Занимательные задачи по математике 6 - 7 класс. Переправы и разъезды

Автор: Колпаков А.Н. on 10 августа 2011

Предлагаю небольшую подборку задач на реки и мосты, переправы и разъезды. Они не привязаны к программам 6 и 7 класса, поэтому репетитор по математике может использовать их в 5-ом и даже в 4-oм классе. Но все-таки совсем маленьким ученикам (даже олимпиадникам) большинство задач покажутся слишком трудными (из-за большого перебора вариантов). Я ориентировался на уровень развития среднестатистического шести - семиклассника с математическим и логическим складом ума. Для него задачи репетитора по математике покажутся и не только интересными, но и более доступными. Тренируйте мозги у своих учеников!

1) Знаменитая задача про волка, козу и капусту:
Фермеру необходимо переправить через широкую реку капусту, козу и волка. Но беда в том, что в лодке с человеком есть одно место или для капусты или для козу или для волка. Если фермер оставит козу с волком, то волк может съесть козу, а если оставить капусту с козой, то она съесть капусту. В присутствии фермера никто никого не ест. Подскажите ему способ переправы на другой берег?

2) Отряд солдат подошел к реке и задумал через нее переправиться. Однако мост оказался сломанным, а река очень глубокой. Рядом с берегом в лодке сидят 2 мальчика, но их лодка настолько маленькая, что на ней можно переправиться на другой берег или только одиному солдату или только двум мальчикам - не больше. Как им переправиться?

3) Три рыцаря у каждого из которых был свой оруженосец съехались на берегу реки, к которому была привязана двухместная лодка. Их лошади переправились вплавь, а людей ждала лодка. Но оруженосцы, словно сговорившись, не захотели оставаться на берегу в компании незнакомых рыцарей. Иговоры и угрозы не помогли. Тогда оруженосцы подумали и нашли способ переправиться не нарушая требование оруженосцев. Как они это сделали?

4) Можно ли рыцарям переправиться при этих же условиях, если съедутся 4 рыцаря и 4 оруженосца?

5) К реке подошли 4 рыцаря и 4 оруженосца, но лодка оказалась трехместной. Можно ли осуществить переправу с теми же условиями оруженосцев?

6) К берегу реки подошли 3 контрабандиста с двумя мешками золота каждый. У берега нашлась трехместная лодка в которую помещались любые три мешка, или контрабандист + 2 мешка, или 2 контрабандиста + 1 мешок или 3 контрабандиста. Каждый из преступников не может оставить ни один из своих мешков наедине с другими преступниками, но может их оставить на безлюдном берегу. Могут ли все они переправиться через реку?

7) Четыре рыцаря с оруженосцами хотят переправиться через глубокую реку на лодке без гребца, вмешающая не более двух человек. Недалеко от места переправы есть островок, на котором можно высаживаться. Как можно переправиться с условием, что нигде (ни на берегах, ни в лодке, ни на острове) ни один оруженосец не находился в компании чужих для него рыцарей?

8) Поезд M приближается к железнодорожной станции и его обгоняет быстро едущий поезд из города N, который нужно пропустить вперед. От главного пути, около станции, отходит боковая ветка - тупик, на которую временно можно оттащить вагоны с главного пути, но она так мала, что может вместить весь поезд M. Как можно пропустить поезд N вперед?

9) По речному каналу один за другим плывут три парохода: M;N и K. Навстречу им плывут еще три парохода, идущие также один за другим: P;H и E. Канал такой ширины, что два парохода не могут в нем разъехаться, но в конце одной из сторон канала есть карман в виде залива. В него можно отвести только один из пароходов. Могут ли эти пароходы разъехаться около этого кармана?

Дети с удовольствием решаю задачи предложенные репетитором математики, над которыми можно «думать рисунком». Объяснительные тексты к ним писать нет смысла, так как не хватит тетрадного листа. Достаточно нарисовать. К олимпиадным задачам они не относятся, а больше рассчитаны на развлечение и тренировку памяти, внимания и смекалки. Рисуйте и думайте на здоровье!

Колпаков Александр Николаевич. Репетитор по математике, Строгино
Задачи на разъезды прислал мой коллега Александров Григорий Павлович репетитор по математике. Москва, Митино.

Задачи на рассуждение, доказательство и логику

Автор: Колпаков А.Н. on 18 декабря 2010

На этой странице сайта «профессиональный репетитор по математике» вы найдете подборку задач на логику высказываний, на перебор и сортировку вариантов, на доказательство и на рассуждение. Такие задачи учат ребенка анализировать условия и делать выводы, обосновывать факты и явления. Репетитор по математике может использовать эти материалы в своей работе с учениками не младше 5-6 класса. Список задач будет постепенно пополняться.

1) Имеется 25 городов. Известно, что из каждого города в другие города ведут как минимум 12 дорог. Докажите, что из каждого города можно проехать в каждый.

2) В марсианском метро 101 станция и 5000 перегонов между ними. Докажите, что можно добраться с любой станции до любой станции.

3) В соревнованиях по лыжным гонкам участвовали 3 лыжника: Антонов, Володин и Степанов. Перед дистанцией один зритель сказал, что первым придет Антонов, второй зритель сказал, что Степанов не будет последним, а третий зритель предсказал, что Володин не будет последним. После забега выяснилось, что угадал всего лишь один зритель, а другие ошиблись. В каком порядке лыжники пришли к финишу?

4) Варя сказала, что на ее день рождения пришли больше шести подруг. А ее сестра сказала, что подруг было больше пяти. Сколько подруг пришло к Варе, если из двух этих утверждений одно истинное, а другое ложное?

Здесь представлены примеры логических задач для 5-го, 6-го и 7-го класса. Это рекомендуемый возраст для знакомства с приемами их решения, так как в более ранний период жизни ребенок чаще всего еще не способен ни анализировать информацию на несколько шагов вперед, ни мыслить абстрактно. Вместе с этим критический вид деятельности у него не является основным средством познания. В 8-ом классе и старше я бы не советовал репетиторам увлекаться такими задачами из-за их очевидного отклонения от содержания программы. Есть куда более важные направления для развития ученика.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике Москва, Строгино.

Олимпиадные, логические и занимательные задачи по математике для 6-7 классов. Задачи на часы, даты и календарь

Автор: Колпаков А.Н. on 15 ноября 2010

Репетиторам по математике, а также ученикам, проявляющим интерес к математике, предлагается подборка задач олимпиадного уровня на часы, даты и календарь. Список задач регулярно пополняется. Большинство из этих задач отобрано мной именно для работы с шести-семиклассниками, однако некоторые из них репетитор по математике может предложить ученикам уже 5-ом классе. У задач нет четкой возрастной принадлежности и единственным требованием к пониманию их решения, кроме способностей удерживать в голове все расуждения, является умение выполнять действия с дробями. Уровень задач соответствует уровню малого мехмата МГУ, второй математической школы, Курчатовской школы и др.

1) Найдите самое большое количество пятниц в году?

2) Может ли в каком-либо месяце быть 5 понедельников и 5 четвергов?

3) В одном месяце три сестры пришлись на четные числа. Какого числа в этом будет второе воскресенья?

4) Какой сегодня день недели, если известно, что когда послезавтра станет вчера, то сегодня будет также далеко от воскресенья, как тот день, который был сегодня, когда вчера было завтра?

5) Человек родился 7 января 40 года до нашей эры, а умер 7 января 50 года нашей эры. Сколько лет он прожил?

6) Найдите угол в градусах между минутной и часовой стрелкой в 8ч 30мин.

7) Найдите угол в градусах между минутной и часовой стрелкой в 18ч 15мин.

8)*Совешание у директора завода началось между 6 и 7 часами вечера, завершилось между 9 и 10 часами. Требуется найти точное время начала и окончания этого совещания, если за его время часовая и минутная стрелки
поменялись местами.

9)*Дима начал выполнять домашнее задание репетитора по математике между 4 и 5 часами вечера, когда его часов совпадали, а закончил работу, когда часовая стрелка оказалась напротив минутной (по одной прямой). Надите сколько минут Дима выполнял задание репетитора и в котором часу он его сделал?

Олимпиадные, логические и занимательные задачи по математике. Задачи на взвешивание

Автор: Колпаков А.Н. on 7 ноября 2010

Вашему вниманию предлагается подборка задач на определение фальшивых монет путем взвешивания на чашечных весах без гирь. Данный тип задач очень распространен и обычно используется репетиторами по математике на развивающих занятиях со способными школьниками разного возраста. Никакой математической нагрузки задачи на взвешивание не несут. Их назначение - развитие абстрактного мышления, тренировка памяти, внимания, обучение построению алгоритмов и планов решений не отягощенных математикой. Учитывая оторванность задач от программ учебников, репетитор по математике может предлагать работать с монетами произвольно и в любой период учебы ребенка. Единственный критерий их отбора - количество взвешиваний, необходимых репетитору для демонстрации решений. В данном списке большинство задач требует более двух взвешиваний и поэтому редко доступны для самых маленьких.

1) Имеется 6 одинаковых настоящих монет и еще одна фальшивая, которая легче остальных. Как на чашечных весах без гирь найти эту фальшивую менету? Опишите порядок взвешиваний.

2) Теперь у нас 7 настоящих монет и еще одна фальшивая, также более легкая остальных. Как найти фальшивую монету за два взвешивания ?

3) Как из 10 монет, среди которой тоже есть фальшивая определить ее за три взвешивания?

4) А теперь попробуйте из 16 монет обнаружить фальшивую не более чем за 3 взвешивания.

5) Задача усложняется и теперь перед нами 17 монет, а количество взвешиваний опять не более чем три.

6) А вот у нас уже 20 монет вместе с фальшивой, как всегда более легкой. Нужно потратить не более 3-х взвешиваний для ее вывления. Как надо их выполнить?

7) Монет 26 штук, одна фальшивая. Взвешиваний опять не более трех. Как найти эту фальшивую монету?

8) Из 27 монет одна фальшивая. как ее найти снова за три взвешивания?

9) Теперь у нас всего 28 монет вместе с одной фальшивой. Как ее найти за 4 взвешивания?

10) Имеется 40 монет среди которых какие-то две монеты фальшивые. Определите за 2 взвешивания 20 настоящих монеты.

11) А сможете ли вы из 82 монет среди которых одна более легкая (фальшивая) найти наименьшее число взвешиваний, которое потребуется для ее определения?

12) И наконец перед нами 11 настоящих монет и еще одна фальшивая. Надо потратить не более четырех взвешиваний.