Функциональное описание реальных процессов

Функциональное описание реальных процессов

Почему не бывает животных, какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три раза большего роста, чем существуют, но тех же пропорций? Наш ответ таков: стань слон в три раза больше, вес его тогда увеличился бы в двадцать семь раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность - только в девять раз, как квадрат размера. Прочности костей уже не хватило бы, чтобы выдержать непомерно увеличившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собственной тяжестью.

В основу рассуждения положены две строгие математические зависимости. Первая устанавливает соответствие между размерами подобных тел и их объемами: объем изменяется, как куб размера. Вторая связывает размеры подобных фигур и их площади: площадь изменяется, как квадрат размера. Этим выразительным примером мы хотим начать разговор о числовых функциях числового аргумента, которые можно использовать для описания реальных процессов.

Чудо английского часового мастера Джон Гаррисон.

Перенесемся на три века вспять. Парусник в открытом море. Как определить долготу места, в котором он находится? Очень просто, если на корабле есть часы, поставленные в порту отправления. Нужно измерить местное время по солнцу и сравнить с показаниями часов. Расхождение пропорционально разнице по долготе между тем пунктом, где находится корабль, и тем, в котором были поставлены часы.

Точный закон этой пропорциональности позволяет вывести простое соотношение: тремстам шестидесяти градусам земной окружности соответствуют двадцать четыре часа, за которые Земля совершает полный оборот вокруг своей оси. Поэтому если часы отстают по сравнению с местным временем на шесть часов, корабль находится на 90° восточнее того места, где были поставлены часы. Спешат на четыре часа - на 60° западнее. Разумеется, для подобного определения долготы нужны очень точные часы.

А как можно требовать точности от маятниковых часов, которыми снабжен парусник? Их ход зависит от длины маятника, а она то и дело меняется: теплый день сменяется прохладной ночью, и во время плавания парусник приближается то к голубым полярным льдам, то к пальмам тропиков. Тепло удлиняет маятник, холод укорачивает. Такова неумолимая реальность.

И все-таки нашелся способ избежать неизбежного зла. Чудо совершил в 1726 году английский часовой мастер Джон Гаррисон. Это удалось ему потому, что он знал функциональную зависимость длины металлического стержня от температуры, до которой стержень нагрет.

Эту функцию описывает прямая линия. Такая зависимость называется линейной. Суть ее в том, что одинаковым приращениям аргумента всегда соответствует одно и то же приращение функции. Иначе говоря, функция изменяется равномерно при равномерном росте аргумента.

В нашем примере равномерному нарастанию температуры соответствует равномерное удлинение стержня. Полное его удлинение пропорционально начальной длине. Но что особенно важно - стержни из разных металлов удлиняются по-разному от одного и того же прироста температуры. Скажем, цинк расширяется примерно в три раза сильнее, чем сталь, этим и воспользовался Гаррисон: он собрал маятник из цинковых и стальных стержней. Общая длина стальных стержней в три раза превышала длину цинковых. Расширяясь при нагревании и сокращаясь при охлаждении, стержни взаимно компенсировали изменения своей длины, и груз маятника оставался на одном и том же расстоянии от точки подвеса.

Ключ к небольшой математической проблеме

Отметим, что не всякую функциональную зависимость удается выразить краткой формулой, мы не случайно в качестве примера предоставляем вам, ключ от дверного замка: сейчас он в буквальном смысле слова послужит ключом к небольшой математической проблеме, к которой нас подводит беседа о функциях. Знаете ли вы, как таким ключом открывается дверной замок? Что происходит внутри этого слесарно-механического устройства, когда вы вставляете ключ в замочную скважину и делаете положенное число оборотов?

Чтобы замок открылся, нужно провернуть барабан, в котором сделана скважина. Но этому препятствуют штифты, стоящие тесным строем внутри скважины, скользящие вверх-вниз. Каждый из штифтов нужно поднять на такую высоту, чтобы их верхние торцы оказались вровень с поверхностью барабана. Если они выступят за нее, то войдут в прорезь обоймы, расположенную точно над заочной скважиной; если не достигнут поверхности барабана, то из прорези обоймы находящиеся там штифты вдвинутся в замочную скважину. И в том и в другом случае вращение барабана будет застопорено.

Штифты в замочной скважине поднимает ключ, вдвигаемый в нее. При этом высота каждого штифта, будучи сложена с высотой профиля ключа в соответствующей точке, должна дать в сумме диаметр барабана. Только тогда он провернется.

Ну а причем здесь функция? Да притом, что, с точки зрения математика, вся эта механика есть не что иное, как операция сложения двух функций. Одна из них - это профиль ключа. Другая - линия, очерчивающая верхние торцы штифтов, когда замок заперт.

Операция сложения функций состоит в том, что в каждой точке из общей области их определения к значению одной функции прибавляется значение другой. Тем самым определяется, какое значение в данной точке имеет функция, называемая суммой двух исходных. Секрет дверного замка в том, что в результате сложения двух функций, выраженных профилем ключа и строем штифтов, получается функция-константа, постоянное значение которой равно диаметру барабана

Золотое правило механики

Вся богатейшая семья механизмов, окружающих современного человека, начиналась когда-то с семи простых машин. Древние знали рычаг, блок, клин, ворот, винт, наклонную плоскость и зубчатые колеса. Эти нехитрые по теперешним представлениям устройства умножали силу человека. Но, во сколько раз выиграешь в силе - во столько же раз проиграешь в расстоянии. Так гласит золотое правило механики, заключающее в себе теорию семи простых машин.

График, приведенный на этой странице, есть наглядное выражение знаменитого правила. По горизонтальной оси отложена сила, с которой, например, нужно давить на плечо рычага, чтобы поднять заданный груз на заданную высоту. По вертикальной оси - расстояние, которое пройдет при этом точка приложения силы. Линия, выражающая такую функциональную зависимость, называется гиперболой.

Закон обратной пропорциональности глядит на нас и со шкалы радиоприемника. Вы крутите ручку настройки, и стрелка движется вдоль шкалы, на которой два ряда чисел - метры и мегагерцы, длина волн и их частота. Длина волн растет, частота падает. Но присмотритесь: при любом сдвиге стрелки во сколько раз увеличилась длина волны, во столько же раз упала частота.

График гиперболы можно увидеть на лабораторном столе физика, демонстрирующего явления капиллярности. В штативе несколько тонких стеклянных трубочек, расположенных в порядке возрастания диаметров. Известно, что в тонком канале смачивающая жидкость поднимается тем выше, чем меньше его диаметр. Поэтому в самом узком канале жидкость поднялась выше всего, в другом канале, диаметр которого в два раза больше, - в два раза ниже, в третьем, что толще первого в три раза,- в три раза ниже и так далее.

А теперь опустим в эту же жидкость клин, образованный двумя стеклянными пластинками, сомкнутыми по вертикальному ребру. В узкую щель между стеклами жидкость устремится, как в капилляр. Высота ее подъема определится шириной зазора. А он увеличивается равномерно по мере удаления от острия клина. Поэтому свободная поверхность жидкости четко вырисовывает гиперболу - график обратной пропорциональности.

Информационный бум

Сейчас много говорят об информационном буме. Поток информации захлестывает: утверждают, что ее количество удваивается каждые десять лет. Изобразим этот процесс наглядно, в виде графика некоторой функции.

Примем объем информации в некоторый год за единицу. Поскольку эта величина послужит нам началом дальнейших построений, отложим ее над началом координат, в которых будет строиться график, по вертикальной оси. Отрезок, вдвое больший, восставим над единичной отметкой горизонтальной оси, считая, что эта отметка соответствует первому десятку лет.

Еще вдвое больший отрезок восставим над точкой «два», соответствующей второму десятку, еще вдвое больший - над точкой «три». Декада за декадой- избранные нами значения аргумента выстроятся по горизонтальной оси в порядке равномерного нарастания, по закону арифметической прогрессии: один, два, три, четыре... Значения функции отложатся над ними, возрастая каждый раз вдвое,- по закону геометрической прогрессии: два, четыре, восемь, шестнадцать...

А что если посмотреть, как нарастал поток информации до того года, который принят за начальный? Столь же равномерно, откладывая единицу за единицей, пройдемся по оси абсцисс влево от начала координат и над отложенными значениями аргумента, будем наносить на график значения функции уже в порядке убывания - вдвое с каждым шагом.

Теперь соединим все нанесенные точки непрерывной гладкой линией - ведь количество информации нарастает от десятилетия к десятилетию плавно, а не скачками. Перед нами график так называемой показательной функции.

Звездный график

Сколько звезд на небе? Одним из первых, кто попытался точно ответить на этот вопрос, был древнегреческий астроном Гиппарх. При его жизни в созвездии Скорпиона вспыхнула новая звезда. Гиппарх был потрясен: звезды смертны, они, как люди, рождаются и умирают. И чтобы будущие исследователи могли следить за возникновением и угасанием звезд, Гиппарх составил свой звездный каталог. Он насчитал около тысячи звезд и разбил их по видимому блеску на шесть групп. Самые яркие Гиппарх назвал звездами первой величины, заметно менее яркие - второй, еще столь же менее яркие - третьей и так далее в порядке равномерного убывания видимого блеска - до звезд, едва видимых невооруженным глазом, которым была присвоена шестая величина.

Когда ученые получили в свое распоряжение чувствительные приборы для световых измерений, стало возможным точно определять блеск звезд. Стало возможным сравнить, насколько соответствует данным таких измерений традиционное распределение звезд по видимому блеску, произведенное на глаз.Оценки того и другого рода сведем на одном графике. От каждой из шести групп, на которые звезды распределил Гиппарх, возьмем по одному типичному представителю. По вертикальной оси будем откладывать блеск звезды в единицах Гиппарха, то есть ее звездную величину, по горизонтальной - показания приборов. За масштабную единицу горизонтальной оси примем блеск звезды «б Тельца», стоящей посредине в ряду представителей звездного солнца.Отметки на горизонтальной оси располагаются неравномерно. Объективные (прибор) и субъективные (глаз) характеристики блеска не пропорциональны друг другу.

С каждым шагом по шкале звездных величин прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, как могло бы показаться, а примерно в два с половиной раза. Образно говоря, глаз сравнивает источники света по блеску, задаваясь вопросом «во сколько раз?», а не вопросом «на сколько?». Мы отмечаем не абсолютный, а относительный прирост блеска. И когда нам кажется, что он возрастает или убывает равномерно, в действительности мы шагаем по его шкале все более размашистыми шагами, покрывая при этом поистине гигантский диапазон: в миллион миллионов раз различаются по блеску источники света, самый слабый и самый мощный, воспринимаемые человеческим глазом.

Именно в силу описанной физиологической особенности звезды, ярко горящие на ночном небе, не видны днем, тонут в ослепительном блеске солнца, рассеянном по небосводу. И там и здесь сияние звезд дает одну и ту же добавку к свету фона. Однако в первом случае (ночью) эта добавка велика по сравнению с мерцанием неба, во втором же (днем) составляет весьма незначительную долю от солнечного блеска (менее чем миллиардную даже для самых ярких звезд). Оттого же и голос солиста, когда его пение подхватывает хор, тонет в многоголосом звучании.Суть функциональной зависимости, описанной нами на примере зрения и слуха, в том, что возрастанию аргумента в одно и то же число раз всегда соответствует оно и то же приращение функции. Когда аргумент меняется по закону геометрической прогрессии, функция меняется по закону арифметической прогрессии.

Как же называется функция, с которой мы познакомились по звездному небу? Ординаты выделенных точек графика являются логарифмами абсцисс, взятых по основанию 2,5 . Такую функцию называют логарифмической.

Математические портреты пословиц

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле. Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот. Точно так же облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

Функции - это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций, нам показалось естественным обратиться к пословицам. Ведь пословицы - это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

«Выше меры конь не скачет» Если представить траекторию скачущего коня как график некоторой функции, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой». Это будет знакомый график функции синуса.

«Пересев хуже недосева» Урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга. Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить ее графиком, где урожай представлен как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум- это наибольшее значение функции по сравнению с ее значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни.

«Чем дальше в лес, тем больше дров» Можно изобразить графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса - от опушки, где все давным-давно собрано, до чащоб, куда не ступала нога заготовителя. График представляет количество дров как функцию пути. Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.

«Каши маслом не испортишь» Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшается с добавкой масла. Она, возможно, увеличивается, но может оставаться и на прежнем уровне. Подобного рода функция называется монотонно неубывающей.

«Не круто начинай, круто кончай» и «Горяч на почине, да скоро остыл»

Обе функции, зависящие от времени, возрастающие. Но, как видно, расти можно по-разному. Наклон одной кривой постоянно увеличивается. Рост функции усиливается с ростом аргумента. Такое свойство функции называется вогнутостью.

Наклон другой кривой неизменно уменьшается. Рост функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство функции называется выпуклостью.

Нетрудно найти иллюстрации этим понятиям и среди элементарных функций. Показательная функция - вогнутая. Логарифм, корень квадратный - выпуклые. Выпуклую параболу выписывает и снаряд, выпущенный из пушки под углом к горизонту. Вогнутой функцией является гипербола, построенная для положительных значений аргумента. Другая ветвь гиперболы выпуклая.

Математические категории, о которых шла речь, естественным образом делятся на две группы. Одни описывают поведение функции в окрестности некоторых характерных точек (максимум, минимум, перегиб). Другие описывают поведение функции в некоторых промежутках (выпуклость, вогнутость, убывание, возрастание).

Теория реальных газов

Физикам важно знать, как ведут себя газы при различных температурах и давлениях. Поведение газа определяется взаимодействием между его молекулами. Предположим для простоты, как это часто делается в физике, что молекулы - это маленькие упругие шарики. Рассмотрим две такие молекулы, и будем изучать, какому закону подчиняется сила их взаимодействия.

Известно, что на больших расстояниях молекулы взаимно притягиваются, причем с ростом расстояния сила притяжения убывает, стремясь к нулю. При сближении молекул она, напротив, возрастает. Когда шарики сближаются до соприкосновения, в игру вступает еще одна, противоположно направленная сила - сила упругого отталкивания. Она тем больше, чем сильнее прижаты шарики друг к другу, чем меньше расстояние между их центрами. Гипотетически можно представить центры молекул сближающимися на сколь угодно малое расстояние, отчего сила их взаимного отталкивания возросла бы неограниченно.

Над дальним концом положительной полуоси абсцисс проведем прилегающий к ней вогнутый штришок. Своей близостью к горизонтальной оси он покажет, что с удалением молекул друг от друга сила их взаимодействия убывает до нуля, а вогнутой формой - что при сближении молекул сила их взаимного притяжения возрастает все круче. В точке с абсциссой, равной удвоенному радиусу молекулы, на условной высоте отметим точку перегиба; в этой точке силы упругого отталкивания, вступив в игру, заставляют кривую графика сменить свое прежнее, все более крутое возрастание на возрастание все более замедляющееся.

В точке с абсциссой, еще меньшей, на чуть большей высоте проведем дужку выпуклостью кверху. Она означает, что сила взаимодействия достигла максимума: с дальнейшим уменьшением аргумента силы упругого отталкивания преобладают над силами притяжения, кривая устремляется вниз. Выпуклый отвесный штрих проведем у нижнего конца оси ординат, чуть правее от него. Эта деталь показывает, что сила отталкивания между молекулами неограниченно возрастает, когда их центры неограниченно сближаются.

Поскольку сила взаимодействия между молекулами определена для любого расстояния между их центрами, график должен быть непрерывной линией. Соединим намеченные штрихи гладкой кривой. Такую картину часто можно увидеть в книгах по физике, правда, в перевернутом виде; у физиков сложилась традиция трактовать силы притяжения как отрицательные величины, силы отталкивания - как положительные.

Взаимно обратные функции

Перенесемся в поликлинику. Врач велит пациенту измерить температуру. В стеклянной трубочке, которую пациент сует под мышку, заключен столбик ртути. Он удлиняется от тепла человеческого тела. Вспоминается часовая мастерская Гаррисона и опыты, в которых мастер определял длину металлических стержней как функцию их температуры. Здесь врач проделывает нечто обратное: по длине жидкого ртутного «стерженька» он определяет температуру пациента. Он строит обратную функцию по отношению к той, которую изучал Гаррисона.

Разумеется, к вопросу можно подойти с другой стороны и назвать прямой функцию, с которой имеет дело врач, и обратной ту, значение которой прославило Гаррисона. А если быть справедливым до конца, то обе функции нужно назвать взаимно обратными. Противопоставлять их имеет не больше смысла, чем решать, кто из двух близнецов старше. Правда, порой одна из двух взаимно обратных функций более употребительна, более привычна, ее символ примелькался больше, и подобная неравноценность играет свою роль при распределении званий «прямая» и «обратная». Арксинус, арктангенс называют обратными тригонометрическими функциями, молчаливо отдавая звание «прямых» синусу и тангенсу.

Космодром. Ракета, летящая в космическом пространстве, наращивает скорость по закону логарифма: именно эта функция позволяет по массе израсходованного топлива указать скорость ракеты. Скорость - функция, масса топлива - аргумент. Но часто возникает обратная задача, когда исходным пунктом расчета является скорость ракеты. Чтобы вывести спутник на орбиту, ракета должна развить первую космическую скорость. Какое количество топлива потребуется ракете, чтобы достичь назначенной скорости? Масса топлива в этом вопросе уже мыслится как функция, скорость - как аргумент. Задачу решает функция, обратная к логарифмической функции, - показательная.

Функция логарифмическая и функция показательная. Сведем их на одном графике. Бросается в глаза: они расположены симметрично относительно биссектрисы угла, стороны которого - оси координат. Это не удивительно - ведь переход от прямой функции к обратной заключается в переименовании: функция становится аргументом, аргумент - функцией. Заметим, что функция, обратная линейной, - это опять-таки линейная функция. Квадратный корень и парабола тоже являются взаимно обратными функциями, и графики их тоже симметричны относительно той же биссектрисы.

Какие свойства функции гарантируют то, что обратная к ней окажется однозначной? Эти свойства - непрерывность и монотонность. Линейная и показательная функции, парабола и корень квадратный - каждая из них непрерывна в любой точке своей области существования. Неразрывна всюду, как говорят в таких случаях. Прекрасные примеры всюду непрерывных функций дают процессы движения. Причина в том, что пространство и время непрерывны.