Реферат по математике на тему Сумма

«Сумма»

2016

Сумма

Сумма (лат. summa - итог, общее количество), результат суммирования величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Понятие суммы применяется к более сложным алгебраическим структурам. Сумма групп. Сумма линейных пространств. Сумма идеалов. И другие примеры. В теории категорий определяется понятие суммы объектов.

Арифметическая сумма

Пусть в первой группе находится A предметов некоторого рода, во второй, соответственно, B предметов (A и B - натуральные числа). Тогда арифметической суммой A+B будет количество предметов в группе, полученной при объединении двух исходных.

Рациональные числа

Пусть даны рациональные числа A и B такие, что (дроби несокращаемые). Тогда .

Определенная сумма

Часто для краткости сумму n слагаемых a_k, a_k+1, …, a_N обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма):

Это обозначение называют определённой^{[источник не указан 93 дня]} (конечной) суммой по i от k до N.

Для удобства вместо иногда пишут , где - некоторое соотношение для , таким образом это конечная сумма всех , где

Свойства определённой суммы

1. 

2. 

3. 

4. 

5. - эта формула позволяет рекуррентно выводить арифметические выражения для формул вида

Бесконечная сумма

В математическом анализе определяется понятие ряда - суммы бесконечного числа слагаемых.

1. Сумма арифметической прогрессии:

2. Сумма геометрической прогрессии:

3.

4.

Почему это так

5.

Почему это так

Доказательство:

6.

Почему это так

Доказательство:

Стоит заметить, что при получаем , а это последовательность равенств следующего вида:

Неопределённая сумма

Неопределённой суммой по называется такая функция , обозначаемая , что .

Формула Ньютона-Лейбница

Если найдена неопределённая сумма , то .

Этимология

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

Кодировка

В Юникоде есть символ суммы U+2211 ∑ n-ary summation (HTML ∑ ∑).

Литература

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - седьмое. - М.: Наука, 1969. - Т. 1. - 608 с. - 100 000 экз.