Задание для 9класса по теме Числовые последовательнеости

Задания для 9класса.

Изучить!

9.3.1. Числовая последовательность

Функция a_n=f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;...) называется числовой последовательностью.

Числа a₁; a₂; a₃; a₄;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a₁=f (1); a₂=f (2); a₃=f (3); a₄=f (4);…

Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов - порядковых номеров их членов: a₁; a₂; a₃; a₄;…, следовательно, a₁ - первый член последовательности;

a₂ - второй член последовательности;

a₃ - третий член последовательности;

a₄ - четвертый член последовательности и т.д.

Кратко числовую последовательность записывают так: a_n=f (n) или {a_n}.

Существуют следующие способы задания числовой последовательности:

1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.

Пример 1. Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.

Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Задайте ее словесным способом.

Решение. Замечаем, что 1=1²; 4=2²; 9=3²; 16=4²; 25=5²; 36=6²; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.

2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: a_n=f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.

Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: a_k = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.

Решение.

a₁=3+2∙(1+1)=3+4=7;

a₂=3+2∙(2+1)=3+6=9;

a₃=3+2∙(3+1)=3+8=11;

a₄=3+2∙(4+1)=3+10=13.

Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k - натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; ... . Ответ: a_k=2k-1.

3) Рекуррентный способ. Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности {a_n},

если a₁=7; a_n+1 = 5+a_n.

Решение.

a₂ =5+a₁=5+7=12;

a₃ =5+a₂=5+12=17;

a₄ =5+a₃=5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... .

Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности {b_n},

если b₁ = -2, b₂ = 3; b_n+2 = 2b_n +b_n+1.

Решение.

b₃ = 2∙b₁ + b₂ = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b₄ = 2∙b₂ + b₃ = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b₅ = 2∙b₃ + b₄ = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Ответ: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек - натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; ... . Ординаты - значения членов последовательности: a₁; a₂; a₃; a₄;… .

Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.

Решение.

Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; a_n). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n.

Получаем: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).

Следовательно, a₁= -3; a₂=1; a₃=4; a₄=6; a₅ =7.

Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.

Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).

Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.

Числовую последовательность называют возрастающей, если ее члены возрастают (a_n+1>a_n) и убывающей, если ее члены убывают (a_n+1n).

Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными.

Пройти тест по этой теме можно здесь.

ИЗУЧИТЬ ТЕМУ ПО ДАННОМУ ВИДЕО УРОКУ

interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/progressii/chislovaya-posledovatelnost-i-sposoby-ee-zadaniya

ВСЕ ЗАПИСИ ДОЛЖНЫ БЫТЬ В ТЕТРАДИ.

РЕШАТЬ ВАРИАНТЫ ГИА