Курсовая работа по математике Текстовые задачи в курсе алгебры основной школы

" Текстовые задачи в курсе алгебры основной школы "

Курсовая работа по математике

Учитель математики СОШ №25 г. Стаханова

Гришковец Е.А.

Содержание

Введение

Глава 1. Научно-методические основы обучения решению текстовых задач

1.1. Психолого-педагогические основы формирования умения решать текстовые задачи

1.2. Что такое задача? Что значит решить задачу?

1.3. Этапы формирования умений решения задач

Глава 2. Решение алгебраических задач

2.1.Этапы решения задачи

2.2.Правила и методы решения математических задач

2. 3. Система текстовых задач для решения в курсе алгебры

2.3.1. Тема «Решение задач с помощью линейных уравнений».

2.3.2.Тема «Решение задач с помощью систем уравнений»

2.3.3. Тема «Решение задач с помощью квадратных уравнений»

2.3.4. Тема «Решение задач с помощью рациональных уравнений».

2.3.5. Тема «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».

2.4. Обзор текстовых задач, входящих в задания ГИА

2.5.Задачи для самостоятельной работы

Выводы

Введение

Актуальность выбранной нами темы определяется тем, что далеко не все ученики основной школы осваивают алгебраический метод решения текстовых задач даже на базовом уровне. Причин тому великое множество. Одни из них носят общий характер: устоявшийся страх перед задачей, отсутствие общих представлений о рассматриваемых в задачах процессах, неумение устанавливать, что дано в задаче, что надо найти, выявлять по тексту взаимосвязи рассматриваемых в задаче величин и т.п. Другие свидетельствуют о несформированности определенных умений и навыков: незнание этапов решения задачи, непонимание содержания и цели собственной деятельности на каждом из них, неумение решать уравнения или неравенства (или их системы) определенного вида, неумение производить отбор корней уравнения или решений неравенства в соответствии с условием задачи и т.д. Недостатки в овладении необходимыми приемами рассуждений, незнание общих методов решения задач не дают возможности многим школьникам успешно работать над конкретной задачей.

Следует отметить и недостатки в методике построения различных моделей обучения как на этапе текущего обучения решению текстовых задач, так и на этапе работы с задачами в процессе обобщающего повторения по отдельной теме или по целому курсу. Работая над конкретной задачей в классе, учитель дает пояснения, сущность и значимость которых понимают и запоминают в классе лишь отдельные ученики. Как правило, эти пояснения не систематизированы учителем и носят локальный характер. Учитель не требует записи этих пояснений, их запоминания, что большей частью школьников воспринимается как сигнал: «это не столь важно, это можно забыть». А поэтому опыт этих учеников по решению задач носит неполный и бессистемный характер, а значит и воспользоваться им - дело почти безнадежное.

К субъективным причинам можно отнести влияние индивидуальных особенностей школьников на процесс усвоения материала и формирование необходимых умений. Затрудненное восприятие, плохая память, слабое владение анализом и синтезом, отсутствие достаточного опыта в решении простейших задач оказывают несомненное влияние на освоение такими учениками алгебраического метода решения текстовых задач.

Известно, что решение сюжетной задачи алгебраическим методом состоит в последовательной реализации трех этапов:

 перевод текста задачи на алгебраический язык - составление математической модели данной сюжетной задачи;

 решение полученной математической задачи - внутримодельное решение;

 ответ на вопрос задачи, перевод полученного результата на язык исходной ситуации - интерпретация внутримодельного решения.

Процесс обучения решению текстовых задач в контексте алгебры в основной школе построен так, что сначала школьники осваивают эту деятельность в пределах одной темы, а затем - на этапе обобщения и систематизации в пределах более крупного раздела.

Когда речь идет о решении текстовых задач в пределах одной темы, то сначала осваивается решение определенной математической задачи: решение уравнений определенного вида, системы уравнений, неравенства, системы неравенств или смешанной системы. После рассмотрения решения математической задачи определенного вида, например, решения уравнений второй степени с одной переменной (квадратных уравнений) ученикам предлагается решить ряд текстовых задач, решение каждой из которых сводится к только что изученной математической задаче - к уравнению второй степени с одной переменной. Таким образом, в контексте обучения решению текстовых задач в пределах определенной темы сначала ведется работа над вторым этапом - решением математической задачи (модели текстовой задачи), т.е. над внутримодельным решением. Это служит определенной подсказкой ученику при работе над задачей: у него есть четкий ориентир - вид модели. На этом этапе ученики довольно успешно справляются с решением текстовых задач. Значит, при обучении решению задач в пределах определенной темы акцент в работе над задачей можно и нужно перенести на первый и третий этапы: переводе задачи на математический язык и интерпретации полученного на втором этапе результата. Практика показывает, что существенные затруднения возникают у «средних» и «слабых» школьников именно на первом этапе, хотя и на этапе интерпретации тоже встречаются определенные ошибки, связанные как с невнимательностью, так и с неумением производить отбор решений.

Когда же требуется перенос знаний в новую ситуацию и отсутствует предопределенность вида математической модели, учащиеся часто не справляются с решением даже совсем несложных задач, хотя при работе над темой могли решать и более сложные задачи.

Объектом исследования данной работы является обучение решению текстовых задач на уроках алгебры.

Предметом исследования является процесс решения текстовых задач в курсе математики основной школы.

Целью данной работы является рассмотреть существующие методики решения текстовых задач и разработать систему задач для самостоятельной подготовки учащихся.

Задачи:

· Изучить психолого-педагогическую и учебно-методическую литературу по данной теме.

· Определить роль и место текстовых задач в курсе алгебры.

· Выявить типологию текстовых задач.

· Проанализировать этапы обучения и методы решения текстовых задач.

· Провести обзор текстовых задач, входящих в задания ГИА

· Разработать систему задач для самостоятельной подготовки к итоговой аттестации в новой форме.

Работа состоит из двух частей. В первой части рассматриваются психолого-педагогические основы формирования умения решать текстовые задачи, типология текстовых задач и методика их решения. Во второй части разработана система текстовых задач для решения в курсе алгебры, приводятся примеры задач, входящих в задания ГИА и примеры задач для самостоятельной работы учащихся.

Глава 1. Научно-методические основы обучения решению текстовых задач

1.1. Психолого-педагогические основы формирования умения решать текстовые задачи

Задачи играют большую роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди, направляют всю его деятельность, всю его жизнь. Мышление человека главным образом и состоит из постановки и решения задач.

Теоретические знания о задачах и решениях нужны учащимся для того, чтобы они могли производить решение разнообразных задач сознательно и целенаправленно, а не только лишь на основе подражания, по аналогии с ранее решенными задачами.

Если ученик будет обладать необходимой системой знаний и умений правильно и дисциплинированно вести поиск решения задач, то все технические трудности отойдут на второй план, а на первый - вступит учебно-познавательная цель решения задач.

Для решения задачи необходимо рассматривать её как объект для анализа, а её решение как изобретение способа решения. Для этой цели должны применяться основные принципы дидактики(7):

- принцип научности - отражает взаимосвязь с современным научным знанием. Этот принцип воплощает в отборе изучаемого материала, в порядке и последовательности ведения научных понятий в учебный процесс. Принцип научности нацеливает учителя на вовлечение школьников в проведение анализа результатов собственных наблюдений и самостоятельное их исследование.

- принцип систематичности и последовательности - придает системный характер учебной деятельности, теоретическим знаниям, практическим умениям учащихся. Этот принцип предполагает усвоение знаний в определенном порядке, системе. При решении задач с помощью уравнений может усложняться характер взаимосвязи между элементами условия задачи.

- принцип связи обучения с практикой - предусматривает, чтобы процесс обучения стимулировал учеников использовать полученные знания в решении практических задач;

- принцип доступности - требует учета особенностей развития учащихся, анализа материала с точки зрения их реальных возможностей и такой организации обучения чтобы они не испытывали интеллектуальных, моральных, физических перегрузок. Доступность должна заключаться в обучении учащихся новому материалу, опираясь на их знания, опыт, особенности мышления.

-принцип наглядности - означает, что эффективность обучения зависит от целесообразного привлечения органов чувств к восприятию и переработки учебного материала.

Учет возрастных особенностей - один из основополагающих педагогических принципов, поэтому для анализа возможности организации того или иного вида деятельности, в том или ином возрасте, нужно, прежде всего, знать основные особенности данного возраста(14).

Средний возраст учащихся 7-9 классов (от 12 до 16 лет) - переходный, переломный возраст, так как он характеризуется переходом от периода детства к юности. Этот период считается трудным для воспитания, и для самого подростка, в сравнении с младшим школьным возрастом. Трудности, как правило, происходят от того, что не редко воспитатели - педагоги либо не знают особенностей детей данного возраста, либо их не учитывают.

Переходный возраст период бурного и неравномерного роста и развития организма. Центральным фактором физического развития в подростковом возрасте является половое созревание, которое оказывает существенное влияние на работу внутренних органов. Возрастает роль сознания, улучшается контроль коры головного мозга над инстинктами и эмоциями. Однако нервная система подростка еще не всегда способна выдерживать сильные и длительно действующие раздражители и под влиянием их часто приходит в состояние торможения или наоборот, сильного возбуждения.

Важным новообразованием подросткового возраста является формирование своеобразного чувства взрослости. Переоценка своих возможностей определяет стремление подростков к известной независимости и самостоятельности.

Основным видом деятельности в подростковом (среднем школьном) возрасте является обучение.

Рассмотрим совершенствование основных психических процессов, участвующих в этом виде деятельности(15).

1.Восприятие.

Восприятие подростка характеризуется целенаправленностью, избирательностью и организованностью. Подросток становится способным к более сложному аналитико-синтетическому восприятию предметов и явлений в действительности. Под влиянием обучения внимание у подростков постепенно принимает характер организованного, регулируемого и управляемого процесса. Подросток уже способен управлять своим произвольным вниманием. Внимание характеризуется устойчивостью.Решение текстовых задач развивает восприятие, так как ученику необходимо выбрать из текста, только те данные, которые необходимы для решения.

2.Память.

С 13 до 15-16 лет наблюдается более быстрый рост памяти. В этом возрасте память перестраивается, переходя от доминирования механического запоминания к смысловому. При этом перестраивается сама смысловая память - она приобретает опосредованный, логический характер, обязательно включается мышление. Заодно с формой меняется и содержание запоминаемого; становится более доступным запоминание абстрактного материала. Память работает на опосредовании уже присвоенных знаковых систем, прежде всего речи. Например, для того, чтобы запомнить большой объем учебного материала, подростку уже не нужно заучивать его путем многократных повторений. В процессе понимания ребенок вычленяет главные и второстепенные моменты, что облегчает запоминание материала.

3.Воображение.

Воображение в подростковом возрасте может превратиться в самостоятельную внутреннюю деятельность. Подросток может проигрывать мыслительные задачи с математическими знаками, может оперировать значениями и смыслами языка, соединяя две высшие психические функции: воображение и мышление. При решение текстовой задачи воображение помогает построить математическую модель, то есть перевести бытовую ситуацию на язык формул.

4.Мышление.

В подростковом возрасте происходят значительные сдвиги в мыслительной деятельности. Мышление становится более систематизированным, последовательным, зрелым. Подросток учится самостоятельно и творчески мыслить, рассуждать, сравнивать, делать глубокие по содержанию выводы и обобщения. Все большее значение начинает приобретать творческое мышление, характерным признаком которого служит такой анализ, который, совершаясь на каком-то конкретном факте (задаче, событии), вскрывает внутреннюю связь, лежащую в основе многочисленных частных проявлений.

Математическое мышление имеет свои специфические черты и особенности, которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, а также спецификой методов их изучения. Математическое мышление часто характеризуют проявлением так называемых математических способностей.

Формирование у школьников математического мышления способствует не только успешному обучению математике, но и успешному обучению другим предметам.

К числу математических качеств мышления относятся: гибкость, оригинальность, глубина, целенаправленность, широта, рациональность, активность, критичность, четкость и лаконичность речи, и записи.

Глубина мышления проявляется в умении проникать в сущность каждого из изучаемых фактов, в их взаимосвязи с другими фактами, выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале (в условии задачи, способе ее решения, в результате), умением конструировать модели конкретных ситуаций. Глубину мышления нередко определяют умением выделять существенное.

Решение самых разных задач (как практических, так и теоретических), с которыми сталкивается человек, чаще всего связано с необходимостью планировать свои действия, прогнозировать результаты тех или иных проблемных ситуаций. Поэтому приходится строить процесс решения сначала в мыслительных образах, а затем уже воплощать его в реальность.

Проблему математического образования в школе нельзя сводить только к передаче учащимся определенной суммы знаний и навыков по этому предмету. Перед учителями математики стоит и другая, не менее важная задача - реализация возможностей своего предмета в развитии личности учащихся.

Одним из эффективных средств воспитания учащихся является решении математических задач. Математические задачи отражают различные стороны жизни, несут много полезной информации, поэтому их решение является одним из звеньев в системе воспитания вообще, патриотического, нравственного и трудового в частности.

Приступая к решению задачи, ученик сначала знакомится с ее формулировкой, решение же пока остается вне поля его деятельности. Поэтому очень важно, чтобы содержание задачи вызывало живой интерес. Полезно, когда тексты задач обращены не только к уму, но и к эмоциям детей, вызывая у них чувство причастности к решению актуальных проблем. При этом воспитательное воздействие содержания задач осуществляется не только через условие задачи, но и непроизвольно, через подтекст материала. С усвоением любой информации связано формирование отношения к ней. Отсюда понятно значение содержания решаемой задачи.

Учебная работа школьников на уроках математики, также очень важна. Необходимость убедительной аргументации по ходу решения задач способствует развитию таких волевых качеств, как настойчивость, самостоятельное преодоление трудностей, критическое отношение к себе и к окружающему. Поиски и нахождение самостоятельных путей решения задач и доказательства теорем способствуют развитию творческого подхода к выполняемой работе, духа новаторства. Поэтому учащиеся не должны выступать на уроках в роли пассивных слушателей. На уроке должны использоваться разнообразные виды самостоятельной учебной работы, рациональные приемы учебы.

В процессе решения текстовых задач учащиеся усваивают конкретный смысл арифметических действий, знакомятся со знаками для записи выполняемых действий; изучаемые правила сразу же подтверждаются в решении задач. Такие задачи предусмотрены программой каждого года обучения.

Система подбора задач и расположение их по времени построена с таким расчетом, чтобы обеспечить наиболее благоприятные условия для сопоставления, сравнения, противопоставления задач, сходных в том или ином отношении, а также задач взаимно обратных (2). При этом имеется в виду, что в процессе изучения математики дети все время будут встречаться с задачами различных видов. Это исключает возможность выработки штампов и натаскивания в решении задач: дети с самого начала будут поставлены перед необходимостью каждый раз производить анализ задачи, устанавливая связь между данными и искомым, прежде чем выбрать то или иное действие для ее решения.

Текстовые задачи являются тем богатейшим материалом, на котором будет решаться важнейшая задача преподавания математики - развитие мышления и творческой активности учащихся.

Дети учатся анализировать содержание задачи, точно объясняя, что известно в решаемой задаче и что неизвестно, что следует из условия задачи, какие арифметические действия и в какой последовательности должны быть выполнены для получения ответа на вопрос задачи; обосновывать выбор каждого действия и пояснять полученные результаты; составлять по задаче выражение и вычислять его значение; устно давать полный ответ на вопрос задач и проверять правильность решения задачи. Необходимо, чтобы учащиеся знали о возможности различных способов решения некоторых задач и сознательно выбирали наиболее рациональный из них.

Решение задач способствует формированию у детей полноценных знаний, определяемых программой. Задачи дают возможность связать теорию с практикой, обучение с жизнью. Решение задач позволяет углубить и расширить представления детей о жизни, формирует у них практические умения (подсчитать стоимость покупки, ремонта квартиры).Через решение задач дети знакомятся с важными в познавательном и воспитательном отношении фактами. Процесс решения задач оказывает положительное влияние на умственное развитие детей. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокое представление о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать задачи различными способами.

В методике обучения решению задач выделяют пять их основных функций обучающая, воспитывающая, развивающая, контролирующая и мотивационная(3).

· Обучающая функция задач направлена на формирование у учащихся системы математических знаний, умений и навыков в процессе их усвоения.

· Воспитывающая функция задач направлена на воспитание у учащихся интереса к предмету, навыков учебного труда.

· Развивающая функция задач направлена на развитие мышления учащиеся, на формирование у них приемов умственной деятельности.

· Контролирующая функция задач направлена на определение уровня усвоения учащимися учебного материала, способности их к самостоятельному изучению школьного курса математики, уровня развития и сформированности познавательных интересов школьников.

· Мотивационная функция задач является одним из средств активизации учебного процесса. Мотивационную функцию в обучении математике выполняют задачи.

Такое применение задач способствует осознанному восприятию учащимися программного материала, овладению прочными знаниями, развитию мыслительной деятельности школьников.

В процессе осознания решения текстовых задач достигаются не только специфические цели математического образования, но развиваются все высшие психические функции учащихся, укрепляются и развиваются волевые черты их характера. Формируются такие качества личности, как внутренний план действий, разумный и устойчивый стиль деятельности, ответственность за начатое дело и потребность в его доведении до конца, творческая инициатива и многие другие важнейшие качества

1.2. Что такое задача? Что значит решить задачу?

Понятие задачи имеет различные трактовки. Их обстоятельное исследование в психологической литературе было проведено Г.А. Баллом (1). Термин «задача», отмечает Г.А. Балл, употребляется для обозначения объектов, относящихся к трем различным категориям:

1) к категории цели действий субъекта, требования, поставленного перед субъектом;

2) к категории ситуации, включающей, наряду с целью, условия, в которых она должна быть достигнута;

3) к категории словесной формулировки этой ситуации.

Г.А Балл отмечает, что в психологической литературе наиболее распространено употребление термина «задача» для обозначения объектов второй категории. Для объектов первой категории, Указывает Г.А. Балл, вполне подходит выражение «цель действия», «требование задачи», а для объектов третьей категории - «формулировка задачи».

Сторонники трактовки задачи как ситуации, в которой должен действовать субъект, явно включают субъекта в само понятие задачи. В методике обучения математике подобное толкование задачи особенно характерно для работ Ю.М. Колягина (5,6). Без субъекта, отмечает он, нет задачи. То, что для одних является задачей, для других может ею не быть.

Сторонниками другой трактовки задачи субъект не включается в понятие задачи. Наиболее четко и последовательно эта точка зрения реализуется в работах Л.М. Фридмана, который определяет задачу как модель проблемной ситуации, выраженную с помощью знаков некоторого естественного или искусственного языка (18). Проблемная ситуация, отмечает Фридман, возникает тогда, когда субъект в своей деятельности, направленной на некий объект, встречает какое-то затруднение, преграду. Однако проблемная ситуация - это не просто затруднение, преграда в деятельности субъекта, а осознанное субъектом затруднение, способ устранения которого он желает найти. Таким образом, в понятие проблемной ситуации Л.М. Фридман включает субъект. Значит, задача есть модель ситуации, элементом которой является субъект, осознавший затруднение в своей деятельности. Отсюда следует, что возникновение задачи обязано деятельности субъекта. Другими словами, Л.М. Фридман наделил понятие задачи «субъективными генами» (18). Заметим, что различные авторы по-разному подходят к соотношению понятий «задача» и «проблемная ситуация». Одни (Л.М. Фридман) считают первичным понятие проблемной ситуации (18) причем некоторые психологи считают субъекта элементом проблемной ситуации. Другие (С.Л. Рубинштейн) под проблемной ситуацией понимают некоторую объективную ситуацию, в которой берет начало процесс мышления [21]. Задача, по Рубинштейну, есть результат того, что проблемная ситуация, содержащая какие-то нераскрытые звенья, подвергается анализу со стороны человека. То есть, субъект рассматривается как элемент задачи. Существует и противоположная точка зрения, при которой первичным считается понятие задачи, а вторичным - понятие проблемной ситуации. Проблемная ситуация оценивается как фактор, рассматриваемый в отношении субъекта, тогда как задача признается существующей объективно.

Наиболее распространенным является использование термина «задача» для обозначения ситуации, включающей цель и условия ее достижения. Для понятия задачи характерны две стороны: объективная и субъективная. К первой относятся предмет действия, требование, место в системе задач, логическая структура решения задачи, определенность или неопределенность или неопределенность условия и т.д., ко второй - способы и средства решения.

В методике обучения математике многие годы была распространена классификация, основу которой составлял характер требования: а) задачи на доказательство; б) задачи на построение; в) задачи на вычисление. Длительный успех этой классификации обеспечивало то, что она в какой-то степени предопределяла метод решения каждого типа задач. В связи с расширением целей обучения и роли задач в их обеспечении в школьный курс математики начали проникать задачи, не укладывающиеся в традиционную типологию. Функции задач в обучении подчеркиваются в следующей классификации: а) задачи с дидактическими функциями; б) задачи с познавательными функциями; в) задачи с развивающими функциями (12). Данная классификация позволяет обоснованно осуществлять отбор задач, хотя на практике довольно трудно отделить друг от друга указанные типы задач. Задачи с дидактическими функциями предназначены для усвоения теоретического материала, в процессе решения второго типа задач учащиеся углубляют теорию и методы решения задач, задачи третьего типа характеризуют то, что их содержание может отходить от основного курса. Соглашаясь с авторами в целесообразности широкого использования задач в обучении, нельзя согласиться с тем, что развивающие функции присущи только задачам, содержание которых отходит от обязательного курса, расширяя его. Отметим, что указанная публикация является первой теоретической работой, в которой исследуются функции задачи (1971г)

В последнее время получила распространение типология задач, в которой каждый тип задач соотносится с компонентами учебной деятельности: организационно-действенным, стимулирующим и контрольно-оценочным. Указанное сопоставление выделяет следующие типы задач(5,6):

1) задачи, стимулирующие учебно-познавательную деятельность;

2) задачи, организующие и осуществляющие учебно-познавательную деятельность школьников;

3) задачи, в процессе решения которых осуществляется контроль и самоконтроль эффективности учебно-познавательной деятельности.

В зависимости от конкретизации учебной деятельности классификация будет наполняться более конкретным содержанием:

1) задачи, стимулирующие усвоение знаний, умений и навыков;

2) задачи, в процессе решения которых осуществляется усвоение знаний, умений и навыков;

3) задачи, контролирующие усвоение знаний, умений и навыков.

Теперь мы немножко поговорим о методике обучения решению математических задач. Методика решения задач впервые в достаточно общем виде была разработана Д. Пойа и представлена в известной книге «Как решать задачу?»(14). Автор выделяет в решение задачи четыре этапа:

1) понимание постановки задачи;

2) составление плана решения;

3) осуществление плана;

4) взгляд назад (изучение и анализ плана решения).

Итак, методика обучения решению задач предполагает выделение спектра умений решать задачи. Первый этап составляют действия: выделение условия и требования задачи, объектов и отношений между ними, выполнение рисунка, отметка на нем данных и искомых элементов, краткая запись условия и заключения задачи. Содержание этого этапа решения, как правило, реализуется на практике. Второй этап включает в себя анализ условия и требования задачи. Под анализом условия задачи будем понимать выявление такой информации, которая непосредственно не задана условием, но присуща ему. Анализ требования задачи предполагает выяснение возможных путей ответа на вопрос задачи. Информация, являющаяся результатом анализа условия задачи, может быть получена следующими способами:

1) выведением следствий непосредственно из условия задачи;

2) переосмысливанием объектов (фигур, отношений между ними) с точки зрения других понятий;

3) заменой термина его определением;

4) использованием характеристических свойств понятия;

5) интерпретацией символических записей;

6) переводом содержания задачи на язык специальной теории и наоборот.

Важнейшим компонентом умения анализировать требование задачи является умение преобразовывать требование задачи в равносильное ему. Проблема формирования этого умения непосредственно связана с вооружением учащихся как можно большим числом признаков и свойств понятий. Выполнение анализа требования задачи предполагает наличие ассоциаций: осознание термина, обозначающего понятие, - осознание определения этого понятия и термина, обозначающего понятие, - осознание его характеристических свойств. Важными компонентами анализа требования задач является умение составлять вспомогательные задачи и умение видеть различные пути решения задачи.

Обобщая все то, что было сказано выше, отметим, что обучение решению задач включает формирование умений школьников выполнять действия, адекватные поиску способа решения задачи.

Следующий этап - осуществление плана решения - Д. Пойа характеризует так: осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг. Особое значение имеет четвертый этап - взгляд назад. Его особенность обусловлена тем, что он является хорошим полигоном для развития творческой инициативы учащихся, самостоятельности их мышления. Несмотря на большие возможности этого этапа в развитии ученика, он почти не используется учителями на практике. Решение задачи, как правило, заканчивается получением ответа или, в лучшем случае, обсуждением базиса и идеи решения. Между тем реализация этого этапа должна включать, кроме изучения полученного решения, составление задач - аналогов данной, задачи-обобщения, задачи-конкретизации, задач, решаемых тем же способом, что и основная задача, поиск различных способов решения данной задачи, их оценку, выбор наиболее простого. Исследование задачной ситуации может осуществляться со стороны: а) способа поиска решения задачи; б) способа развития ученика; в) способа систематизации знаний. Каждое из указанных направлений будет служить основой составления новых задач. Учитывая сказанное, можно заключить, что сущность рассматриваемого этапа заключается не столько «во взгляде назад», сколько «во взгляде вперед».

В своих работах Фридман Л.М.(1,18) отмечал, решение задач - это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Если приглядеться к любой задаче, то увидим, что она представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Поэтому, приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно изучить, установить, в чем состоят ее требования (вопросы), каковы условия, исходя из которых, надо решать задачу. Все это называется анализом задачи.

Получив задачу, мы сначала внимательно ее читаем. Первое, что можно заметить при чтении любой задачи, это то, что в ней есть определенные утверждения и требования. Часто требование формулируется в виде вопроса. Но всякий вопрос предполагает требование найти ответ на этот вопрос, а поэтому всякий вопрос можно заменить требованием. Как мы знаем из любой задачи, что формулировка состоит из нескольких утверждений и требований. Утверждения задачи называются условиями задачи.

Отсюда ясно, что первое, что нужно сделать при анализе задачи, - это расчленить формулировку задачи на условия и требования. Будем иметь в виду, что в задаче обычно не одно условие, а несколько независимых элементарных условий, требований в задаче также может быть не одно. Поэтому необходимо расчленить все утверждения и требования задачи на отдельные элементарные условия и требования. Но, производя анализ задачи, вычленяя из формулировки задачи ее условия, мы все время должны соотносить этот анализ с требованием задачи, как бы постоянно оглядываться на требование. Иными словами, анализ задачи всегда направлен на требования задачи. Анализируя условия задач, можно заметить, что каждое из них состоит из одного или нескольких объектов и некоторой их характеристики. Если в условии один объект, то указывается его характеристика в виде некоторого свойства этого объекта; если же объектов два, то характеристикой служит некоторое отношение этих объектов. После того, как задача проанализирована, ее условие надо как-то записать. Но записывать ее словесно, описательно малоудобно, так как это займет много места и времени. Поэтому надо найти более удобную, более компактную и в то же время достаточно наглядную форму записи результатов анализа задач. Такой формой является схематическая запись задачи.

Заметим, что не для всякой задачи надо делать схематическую запись. Так, например, для задач по решению уравнений, неравенств, преобразований выражений анализ проводится обычно устно и никак не оформляется. Вообще для задач, которые записаны на символическом языке, схематическая запись не нужна.

Первой отличительной особенностью схематической записи задач является широкое использование в ней разного рода обозначений, символов, букв, рисунков, чертежей и т.д. Второй особенностью является то, что в ней четко выделены все условия и требования задачи, а в записи каждого условия указаны объекты и их характеристики, наконец, в схематической записи фиксируется лишь только то, что необходимо для решения задачи; Все другие подробности, имеющиеся в задаче, при схематической записи отбрасываются.

Для схематической записи геометрической и некоторых других задач полезно использовать чертеж той фигуры, которая рассматривается в задаче.

Задачи, которые решаются в школе, различаются в первую очередь характером своих объектов. В одних задачах объектами являются реальные предметы, в других - все объекты математические (числа, геометрические фигуры, функции и т.д.). Первые задачи, в которых хотя бы один объект есть реальный предмет, называются текстовыми (практическими, житейскими, сюжетными), вторые, все объекты которых математические, называются математическими задачами.

В связи с тем, что нашей темой является рассмотрение текстовых задач, мы будем рассматривать именно их.

1.3. Этапы формирования умений решения задач

Процесс обучения решению математических текстовых задач в общеобразовательной школе можно условно разбить на следующие этапы(7):

1) Пропедевтический этап 1-4 классы

2) Эмпирический этап 5-6 классы

3) Систематический этап 7-9 классы

4) Творческий этап 10-11 классы.

На пропедевтическом этапе к концу 3, 4-го класса ученики должны иметь представление:

- об отличительных признаках текстовой математической задачи;

- о различных способах оформления краткой записи задачи;

- о различных способах оформления решения задачи;

- о рациональном и нерациональном способах решения задачи;

- об алгебраическом методе решении задачи;

- о возможности классификации задач по сходству их математического смысла.

Знать:

- составляющие элементы задач - условие, вопрос, данные, искомое.

Уметь:

- определить является ли текст задачей;

- выделить элементы задачи;

- дополнить текст недостающими элементами, превратив его в задачу;

- установить соответствие задач, данных в разной формулировке, заменить сложную формулировку более простой;

- проанализировать текст задачи, начиная с вопроса, установить количество действий, необходимых для её решения, порядок действий и сами действия;

- записать решение задачи по действиям с вопросами или пояснениями, а также сложным выражением.

Эмпирический этап. Решение текстовых задач традиционно является одним из основных видов учебной деятельности в 5-6 классах. На этом этапе у школьников развиваются логическое мышление, элементарные навыки абстрагирования, математическое моделирование. К концу 6 класса ученики должны уметь решать следующие задачи, предусмотренные программой:

- задачи, требующие понимания смысла отношений «больше на …(в…)», «меньше на…(в…)», а также задачи на известные учащимся зависимости между величинами (скоростью, временем и расстоянием; ценой, количеством и стоимостью товара и другие),

- задачи, решаемые алгебраическим методом,

- задачи с использованием метода пропорций,

- три вида задач на проценты: находить несколько процентов от какой-либо величины; находить число, если известно несколько его процентов; находить, сколько процентов одно число составляет от другого.

Систематический этап. К концу 9 класса ученики должны уметь решать следующие задачи, предусмотренные программой:

- задачи «на части, смеси, проценты»;

- задачи на движение:

- задачи на встречное движение двух тел;

- задачи на движение двух тел в одном направлении (движение начинается одновременно из разных пунктов, движение начинается в разное время из одного пункта);

- задачи на движение двух тел в противоположных направлениях;

- задачи на движение по реке.

- задачи, связанных с различными процессами (работа, наполнение бассейнов и другие), с использованием арифметического метода, алгебраического метода, а так же некоторых специальных методов, например геометрического.

Творческий этап. Высшая ступень продуктивного мышления - творческое мышление. Существуют показатели, по которым судят о творческом мышлении. К ним относятся оригинальность мысли, возможность получения ответов, быстрота возникновения необычных ассоциативных связей; «восприимчивость» к проблеме, её непривычное решение; беглость мысли как количество ассоциаций, идей, возникающих в единицу времени в соответствии с некоторым требованием; способность найти новые, непривычные функции ответа или его части. В творческом мышлении появляется способность к постановке проблем, чувствительность к недостаткам в имеющихся знаниях, возможность построения гипотез об отсутствующих элементах этих знаний и тому подобное.

Творческая деятельность ученика зависит от наличия трех компонентов мышления:

1) Высокий уровень сформированности элементарных мыслительных операций: анализа и синтеза, сравнения и аналогии, классификации и д.р.;

2) Высокий уровень активности и неординарности мышления, которые проявляются в различных вариантах решений и в выдвижении нестандартных идей;

3) Высокий уровень организованности и целенаправленности мышления, которые проявляются в умении выделить существенное в явлениях и сознании собственных способов мышления.

Задача учителя сводится к формированию указанных составляющих мышления. Инструментом должны быть занимательные задачи: задачи - головоломки, на соображение и догадку, нестандартные задачи.

Без занимательных задач(17), по мнению Н. И. Лобачевского, преподавание не бывает успешным, поскольку занимательность - необходимое средство возбуждать и поддерживать внимание.

Все материалы занимательного характера обычно разбивают на три группы:

- материалы, занимательные по форме;

- материалы, занимательные по содержанию;

- материалы, занимательные по форме и содержанию.

Основу занимательности на уроках должны составлять задания, непосредственно связанные с программным материалом. Главный фактор занимательности - это приобщение учащихся к творческому поиску, активизация их самостоятельной исследовательской деятельности, так как часто уникальность занимательной задачи служит мотивом к учебной деятельности, развивая и тренируя мышление вообще, вообще, и творческое, в частности.

Из выше сказанного можно сделать вывод о том, что продуктивное мышление является одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, без целенаправленного развития которого невозможно достичь высоких результатов в овладении школьниками системой математических знаний, умений и навыков.

Глава 2. Решение алгебраических задач

2.1.Этапы решения задачи

Если под процессом решения задач понимать процесс, начинающийся с момента получения задачи до момента полного завершения ее решения, то очевидно, что этот процесс состоит не только из изложений уже найденного решения, а из ряда этапов, одним из которых и является изложение решения.

Из каких же этапов состоит процесс решения задачи?

Очевидно, получив задачу, первое, что нужно сделать, это разобраться в том, что это за задача, каковы ее условия, в чем состоят ее требования, т.е. провести анализ задачи. Этот анализ и составляет первый этап процесса решения задачи.

В ряде случаев этот анализ надо как-то оформить, записать. Для этого используются разного рода схематические записи задач, построение которых составляет второй этап процесса решения (9).

Анализ задачи и построение ее схематической записи необходимы главным образом для того, чтобы найти способ решения данной задачи. Поиск этого способа составляет третий этап процесса решения.

Когда способ решения задачи найден, его нужно осуществить, - это будет четвертый этап процесса решения - этап осуществления (изложения) решения.

После того как решение осуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого производят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения.

При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и притом, сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т.д. Все это составляет шестой этап процесса решения.

Убедившись в правильности решения и, если нужно, произведя исследование задачи, необходимо четко сформулировать ответ задачи, - это будет седьмой этап процесса решения.

Наконец, в учебных и познавательных целях полезно также произвести анализ выполненного решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т.д. Все это составляет последний, конечно не обязательный, восьмой этап решения.

Итак, весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1 этап - анализ задачи;

2 этап - схематическая запись задачи;

3 этап - поиск способа решения задачи;

4 этап - осуществление решения задачи;

5 этап - проверка решения задачи;

6 этап - исследование задачи;

7 этап - формулирование ответа задачи;

8 этап - анализ решения задачи.

Приведенная схема дает лишь общее представление о процессе решения задачи, поэтому приведем пример решения задачи.

Задача.

Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 часов, а обратный путь она совершила за 8 часов. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки?

1. Анализ задачи. В задаче речь идет о двух объектах: лодка и плот. Лодка имеет какую-то собственную скорость, а река, по которой плывут и лодка, и плот, имеет определенную скорость течения. Именно поэтому лодка совершает путь между пристанями по течению реки за меньшее время (6ч), чем против течения (8ч). Но эти скорости (собственная скорость лодки и скорость течения реки) в задаче не даны (они неизвестны), так же как неизвестно расстояние между пристанями. Однако требуется найти не эти неизвестные скорости и расстояние, а время, за которое плот проплывет неизвестное расстояние между пристанями.

2. Схематическая запись задачи.

лодка 6ч

А В

плот лодка

8 ч

3. Поиск способа решения задачи. Нужно найти время, за которое плот проплывет расстояние между пристанями А и В. Для того чтобы найти это время, надо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Оба они известны, поэтому обозначим расстояние АВ буквой (км), а скорость течения реки примем равной км/ч. Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи (время движения лодки по и против течения реки), нужно еще знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, что она равна км/ч. Отсюда естественно возникает план решения, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений относительно введенных неизвестных.

4. Осуществление решения задачи. Итак, пусть расстояние АВ равно s км, скорость течения реки км/ч, собственная скорость лодки км/ч, а искомое время движения плота на пути в км равно часов.

Тогда скорость лодки по течению реки равна км/ч. За 6 ч лодка, идя с этой скоростью, прошла путь АВ в км. Следовательно.

(1)

Против течения эта лодка идет со скоростью км/ч и путь АВ в км она проходит за 8 ч, поэтому

(2)

Наконец, плот, двигаясь со скоростью км/ч, покрыл расстояние км за ч, следовательно,

(3)

Уравнения (1), (2) и (3) образуют систему уравнений относительно неизвестных и . Так как требуется найти лишь, то остальные неизвестные постараемся исключить.

Для этого из уравнений (1) и (2) найдем

.

Вычитая из первого уравнения второе, получим:

решеникстовый алгебраический

, отсюда .

Поставим найденное выражение для в уравнение (3)

.

Так как, очевидно, не равно нулю, то можно обе части полученного уравнения разделить на . Тогда найдем: .

5. Проверка решения. Итак, мы нашли, что плот проплывает расстояние между пристанями за 48 ч. Следовательно, его скорость, равная скорости течения реки, равна км/ч. Скорость же лодки по течению равна км/ч, а против течения км/ч. Для того чтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами:

1) от скорости лодки по течению отнять скорость течения реки, т.е. ,

2) к скорости лодки против течения реки прибавить скорость течения реки, т.е. .

Произведя вычисления, получаем верное равенство: .

Значит, задача решена правильно.

6. Исследование задачи. В данном случае этот этап решения не нужен.

7. Ответ: плот проплывет расстояние между пристанями за 48 ч.

8. Анализ решения. Мы свели решение этой задачи к решению системы трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако найти-то надо было нам лишь одно из этих неизвестных. Поэтому, естественно, возникает мысль, что проведенное решение не самое удачное, хотя и достаточно простое. Можно предложить другое решение.

Зная, что лодка проплыла расстояние АВ по течению реки за 6 ч, а против - за 8 ч, найдем, что в 1 ч лодка, идя по течению, проходит часть этого расстояния, а против течения . Тогда разность между ними есть удвоенная часть расстояния АВ, проплываемая плотом за 1 ч. Значит, плот за 1 ч проплывет часть расстояния АВ, следовательно, все расстояние АВ он проплывет за 48 ч.

Как видим, при таком решении нам не понадобилось составлять систему уравнений. Однако, несомненно, это решение сложнее приведенного выше, хотя бы потому, что не всякий догадается найти разность скоростей лодки по течению и против течения реки. Часто также эту разность принимают не за удвоенную часть расстояния АВ, проплываемую плотом за 1 ч, а за скорость плота, что, конечно, приводит к ошибочному результату.

2.2.Правила и методы решения математических задач

Как мы уже знаем, решение задачи состоит из последовательности шагов (действий). Поэтому отыскание этой последовательности шагов есть самое главное, что нужно сделать для того, чтобы решить задачу.

Вот этим и занимается математика, установлением для многих видов задач правил, пользуясь которыми можно найти указанную последовательность шагов для решения любой задачи.

Приведем некоторые такие правила(10).

1. Словесное правило. Примером такого правила может служить правило нахождения степени произведения, которое изучается в 6 классе: степень произведения равна произведению степеней сомножителей.

Это правило позволяет составить такую последовательность шагов: 1) установить все сомножители произведения; 2) найти данную степень каждого из этих сомножителей; 3) результаты второго шага перемножить.

2. Правило-формула. Примером такого правила служит формула корней квадратного уравнения. В курсе алгебры 7 класса эта формула дается в таком виде: корни уравнения , если и , где , можно вычислить по формуле .

В этом правиле легко указать последовательность шагов на основе указанного правила-формулы: 1)проверим условие: ; 3) находим: ; 3) проверяем условие ; если эти условия выполнены, то вычисляем корни по формуле .

3. Правило-тождество. Примером такого правила может служить тождество квадрата двучлена, которое изучается в 6 классе: .

Словесная формулировка этого тождество такова: квадрат двучлена равен сумме квадрата первого члена на удвоенное произведение первого и второго членов и квадрата второго члена.

В соответствии с этим тождеством можно составить такую последовательность шагов: 1) найти первый член двучлена; 2) найти второй член двучлена; 3) возвести первый член в квадрат; 4) возвести второй член двучлена в квадрат; 5) составить произведение первого и второго членов двучлена; 6) результат пятого шага удвоить; 7) результаты 3, 4, и 6-го шагов сложить.

4. Правило-теорема. Многие теоремы могут служить правилами для решения задач соответствующего вида. Например, теорема: средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, и длина ее равна полусумме длин оснований, изучается в курсе геометрии в 7классе. Последовательность шагов очень простая: 1) устанавливаем длину основания трапеции; 2) находим их полусумму. Это и будет длина средней линии.

5. Правило-определение. Иногда основой для правила решений задач некоторого вида может служить определение соответствующего понятия. Например определение решения систем неравенств с одной переменной. Это определение дано в учебнике алгебры 7 класса в таком виде: решением систем неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Последовательность шагов к данному правилу будет такова: 1) решить каждое из неравенств системы, получим для каждого неравенства числовой промежуток - его решение; 2) найти пересечение полученных числовых промежутков. Найденное пересечение и будет решением системы неравенств.

Математические задачи, для решения которых в школьном курсе математики имеются готовые правила или эти правила непосредственно следуют из каких-либо определений или теорем, определяющих программу решения этих задач в виде последовательности шагов, назовем стандартными. При этом предполагается, что для выполнения отдельных шагов решения стандартных задач в курсе математики также имеются вполне определенные правила.

Что такое стандартная задача понятно, но если есть стандартная, значит, есть и нестандартная. Нестандартные задачи - это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.

Задача.

Расстояние от реки до турбазы туристы рассчитывали пройти за 6 ч. Однако после 2 ч пути они уменьшили скорость на 0,5 км/ч и в результате опоздали на турбазу на 30 минут. С какой скоростью шли туристы первоначально?

Решение. Эта задача является текстовой. Для подобных задач никакого общего правила, определяющего точную программу их решения, не существует. Однако общие указания для решения таких задач есть.

Обозначим искомую первоначальную скорость туристов через км/ч. Тогда за 6 ч, за которые они рассчитывали пройти расстояние от реки до турбазы, они прошли км. Фактически этот путь они прошли следующим образом: 2 ч они шли с первоначальной скоростью, а затем еще 4,5 ч (т.к. они опоздали на 0,5 ч к сроку) - с уменьшением скорости км/ч. Следовательно, они прошли км и км, а всего км, что равно расстоянию от реки до турбазы, т.е. км. Получаем уравнение: .

Решив это уравнение, найдем: Значит, первоначальная скорость туристов равна 4,5 км/ч.

Итак, процесс решения нестандартной задачи состоит в последовательном применение двух основных операций:

1) сведение нестандартной задачи к другой ей эквивалентной, но уже стандартной задаче;

2) разбиение нестандартной задачи на несколько стандартных подзадач.

В зависимости от характера нестандартной задачи мы используем либо одну из этих операций, либо обе. При решении более сложных задач эти операции приходиться использовать многократно.

Существуют различные методы решения текстовых задач [6]: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом - строятся диаграммы ил графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма. Различные методы решения конкретной задачи будем называть способами решения.

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.

Пример. Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем то одним?

Решение.

1 способ.

1) 82+32+78=192 чел. - удвоенное число студентов, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) 192÷2=96 чел. - поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3) 96-32=64 чел. - поют в хоре;

4) 96-78=18 чел. - занимаются танцами;

5) 96-82=14 чел. - занимаются художественной гимнастикой.

2 способ.

1) 82-32=50 чел. - на столько больше студентов поют в хоре, чем занимаются художественной гимнастикой;

2) 50+78=128 чел. - удвоенное число студентов поющих в хоре;

3) 128÷2=64 чел. - поют в хоре;

4) 78-64=14 чел. - занимаются художественной гимнастикой;

5) 82-64=18 чел. - занимаются танцами.

Ответ: 64 студента поют в хоре; 14 студентов занимаются художественной гимнастикой; 18 студентов занимаются танцами.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений, в основе составления которых лежат различные соотношения меду данными и искомыми.

Пример. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справиться с заданием за 2 дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

Решение.

1 способ. Пустьx д./день - первоначальная производительность рабочего. Тогда (x+10) д./день - новая производительность, 3x д. - число деталей, которые он должен сделать. По условию получаем уравнение 3x=2(+10), решив, которое найдем x=20. Первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

2 способ. Пусть x д. - число деталей, которое должен сделать рабочий. Тогда x/2 д./день - новая производительность, (x/2-10) д./день - первоначальная производительность рабочего. По условию получаем уравнение x=3(x/2-10), решив которое найдем x=60. Рабочий должен сделать 60 деталей, его первоначальная производительность 20 деталей в день.

Ответ: 20 деталей в день, 60 деталей.

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом - значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур. Одну и ту же задачу можно также решить различными геометрическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее построения используются различные построения или свойства фигур.

Логический метод. Решить задачу логическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения. Примерами таких задач могут служить задачи «на переправы», классическим представителем которых является задаче о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание».

Практический метод. решить задачу практическим методом - значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т.д.)

Рассмотрим нестандартные способы решения обычных «стандартных» задач и задач олимпиадной и конкурсной тематики, специальные приемы их решения: переформулировка задачи, использование «лишних» неизвестных, делимости, решение задач в общем виде (когда все или некоторые значения величин в условии обозначены буквой).

Метод переформулировки задачи позволяет обходиться без решения систем. Задач, в которых возможна такая переформулировка, не так много, но они встречаются и на конкурсном экзамене.Простое решение задачи основано на такой переформулировке задачи, при которой ответ новой задачи является ответом для первой задачи.

Суть метода «лишние неизвестные» состоит во введении неизвестных, значения которых не требуется находить для получения ответа на вопрос задачи (а часто и невозможно найти). При этом задача может быть решена без составления уравнения - вычислением отношения с сокращением «лишнего» неизвестного, составлением уравнения или системы уравнений, в которых число неизвестных превышает число уравнений.

Решение задач в общем виде, возникает в двух случаях: значения некоторых величин, от которых зависит ответ задачи, заменены буквами, или требуется решить несколько однотипных задач, отличающихся только значениями величин.

Т.к. тема нашей курсовой решение текстовых задач алгебраическим способом, именно его рассмотрим более подробно.

Алгебраический метод решения задачи позволяет легко показать, что некоторые задачи, отличаются друг от друга лишь фабулой, имеют не только одни и те же соотношения между данными и искомыми величинами, но и приводят к типичным рассуждениям, посредством которых устанавливаются эти соотношения. Такие задачи дают лишь различные конкретные интерпретации одного и того математического рассуждения, одних и тех же соотношений, т.е. имеют одну и туже математическую модель.

Рассмотрим классификацию задач решаемых алгебраическим способом по фабуле, из-за многообразия уравнений и неравенств (3).

Задачи на движение

К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: пути, скорости и времени. Как правило, в них речь идет о равномерном прямолинейном движении. В этих задачах весьма полезно делать иллюстрированный чертеж, который помогает в составлении уравнений и неравенств.

Данную группу задач, можно разбить на задачи, в которых рассматриваются движения тел: 1) навстречу друг другу, 2) в одном направлении(«вдогонку»), 3) в противоположных направлениях, 4) по замкнутой траектории, 5) по течению реки.

Задачи на работу.

К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: работе, времени, в течение которого производится работа, производительности - работе, произведенной в единицу времени. К задачам на работу относят и задачи, связанные с наполнением и опорожнением резервуаров с помощью труб, насосов и других приспособлений. В качестве произведенной работы в этом случае рассматривают объем перекачанной воды.

Задачи на работу можно отнести к группе задач на движение, т.к. в задачах такого типа можно считать, что вся работа или полный объем резервуара играют роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. Однако по сюжету, фабуле эти задачи совершенно отличаются.

Задачи на смеси и проценты.

К этой группе задач относятся задачи, в которых речь идет о смешении различных веществ в определенных пропорциях, а также задачи на проценты

2. 3. Система текстовых задач для решения в курсе алгебры

2.3.1. Тема «Решение задач с помощью линейных уравнений».

Умение применять уравнения является очень важным, но надо стремиться формировать его с опорой на умение рассуждать, ставить вопросы, отвечать на них, проверять правильность полученного ответа, то есть на умения, полученные при работе с арифметическими методами решения задач(10,12.13).

1. В одной кассе кинотеатра продали на 86 билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если было продано 792 билета?

2. Двое рабочих изготовили 86 деталей, причем первый изготовил на 8 деталей меньше второго. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

Это начальный уровень, с задач такого типа начинается изучение данной темы. Эти задачи имеют схожие формулировки в них 2 неизвестных, одно из которых на сколько то больше другого и дана их сумма.

3. Матери 50 лет, дочери 28 лет. Сколько лет тому назад дочь была в 2 раза моложе матери?

Задача 3 - несколько труднее, в ней также два неизвестных, но используется предлог «в», и более трудная для восприятия формулировка.

4. Можно ли 59 банок консервов разложить в три ящика так, чтобы в третьем было на 9 банок больше, чем в первом, а во втором на 4 банки меньше, чем в третьем?

5. На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер и на 5 г больше, чем шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Задачи 4 и 5 имеют схожие формулировки, в них 3 неизвестных и дана их сумма. В задаче 4 используется только предлог «на» и нужно ответить можно или нельзя. В задаче 5 используются предлоги «в» и «на» и нужно найти все 3 неизвестные.

6. Норма выработки за смену на новом токарном станке на 30 деталей больше, чем на старом. При этом на пяти новых станках можно обработать за смену столько же деталей, сколько за то же время на восьми старых. Какова норма выработки на новом станке?

7. Бригада лесорубов ежедневно перевыполняла норму на 16 м³, поэтому недельную норму (6 рабочих дней) она выполнила за 4 дня. Сколько кубометров леса заготовляла бригада в день?

Задачи 6 и 7 имеют схожие формулировки, есть выработка по норме и фактическая, которая на сколько то больше нормальной.Учащиеся, испытывающие затруднения при анализе текста задачи, обычно лучше решают задачи, если использовать таблицу для записи условия.

8. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?

9. (задача из книги Ньютона). Некий торговец каждый год увеличивает на одну треть своё состояние. В то же время 100 фунтов он ежегодно затрачивает на свою семью. Через 3 года он обнаруживает, что его состояние удвоилось. Спрашивается, сколько у него было денег вначале.

10. Стрелки часов показывают полдень. Через сколько часов они встретятся в следующий раз?

2.3.2.Тема «Решение задач с помощью систем уравнений»

Если применять уравнения учащиеся учатся с 5-6-го класса (иногда и с начальной школы), то первый опыт применения систем уравнений они получают только в 7-м классе. С этого времени у них формируется стереотипное представление об этом приеме решения задач: надо ввести два неизвестных и составить два уравнения с ними(10,12,13).

На первых порах с помощью системы учащиеся решают задачи, которые можно решить и без системы, поэтому они могут давать не тот способ решения, на который рассчитывает учитель. Не надо отказываться от таких решений, а надо использовать их для сопоставления двух способов решения задачи -- это помогает глубже понять каждый из них.

Надо стараться показать применение нового приема решения на знакомых задачах. Например, на задаче про фазанов и кроликов, которую учащиеся могли решать как арифметическим методом, так и с помощью составления линейного уравнения.

1. В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.

Решение: пусть было x кроликов и y фазанов, всего 35. Составим первое уравнение: x + y = 35.У кроликов было 4x ног, а у фазанов 2y, всего 94. Составим второе уравнение: 4x + 2y = 94.Решив систему из этих двух уравнений, мы получим ответ: 12 кроликов и 23 фазана.Эту задачу полезно решить и с помощью одного линейного уравнения, которое возникнет при подстановке выражения 35 - x во второе уравнение вместо y. В этом случае учащиеся получат подтверждение тому, что их прежний опыт решения задач с помощью одного линейного уравнения согласуется с новым способом решения задач с помощью системы линейных уравнений, лучше поймут способ решения системы методом замены неизвестного.

2. (старинная). Сошлись два пастуха, Иван да Петр. Иван говорит Петру: Отдай-ка мне одну овцу, тогда у меня будет овец вдвое больше, чем у тебя!» А Петр ему отвечает: «Нет! Лучше ты отдай мне одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!» Сколько же было у каждого овец?

Задача начального уровня, имеющая интересную формулировку.

Решение: Пусть у Ивана было х овец, а у Петра - y овец. Если бы Петр отдал одну овцу Ивану, то у Петра осталось бы (у - 1) овец, а у Ивана стало бы (х + 1) овец. Но тогда у Ивана было бы вдвое больше овец, чем у Петра. Получаем уравнение: х + 1 = 2 (у -1)

Если бы Иван отдал Петру одну овцу, то у Ивана осталось бы (х-1) овец, а у Петра стало бы (у + 1) овец. Но тогда они имели бы овец поровну.Получаем уравнение: х - 1 = у + 1 Решив систему уравнений , получаем х = 7, у = 5.

Ответ: у Ивана было 7 овец, а у Петра - 5 овец.

3. Для 8 лошадей и 15 коров отпускали ежедневно 162 кг сена. Сколько сена ежедневно выдавали каждой лошади и каждой корове, если известно, что 5 лошадей получили сена на 3 кг больше, чем 7 коров?

4. Ученик за 3 общие тетради и 2 карандаша уплатил 66 р. 60 к. Другой ученик за такие же 2 общие тетради и 2 карандаша уплатил 46 р. 60 к. Сколько стоила общая тетрадь и сколько стоил карандаш?

Задачи 3 и 4 также задачи начального уровня, но имеющие стандартную формулировку. Решение этих задач сводится к решению системы из 2-ух уравнений первой степени с 2-мя неизвестными.

5. Расстояние между двумя пристанями на реке равно 60 км. Это расстояние катер проходит по течению реки за 2 ч., а против течения за 3 ч. Найти собственную скорость движения катера и скорость движения катера и реки.

Задача 5 задача начального уровня, но для её решения необходимо вспомнить, как находить скорость, зная время и расстояние. Задача сводится к решению системы

6. В одном бидоне на 5 л молока больше, чем в другом. Если из первого бидона перелить во второй 8 л молока, то во втором бидоне молока станет в 2 раза больше, чем останется в первом. Сколько литров молока в каждом бидоне?

Задачу 6 можно решить, как с помощью систему из 2-ух уравнений 1-ой степени с 2-мя неизвестными, так и с помощью линейного уравнения.

7. В январе 2 цеха изготовили 1080 деталей. В феврале первый цех увеличил выпуск деталей на 15%, второй - на 12%, оба цеха изготовили 1224 детали. Сколько деталей изготовил в феврале каждый цех?

Задача 7 так же сводиться к решению системы из 2-ух уравнений 1-ой степени с 2-мя неизвестными, но для её решения необходимо вспомнить тему «проценты».

8. Школьник потратил 1400 р. на покупку портфеля, ручки и книги. Если бы портфель стоил в 5 раз дешевле, ручка в 2 раза дешевле, книга в 2,5 раза дешевле, то та же покупка стоила 400 р. Если бы по сравнению с первоначальной стоимостью портфель стоил в 3 раза дешевле, ручка в 4 раза дешевле, а книга в 2 раза дешевле, то за ту же покупку школьник заплатил бы 500 р. Сколько стоят портфель, ручка и книга?

9. В три сосуда налита вода. Если половину воды из первого сосуда перелить во второй, затем часть воды, оказавшейся во втором сосуде, перелить в третий и, наконец, часть воды, оказавшейся в третьем сосуде, перелить в первый, то в каждом сосуде станет по 6 л. Сколько воды было в каждом сосуде до переливания?

Задачи 8 и 9 - трудные задачи, в них 3 неизвестных. В задаче 8 одно из неизвестных выражается через 2 других и задача сводиться к решению системы из 2-ух уравнений 1-ой степени 2-мя неизвестными.

2.3.3. Тема «Решение задач с помощью квадратных уравнений»

Чаще всего к квадратному уравнению приводят надуманные условия, по которым надо найти неизвестное число, или геометрические соображения, например, теорема Пифагора. Целесообразно начать с двух старинных задач, которые хоть и решаются с применением теоремы Пифагора, но получаемые при их решении уравнения после упрощения оказываются линейными(13,17).

1. (Задача Бхаскары, Индия, XII в.) Цветок лотоса возвышался над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера.

2. (Задача Л. Пизанского, XII-XIII ее.) Две башни, одна высотой 40 футов, а другая - 30 футов, расположены на расстоянии 50 футов одна от другой. К расположенному между ними колодцу слетают одновременно с обеих башен две птички и, летя с одинаковой скоростью, одновременно прибывают к колодцу. Найти расстояние от колодца до башен.

В других случаях геометрическое содержание задачи позволяет получить квадратное уравнение.

3. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см больше другого, а площадь этого треугольника равна 30 см².

4. (Задача Диофанта, III в.) Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96.

Решение: Если обозначить первое число через x, то второе число есть 20 - x. Тогда найти числа можно, решив уравнение x(20 - x) = = 96, которое можно переписать в виде квадратного уравнения: x² - 20x + 96 = 0.

x₁ = 12, x₂ = 8.

Ответ: 12 и 8.

Сам Диофант избегал здесь решения полного квадратного уравнения; обозначив данные числа за 10 + x и 10 - x, он приводил решение задачи к уравнению (10 + x)(10 - x) = 96, которое можно переписать в виде неполного квадратного уравнения x2 = 4. Здесь x = -2 или x = 2, но в обоих случаях искомые числа 12 и 8.

5. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м².

Задачи 3,4 и 5 - задачи начального уровня. Решение данных задач сводиться к решению квадратного уравнения.

6. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60м?

Задача 6 показывает связь данной темы курса алгебры с курсом физики. Для её решения используется формула известная из курса физики . Подставив наши значения получим уравнение 5t² - 40t + 60 = 0.

7. Расстояние в 400 км скорый поезд прошел на час быстрее товарного. Какова скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше, чем скорость скорого?

Задача 7 так же задача среднего уровня сложности, но для и решения необходимо вспомнить связь между скоростью, временем движения, и расстоянием.

8. За 4 дня совместной работы двух тракторов различной мощности было вспахано поля. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором отдельно, если первый трактор может вспахать все поле на 5 дней быстрее, чем второй?

Задача 8 - задача высокого уровня сложности.

9. Рабочий положил на хранение в банк 5000 р. По истечении года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в то же время он увеличил свой вклад еще на 5000 р., а по истечении еще одного года просил выдать ему накопленные процентные деньги. Сколько процентов в год начислит банк, если рабочий получил 1232 р. процентных денег, оставив вклад в 10000 р. на следующий срок?

Задача 9 - задача высокого уровня сложности с повторением темы «проценты». Решение задачи сводиться к решению уравнения: 0,5x² + 150x - 15200 = 0, где x - количество процентов начисляемых банком за год.

10. Два раствора, из которых первый содержит 0,8 кг, а второй - 0,6 кг безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Найдите массу первого и второго растворов в смеси, если известно, что безводной серной кислоты в первом растворе было на 10% больше, чем во втором.

Задача 10 - так же задача высокого уровня сложности. Это задача «на смеси», которые достаточно трудны для восприятия школьниками.

2.3.4. Тема «Решение задач с помощью рациональных уравнений».

Рассмотрим задачи, которые традиционно решают составлением уравнения с неизвестным в знаменателе(10,12,13). Их обычно включают в экзаменационные задания за курс алгебры неполной средней школы. Успешность решения такого рода задач невелика потому, что обратную задачу на совместную работу чаще всего не решают в 5-6-х классах.

1. Первая бригада может выполнить некоторую работу на 10 дней быстрее, чем вторая, а работая вместе они могли бы выполнить ту же работу за 12 дней. За сколько дней каждая бригада могла бы выполнить ту же работу?

2. Расстояние между двумя населенными пунктами 50 км. Из этих пунктов навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста на 30 км/ч больше. Встретились они на расстоянии 10 км от одного из населенных пунктов. Какова скорость велосипедиста?

3. Один из лыжников прошел расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч быстрее, чем другой.

Эта задача начального уровня сложности, на движение в одном направление

4. Чтобы ликвидировать опоздание на 1 ч, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой шел по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?

Эта задача среднего уровня сложности.

5. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошел 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.

Эта задача среднего уровня сложности на движение по реке.

6. Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила лошадь. Спрашивается: за какую сумму он её купил?

Эта задача высокого уровня сложности, с повторением темы «проценты».

Рассмотрим более сложную ситуацию, в которой учащиеся чаще всего затрудняются составить уравнение. Задача предлагались на конкурсном экзамене в Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова (РЭА).

7. За один час две трубы наполнили бассейн объемом 22 м³. Сколько кубометров заполнила первая труба, если 2 м³ она заполнила на 3 мин быстрее, чем вторая труба заполнила 3 м³?

2.3.5. Тема «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».

1. Прямоугольный участок земли площадью 2400 м² обнесен изгородью, длина которой равна 200 м. Найдите длину и ширину этого участка.

Задача 1 - задача начального уровня сложности.

2. Из некоторого пункта вышли одновременно два отряда. Один направился на север, а другой - на восток. Спустя 4 ч расстояние между отрядами было равно 24 км, причем первый прошел на 4,8 км больше чем второй. С какой скоростью шел каждый отряд?

Задача 2 - задача начального уровня сложности на движение в противоположных направлениях.

3. От вершины прямого угла по его сторонам начинают одновременно двигаться два тела. Через 15 с расстояние между ними стало равно 3 м. С какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое прошло за 6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с?

Задача 3 - задача среднего уровня сложности. Эта задача показывает связь между данным курсом алгебры и курсом геометрии.

4. Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая за 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

5. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать некоторый участок дороги на 4 ч быстрее, чем другая. За сколько часов может заасфальтировать участок каждая бригада, если известно, что за 24 ч совместной работы они заасфальтировали 5 таких участков?

Задачи 4 и5 - задачи среднего уровня сложности. Они имеют сходные формулировки: кто то выполняет работу на сколько то времени быстрее, чем другой.

6. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Через 4 ч им оставалось пройти до встречи 4 км. Если бы из пункта А пешеход вышел на 1 ч раньше, то встреча произошла бы на середине пути. С какой скоростью шел каждый пешеход?

7. Из населенных пунктов M и N, удаленных друг от друга на 50 км, выехали одновременно 2 мотоциклиста и встретились через 30 мин. Найдите скорость каждого мотоциклиста, если известно, что один из них прибыл в M на 25 мин раньше, чем другой в N.

Задачи 6 и 7 - задачи среднего уровня сложности на встречное движение, для решения которых необходимо составить систему уравнений второй степени.

2.4. Обзор текстовых задач, входящих в задания ГИА

В данном параграфе мы рассмотрим текстовые задачи, входящие в новую систему государственной (итоговой) аттестации по алгебре в 9 классе. Эта система была разработана в рамках эксперимента по введению новых стандартов образования и перехода на обучение по российским образовательным программам, проводимого Министерством образования и науки ЛНР(16).

Основное назначение новой системы - введение открытой, объективной, независимой процедуры оценивания учебных достижений учащихся, результаты которой будут способствовать осознанному выбору дальнейшего пути получения образования. Экзаменационные материалы реализуют современные подходы к построению измерений, они обеспечивают более широкие по сравнению с действующим экзаменом дифференцирующие возможности.

Экзаменационная работа рассчитана на выпускников девятых классов общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев). Её содержание находится в рамках Обязательного минимума содержания образования по математике в основной школе, при этом подбор заданий осуществлен с учетом идеологии требований к уровню подготовки учащихся, предъявляемых новыми образовательными стандартами.

Каждый вариант аттестационной работы состоит из четырех частей, которые отличаются по сложности и форме тестовых заданий.

В первой части аттестационной работы предложено 12 заданий с выбором одного правильного ответа (8 заданий по алгебре и 4 задания по геометрии). Для каждого тестового задания с выбором ответа дано четыре варианта ответа, из которых только один является правильным. Задание с выбором ответа считается выполненным правильно, если в бланке ответов указана только одна буква, которой обозначен правильный ответ. При этомуч ащийся не должен приводить какие-либо соображения, поясняющие его

выбор.

Вторая часть аттестационной работы состоит из 6 заданий (4 задания по алгебре и 2 задания по геометрии) открытой формы с коротким ответом. Такое задание считается выполненным правильно, если в бланке ответов записан правильный ответ (например, число, выражение, корни уравнения и т.п.). Все необходимые вычисления, преобразования и т. д. учащиеся выполняют на черновиках.

Третья часть аттестационной работы состоит из 4 заданий (3 задания по алгебре и 1 задание по геометрии), четвертая часть - из 3 заданий (2 задания по алгебре и 1 задание по геометрии) открытой формы с развернутым ответом. Задания третьей и четвертой частей считаются выполненными правильно, если учащийся привел развернутую запись решения задания с обоснованием каждого этапа и дал правильный ответ.

Задания четвертой части выполняют только учащиеся классов с углубленным изучением математики.

Учащиеся общеобразовательных классов выполняют задания первой,

второй и третьей частей аттестационной работы. Учащиеся классов с углубленным изучением математики выполняют задания первой, второй, третьей и четвертой частей аттестационной работы.

Примеры текстовых задач, входящих в первую часть.

1. Бассейн можно наполнить за 3 ч, а слить из него воду - за 5 ч. Сколько времени понадобится для наполнения бассейна, если не закрывать сливное отверстие?

2. В некоторый момент времени длина тени колокольни Софиевского собора (г. Киев) равна 19 м, а длина тени фонарного столба, стоящего около колокольни, - 1,5 м. Какая высота колокольни, если высота столба равна 6 м?

3. Цену на некоторый товар сначала снизили на 10 %, затем еще на 25 %, а через некоторое время повысили на 20 %. Как измениласьпервоначальная цена товара?

4. Расстояние между двумя городами легковой автомобиль проезжает за2 ч, а грузовой - за 4 ч. Через какое время после начала движения они встретятся, если выедут одновременно из этих городов навстречу друг другу?

5. Старые часы отстают каждый час на 20 с. На сколько минут отстанут часы через 24 ч после того, как время на них будет выставлено точно?

6. Масса ведра с водой равна 12,5 кг. Когда из ведра вылили половину воды, то масса ведра с водой стала равной 6,5 кг. Какова масса пустого ведра?

7. В каждом букете должны быть 2 красные и 3 белые розы. Какое наибольшее количество таких букетов можно составить из 40 красных и 50 белых роз?

8. Велосипедист проехал 20 км со скоростью 10 км/ч и 15 км со скоростью 5 км/ч. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста.

9. Известно, что 5 кг яблок стоят столько, сколько 4 кг груш. Сколько килограммов груш можно купить вместо 35 кг яблок?

10. Маша идет от дома до школы 9 мин, а ее брат Кирилл добегает до школы и без остановки возвращается назад за 12 мин. Во сколько раз скорость, с которой бегает Кирилл, больше скорости, с которой ходит Маша?

11. Объем бака автомобиля составляет 40 л, а расход топлива на каждые 100 км - 10 л. Какое наименьшее количество раз водителю придется заехать на заправку, если ему надо проехать 1300 км, а бак в начале движения был заполнен наполовину

12. Десять автобусных остановок расположены на прямой улице так, что расстояния между любыми соседними остановками одинаковы. Расстояние между первой и третьей остановками равно 1,2 км. Какое расстояние между первой и последней остановками?

Примеры текстовых задач, входящих во вторую часть.

1. К 8 кг 60-процентного раствора соли долили 4 кг воды. Каким после этого стало процентное содержание соли в растворе

2. После двух последовательных снижений цены, первое из которых было на 20 %, а второе - на 10 %, стул стал стоить 108 грн. Какой была первоначальная цена стула?

3. В саду растут яблони и вишни, причем яблони составляют 52 % всех деревьев. Вишен растет на 8 деревьев меньше, чем яблонь. Сколько деревьев растет в саду?

4. За первый день трехдневной гонки велосипедисты проехали 4/15 всего маршрута, за второй -2/5 всего маршрута, а за третий - остальные 90 км. Какое расстояние проехали велосипедисты за 3 дня?

Примеры текстовых задач, входящих в третью часть

1. Поезд должен был проехать 64 км. Когда он проехал 24 км, то был задержан возле семафора на 12 мин. После этого он увеличил скорость на 10 км/ч и прибыл в пункт назначения с опозданием на 4 мин. Найдите первоначальную скорость поезда.

2. Для перевозки 60 т груза было заказано некоторое количество грузовых автомобилей. Из-за неисправности двух из них на каждый автомобиль пришлось нагрузить на 1 т больше, чем планировалось. Сколько автомобилей должно было работать на перевозке груза?

3. Сколько граммов 4-процентного и сколько граммов 10-процентного растворов соли надо взять, чтобы получить 180 г 6-процентного раствора?

4. Два тракториста могут вспахать поле, работая вместе, за 6 ч. За сколько часов может вспахать это поле каждый тракторист, работая самостоятельно, если одному из них для того, чтобы вспахать 2/5 т поля, надо на 4 ч больше, чем другому, чтобы вспахать 1/5 поля?

5. Мотоциклист проехал 40 км из пункта A в пункт B и вернулся назад. На обратном пути он уменьшил скорость на 10 км/ч по сравнению с первоначальной и затратил на поездку на 20 мин больше, чем на путь из пункта A в пункт B. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.

6. Моторная лодка прошла 6 км против течения реки и 8 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 2 км/ч?

7. Расстояние между городами A и B равно 93 км. Из города A в город B выехал первый велосипедист. Через час навстречу ему из города B выехал второй велосипедист, скорость которого на 3 км/ч больше скорости первого. Велосипедисты встретились на расстоянии 45 км от города A. Найдите скорость каждого из велосипедистов

8. Вкладчик положил в банк деньги на два разных счета, по одному из которых начисляли 5 % годовых, а по другому - 4 %, и получил через год по двум вкладам 1160 грн прибыли. Если бы внесенные на разные счета деньги поменяли местами, то годовая прибыль составила бы 1180 грн. Сколько всего денег было помещено в банк?

9. За 2 футбольных и 4 волейбольных мяча заплатили 2000 грн. После того как футбольный мяч подешевел на 20 %, а волейбольный подорожал на 10 %, то за один футбольный и один волейбольный мячи заплатили 650 грн. Какой была первоначальная цена каждого мяча?

10. Турист проплыл на моторной лодке 25 км против течения реки и вернулся назад на плоту. Найдите скорость течения реки, если на плоту турист плыл на 10 ч больше, чем на лодке, а собственная скорость лодки составляет 12 км/ч.

Пример решения задачи

Одна машина работала на расчистке катка 25 мин, а потом ее сменила вторая машина, которая закончила расчистку за 16 мин. За сколько минут может расчистить каток каждая машина, работая самостоятельно, если первой для этого требуется на 9 мин больше, чем второй?

Решение.

Пусть первая машина может расчистить каток самостоятельно за x мин,

тогда второй для этого требуется (x - 9) мин. За 1 мин первая машина

расчищает 1/x часть катка, а вторая1/(х- 9)часть. Первая машина

расчистила за 25 мин 25/x часть катка, а вторая за 16 мин 16/(х- 9) часть. Так

как в результате их работы был расчищен весь каток, то 25/x + 16/(х- 9)=1

Решим полученное уравнение:

25x − 225 + 16x = x² − 9x ;

x² − 50x + 225 = 0;

x1 = 45 ; x2 = 5 .

Корень 5 не удовлетворяет условию задачи, так как при x = 5 имеем:

x − 9 = 5 − 9 < 0 .

Следовательно, первой машине требуется для самостоятельной

расчистки катка 45 мин, а второй - 36 мин.

Ответ: 45 мин; 36 мин.

2.5.Задачи для самостоятельной работы

1. (Задача А. Ризе, XVI в.) 26 персон издержали вместе 88 марок, причем мужчины издержали по 6 марок, женщины по 4, девушки по 2. Сколько было мужчин, женщин, девушек?

2. (Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи), XII-XIII вв.) 30 птиц стоят 30 монет, куропатки стоят по 3 монеты, голуби -- по 2 и пара воробьев -- по монете. Спрашивается, сколько куплено птиц каждого вида.

3. (Старинная задача.) Двенадцать человек несут 12 хлебов; каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина по половине хлеба, ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

4. Колонна солдат длины l движется с постоянной скоростью по шоссе. Курьер из конца колонны отправился в ее начало. Достигнув начала колонны, он тут же повернул обратно и пошел в конец колонны с той же скоростью. Известно, что скорость курьера в n раз больше скорости колонны. Определите путь колонны за то время, которое курьер потратил на путь в оба конца, если: а) l = 250 м, n = 1,5; б) l = 300 м, n = 2.

5. Теплоход длины L м движется в неподвижной воде. Катер, имеющий скорость v м/с, проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа за t с. Найдите скорость теплохода.

6. Иван Петрович приобрел в начале года k акций банка «Надежда», часть которых простые, а другая часть -- привилегированные. За год доход по одной простой акции составил 16 условных денежных единиц, а доход по одной привилегированной акции -- 21 условную денежную единицу. Сколько привилегированных акций приобрел Иван Петрович, если доход за год по купленным акциям составил 269 условных денежных единиц?

7. В некотором царстве, в некотором государстве правительство вынесло на всенародное голосование проект закона о запрете рекламы спиртных напитков и табака. Этот проект поддержали 69% взрослого населения, принявшего участие в голосовании. Причем «за» проголосовало 94% женщин и 41% мужчин. Кого среди голосовавших было больше - мужчин или женщин? На сколько процентов?

8. Велосипедист ехал из А в В со скоростью 15 км/ч, а возвращался назад со скоростью 10 км/ч. Какова средняя скорость велосипедиста на всем участке?

9. Фабрика получила заказ на изготовление 6000 деталей типа P и 2000 деталей типа Q. Каждый из 214 рабочих фабрики затрачивает на изготовление 5 деталей типа P время, за которое он мог бы изготовить 3 детали типа Q. Каким образом можно разделить рабочих фабрики на две бригады, чтобы выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что обе бригады приступят к работе одновременно и каждая из бригад будет занята изготовлением деталей только одного типа?

10. На вспашке поля работали 4 гусеничных трактора одинаковой мощности. После того как они проработали 2 ч, к ним присоединились еще 2 колесных трактора, после чего работа была закончена за 2 ч. Если бы все тракторы начали работать одновременно, то поле было бы вспахано за 3 ч. Определите, за сколько часов могут вспахать поле 2 гусеничных трактора и 2 колесных трактора, работая одновременно.

11. В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица вдвое дороже маленькой. Леди, зашедшая в магазин, купила 5 больших птиц и 3 маленьких. Если бы она вместо этого купил 3 больших птицы и 5 маленьких, то потратила бы на 20 долларов меньше. Что стоит каждая птица?

12. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20 км/ч, второго - 30 км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

13.Турист шел 2 ч пешком из пункта А в пункт В, затем в В он сел на катер, скорость которого в 4 раза больше скорости туриста как пешехода, и ехал на катере 1,5 ч до пункта С. В С он сел на автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера, и ехал на нем 2 ч до пункта D. С какой скоростью ехал турист на автобусе если известно, что весь его путь от А до D составил 120 км?

14.Пункты А, В и С расположены на шоссе друг на другом. Расстояние между А и В равно 16 км. Из В по направлению к С вышел пешеход. Через 2 ч после этого из А по направлению к С выехал велосипедист, скорость которого на 6 км/ч больше скорости пешехода. Через 4 ч после своего выезда велосипедист догнал пешехода в пункте С. Чему равно расстояние от В до С?

15.Лодка плыла по течению реки 3 ч 12 мин, а затем против течения 1,5 ч. Найти собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч, а всего лодкой пройден путь 41 км.

16. В седьмом классе в понедельник не пришли в школу одна девочка и пять мальчиков. При этом число девочек в классе оказалось в 2 раза больше числа мальчиков. Во вторник не пришли один мальчик и девять девочек. При этом число мальчиков оказалось в 1,5 раза больше числа девочек. В среду на уроки пришли все ученики. Сколько школьников присутствовало на уроках в среду в седьмом классе?

Выводы

Многие учителя математики, работая с текстовыми задачами, стремятся в процессе обучения как можно быстрее перейти к решению их алгебраическим способом, не понимая, что решение текстовой задачи арифметическим способом (т.е. по действиям, с постановкой вопросов к каждому действию или с пояснением) учит детей особому способу мышления - синтезу (от данных к искомому), в то время как «алгебраический» способ решения задачи учит анализу (от искомого к данным). Если учесть, что после прохождения курса математики 5-6 класса учащиеся в курсе алгебры основной школы длительное время решают текстовые задачи только алгебраическим способам, т.е. составлением уравнения (или системы уравнений), и тем самым учатся мыслить аналитически, становится ясно, что исключение или сокращение числа текстовых задач, решаемых арифметически из практики обучения в 5-6 классах (и в начальной школе) не только обедняет само обучение математике, но и лишает учащихся разностороннего математического развития. Подчеркнем, что при решении текстовой задачи арифметическим способом на уровне поиска решения идет обучение детей не только синтезу (зная …, можно узнать … ), но и анализу (чтобы узнать …, нужно знать …).

В психологии установлено, что полноценное мышление человека формируется только тогда, когда он владеет аналитико-синтетическим способом рассуждений. Всякая составная текстовая задача представляет собой логически связанную последовательность простых задач. Структура этой последовательности и определяет ход решения задачи, ведущего от условия к искомому результату. Трудность решения задачи, которая не является стандартной (задачей с известным ходом решения) и состоит в обнаружении этой последовательности действий. Явно или неявно всякий человек, решающий поставленную задачу использует аналитико-синтетический способ рассуждений.

Анализ открывает путь решения задачи, а синтез осуществляет это решение. Поэтому анализ иногда называют методом открытия. А синтез методом обоснования. Решая любую текстовую задачу арифметическим способом, ученик (и учитель) обязательно намечают план решения (а это и есть скрытый анализ), и уже затем формулируют первый вопрос (или записывают первое действие). Решение многих текстовых задач методом уравнений, несомненно, легче, чем их решение арифметическим методом. Вместе с тем, следует помнить, что только анализ не имеет доказательной силы и поэтому всегда соседствует с синтезом. Поэтому решение задачи методом уравнений нуждается в смысловой проверке, а выкладки, полученные аналитическим путем (от искомого к данным) нуждаются в синтетическом подтверждении (от данных к искомому).

При работе с текстовыми задачами, необходимо, прежде всего, помнить, что важно не столько решить задачу, сколько научить учащихся решать задачи, догадываться, рассуждать, обосновывать или опровергать свои догадки и уметь проверять полученный результат.

В ходе выполнения работы были решены все поставленные задачи:

1) Изучена психолого-педагогическая литература, по данной теме. В ходе ее анализа было изучено, что такое задача, классификации задач. Были рассмотрены несколько определений задачи. Например «задача» по Баллу употребляется для обозначения объектов. Другие, например Колягин рассматривают задачи как ситуации, в которых должен действовать субъект, которого включают в само понятие задачи. Еще в одном определение по Фридману субъект не включается в понятие задачи.

2) Изучена учебно-методическая литература, направленная на обучение решению текстовых задач. Было рассмотрено несколько классификаций задач. В одной из которых, основу составляет характер требования, другая рассматривается по функциям задачи, еще одна классификация по компонентам учебной деятельности.

3) Изучен педагогический опыт учителей по вопросу решения текстовых задач. Рассмотрена методика решения задач, которая была представлена в книге Д. Пойя «Как решать задачу». Методика обучения решению задач предполагает выделение спектра умений решать задачи. Весь процесс решения задачи можно разделить на 8 этапов представленных в работе. В ней также рассмотрены правила, пользуясь которыми можно найти последовательность шагов для любой задачи. Рассмотрены методы решения текстовых задач, в основе которых лежат различные виды математических моделей. Рассмотрена классификация задач, решаемых алгебраическим способом по фабуле, из-за многообразия уравнений и неравенств.

4) был разработан комплекс упражнений, предназначенных для обучения составлению математических моделей реальных ситуаций, т.е. переводу сюжета задачи на математический язык. В этот комплекс включены линейные уравнения, системы уравнений, дробно-рациональные уравнения.

Подводя итоги проделанной работы, можно утверждать, что цели курсовой работы достигнуты.

Список литературы

1. Балл, Г.А. О психологическом содержании понятия «задача» / Г.А. Балл // Вопросы психологии.- 1970.- № 5.- С. 81-87.

2. Гусев, В. А. Психолого - педагогические основы обучения математике [Текст].- М.: ООО Изд. «Вербум М», ООО Изд. центр «Академия», 2003.- 432с.

3. Демидова, Т. Е. Теория и практика решения текстовых задач [Текст].- М.: «Академия», 2002.- 288с.

4. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике: Кн. для учителей [Текст].- М.: просвещение,1977.- 104 с.

5. Колягин, Ю. М., Оганесян, В. А. Учись решать задачи: Кн. для учащихся [Текст].- М.: Просвещение, 1980.- 96 с.

6. Колягин, Ю. М. Задачи в обучении математике. Часть 11. Обучение математике через задачи и обучение решению задач [Текст].- М.: Просвещение, 1977.- 204 с.

7. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников ] / В.А. Крутецкий.- М.: Просвещение, 1968.- 432 с.

8. Кулагина, И.Ю. Возрастная психология : Учебное пособие / И.Ю. Кулагина.- 3-е изд.- М.: УРАО, 1997.-176 с.

9. Лебедев, В. С. Анализ и решение текстовых задач. Алгоритмизация [Текст] // Математика.- 2000.- №41.- С. 8- 10.

10 . Левитас, Г. Г. Об алгебраическом решении текстовых задач [Текст] // Математика в школе.- 2000.- № 8.- С. 13 - 14.

11. Мухина, В. С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество: Учеб. для студ. вузов [Текст].- 4 - е изд. стереотип.- М.: Изд. центр «Академия», 1999.- 456 с.

12. Нешков, К. И., Семушин, А. Д. Функции задач в обучении [Текст].- 5-е изд.- М.: Просвещение, 1971. - 285 с.

13. Никифоров, Н. И. К изучению, темы «Решение задач с помощью уравнений» [Текст] // Математика в школе.- 1994.- № 2 - С. 12 - 14.

14. Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей [Текст].- 2-е изд.- М.: Государств. учеб. - педагогич. изд. министерства просвещения РСФСР, 1961.- 205 с.

15. Психология. Словарь [Текст] /Под общ. ред А. В. Петровского, М. Г.- 2 - е изд., испр. и доп. М.: Политиздат, 1990.- 490.- 490 с.

16. Сборник заданий для ГИА / /сайт НМЦРО ЛНР

17.Старинные занимательные задачи [Текст] / Под ред. С. Н. Олехник.- М.: Изд. отдел УНЦ ДО МГУ, 1996.- 152 с.

18. Фридман, Л.М. Как научиться решать задачи [Текст] : Кн. для учащихся ст. кл. средн. шк. / Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий.- 3-е изд., дораб.- М.: Просвещение, 1989.- 192 с.: ил.