Олимпиадные задания для 10 класса

Центр дистанционного образования «Прояви себя»

Всероссийская интернет-олимпиада.

Св-во о гос. регистрации серия 70 №001697583.

Св-во о регистрации сетевого издания (СМИ)

ЭЛ № ФС 77 - 61157, выдано Роскомнадзором.

Сайт: internet-olimpiada.ru .

E-mail: [email protected] .

ЗАДАНИЯ

Всероссийской интернет-олимпиады по математике для 10-х классов.

Инструкции для участников.

Обращаем Ваше внимание на следующие важные моменты:

1. Ответы к заданиям высылаются с 09:00 (мск) 09 ноября до 09:00 (мск) 12 ноября 2015 года с помощью специальной формы, расположенной по ссылке:

internet-olimpiada.ru/forma.php .

Перед внесением ответов, пожалуйста, внимательно ознакомьтесь с инструкций по заполнению формы. Инструкция опубликована по ссылке:

internet-olimpiada.ru/Instr_internet-olimpiada.ru.doc .

Перед отправкой ответов с помощью специальной формы рекомендуем воспользоваться тренировочной формой, чтобы понять как работает система ставок. Тренировочная форма расположена по ссылке:

internet-olimpiada.ru/forma2.php .

2. Ответом на любое задание может быть только целое или дробное число. В случае дробного числа целая и дробная части разделяются точкой.

Положительные числа указываются без символа «+». Отрицательные числа указываются с символом «-», пробел между символом «-» и первой цифрой числа не ставится.

3. Размерности в ответе не указываются, только числовое значение. При этом обращайте внимание, в каких единицах необходимо выразить ответ.

4. В случае успешной отправки ответов с помощью специальной формы после нажатия кнопки "Отправить ответы" на странице появится соответствующее уведомление.

5. Результаты интернет-олимпиады, в том числе баллы каждого участника, будут доступны в 09:00 (мск) 15 ноября 2015 года по ссылке:

internet-olimpiada.ru/results.php .

По этой же ссылке в это же время будет открыт доступ для скачивания электронных дипломов.

Желаем Вам успешного участия!

Задание №1. Турнир, в котором участвовало 20 спортсменов, судили 10 арбитров. Каждый сыграл с каждым один раз, и каждую встречу судил ровно один арбитр. После окончания каждой игры оба участника фотографировались с арбитром. Через год после турнира была найдена стопка из всех этих фотографий (по фотографии неясно, кто на ней игроки, а кто -- арбитр). Оказалось, что не про каждого можно определить, кем он является -- спортсменом или арбитром. Сколько могло быть таких людей?

Задание №2. По кругу стоят 11 натуральных чисел. Известно, что любые два соседних числа различаются хотя бы на 20, а сумма любых двух соседних чисел не меньше ста. Найдите минимальную возможную сумму всех чисел.

Задание №3. 2015 складов соединены дорогами так, что от любого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по x₁, …, x₂₀₁₅ кг цемента соответственно. За один рейс можно провезти с произвольного склада на другой склад по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по y1, …, y₂₀₁₅ кг цемента соответственно, причём x₁ + x₂ + . . . + x₂₀₁₅ = y₁ + y₂ + . . . + y₂₀₁₅. За какое минимальное количество рейсов можно выполнить план при любых значениях чисел x_i и y_i и любой схеме дорог?

Задание №4. В шахматном турнире участвовали 8 шахматистов, причем каждый сыграл с каждым ровно по одной партии. Известно, что любые два шахматиста, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное число очков. Найдите наибольшее возможное число ничьих в этом турнире. (За выигрыш партии шахматисту начисляется 1 очко, за ничью - 1/2 очка, за поражение - 0).

Задание №5. Доктор дал своему пациенту пакетик с таблетками и указал ему принимать ежедневно по четверти таблетки. Пациент последовал указаниям доктора и ежедневно принимал лекарство, вынимая из пакетика таблетки наугад. Если пациенту попадалась целая таблетка, то он делил её на четвертинки, одну из которых принимал, а остальные возвращал обратно в пакетик. Если пациенту попадалась четвертинка, то он её проглатывал. Через месяц приёма лекарства оказалось, что в пакетике в 8 раз больше четвертинок, чем целых таблеток. Ещё через три месяца в пакетике осталось 5 целых таблеток и некоторое количество четвертинок. Сколько таблеток было в пакетике изначально, т.е. до начала приёма лекарства?

Задание №6. Прямую палку длиной 2 метра распилили на N палочек, длина каждой из которых выражается целым числом сантиметров. При каком наименьшем N можно гарантировать, что, использовав все получившиеся палочки, можно, не ломая их, сложить контур некоторого прямоугольника?

Задание №7. К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел, в ответе укажите их количество.

Задание №8. В олимпиаде участвовали 2006 школьников. Оказалось, что школьник Вася из всех шести задач решил только одну, а также что участников, решивших

• хотя бы 1 задачу, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 2;

• хотя бы 2 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 3;

• хотя бы 3 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 4;

• хотя бы 4 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 5;

• хотя бы 5 задач, в 4 раза больше, чем решивших все 6.

Сколько школьников не решили ни одной задачи?

Задание №9. Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?

Задание №10. У Васи есть 100 банковских карточек. Вася знает, что на одной из карточек лежит 1 рубль, на другой - 2 рубля, и так далее, на последней - 100 рублей, но не знает, на какой из карточек сколько денег. Вася может вставить карточку в банкомат и запросить некоторую сумму. Банкомат выдает требуемую сумму, если она на карточке есть, не выдает ничего, если таких денег на карточке нет, а карточку съедает в любом случае. При этом банкомат не показывает, сколько денег было на карточке. Какое наибольшее количество рублей Вася может гарантированно получить?

3