
- в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы (и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны);
- в треугольнике против большей стороны лежит больший угол (и обратно: против большего угла лежит большая сторона).
Периметр многоугольника - это сумма длин сторон многоугольника. (P)
Легко найти периметр для школьника,
Сложив длины сторон многоугольника.
Периметр треугольника - это сумма длин трёх сторон треугольника.
Классификация треугольников по углам:
Остроугольный треугольник - треугольник, в котором все углы острые.
Прямоугольный треугольник - треугольник, в котором один из углов прямой.
Тупоугольный треугольник - треугольник, в котором один из углов тупой.
В треугольнике: - либо все углы острые;
- либо два угла острые, а третий прямой;
- либо два угла острые, а третий тупой.
Классификация треугольников по сторонам:
Разносторонний треугольник - треугольник, в котором все стороны имеют различные длины.
Равнобедренный треугольник - треугольник, в котором две стороны равны.
Равносторонний треугольник - треугольник, в котором все стороны равны.
остроугольный
прямоугольный
тупоугольный
равнобедренный
+
+
+
равносторонний
+
-
-
разносторонний
+
+
+
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема. I признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема. II признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема. III признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Перпендикуляр АН, проведённый из точки А к прямой а - это такой отрезок, для которого выполнены следующие два условия:
-
прямая АН перпендикулярна к прямой а;
-
точка А не принадлежит прямой а, точка Н принадлежит прямой а;
Точка Н - основание перпендикуляра.
Теорема о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой: из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
МЕДИАНА, БИССЕКТРИСА, ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА
Медиана треугольника - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
АМ1, ВМ2, СМ3 - медианы треугольника.
Точка О - точка пересечения медиан треугольника.
Медианы треугольника проходят внутри треугольника и пересекаются в одной точке.
Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
АА1, ВВ1, СС1 - биссектрисы треугольника.
Точка О - точка пересечения биссектрис треугольника.
Биссектрисы треугольника проходят внутри треугольника и пересекаются в одной точке.
Высота треугольника - перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на её продолжение.
ОСТРОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
В остроугольном треугольнике высоты проходят внутри треугольника и пересекаются внутри треугольника в одной точке.
АН1, ВН2, СН3 - высоты остроугольного треугольника.
Точка О - точка пересечения высот остроугольного треугольника.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
В прямоугольном треугольнике высоты проходят: высота, опущенная из вершины прямого угла - внутри треугольника; а две высоты, опущенные из вершин острых углов, являются сторонами треугольника, образующими прямой угол; точка пересечения высот - вершина прямого угла.
СН, АС, ВС - высоты прямоугольного треугольника.
Точка С - точка пересечения высот прямоугольного треугольника.
ТУПОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
В тупоугольном треугольнике высоты проходят: высота, опущенная из вершины тупого угла - внутри треугольника, а две высоты, опущенные из вершин острых углов - вне треугольника на продолжении двух его сторон; высоты пересекаются в одной точке вне треугольника.
АН1, ВН2, СН3 - высоты тупоугольного треугольника.
Точка О - точка пересечения высот тупоугольного треугольника.
Биссектриса будет нам
Делить угол пополам.
А разделит сторону
Медиана поровну.
Высота со стороной
Угол сделают прямой.
Теорема. Угол, образованный биссектрисами смежных углов, равен 900.
Теорема. Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 1800.
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Равнобедренный треугольник - треугольник, в котором две стороны равны.
Свойства равнобедренного треугольника:
-
Углы при основании равнобедренного треугольника равны и только острые.
-
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
-
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
-
Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
-
В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны (№261).
-
Если треугольник равнобедренный, то один из внешних углов в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом (№232).
-
Биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию (№233).
Признаки равнобедренного треугольника:
1. Если две стороны треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
3. Если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.
4. Если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.
5. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, то треугольник равнобедренный.
6. Если один из внешних углов треугольника в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с ним, то треугольник равнобедренный .
7. Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный (№242).
РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Равносторонний треугольник - треугольник, в котором все стороны равны.
Свойства равностороннего треугольника:
-
Каждый угол равностороннего треугольника равен 600.
-
Медианы, высоты и биссектрисы в равностороннем треугольнике совпадают.
Аксиома - утверждение, не требующее доказательства.
Постулат - аксиома.
Теорема - утверждение, требующее доказательства.
Определение - объяснение какого-либо понятия.
Следствия - утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем.
Замечание: равносторонний треугольник можно считать равнобедренным треугольником, и он будет иметь те же свойства и признаки, что и равнобедренный треугольник.
ОКРУЖНОСТЬ
Число - это отношение длины окружности к длине её диаметра.
=С/d формула нахождения числа П;
С= d формула нахождения длины окружности через диаметр;
С=2 r формула нахождения длины окружности через радиус;
S= r2 формула нахождения площади круга;
Отношение С к d
Не забудем мы нигде.
Архимедово число
Приближённо равно: ≈3,14…≈ 22/7.
Длину окружности найти несложно:
на d умножить можно,
Так же ясно, что она
2 r ещё равна.
Я площадь круга видеть рад,
Она равна r2.
Окружность - это геометрическая фигура, все точки которой одинаково удалены от её центра.
Точка О - центр окружности.
Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Радиус - это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой
окружности.
Все радиусы одной и той же окружности имеют одну и ту же длину.
Хорда - это отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметр - это хорда, проходящая через центр окружности (т.е. сама большая хорда окружности).
d=2r
Дуга - это часть окружности.
Сектор - это часть круга, ограниченная двумя его радиусами.
Сегмент - это часть круга, отсекаемая хордой.