Урок по алгебре 8 класс

МОУ «ТС СОШ №2» г. ТАРКО-САЛЕ

РАЗРАБОТКА УРОКА:

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ

ЛИНЕЙНЫХ

УРАВНЕНИЙ

(С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ)

С ПАРАМЕТРАМИ

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

СЕМЕНОВА Т.Н.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Перед Вами конспект урока по теме: Решение систем линейных уравнений (с двумя неизвестными) с параметрами. Это урок - введения нового материала. На этом уроке может создаваться ситуация, когда учащиеся либо сами «открывают» новые термины, формулируют новые для них определения, либо подготавливаются к их пониманию, к сознательному восприятию нового материала. Учитывая, что данная тема находится в начале курса изучения параметров, сложна в изучении, абстрактна, я избрала подход для изложения материала, используя эвристический метод и, для облегчения восприятия, попыталась весь теоретический материал максимально проиллюстрировать, сделать визуально доступным, опереть изложение на ранее изучаемый материал. Теоретические выкладки связываются со зрительными образами, а значит у учащихся формируются устойчивые обобщенные ассоциации, материал лучше усваивается. Все рассуждения по введению нового материала связанные с рассмотрением графиков, применением свойств линейной функции, изученных ранее, являются стимулирующими звеньями, эти рассуждения вклиниваются между процессами осознания вопроса и представления ответа, активизируют мыслительную деятельность, углубляют понимание. Повторение ранее изученного материала имеет на данном уроке важное значение. Данный урок рассчитан на учащихся с достаточно высоким уровнем подготовки по математике.

ТЕМА: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

УРАВНЕНИЙ (С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ) С ПАРАМЕТРАМИ. (2 часа)

ЦЕЛЬ УРОКА: формирование умения решать системы линейных уравнений с параметром

ТИП УРОКА: введение нового материала

УЧЕБНЫЕ ЗАДАЧИ: наблюдение, анализ свойств объекта, сравнение объектов и их свойств, синтез объектов или их свойств, обобщение, формулировка суждения об общих существенных признаках объектов.

ЗНАНИЯ И НАВЫКИ: знать определение системы линейных уравнений, зависимость количества решений системы линейных уравнений от коэффициентов системы.

ПОВТОРЕНИЕ: линейная функция, свойства, график; взаимное расположение двух прямых на плоскости.

СОДЕРЖАНИЕ УРОКА:

1. Актуализация знаний (повторение):

Для подготовки восприятия нового материала на предыдущем уроке учащимся предлагается повторить теоретический материал по теме линейная функция, расположение двух прямых на плоскости, по желанию можно предложить кому-то из учащихся подготовить или пленки для графопроектора или маленькую презентацию для интерактивной доски ( в зависимости от оснащенности кабинета):

y=kx+b - линейная функция, график - прямая, уравнение может быть переписано в виде a₁x+b₁ = с₁

На плоскости прямые могут располагаться: совпадать, пересекаться, быть параллельными.

Если прямые параллельны

Если прямые пересекаются

Если прямые совпадают

Вспомним определение системы линейных уравнений, определение решения системы линейных уравнений:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: Системой линейных уравнений с двумя переменными называется два линейных уравнения, рассматриваемых совместно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Решением системы линейных уравнений называются такие пары чисел (х_о, у_о), которые являются решениями одновременно и первого и второго уравнения системы.

Как можно сформулировать определение системы и решения системы линейных уравнений с графической точки зрения ( многие учащиеся без труда формулируют новое определение)?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3: Система линейных уравнений с двумя переменными отражает взаимное расположение двух прямых на плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4: Решением системы линейных уравнений называются координаты точек, принадлежащих графикам обеих функций.

Давайте, вспомнив условия взаимного расположения прямых на плоскости, попытаемся сформулировать критерии, когда система будет иметь одно решение, множество решений, не будет иметь решений. Предложения ребят оформляем в блок-схему (для экономии времени учитель может заранее подготовить карточки для учащихся с этими схемами).

БЛОК - СХЕМА

a₁x+b₁ = с₁

a₂x+b₂ = с₂

нет решений

одно решение

множество решений

На мой взгляд, данная подача материала позволяет добиться стойкого запоминания схемы, так как повторение в начале урока и графики являются стимулирующими звеньями, приводит к формированию прочных и устойчивых обобщенных ассоциаций.

2. Введение нового материала:

Приступаем к решению задач, опираясь на блок-схему:

Пример 1. При каких значениях параметра а система

2х-3у = 7,

ах-6у = 14:

а) имеет бесконечное множество решений; б) имеет единственное решение?

Решение.

1 способ: Данная система уравнений является линейной, причем коэффициенты первого уравнения отличны от нуля. Воспользуемся данными блок-схемы.

1. Система имеет бесконечное множество решений, если:

б) Система имеет единственное решение, если:

Обратить внимание на то, что уравнения поменяли местами, так как число а неопределенно. В нашем случае а = 0 явля-тся решением в случае б), чтобы не было недоумений с делением на нуль, лучше вторым считать то уравнение, в котором все коэффициенты определены и не равны нулю.

Иногда трудно сделать вывод о значениях параметра, решая систему по блок-схеме. На мой взгляд, полезно напомнить учащимся способ подстановки,который сводит решение системы к решению линейного уравнения с параметром для самопроверки в затруднительном случае.

2 способ: выразим из первого уравнения х, х=1,5у+3,5 и подставим во второе уравнение, получим (1,5а-6)у=14-3,5а, тогда

а=4, 0у=0, система имеет бесконечное множество решений,

а, у=, система имеет единственное решение.

Ответ: а) если а = 4, то система имеет бесконечное множество решений; б) если

а4, то решение единственное.

Пример 2. Решите систему уравнений:

х+(т+1)у=1;

х+2у=п.

Решение. Данная система уравнений является линейной. Воспользуемся данными схемы .

а) Система имеет единственное решение, если тоесть m1 .

Решим систему при m1

х = 1-(m + 1)у,

х = n-2у.

1 - (m + l)y = n - 2у; 2у-(m+1)у = n-1; у(1-m)= n-1;

, где m≠1 и n любое число, решение единственное ( ; )

Найдем х, воспользовавшись любым уравнением системы:

x=n-2× x=; x=.

б) Система не имеет решений,если =, то есть при m=1, n≠1.

в) Система имеет бесконечное множество решений, если:

то есть m=1, n=1, решение (х_о,) х_о-любое число.

Ответ: m=1, n≠1 решений нет;

m=1, n=1, решение (х_о,) х_о-любое число;

m≠1 и n любое число, решение единственное (;).

Пример3:

(Предложить ученикам выполнить это задание самостоятельно с последующей проверкой.) Решите систему

х = а-у;

х = b+Зу.

Ответ: система имеет единственное решение:(;).

Пример4: Графики функций у=(4-а)х+а и у=ах+2 пересекаются в точке с абсциссой,равной-2. Найдите ординату точки пересечения.

Решение: Так как графики пересекаются в точке с абсциссой, равной-2, то х=-2 является

Решением следущей системы:

у=(4-а)х+а,

у=ах+2;

тогда имеем:

у=(4-а)(-2)+а,

у=а(-2)+2;

у=-8+3а,

у=-2а+2;

-8+3а=-2а+2; 5а=10; а=2.

Найдем ординату у, подставив х и а в любое уравнение сис­темы:у=2 • (-2)+ 2, у = -2. Ответ: - 2.

Пример 5. (Предложить ученикам выполнить это задание самостоятельно с последующа) проверкой.) Графики функций у = кх-4иу = 2х+b симметричны относительно оси абсцисс.

а) Найдите b и к.

б) Найдите точку пересечения этих графиков.

Решение. Графики симметричны относительно оси абсцисс, следовательно, b = 4, а графики пересекаются в некоторой точке (х; 0). Получим систему:

2х + 4 = 0,

kх-4 = 0;

х = -2,

к = -2.

В результате точка пересечения графиков у = кх-4 и

у = 2х + b (-2;0).

Ответ: а) b= 4, к = -2; б) (-2; 0).

Пример 6. Решите уравнение |х - 2| + |х + а\ = 0.

Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательно, то можно перейти к системе:

х-2 = 0,

х + а = 0;

х = 2,

х = -а.

Эта система имеет решение, если -а = 2; а = -2.

Ответ: если а = -2, то х = 2; если а ≠ -2, то решений нет.

III. Решение задач.

1) Решите систему уравнений:
ax + y = а²,
х + ау = 1.

2) Найдите все значения параметра т, при которых система
2х-3 = 0,
mx + y(m-l) = l,5

имеет единственное решениею

3)Найдите все значения параметра р, при которых система
(р + 1)х + 8у = 4р,
рх +(р + 3)у = Зр-1

имеет бесконечное множество решений.

4) Найдите все значения параметра m , при которых система
a²x + (2-a)y = 4 + а²,

ах + (2а-1)у = а⁵-2 не имеет решений.

5)В зависимости от параметра а выясните взаимное распо­ложение прямых:

а) а х-у =-2a

х - ау = 2;

б)-9х + ау + За² = 0, у = ах - а³;

в) (а + 1)х + Зу + а = 0, х + (а - 1)у - а = 0.

Ответы: 1) При а = 1 х - любое, у = 1- х;

при а = -1 решений нет;

при а ≠±1 х=

2)Приm≠1. 3) При р=1. 4) При а = ±1.

5. а) При а = ± 1 прямые параллельны; при а ≠ ±1 прямые пересекаются;

6. при а = ± 3 прямые параллельны; при а ≠ ± 3 прямые пе­ресекаются;

в) при а = -2 прямые совпадают, при a= 2 прямые парал­лельны, при а ≠ ± 2 прямые пересекаются.

Домашнее задание.

1. При каких значениях параметра b система уравнений
Зх-2у = 5,

6х-4у = b

а) имеет бесконечное множество решений;

б) не имеет решений?

2. Графики функций у = ах + 3иу=(2-а)х+а пересекаются в точке с абсциссой

-1. Найдите ординату точки пересечения графиков.

3. Графики функций = 4х + b b у = кх + 6 симметричны относительно оси ординат.

а) Найдите b и к.

б) Найдите координаты точки пересечения этих графиков.

4. Решите систему уравнений:
mх + у =1,

х + nу=-1

Ответы: 1. а) b= 10; б)b≠10.

2.y=

3. a)b = 6,k =-4. б)(0;6).

4. При mn = 1 и m≠-1, и n≠-1 решений нет; при m= -1 и n = -1 х - любое число, у = 1+ mх;

при mn≠1, n≠-1, m≠1 x =, у= .

2010 год