Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Методическое пособие содержит задачи с параметрами, при решении которых возникают наибольшие затруднения во время обучения. Методам решения таких задач уделяется минимум внимания, и целью данного пособия является помочь учащимя в устранении данного пробела. В разработке рассмотрены: -алгоритм решения квадратных уравнений с параметром; -задачи для самостоятельной работы с использованием алгоритма; -решение уравнений, приводимых к квадратным; -задачи, связанные с расположением корней квадратного т...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМИНИСТЕРСТВО ОБОРОНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ КАЗЁННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ОРЕНБУРГКОЕ ПРЕЗИДЕНТСКОЕ КАДЕТСКОЕ УЧИЛИЩЕ»













РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ


(методическое пособие для воспитанников и преподавателей)


Составила преподаватель математики

высшей квалификационной категории

Зевина Елена Петровна






2013г.

УДК 372.


Зевина Е.П.: РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ.

Методическое пособие для воспитанников и преподавателей.

- Оренбург: ФГКОУ Оренбургское ПКУ, 2013. -32с.

В пособии представлен опыт практической деятельности преподавателя училища по методике обучения решению квадратных уравнений с параметрами.

Методическое пособие содержит задачи с параметрами, при решении которых возникают наибольшие затруднения во время обучения. Методами решения таких задач уделяется минимум внимания, и целью данного пособия является помощь учащимся в устранении данного пробела.

Данное методическое пособие составлено по итогам многолетней практики работы и подготовки учащихся к сдаче экзамена по математике в формате ЕГЭ и ГИА.


Рассмотрено на заседании методического совета ФГКОУ Оренбургское ПКУ.




ФГОУ «Оренбургское президентское кадетское училище», 2013

Содержание

  1. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

  2. §1. Квадратные уравнения с параметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1. Понятие уравнения с параметром . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2. Квадратные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    3. Теорема Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 6

  1. §2. Примеры решения квадратных уравнений с параметром . . . . . . . . . 7

  2. §3. Задачи для самостоятельной работы по решению квадратных

уравнений с параметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  1. §4. Решение уравнений с параметром, приводимых к квадратным. . . .15

  2. §5. Задачи для самостоятельной работы по решению уравнений,

приводимых к квадратным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

  1. §6. Задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  1. §7. Задачи для самостоятельного решения, связанные с

расположением корней квадратного трехчлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

  1. Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

  2. Список использованной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27







Введение

У большинства выпускников и абитуриентов задачи с параметрами вызывают серьезные затруднения (как решать задачу и как довести решение до правильного ответа). Трудности при решении таких задач обусловлены во-первых: решением не по шаблону, во- вторых: рассмотрением различных случаев, в которых методы решения существенно отличаются друг от друга; в-третьих: хорошими знаниями свойств функций и правильным выделением тех свойств, которые нужно применить.

Предлагаемое пособие построено так, чтобы учащиеся самостоятельно могли понять логику решения задач с параметрами, и научились их решать.

Пособие разбито на параграфы, в конце которых приведены упражнения для самостоятельного решения. Разобраны примеры, которые расположены в последовательности «от простого к сложному», при этом предполагается, что учащийся имеет хорошие знания по математике и изучает пособие последовательно.

Пособие может быть использовано как для самостоятельной подготовки к вступительным экзаменам, так и в качестве пособия на индивидуальных и групповых занятиях.

Функции вида Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, где Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами - квадратный трехчлен, в школьном курсе математики придается большое значение. Для нее строго доказываются все свойства, нужные в теории и для решения задач. Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трехчлена требуется от каждого абитуриента, так как квадратный трехчлен с параметром часто включается в варианты письменных работ и в тесты для собеседования на вступительных экзаменах в ВУЗы. Как правило, большая часть абитуриентов с этими задачами не справляется. Значит, им надо уделять больше внимания на факультативных занятиях в школе, на страницах печати.

§1. Квадратные уравнения с параметром

1.1 Понятие уравнения с параметром

Определение. Пусть задано уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, если ставится задача, для каждого действительного значения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами решить уравнение относительно Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то это уравнение называют уравнением с переменной Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и параметром Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Решить уравнение с параметром - это значит, для каждого действительного значения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами найти значение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, удовлетворяющее данному уравнению.

Назовем контрольными значениями параметра (КЗП) те его значения, при которых обращается в нуль: 1) старший коэффициент в уравнении или неравенстве; 2) знаменатель дроби; 3) дискриминант квадратного уравнения.

1.2 Квадратные уравнения

Определение. Квадратным уравнением называют уравнение вида

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

(1)

где Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами - переменная, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами - некоторые действительные числа или выражения, зависящие от параметров.

Левая часть уравнения является квадратным трехчленом, то есть многочленом второй степени.

Корни квадратного уравнения (1) находят по формуле

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

(2)

Выражение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами называют дискриминантом квадратного уравнения (1).

В случае, когда второй коэффициент квадратного уравнения четное число Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, корни удобно находить по формуле

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

(3)

Число корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта:

если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то уравнение имеет два различных действительных корня;

если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то уравнение имеет два равных действительных корня

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

или один корень, но двойной кратности.

если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то уравнение не имеет действительных корней.

При решении неполного квадратного уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, где Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами удобно пользоваться разложением на множители левой части уравнения:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

1.3 Теорема Виета

При решении полных квадратных уравнений применяют теорему Виета: если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами - корни квадратного уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, где Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то справедливы формулы для суммы и произведения этих корней:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

(4)

Формулы (4) называют формулами Виета.

Верно и обратное утверждение: если числа Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами удовлетворяют равенствам (4), то эти числа являются корнями квадратного уравнения.

Формулы Виета верны и для приведенного квадратного уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами . В этом случае они приобретают вид:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители:

  1. если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами ;

  2. если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами .

§2. Примеры решения квадратных уравнений с параметром

Пример 1. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

  1. имеет два различных корня;

  2. не имеет корней;

  3. имеет один корень.

Решение. Так как по условию старший коэффициент Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Контрольными значениями параметра будут те значения, при которых дискриминант равен нулю.

КЗП: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами или Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Далее определим знак дискриминанта, а для этого заметим, что он представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола, причем ветви её направлены вверх.

Знак Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами: 1) + 2) 3) 2) + 1)

- 4 - 4 а

Возможны три случая.

1) Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и уравнение имеет два различных действительных корня

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами или Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и уравнение имеет один двукратный корень Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , причем если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , а если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами .

3) Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами корней нет;

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Пример 2. Решить уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Решение. Поскольку старший коэффициент данного уравнения зависит от параметр Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то это уравнение нельзя считать квадратным. Поэтому найдем первое контрольное значение параметра, приравняв старший коэффициент к нулю.

КЗП: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то исходное уравнение принимает вид:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

то есть становится линейным и его корнем является Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то исходное уравнение является квадратным, поэтому вычислим его дискриминант Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами :

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Найдём другие контрольные значения параметра, из условия, что дискриминант квадратного уравнения равен нулю.

КЗП: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами или Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Определим знак дискриминанта. Поскольку он представляет собой квадратичную функцию, то графиком его является парабола c ветвями направленными вниз.

Знак Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами а) б) + в) б) а)

- 1 6 - b

Возможны следующие три подслучая.

а) Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, а значит, уравнение не имеет корней.

б) Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами или Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и найти значение корня уравнения можно по формуле Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то есть

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами получим Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами получим Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

в) Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и уравнение имеет два различных корня

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

В ходе решения данного квадратного уравнения получили три контрольных значения параметра b, которые наносим на числовую прямую для удобства записи ответа.

1 2 6 b

Ответ: при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами корней нет;

приМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Пример 3. Найти все значения параметра, для которых квадратное уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами имеет хотя бы один общий корень с уравнением Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Решение. В первом уравнении старший коэффициент - это выражение, содержащее параметр с. Поэтому первым контрольным значением параметра с будет то, при котором старший коэффициент уравнения равен нулю.

КЗП: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Возможны два случая.

  1. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то получим уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , которое не имеет решений.

  2. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , уравнение является квадратным и найдём его дискриминантМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Дискриминант представляет собой выражение первой степени. Найдем второе контрольное значение параметра, приравняв Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами к нулю.

КЗП: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Определим знак Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

а) б) +

- -1 с

Итак, возможны два подслучая.

а) Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и уравнение корней не имеет.

б) Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами уравнение имеет два различных корня

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Рассмотрим второе уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами. Его корнями являются числа Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

По условию задачи хотя бы один из найденных корней должен быть также корнем уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то есть при подстановке найденного корня в это уравнение должно получиться тождество.

Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то получаем равенство:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

откуда Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами. Аналогично найдём значение с, при котором корнем уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами является Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Имеем

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами=0,

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Значит, при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами имеет, по крайней мере, один общий корень с уравнением Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Ответ: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Пример 4. Дано уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами. Доказать, что если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами - попарно различные действительные корни этого уравнения, то

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Решение. По условию Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами - попарно различные действительные корни уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, поэтому одновременно выполняются следующие равенства:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами0,

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами0,

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами0.

Почленно вычитая из первого равенства сначала второе, а затем третье равенство, получим:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиили Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиили Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Поскольку по условию корни уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами - попарно различные, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, следовательно,

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамии Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Тогда и разность этих выражений также равна нулю:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Так как Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Подставив Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами в равенство Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, найдем, что Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Тогда из исходного уравнения следует, что Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами. Что требовалось доказать.

Пример 5. При каких значениях параметра с уравнение

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

имеет более двух корней?

Решение. Квадратное уравнение имеет более двух корней, если все его коэффициенты равны нулю (см. пример 4), поэтому

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Первое уравнение имеет корни Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами; корнями второго уравнения являются числа Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, а третьего - Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Общим для всех является корень Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Ответ: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Пример 6. Решить относительно х уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Решение. Раскрыв скобки, получим уравнение вида:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Приравняв старший коэффициент к нулю, найдем контрольное значение параметра.

КЗП: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

- 2) 0 3) + а

1)

Возможны три случая:

  1. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то уравнение примет вид Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами . Это уравнение решений не имеет.

  2. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то разделив обе части исходного уравнения на а, получим уравнение вида:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Преобразуем его, выделив в левой части уравнения полный квадрат:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

корнями этого уравнения являются Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами корней не имеет.

Ответ: при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами корней нет.

Пример 7. При каких значениях параметра m корни уравнения

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиравны по модулю и противоположны по знаку?

Решение. 1 способ - найти все значения параметра т, при которых уравнение имеет два корня, найти эти корни, а затем определить при каких значениях параметра m корни уравнения противоположные числа.

2 способ. Сначала найти при каких значениях параметра т уравнение имеет два корня, затем по теореме Виета найти их сумму

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Так как корни уравнения противоположные числа, то их сумма равна нулю, следовательно, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, откуда Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Ответ: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Пример 8. Решите уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами относительно х.

Решение. Данное уравнение является неполным квадратным, поэтому приведём его к виду: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от знака параметра Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , следовательно, уравнение имеет два корня

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамии Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то уравнение примет вид Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и имеет один двукратный корень Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами .

  2. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , следовательно, уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами корней не имеет.

Ответ: при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами корней нет.

Пример 9. При каких значениях параметра а уравнение

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

имеет более одного корня?

Решение. Найдем контрольные значения параметра, приравняв старший коэффициент к нулю.

КЗП: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами или Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то данное уравнение примет вид

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиили Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, откуда Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то уравнение примет вид

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиили Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

решением последнего уравнения является любое действительное число.

  1. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то данное уравнение является квадратным, поэтому найдём дискриминант:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

По условию данное уравнение должно иметь более одного корня, поэтому найдём, при каких значениях параметра а дискриминант Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то есть

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Так как Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, тогда Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами или Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Ответ: при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами уравнение имеет более одного корня.

§3. Задачи для самостоятельной работы

по решению квадратных уравнений с параметром

  1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамине имеет решений. Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиимеет два различных корня.

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. При каких значениях параметра m оба корня уравнения

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиравны нулю? Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. При каких значениях параметра а сумма квадратов величин, обратных корням уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , меньше обоих корней уравнения

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами? Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Найти все значения параметра а, при которых уравнения

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамии Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

имеют хотя бы один общий корень? Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Найти все значения параметра а, при которых один корень квадратного уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами в два раза больше другого. Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами .

  2. Для каждого значения параметра a решить относительно х следующие уравнения:

а) Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

б) Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

в) Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

г) Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

д) Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

§4. Решение уравнений с параметром, приводимых к квадратным.

Пример 1. Решите уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Решение. Дробь равна нулю тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Найдём сначала допустимые значения для переменной: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Тогда Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, это квадратное уравнение, так как его старший коэффициент равен 1. Найдём дискриминант:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Определим контрольное значение параметра, приравняв дискриминант к нулю.

КЗП: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и уравнение имеет один двукратный корень Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , который принадлежит области допустимых значений.

  2. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и уравнение имеет два корня

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамии Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Выясним, при каких значениях параметра с эти корни удовлетворяют условию Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами при условии, что Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами или Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами при условии, что Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами или Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Найдём корни уравнения при значениях параметра Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то корень уравнения находим по формуле

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

а если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то по формуле Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Ответ: при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Пример 2. Решите относительно х уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами .

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Определим контрольное значение параметра, при котором знаменатель дроби равен нулю.

КЗП: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то уравнение решений не имеет.

  2. Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами при условии, что Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами или Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами .

Решим квадратное уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Найдем дискриминант Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

КЗП: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

а) Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и уравнение имеет один двукратный корень, который находим по формуле Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами. Так как Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и он удовлетворяет условию Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

б) Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами имеет два корня

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамии Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Так как Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то определим, при каких значениях параметра а найденные корни удовлетворяют этому условию.

Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами при условии, что Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то есть Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами при условии, что Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами или Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Найдём корни уравнения при значениях параметра Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

При Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами корнем уравнения будет Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, а при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами по формуле Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами находим, что Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Ответ: при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами решений нет.



§5. Задачи для самостоятельной работы

по решению уравнений, приводимых к квадратным

  1. Решить уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

(-6, при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами -5, при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами 2, приМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами;

3, при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами; Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами или Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами во всех остальных случаях)

  1. При каких значениях параметра а уравнение

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

имеет единственное решение? (при Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами)

  1. Найдите все значения а, при которых вершины парабол

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамии Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

лежат по разные стороны от прямой Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

§6. Задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена.

При решении задач с параметрами приходится работать с тремя типами моделей:

  1. вербальная модель - словесное описание задачи;

  2. геометрическая модель - график квадратичной функции;

  3. аналитическая модель - система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.

Важно уметь устанавливать связь между этими моделями. Это означает, что для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь давать геометрическую интерпретацию и, наоборот, по поведению графика параболы дать общую оценку коэффициентов квадратного трехчлена и его корней. Например,

если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз;

если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то трехчлен имеет различные действительные корни и парабола пересекает ось абсцисс в двух точках;

если график функции Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами находится выше оси абсцисс, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Последнюю геометрическую модель можно описать еще тремя способами: неравенство Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами выполняется при любом х; неравенство Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами не имеет решений; трехчлен Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами не имеет действительных корней и его старший коэффициент положителен.

Многие задачи решают по следующему алгоритмическому предписанию:

  1. уравнение записывают в виде Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами ;

  2. находят контрольные значения параметра и для каждого случая строят параболу (геометрическую модель);

  3. геометрическую модель описывают системой неравенств (аналитическая модель);

  4. решают систему неравенств.

Рассмотрим несколько примеров теоретического плана, показывающих некоторые общие подходы к решению задач о расположении корней квадратного трехчлена.

Пусть Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами - квадратный трёхчлен. Рассмотрим случай, когда старший коэффициент Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Обозначим корни квадратного уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами через Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, причём Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Пусть Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и В - некоторые числа на оси Ох.

Задача 1. При каких условиях оба корня квадратного уравнения, не обязательно различные, меньше некоторого числа Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами?

Решение. Обозначим через Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами абсциссу вершины параболы, Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Так как графиком квадратного трёхчлена является парабола, то построим геометрическую модель данной задачи.Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Оба корня Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами квадратного уравнения меньше некоторого числа Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиили Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

2) Корни Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами квадратного уравнения лежат по разные стороны от числа Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиили Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

3) Оба корня Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами квадратного уравнения больше некоторого числа Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиили Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

4) Оба корня Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами квадратного уравнения лежат между числами Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и В тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиили Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

5) Корни Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами квадратного уравнения лежат по разные стороны отрезка Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами на оси Ох тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиили Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

6) Квадратное уравнение имеет два различных корня Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и только один из них принадлежит интервалу Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами или, другими словами, для того, чтобы парабола пересекала интервал Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами оси Ох только в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы значения квадратного трехчлена

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамив точках А и В были разных знаков, то есть искомое условие имеет вид:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Очевидно, что если

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

то в рассматриваемом интервале лежит больший корень, а если

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

то рассматриваемому интервалу принадлежит меньший корень.

7) Квадратное уравнение имеет два отрицательных корня при условиях:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

8) Квадратное уравнение имеет два положительных корня при условиях:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами



Из приведенных примеров достаточно ясно виден общий подход к решению задач рассматриваемого вида. Как правило, задачи с ограничениями на корни квадратного трехчлена сводятся к системе рациональных неравенств, которая легко решается методом интервалов. При этом для определения условий, накладываемых на коэффициенты квадратного трехчлена, рассматриваются следующие его свойства:

  • расположение параболы относительно оси Ох;

  • значения квадратного трехчлена в некоторых заданных точках;

  • положение оси симметрии параболы относительно некоторых заданных точек.

Пример 1. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами действительные, различные и оба больше а.

Решение. Графическая интерпретация задачи показана на рисунке. Обозначим через

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами будет иметь два различных действительных корня, которые одновременно больше а, тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Решая полученную систему методом интервалов, найдем Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Ответ: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при которых корни квадратного уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами неположительные.

Решение. Так как уравнение квадратное, то Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами. Обозначим через Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Рассмотрим два случая.

  1. Пусть Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами . Для того чтобы уравнение

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

имело неположительные корни, необходимо и

достаточно выполнение следующих условий:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Применив к системе метод интервалов, получим Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Пусть Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами . Тогда положение параболы определяется условиями:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Решением этой системы является пустое множество.

Ответ: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Пример 3. При каких значениях а уравнение
Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

имеет корни разных знаков?

Решение. Для того чтобы парабола - график Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

функции Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

пересекала ось Ox, в точках, между которыми

лежит начало координат, необходимо и достаточно,

чтобы квадратный трехчлен Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами принимал в точке Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами отрицательное значение, поэтому искомое условие имеет вид:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиили Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Ответ: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Пример 4. При каких значениях параметра Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами оба корня уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами принадлежат отрезку Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами?

Решение. Так как оба корня уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамипринадлежат отрезку Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами,

то положение параболы

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

определяется условиями:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Данную систему решаем методом интервалов, получаем Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Ответ: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Пример 5. При каких значениях параметра а больший корень уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами принадлежит промежутку Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами?

Решение. Положение параболы, являющейся графиком квадратного трехчлена Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, при котором только лишь её правая ветвь пересекает промежуток Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами оси Оx определяется условиями: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Ответ: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Пример 6. При каких значениях параметра а все корни уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами лежат вне отрезка Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами?

Решение. При Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами данное уравнение имеет вид Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и, следовательно, корней не имеет.

Если Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то квадратный трехчленМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамивсегда имеет два корня разных знаков, так как Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Положение параболы показано на рисунке.

Необходимые и достаточные условия имеют

вид:

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Ответ: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Пример 7. Найти все значения параметра m, при которых один из корней уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами находится между числами 0 и 2, а второй между 3 и 5.

Решение. Найдём дискриминант квадратного уравнения

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Так как Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, то уравнение имеет два корня: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами. Очевидно, что Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами, поэтому

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиМетодическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

Ответ: Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

§7. Задачи для самостоятельного решения,

связанные с расположением корней квадратного трехчлена.

  1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все корни уравнений Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами и Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами различны и между двумя корнями одного из них находится ровно один корень другого. Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

  2. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметраминеотрицательны. Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

  1. При каких значениях параметра а существует единственный корень уравнения Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , удовлетворяющий условию Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами ?

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами.

  1. Найдите все значения параметра k, при которых корни уравнения

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрамиимеет два корня, причем один из них меньше 1, а другой больше 2. Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

  1. Сколько решений, удовлетворяющих условию Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами , имеет уравнение Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами в зависимости от значений параметра а?

Методическое пособие Решение квадратных уравнений с параметрами

Заключение

Параметр - это величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой, при этом он требует к себе осторожного и вдумчивого отношения. Ведь, являясь фиксированным, но неизвестным числом, параметр ограничивает степень свободы общения с ним. Задачи с параметром - это задачи исследовательского характера, которые требуют хорошего понимания изучаемого теоретического материала.

Автор надеется, что данное методическое пособие будет полезно кадетам как в процессе изучения рассмотренных тем, так и для успешной сдачи экзаменов.

Список использованной литературы:



  1. Математика для старшеклассников. Методы решения задач с параметрами /А.И. Азаров,С.А. Барвенков-Мн.:»Аверсэв»,2003-272с.

  2. Большой энциклопедический словарь. Математика. - М.: Научное издательство «Большая Российская Энциклопедия», 1998.

  3. Задачи с параметрами. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. - М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.

  4. Задачи с параметрами. Егерман Е - Математика №2, 2003.

  5. Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям/ Мещерякова Г.П.. - Математика в школе №5, 2001.

  6. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. - М.: Рольф, 1997.

  7. . Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы: 8-9 классы. Шевкин А.В - М.: ТИД «Русское слово - РС», 2003.


© 2010-2022