Тетрадь для правил по геометрии 7 класс глава 2

9

Глава II

Треугольники

Треугольник - многоугольник с тремя сторонами.

Соотношения между сторонами и углами треугольника:

- если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого;

- в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы (и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны);

- в треугольнике против большей стороны лежит больший угол (и обратно: против большего угла лежит большая сторона).

Периметр многоугольника - это сумма длин сторон многоугольника. (P)

Легко найти периметр для школьника,

Сложив длины сторон многоугольника.

Периметр треугольника - это сумма длин трёх сторон треугольника.

Классификация треугольников по углам:

Остроугольный треугольник - треугольник, в котором все углы острые.

Прямоугольный треугольник - треугольник, в котором один из углов прямой.

Тупоугольный треугольник - треугольник, в котором один из углов тупой.

В треугольнике: - либо все углы острые;

- либо два угла острые, а третий прямой;

- либо два угла острые, а третий тупой.

Классификация треугольников по сторонам:

Разносторонний треугольник - треугольник, в котором все стороны имеют различные длины.

Равнобедренный треугольник - треугольник, в котором две стороны равны.

Равносторонний треугольник - треугольник, в котором все стороны равны.

остроугольный

прямоугольный

тупоугольный

равнобедренный

+

+

+

равносторонний

+

-

-

разносторонний

+

+

+

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Теорема. I признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема. II признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема. III признак равенства треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Перпендикуляр АН, проведённый из точки А к прямой а - это такой отрезок, для которого выполнены следующие два условия:

1. прямая АН перпендикулярна к прямой а;

2. точка А не принадлежит прямой а, точка Н принадлежит прямой а;

Точка Н - основание перпендикуляра.

Теорема о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой: из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

МЕДИАНА, БИССЕКТРИСА, ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА

Медиана треугольника - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

АМ₁, ВМ₂, СМ₃ - медианы треугольника.

Точка О - точка пересечения медиан треугольника.

Медианы треугольника проходят внутри треугольника и пересекаются в одной точке.

Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

АА₁, ВВ₁, СС₁ - биссектрисы треугольника.

Точка О - точка пересечения биссектрис треугольника.

Биссектрисы треугольника проходят внутри треугольника и пересекаются в одной точке.

Высота треугольника - перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на её продолжение.

ОСТРОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

В остроугольном треугольнике высоты проходят внутри треугольника и пересекаются внутри треугольника в одной точке.

АН₁, ВН₂, СН₃ - высоты остроугольного треугольника.

Точка О - точка пересечения высот остроугольного треугольника.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

В прямоугольном треугольнике высоты проходят: высота, опущенная из вершины прямого угла - внутри треугольника; а две высоты, опущенные из вершин острых углов, являются сторонами треугольника, образующими прямой угол; точка пересечения высот - вершина прямого угла.

СН, АС, ВС - высоты прямоугольного треугольника.

Точка С - точка пересечения высот прямоугольного треугольника.

ТУПОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

В тупоугольном треугольнике высоты проходят: высота, опущенная из вершины тупого угла - внутри треугольника, а две высоты, опущенные из вершин острых углов - вне треугольника на продолжении двух его сторон; высоты пересекаются в одной точке вне треугольника.

АН₁, ВН₂, СН₃ - высоты тупоугольного треугольника.

Точка О - точка пересечения высот тупоугольного треугольника.

Биссектриса будет нам

Делить угол пополам.

А разделит сторону

Медиана поровну.

Высота со стороной

Угол сделают прямой.

Теорема. Угол, образованный биссектрисами смежных углов, равен 90⁰.

Теорема. Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180⁰.

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Равнобедренный треугольник - треугольник, в котором две стороны равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны и только острые.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

3. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

4. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

5. В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны (№261).

6. Если треугольник равнобедренный, то один из внешних углов в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом (№232).

7. Биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию (№233).

Признаки равнобедренного треугольника:

1. Если две стороны треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

3. Если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.

4. Если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.

5. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, то треугольник равнобедренный.

6. Если один из внешних углов треугольника в 2 раза больше угла треугольника, не смежного с ним, то треугольник равнобедренный .

7. Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный (№242).

РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Равносторонний треугольник - треугольник, в котором все стороны равны.

Свойства равностороннего треугольника:

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60⁰.

2. Медианы, высоты и биссектрисы в равностороннем треугольнике совпадают.

Аксиома - утверждение, не требующее доказательства.

Постулат - аксиома.

Теорема - утверждение, требующее доказательства.

Определение - объяснение какого-либо понятия.

Следствия - утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем.

Замечание: равносторонний треугольник можно считать равнобедренным треугольником, и он будет иметь те же свойства и признаки, что и равнобедренный треугольник.

ОКРУЖНОСТЬ

Число - это отношение длины окружности к длине её диаметра.

=С/d формула нахождения числа П;

С= d формула нахождения длины окружности через диаметр;

С=2 r формула нахождения длины окружности через радиус;

S= r² формула нахождения площади круга;

Отношение С к d

Не забудем мы нигде.

Архимедово число

Приближённо равно: ≈3,14…≈ 22/7.

Длину окружности найти несложно:

на d умножить можно,

Так же ясно, что она

2 r ещё равна.

Я площадь круга видеть рад,

Она равна r².

Окружность - это геометрическая фигура, все точки которой одинаково удалены от её центра.

Точка О - центр окружности.

Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Радиус - это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой

окружности.

Все радиусы одной и той же окружности имеют одну и ту же длину.

Хорда - это отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр - это хорда, проходящая через центр окружности (т.е. сама большая хорда окружности).

d=2r

Дуга - это часть окружности.

Сектор - это часть круга, ограниченная двумя его радиусами.

Сегмент - это часть круга, отсекаемая хордой.