Исследовательская работа на тему Многогранники в архитектуре

Глазковский филиал имени Героя Советского Союза Н.Н.Шерстова МБОУ Кочетовская СОШ Мичуринского района

Тамбовской области.

Открытая научно-практическая конференция обучающихся «Путь в науку»

Секция естественных наук

Исследовательская работа по математике

Многогранники

в архитектуре

Работу выполнила ученица 9Б класса

Занорина Юлия

научный руководитель: учитель математики

Щекочихина Лариса Александровна

Глазок - 2014

Содержание

Стр.

Вступление …………………………………….…………...…….……………....…3

1. История изучения многогранников…………………………..……….……...5

2. Правильные многогранники

2.1. Виды правильных многогранников…….………..……….….….…………….6

2.2. Некоторые свойства правильных многогранников …………….……………8

3. Пирамидальная форма в строительстве древнего мира……………………12

4. Стоечно-балочная и арочно-сводчатая системы в архитектуре.…….……......13

5. Особенности архитектурных строений XII -XVII веков……….……..........15

6. Применение принципов науки к решению проблем человечества…….…16

7. Особенности архитектурных строений в моем окружении…….……...….18

8. Дом моей мечты……………………………………………………….……..20

Выводы …………..…………………….……..…………………...……...............21

Заключение……..……………………………………..…………....…….................22

Библиографический список.……………………..………..……....……..………24

Приложение 1. Таблица ….........……………..….…………….....….….............25

Приложение 2. Рисунок 1 - 6...……...………….…………...…..…...................25

Рисунок 7-8……….…………..………….……...……..………26

Приложение 3. Фото 1 - 8 ...…….…………………………………...................27

Фото 9 - 14...…….……………………………….......................28

Математика предлагает архитектору ряд общих правил

организации частей в целое, которые помогают расположить

эти части в пространстве, так, что в них проявляется порядок.

Вступление.

Ни один из видов искусств так тесно не связан с геометрией как архитектура. Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела. Часто геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книги Бранко Грюнбаума «Выпуклые многогранники».

Изучение многогранников на протяжении всей истории велось не только с позиций дальнейшего их применения, но и с целью осмысления философских вопросов об устройстве Вселенной и природе Пространства. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов. В данной работе я хочу рассмотреть, какова же цель применение многогранников в архитектуре. Так сформировалась тема моего исследования: роль многогранников в архитектуре.

Данная работа представляет собой теоретическое исследование, где в качестве объекта рассматривается связь между многогранниками и архитектурой сооружений. Предметом исследования являются многогранники. Целью исследования стал вопрос, каким образом форма многогранника нашла приложение в архитектуре.

В ходе исследования выстроились задачи:

• изучить историю возникновения многогранников;

• рассмотреть формы и свойства многогранников;

• проследить, как геометрическая фигура «многогранник» используется в архитектурных сооружениях.

Сложилась гипотеза, согласно которой, применение разных геометрических форм в архитектуре, в том числе многогранников, способствует созданию разнообразных архитектурных сооружений, непохожих друг на друга.

В ходе данного исследования, помимо описательного метода, я применяла частично - поисковый и аналитический. Все методы обеспечиваются обоснованностью исходных теоретических данных, с опорой на некоторые доказательства.

Теоретическая база исследовательской работы состоит из вэб-страниц (schools.techno.ru/sch758/2003/geomet/, architecturesss.blogspot.ru, http:nips.riss-telecom.ru/poly/ и др.), справочных материалов, соответствующей специализированной литературы (Семенов Е.Е. «Изучаем геометрию», Смирнова И.М. «В мире многогранников», Литвиненко В.Н. «Многогранники. Задачи и решения» и т.п.).

Теоретическая значимость результатов исследования обусловлена анализом принципов и способов применения многогранных форм в архитектуре.

Это исследование помогло бы привлечь внимание окружающих к математике, в частности, к многогранным формам, окружающим нас в повседневной жизни.

1. История изучения многогранников.

История многогранников уходит в глубокую древность и связана с именами таких ученых как Пифагор, Евклид, Архимед, Платон и Кеплер. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская. Пифагорейцев поражала красота, совершенство и гармония правильных многоугольников. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр) стали называться Платоновыми телами. Среди ученых, исследовавших многогранники, особое место принадлежит Иоганну Кеплеру (1571-1630). Вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела его к мысли о том, что пяти правильным многогранникам соответствуют только шесть (как казалось тогда) планет Солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель имела единый центр - Солнце.

Идеи Пифагора, Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира вызывают сегодня лишь вежливую улыбку. Но эта теория нашла свое продолжение в интересной научной гипотезе московских инженеров начала 80-х годов ХХ века В.Макарова и В.Морозова, которые считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла [1]. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. В земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения мирового океана. В этих узлах находится озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

2. Правильные многогранники.

2.1. Виды правильных многогранников.

Многогранник - это часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (гранями), соединенных таким образом, что каждая сторона (ребро) любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем, вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый многогранник разрезает пространство на две части - внешнюю и внутреннюю. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и к каждой вершине примыкает одно и то же число граней. Если все грани - правильные р-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p, q}. Это обозначение в XIX веке было предложено швейцарским математиком Л.Шлефли.

Существует пять правильных многогранников. Простейший - правильный тетраэдр, гранями которого служат 4 равносторонних треугольника. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Тетраэдру соответствует запись {3, 3}. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180˚. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Это частный случай треугольной пирамиды. Тетраэдр не имеет центра симметрии. Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии. Плоскость α, проходящая через ребро АВ перпендикулярно к противоположному ребру СД, является плоскостью симметрии. (Приложение 2, Рисунок 1) У правильного тетраэдра - 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Наиболее известен из правильных многогранников куб. Это прямая квадратная призма, все шесть граней которой - квадраты. Так как к каждой вершине примыкают по 3 квадрата, куб обозначается {4, 3}. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270˚. У куба 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Куб имеет один центр симметрии - точку пересечения его диагоналей. Прямые a и b, проходящие соответственно через центры противоположных граней и середины двух противоположных ребер, не принадлежащих одной грани, являются его осями симметрии. (Приложение 2, Рисунок 2) Куб имеет 9 осей симметрии. Плоскостью симметрии куба является плоскость, проходящая через любые две оси симметрии. Таких плоскостей девять.

Если две конгруэнтные квадратные пирамиды с гранями, имеющими форму равносторонних треугольников, совместить основаниями, то получится правильный октаэдр. Он ограничен восемью равносторонними треугольниками, к каждой из вершин примыкают по 4 треугольника. Ему соответствует запись {3, 4}. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240˚. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер. Октаэдр имеет центр симметрии - свой центр, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Рассмотрим прямую правильную пятиугольную антипризму, грани которой - равносторонние треугольники, и две правильные пятиугольные пирамиды, основания которых конгруэнтны основанию антипризмы, а грани имеют форму равносторонних треугольников. Если эти пирамиды присоединить к антипризме, совместив их основания, то получится правильный икосаэдр, который обозначается {3, 5}. К каждой вершине примыкают по 5 граней. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300˚. Таким образом, икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер. Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Еще один правильный многогранник - додекаэдр {5, 3}. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324˚. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Додекаэдр имеет один центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

2.2. Некоторые свойства правильных многогранников.

1. В выпуклом многограннике все грани - выпуклые многоугольники.

Докажем. Пусть F - грань многогранника М; А и В - точки, принадлежащие грани F. (Приложение 2, Рисунок 3) Из условия выпуклости многогранника М следует, отрезок АВ целиком содержится в многограннике М. Так как отрезок лежит в плоскости многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом многоугольнике. То есть F - выпуклый многоугольник.

2. Выпуклый многогранник может быть представлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

Докажем. Пусть М - выпуклый многоугольник. S - произвольная точка многогранника М, не принадлежащая ни одной его грани. (Приложение 2, Рисунок 4) Соединим точку S с вершинами многогранника М отрезками. В силу выпуклости многогранника М все получившиеся отрезки и пирамиды целиком содержатся внутри многогранника М и все вместе составляют его.

3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Докажем. Предположим противное, то есть существуют точки А и В многогранника М, лежащие по разные стороны от плоскости некоторой его грани N. Рассмотрим пирамиды с вершинами в точках А и В, основаниями которых является грань N. (Приложение 2, Рисунок 5) В силу выпуклости многогранника, эти пирамиды целиком в нем содержатся.

4. В 1752 году Леонард Эйлер доказал свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, получившее название теоремы Эйлера, справедливой для любого выпуклого многогранника. (Приложение 1 Таблица).

Число вершин - число ребер + число граней = 2 (1)

5. Других видов правильных многогранников - нет.

Докажем. Так как каждое ребро в многограннике принадлежит ровно двум граням, а каждая грань имеет ровно p ребер, то, согласно теореме Эйлера: p · Г = 2Р

Поскольку каждое ребро имеет ровно два конца, а в каждой вершине сходится ровно q ребер, то q · В = 2Р. Итак, и (2)

Подставим отношение (2) в формулу Эйлера (1): (3)

Найдем Р из (3): P = (4)

Знаменатель дроби в (4) равен 4 - (p - 2)(q - 2). А так как знаменатель положителен, то (p - 2)(q - 2) < 4 (5)

С другой стороны, как число p сторон у грани, так и число q граней, сходящихся в вершине, не меньше 3. Поэтому уравнение (3) при условии p≥3 и q ≥3 имеет пять и только пять целочисленных решений (p , q): (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3).

К неравенству (5) можно также прийти, и рассматривая внутренние углы многогранников. Пусть {p, q} - произвольный правильный многогранник. Так как его гранями служат правильные р-угольники, градусная мера их внутренних углов будет равна 180 - или 180 (6)

Так как многогранник {p, q} выпуклый, сумма всех внутренних углов по граням, примыкающим к любой из его вершин, должна быть меньше 360˚. Но к каждой вершине примыкают q граней, значит, выполняется неравенство

180˚ q < 360˚ (7)

После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство (7) приводится к виду (5). Нетрудно определить, что p и q должны быть больше 2. Подставляя в (5) р = 3, мы обнаруживаем, что единственными допустимыми значениями q в этом случае являются 3, 4 и 5, т.е. получаем многогранники {3, 3}, {3, 4} и {3, 5}. При р = 4 единственным допустимым значением q является 3, т.е. многогранник {4, 3}. При р = 5 неравенству (5) также удовлетворяет только q = 3, т.е. многогранник {5, 3}. При p > 5 допустимых значений q не существует. Следовательно, других правильных многогранников, кроме тел Платона, не существует.

5. Правильным многогранникам свойственна двойственность: если считать центры граней тетраэдра вершинами нового многогранника, то вновь получится тетраэдр; центры граней куба образуют октаэдр; центры граней октаэдра образуют куб; центры граней додекаэдра образуют икосаэдр; центры граней икосаэдра - додекаэдр. (Приложение 2, Рисунок 7)

Кроме того, ребра правильного многогранника равны между собой и равны также все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром. Следовательно, радиус вписанной и описанной сферы многогранника совпадают. Вершины любого правильного многогранника лежат на сфере. Помимо этой сферы, называемой «описанной сферой», имеются еще две. Одна из них, «срединная сфера», проходит через середины всех ребер, а другая, «вписанная сфера», касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника.

Симметрия многогранника - такое его движение в пространстве, которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней. Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. [3] Рассмотрим прямую правильную р-угольную призму. Пусть a - прямая, соединяющая центры оснований. (Приложение 2, Рисунок 6) Поворот вокруг a на любое целое кратное угла ˚ является симметрией. Пусть p - плоскость, проходящая посередине между основаниями, параллельна им. Отражение относительно плоскости p (движение, переводящее любую точку A в точку B, такую, что p пересекает отрезок AB под прямым углом и делит его пополам) - еще одна симметрия. Комбинируя отражение относительно плоскости p с поворотом вокруг прямой a, мы получим еще одну симметрию. Любую симметрию многогранника можно представить в виде произведения отражений. Под произведением нескольких движений многогранника как твердого тела здесь понимается выполнение отдельных движений в определенном заранее установленном порядке. Например, упоминавшийся выше поворот на угол 360/р градусов вокруг прямой a есть произведение отражений относительно любых двух плоскостей, содержащих a и образующих относительно друг друга угол в 180/р градусов. Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае - обратной. Таким образом, любой поворот вокруг прямой - прямая симметрия. Любое отражение есть обратная симметрия.

Рассмотрим подробнее симметрии тетраэдра, т.е. правильного многогранника. Любая прямая, проходящая через любую вершину и центр тетраэдра, проходит через центр противоположной грани. Поворот на 120 или 240 градусов вокруг этой прямой принадлежит к числу симметрий тетраэдра. Так как у тетраэдра 4 вершины (и 4 грани), то мы получим всего 8 прямых симметрий. Любая прямая, проходящая через центр и середину ребра тетраэдра проходит через середину противоположного ребра. Поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг такой прямой также является симметрией. Так как у тетраэдра 3 пары ребер, мы получаем еще 3 прямые симметрии. Следовательно, общее число прямых симметрий, включая тождественное преобразование, доходит до 12. Можно показать, что других прямых симметрий не существует и что имеется 12 обратных симметрий. Таким образом, тетраэдр допускает всего 24 симметрии. Для наглядности полезно построить картонную модель правильного тетраэдра и убедиться, что тетраэдр действительно обладает 24 симметриями.

Еще в античной науке было установлено, что додекаэдр и икосаэдр основаны на «золотом сечении».

Рассмотрим еще вопрос: можно ли правильными многогранниками заполнить пространство так, чтобы между ними не было просветов. Оказывается, можно только с помощью одного правильного многогранника-куба. [2] Пространство можно заполнить и ромбическими додекаэдрами. Чтобы это понять, надо решить задачу.

Задача. С помощью семи кубов, образующих пространственный "крест", постройте ромбододекаэдр и покажите, что ими можно заполнить пространство.

Решение. Рассмотрим часть кубической решетки. (Приложение 2, Рисунок 8) Средний куб оставим нетронутым, а в каждом из "окаймляющих" кубов проведем плоскости через все шесть пар противолежащих ребер. "Окаймляющие" кубы разобьются на шесть равных пирамид с квадратными основаниями и боковыми ребрами, равными половине диагонали куба. Пирамиды, примыкающие к нетронутому кубу, и образуют вместе с последним ромбический додекаэдр. Значит, ромбическими додекаэдрами можно заполнить все пространство. Как следствие получаем, что объем ромбического додекаэдра равен удвоенному объему куба, ребро которого совпадает с меньшей диагональю грани додекаэдра. Интересно, что пчелиные ячейки также являются геометрическими фигурами. Верхняя часть пчелиной ячейки представляет собой часть ромбододекаэдра.

Итак, правильные многогранники открыли нам попытки ученых приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую привлекательность геометрии.

3. Пирамидальная форма в строительстве древнего мира.

Люди с древних времен, возводя свои жилища, думали, в первую очередь, об их прочности. Математик бы сказал, что здесь очень важна геометрическая форма (тело), в которое вписывается сооружение.

Самым прочным архитектурным сооружением считаются египетские пирамиды. Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей, а, значит, делает ее более прочной в условиях земного тяготения. Великая египетская пирамида в Гизе - это единственное из Семи чудес света, сохранившееся до наших дней. (Приложение 3, Фото 1) Она стоит уже почти пять тысяч лет.

Вообще, первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Первые архитектурные сооружения (Пирамида Луны, конец первого тысячелетия до н.э. - начало н.э.; Пирамида Тенаюка, XII - XV века; Пирамида Кукулькана, VIII - XII века) строились из камней, кусков глины, дерева и влажного песка. Построить такое сооружение - трудная инженерная задача: края блоков должны быть выверены и выравненны с самого начала строительства, иначе они не сойдутся в одной точке на вершине пирамиды. Ошибка даже в два градуса могла бы привести к катастрофическим результатам [5]. Остается удивляться, как без современных научных приборов древние египтяне могли определить направление на нужную точку в воздухе и строить прямо по направлению на нее.

Если мы рассмотрим архитектурные сооружения, которые строились человеком, то можно отметить, что уже тогда человек выбирал самые выразительные по форме и величине камни. Все это говорит о том, что дизайн архитектурного сооружения начинал свое развитие уже с древних времен.

4. Стоечно-балочная и арочно-сводчатая системы в архитектуре.

На смену пирамидам пришла стоечно-балочная система. С точки зрения геометрии она представляет собой многогранник, который получится, если мысленно на два вертикально стоящих прямоугольных параллелепипеда поставить еще один прямоугольный параллелепипед.

Простейшая стоечно-балочная конструкция в процессе своего развития получала различную художественную разработку, в результате чего на каждом этапе истории Египта складывалась определённая система взаимосвязи конструкции и её художественного истолкования путём придания ей индивидуального характера, соответствующих пропорций, особых деталей, пластики и декоративных украшений. Эта система получила условное название ордера.

В развитии египетского ордера особенно заметные изменения наблюдаются в форме опор - столбов и колонн. Для раннего периода характерны опоры геометрически правильной формы, позднее (Новое царство) получают широкое распространение более сложные колонны, обычно подражающие формам растительного мира.

Египтяне умели строить и настоящие своды, но делали они это только исключительно при строительстве усыпальниц из кирпича, при возведении складских помещений и прокладке каналов. Лестницы стали использоваться гораздо позже, до этого в большинстве случаев для соединения различных уровней и этажей здания пользовались наклонной плоскостью - пандусом [9].

Чтобы стены зданий пересекались под прямым углом, использовалось известное древним египтянам соотношение сторон треугольника 3:4:5; угол между сторонами длиной 3 и 4 единицы - обязательно прямой, поэтому отношение короткой и длинной сторон плана помещения первоначально принимали равным 3:4. Позднее соотношение катетов египетского треугольника было заменено соотношением сторон прямоугольника, длину которых назначали по правилам золотой пропорции. Золотое сечение, золотую пропорцию размеров сторон помещения, высоты и ширины дверных и оконных проёмов находили делением отрезка длиной а в крайнем и среднем отношении. Делением его на две такие части x и (a - x) , большая из которых x будет средним геометрическим между длинами а и (а - x). Размер x находят из математической пропорции а:x = x:(а - x), откуда, положив а = 1, получают квадратное уравнение x² + x - 1 = 0 и далее x ≈ 0,618. Следовательно, размеры сторон прямоугольника будут равны 0,618 и 1 - 0,618 ≈ 0,382, а их отношение 0,618:0,382 ≈ 1,62 [6].

Камень плохо работает на изгиб, но хорошо работает на сжатие. Это привело к использованию в архитектуре арок и сводов. Так возникла новая арочно-сводчатая конструкция. С появлением арочно-сводчатой конструкции в архитектуру прямых линий и плоскостей, вошли окружности, круги, сферы и круговые цилиндры. Первоначально в архитектуре использовались только полуциркульные арки или полусферические купола. Это означает, что граница арки представляла собой полуокружность, а купол - половину сферы [8]. Арочно-сводчатая конструкция позволяла древнеримским архитекторам возводить гигантские сооружения из камня. К ним относится знаменитый Колизей или амфитеатр Флавиев.

Нужно заметить, что до сих пор стоечно-балочная конструкция является наиболее распространенной в строительстве. Большинство современных зданий в своей основе имеют именно стоечно-балочную конструкцию (Приложение 3, Фото 2).

5. Особенности архитектурных строений XII -XVII веков.

В XII веке архитектура понимается уже как наука, как геометрия, имеющая практическое приложение. Усложнившаяся архитектурная практика готической эпохи, требовала от архитекторов специальных математических знаний. Готические сооружения были устремлены ввысь, поражали величественностью, главным образом за счет высоты. В их формах широко использовались пирамиды и конусы, гармонично сочетались множественные объёмы многогранников, объединённых в единую пирамидальную композицию. Были воздвигнуты величественные и обширные готические храмы и соборы, архитектура которых поражает многообразием форм многогранников, где единство и логика пропорционального строя пронизывали все многообразие архитектурных элементов. (Приложение 3, Фото 3). В процессе возведения готического храма перед архитектором вставали сложнейшие конструктивные задачи. Их конструкторская и техническая мысль носила чисто эмпирический характер. Геометрические методы позволяли архитектору готической эпохи определить пропорции здания, курватуру сводов и арок, толщину сводов и опор. С их помощью он выяснял взаимодействие сил распора и противостоящих ему сил и нагрузку, падающую на несущие части архитектурной конструкции. Они помогали ему при создании проекта будущего сооружения и при определении основных элементов архитектурной композиции, ее скульптурной и живописной декорации [9]. В XIII-XVII вв. многогранники были основой архитектурных строений, больше всего применялись кубы, но по мере развития, нашли применения и другие виды многогранников, такие как тетраэдр.

Геометрия сопровождала средневекового архитектора на всем его творческом пути, воспитывая его глаз на красоте геометрических форм, чистоте линий и точности пропорциональных соотношений. Она начиналась, когда готический архитектор приступал к созданию плана будущего сооружения, который он обычно не выражал в масштабе, лишь приблизительно намечая основные соотношения всех частей предполагаемого здания.

6. Применение принципов науки к решению проблем человечества.

Популяризатором геодезиков XX столетия был американский архитектор и инженер Фуллер Ричард Бакминстер, изучавший в конце 40-х годов свойства куполов. Фуллер надеялся, что геодезики помогут решить послевоенный жилищный кризис. Его заинтересовала конструкция геодезического купола прежде всего благодаря малой массе при большом внутреннем пространстве (геодезическая линия - это линия, соединяющая две точки на изогнутой поверхности) [7]. Размышляя о геометрических понятиях, Фуллер пришел к выводу, что можно создать восьмиугольную конструкцию, используя для этого прутья, изготовленные в виде переплетающихся треугольников.

Форма купола образуется благодаря особому соединению балок - в каждом узле сходятся ребра слегка различной длины, которые в целом образуют многогранник, близкий по форме к сегменту сферы (Приложение 3, Фото 4). Эта уникальная, куполообразная конструкция представляется в виде многогранника (икосаэдра), то есть двадцатигранника со сторонами в виде правильных треугольников. Эта фигура и разворачивается на плоскость, давая неискаженные соотношения по всей поверхности.

Чтобы понять, насколько новаторской и радикальной является идея создания геодезического купола, посмотрите на здания, которые вас окружают. Сколько из них имеют прямые углы? Скорее всего, вы ответите: «Все». В геодезическом куполе нет прямых углов. Ни одного!

Купола имеют ряд преимуществ, которые делают их уникальными архитектурными сооружениями. Это сетчатая оболочка, обладающая большой несущей способностью, причем, чем больше купол, тем она выше. Также эта конструкция обладает очень хорошими характеристиками прочности. Благодаря своей уникальной структуре, купол может принимать любые формы. Он представляет собой полусферу, а поскольку сферы охватывают наибольший объем при наименьшем пространстве, геодезический купол, согласно законам природы, позволяет, используя минимальное количество строительных материалов, охватить наибольшую площадь. Он является воплощением оригинальной идеи «сделай больше, затратив меньше». Простые сооружения создаются очень быстро из достаточно лёгких элементов силами небольшой строительной группы: структуры до 50 м собираются даже без строительного крана. На строительство купола требуется на 60% меньше строительных материалов, чем на сооружение обычной конструкции подобного размера.

Всего построено около трехсот тысяч «геодезических куполов», они широко используются как ангары, склады, оранжереи, планетарии, аудитории, эксплуатируются как жилища в местах со сложными погодными условиями (купол на Южном полюсе). Геодезические купола используются при создании туристических палаток, конференц-центров и кинотеатров. Эта конструкция рассматривается как подходящая для организации постоянно обитаемых станций на Луне и Марсе. [4]

Однако есть и недостатки. Обычно современные материалы для создания граней купола имеют прямоугольное сечение, их приходится дополнительно обрабатывать, придавая треугольное, из-за чего появляется много лишних отходов. Кроме того, из-за высокой стоимости жилые купола также не оправдали своих надежд. Хотя встречаются и куполообразные жилые дома (Приложение 3, Фото 5).

Благодаря своему футуристическому виду геодезики попали во множество фантастических произведений. В ряде из них купола накрывают целые колонии людей, осваивающих планеты звёздных систем. Также геодезические купола являются ключевым архитектурным элементом в произведениях из трилогии «Киберпространство» Уильяма Гибсона. Геодезический купол - одно из самых прочных сооружений на планете, а также одно из самых легких, дешевых, быстрых и простых в возведении.

7. Особенности архитектурных строений в моем окружении.

В ходе исследовательской работы меня заинтересовал такой вопрос: а какие формы архитектурных сооружений встречаются в моем окружении? Прежде всего, конечно же, это широко распространенные обычные здания, имеющие формы всевозможных прямых параллелепипедов. Их оказалось абсолютное большинство.

Есть и уникальные архитектурные сооружения! Кто был в Москве, знает, как красив Московский Кремль. Прекрасны его башни! Сколько интересных геометрических фигур положено в их основу! Вот, например, Набатная башня. На высоком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше, с проемами для окон, а еще выше воздвигнута четырехугольная усеченная пирамида (Приложение 3, Фото 7). На ней расположены четыре арки, увенчанные восьмиугольной пирамидой. В Спасской башне Московского кремля в основании можно увидеть прямой параллелепипед, переходящий в средней части в фигуру, приближающуюся к цилиндру. Завершается же она пирамидой. (Приложение 3, Фото 6) Таким образом, можно говорить о пространственных геометрических фигурах, которые служат основой сооружения в целом или отдельных его частей.

Заслуживают внимания здания православных храмов нашего города Мичуринска. Церковь Илии-пророка на площади имени Мичурина (Приложение 3, Фото 10) и гордость нашего города, памятник архитектуры федерального значения, храмовое сооружение второй половины XIX века, кафедральный собор Мичуринской епархии - Боголюбский (Приложение 3, Фото 9). Рассматривая эту церковь, я заметила, что основание Храма выполнено в виде равноконечного креста с одинаковыми фасадами с четырех сторон. Фасады подчинены точным законам осевой симметрии. Каждый фасад Храма делится четырьмя столбами-колоннами на три части, из которых средняя больше крайних. Все строение увенчано пятью шлемовидными главами. Круглая стена средней главы лежит на восьмигранном основании. Прочие главы находятся на выходящих между выступами углах и имеют форму восьмиугольных башен. Стиль куполов соответствует общему характеру здания: они вверху сужаются, подобно главам всех русских церквей.

Мое внимание привлекли также здания, в форме которых гармонично сочетаются множественные объёмы параллелепипедов, четырехгранных призм, объединённых в единую композицию, усложненных всевозможными барельефами, колоннами, полуцилиндрическими выступами или выемками. Это здания Мичуринского педагогического института, железнодорожного вокзала, Драматического театра (Приложение 3, Фото 11, 12, 13). Как писали «Тамбовские губернские ведомости» XIX века о здании Драматического театра: «здание не отличается вычурной архитектурой, но довольно обширно и симпатично». Конечно же, заслуживает внимания и архитектура здания моей школы, где геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел (Приложение 4, Фото 8). Это гармоничный комплекс, состоящий из двух прямых параллелепипедов различных по длине, но равных по высоте, примыкающих друг к другу. Кроме того, со стороны фасада к центральной части примыкает фигура, состоящая из двух полуцилиндров разного диаметра, расположенных один на другом. Стены заполнены вертикальными рядами окон. Крыша представляет собой сложное сочетание трехгранных призм, пирамид и фигур, приближающихся к конусу и усеченному конусу. В целом, архитектура здания школы определена единой закономерностью, симметричностью, что обеспечивает восприятие целостности и представление о порядке. Главное достоинство здания нашей школы - необычайной красоты фасад.

8. Дом моей мечты.

Анализируя некоторые архитектурные сооружения, и сравнивая геометрические формы, входящие в их конструкции, можно заметить, что, несмотря на похожесть зданий, в архитектуре каждого есть такие геометрические формы, которые делают их различными.

Работая над данным проектом, я задалась вопросом: «Каким бы я хотела видеть дом своей мечты?».

Ну, прежде всего, дом моей мечты должен быть необычным, выделяться своей архитектурой, как бы выпадая из контекста окружающей застройки, говоря "Посмотрите на меня!".

Я постаралась изобразить свои фантазии на бумаге, и в результате получилось ярко выраженное авангардное здание (Приложение 3 Фото 14). Все составляющие элементы архитектуры компонуются с помощью изгибов взятой за основу призматической формы. Некоторые их части существуют внутри этой формы, другие явно принадлежат улице, не покидая при этом зоны интерьера.

Я причисляю себя к числу людей, называемых экстравертами. Это люди, которые открыты внешнему миру и любят живое общение. А еще я очень люблю свет. Поэтому большая часть дома у меня будет выполнена в архитектурном стиле "Хай Тек", где вся конструкция открыта для обозрения и можно видеть геометрию линий, которые идут параллельно или пересекаются, образуя ажурное пространство сооружения. Внешнее и внутреннее пространство дома объединено благодаря масштабным окнам и сложной геометрии элементов в конструкции. Кроме того, стеклянные фасады создают эффект зависания массивных балок в воздухе. Поэтому, находясь в гостиной, внутри здания, мы в то же время, как бы погружены в окружающий ландшафт. Все внутреннее пространство хорошо освещено, а удобные лестницы позволяют комфортно перемещаться.

Думаю, что в таком доме будет уютно и комфортно!

Выводы

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. В результате проведенной исследовательской работы, проанализировав литературу и изучив многогранники, я сделала вывод, о том, что действительно многогранники нашли широкое применение в архитектуре. Современные здания и старинные церкви, построенные в форме многогранников, скрывают в себе некую тайну, встретившись с которой, человек считает необходимым разгадать её. Именно это завораживает и интригует взгляды людей.

Моя гипотеза о том, что применение разных геометрических форм в архитектуре, в том числе многогранников, способствует созданию разнообразных архитектурных сооружений, непохожих друг на друга, нашла свое подтверждение. Выполнив эту работу, я узнала много нового и интересного. Многогранники, как простейшие и красивые пространственные формы, применялись уже в древние и средние века. И сегодня определенные принципы науки применяют к решению некоторых проблем человечества. Математика предлагает архитектору ряд, если так можно назвать, общих правил организации частей в целое, которые помогают:

• расположить эти части в пространстве, так, что в них проявлялся порядок;

• установить определенное соотношение между размерами частей и задать для изменения размеров (уменьшения или увеличения) определенную единую закономерность, что обеспечивает восприятие целостности и представление о порядке;

• выделить определенное место в пространстве, где будет размещаться сооружение, описать его определенной математической формой, которая также позволит выделить его из других сооружений и внести в их состав, создав новую композицию, новый архитектурный ансамбль.

Заключение

Наука геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. В конечном счете, в основе всей техники, так или иначе, лежит геометрия, потому что она появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров.

И технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему, и людям искусства геометрическое воображение необходимо, как геометру или архитектору. Математика, в частности геометрия, представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники и преобразования мира.

Мое исследование показало, что проблема исследования многогранников была насущной всегда. Правильные многогранники имеют красивые формы. Они являются удивительным символом симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. Этим объясняется непрекращающийся интерес человека к многогранникам.

История изучения и изображения многогранников являет собой яркий пример взаимопроникновения различных областей знания, неразрывности понятий «наука» и «искусство» как различных способов познания мира, двух основных составляющих единого целого - культуры, главного наследия человеческой цивилизации.

Часто в архитектурном сооружении сочетаются различные геометрические фигуры, что позволяет создавать разнообразные архитектурные сооружения, непохожие друг на друга. Таким образом, можно говорить о пространственных геометрических фигурах, которые служат основой сооружения в целом или отдельных его частей.

Благодаря правильным многогранникам, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии. Формы многогранников придают зданиям особый вид. Многогранники в архитектуре необходимы. Ведь это не просто красивые и большие здания, это прочные, надёжные и уникальные сооружения, которые ещё много лет будут поражать своей точностью, величественностью и таинственностью. Правы арабы в том, что всё на свете страшится времени. Но больше всего они правы в том, что время страшится пирамид.

Математика предлагает архитектору ряд общих правил организации частей в целое, которые помогают расположить эти части в пространстве, так, что в них проявляется порядок.

Библиографический список

1. Кац Е.А. Искусство и наука - о многогранниках вообще и усеченном икосаэдре в частности, Издательство «Энергия», 2002, №10, с.42-47; №11, с.45-50; №12, с.56-60.

2. Литвиненко В.Н. Многогранники. Задачи и решения:- Москва: «Вита-Пресс», 1995.

3. Смирнова И.М. В мире многогранников: Книга для учащихся.- Москва: Просвещение, 1995.

4. Стахов А.П. «Код да Винчи», Платоновы и Архимедовы тела, квазикристаллы, фуллерены, решетки Пенроуза и художественный мир Матюшки Тейи Крашек // «Академия Тринитаризма», Москва, Эл № 77-6567, публ.12561, 07.11.2005.

5. Я познаю мир: Детская энциклопедия. Архитектура.1990

6. schools.techno.ru/sch758/2003/geomet/new!!/prav.html

7. slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00048/75500.htm

8. architecturesss.blogspot.ru/2010/12/blog-post_14.html

9. ru. wikipedia. org

Приложение 1. Таблица . Связь вершин, ребер и граней

Название

Запись Шлефли

Число вершин

Число ребер

Число граней

Тетраэдр

{3,3}

4

6

4

Куб

{4,3}

8

12

6

Октаэдр

{3,4}

6

12

8

Икосаэдр

{3,5}

12

30

20

Додекаэдр

{5,3}

20

30

12

Приложение 2. Рисунки.

Рисунок 1. Симметрия тетраэдра

Рисунок 2. Оси симметрии куба

Рисунок 3. Отрезок целиком в многограннике М

Рисунок 4. Внутренняя точка S многогранника М

Рисунок 5.

Пирамиды с вершинами А и В

Рисунок 6.

Отражение многогранника

Приложение 2. Рисунок 7. Двойственность многогранников

Тетраэдр

Куб

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

Приложение 2. Рисунок 8. Заполнение кубами пространства

Приложение 3. Фото.

Фото 1. Великая пирамида в Гизе

Фото 2. Стоечно-балочный каркас

Фото 3. Готические сооружения

Фото 4. Сетчатая оболочка геодезического купола

Фото 5. Куполообразный домик в штате Миссури

Фото 6. Спасская башня

Фото 7. Набатная башня

Фото 8. Здание Глазковской школы

Фото 9. Боголюбская церковь

Фото 10. Церковь Илии-пророка

Фото 11. Драмтеатр

Фото 12. Педагогический институт

Фото 13. Железнодорожный вокзал

Фото 14. Дом моей мечты

29