Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)

Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Практическая работа по теме «Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)»

Цель работы. Научиться вычислять приближенно интегралы, используя некоторые приближенные формулы

Ход работы. 1. Прочитать теоретические сведения

2. Просмотреть применение формулы трапеций на примере

3 выполнить самостоятельно практическую работу

4. оформить по образцу слать на проверку

Пусть требуется вычислить определенный интеграл Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) от непрерывной функции Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) . Если будет определена (найдена) первообразная функция Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) подынтегральной функции, то величина определенного интеграла вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница

Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)

Если же первообразная функции не может быть найдена или функция Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) задана графически или таблично, то для вычисления интеграла используют приближенные формулы, точность которых может быть сколь угодно большой.

Покажем это на примере применения формулы прямоугольников.


  1. Получим формулу прямоугольников. Для этого основание криволинейной трапеции аАВb разделим на n равных частей , т.е. длина основания каждого прямоугольника равна ∆Х. Площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту (высота = f(xi) ; основание ∆Х )

  2. .Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)рис.1

Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)(1) называется формулой прямоугольников с недостатком. На рисунке (1) очевидно, что площадь криволинейной трапеции состоит из суммы площадей прямоугольников (прямоугольники закрашены разными цветами) и неокрашенных криволинейных треугольников, площади которых мы теряем при вычислении. Или формулу (1) можно записать следующим образом Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) (2)

Рассмотрим 2 случай (ступенчатая фигура - описанная, а значит ее площадь будет больше площади криволинейной трапеции аАВb - рисунок 2). Поступим аналогично, а именно вычислим площадь каждого прямоугольника и найдем их сумму, т.е.

Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)рис. 2

  1. Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)(3), где Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) - Формулу (3) называют формулой прямоугольников с избытком

или формулу (3) можно кратко записать так: Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) (4)

  1. Пример 1. Вычислить Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)

Решение. 1) Разобьем промежуток интегрирования на 10 равных частей и используя формулу (2) вычислим данный интеграл по формуле прямоугольников с недостатком: Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) ≈1*(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9) ≈1*45≈45.

2) Вычислим данный интеграл по формуле прямоугольников с избытком: Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) ≈1*(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) ≈1*55 ≈ 55. Ответ. Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) интеграл по формуле прямоугольников с недостатком равен 45; Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) интеграл по формуле прямоугольников с избытком равен 55:


  1. Самостоятельно вычислить интегралы по формуле прямоугольников с недостатком и с избытком

1) Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) ;

2)Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)

3) Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)

Покажем это на примере применения формулы трапеции

Аналогично получим приближенную формулу трапеций Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) (5)

  1. где Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) высота трапеции; Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) - значения функций.

Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)рис.3

  1. Из школьного курса математики известно, что площадь трапеции Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) рис.4

вычисляется по формуле:

  1. Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)

  2. Тогда Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) (6)

Покажем это на примере применения формулы трапеции (5 или 6):

Покажем это на примере применения формулы трапеции

Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)

где Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) высота трапеции; Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) - значения функций.

Пример 1. Вычислить по формуле трапеций при n =5 приближенное значение определенного интеграла Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)

Решение. Формула трапеций для этого примера принимает следующий вид:

Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)

Значения Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) определяются подстановкой в функцию Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) соответственных значений х:

Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)

Подставив эти данные в формулу трапеции, получим

Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)


Пример 2. Вычислить интеграл Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) по формуле трапеций.

Решение. Разобьем промежуток интегрирования на 10 частей ( n =10) Следовательно, шаг h равен 0,1 (h = 0,1)

Абсцисса точек деления Хi ( i = 0,1,2,…, 10) и соответствующие им ординаты

Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)

Промежуточные вычисления удобнее оформить в виде таблицы:

i

Xi

εiyi

0

0,0

0,5000

1

0,1

1,0050

2

0,2

1,0198

3

0,3

1,0440

4

0,4

1,0770

5

0,5

1,1180

6

0,6

1,1662

7

0,7

1,2207

8

0,8

1,2806

9

0.9

1,3454

10

1,0

1,7071

11,4838

По формуле 5 или 6): Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) ≈0,1*11,4838=1,14838≈1,148

Можно вычислить точное значение интеграла

Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)

Вычислить самостоятельно

по формуле трапеций и сравнить результаты

1) Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций) ;

2)Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)

3) Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)

Домашнее задание. 1) Самостоятельно изучить еще одну приближенную формулу: формула Симпсона или формула парабол. Подготовиться к практической работе на тему «Приближенные вычисления интегралов».

2) Отчет


© 2010-2022