Предмет АЛГЕБРА Класс 9 Тема урока: ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

педагог (ФИО) ДАНИЛОВА ЕЛЕНА ЕВГЕНЬЕВНА

Предмет АЛГЕБРА Класс 9

Тема урока: ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ.

Цели: обучение построению графика квадратичной функции и использования графика для описания ее свойств.

Задачи урока:

Образовательные:

• повторить построение графика функции, название и расположение графиков функций у = х²,

у = ах²; свойства функций;

• научить распознавать квадратичную функцию по формуле, направление ветвей параболы (в зависимости от коэффициента а); находить координаты вершины параболы; составлять таблицу на основании свойства симметричности параболы; строить график квадратичной функции; находить свойства квадратичной функции;

• проверить первичный уровень усвоения материала;

Развивающие:

• развитие логического мышления, алгоритмической культуры, внимания, навыков самостоятельной работы с источником информации и самоконтроля, интереса к математике.

Воспитательные:

• воспитание последовательности, ответственности, самостоятельности, настойчивости, дисциплинированности.

Необходимое оборудование:

Мультимедийный проектор, экран, компьютер для работы, таблица, схема - буклет, дидактический материал.

Примечание : в плане деятельность учителя и ученика разделены с помощью применения разных шрифтов:

• деятельность учителя:

• деятельность ученика:

Этапы работы

Содержание этапа

(заполняется педагогом)

1.

Организационный момент.

Сообщение темы урока, постановка цели урока

сообщение этапов урока, организация учеников на выполнение работы.

Определение мотивации:

Китайская пословица гласит:

Я слышу - я забываю,

Я вижу - я запоминаю,

Я делаю - я понимаю.

повторение построения графика функции, название и расположение графиков функций у = х², у = ах²; свойства функций;

1.Организационный момент : учитель приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, мотивирует учащихся, объявляет план урока, комментирует принцип самостоятельной работы.

Сообщение темы и постановка целей урока.

2.Актуализация опорных знаний:

( опорная схема-буклет «Функция. Графики функций.»)

- Что называют «функцией»?

- Что называется графиком функции?

- Что называется областью определения и областью значений функции?

- Какая функция называется квадратичной?

- Перечислите свойства квадратичной функции при a>0, при a<0 (таблица с изображением графиков на доске). Учащиеся подробно проговаривают все свойства функции (Область определения и область значений, нули, ось симметрии, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции). Дается определение квадратичной функции.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax² + bx+ c, где х - независимая переменная, a, b и с - некоторые числа (причем, а ≠ 0). Приводятся примеры квадратичных функций. Например: у = 5х² + 6х+ 3, у = - 7х²+8х - 2, у = 0,8х² + 5, у = ¾х² - 8х, у = - 12х² - квадратичные функции. Дается определение графика квадратичной функции.Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх (если а > 0) или вниз (если а < 0). Приводятся примеры графиков квадратичной функции.

у = 2х² + 4х - 1 графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. а = 2, а > 0).

у= - 7х² - х + 3 графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а = -7, а < 0).

2.

Опрос учащихся по ранее изученному материалу.

Повторение способов преобразования квадратичных функций проверка основных умений и навыков по теме

Оценка знаний и умений..Самооценка .

3.Повторение и контроль ранее изученного материала:

• Преобразование графиков: презентация «Парабола» (приложение1.слайд1-5)

• Выполнение проверочной работы с элементами тестирования(задание-тест).

Определите: истинны ли ниже приведенные утверждения, ответив да, нет или не знаю. В случае нет объясните почему.

Задание : да, нет не знаю

А )дана функция у=-(х+4)²-9. Графиком её является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина её смещена влево на 4 единицы и вниз - на 9 единиц

Б) графиком функции у=0,5х² -7 является парабола у=х², вершина которой смещена по оси у вниз на 7 единиц, а ветви направлены вверх

В) графиком функции у=2(х+4)² является парабола у=2х², ветви которой направлены вверх, а вершина смещена влево на 4 единицы

Проводится проверка результатов. Сообщают ответы, делают необходимые пометки, а затем отмечают какие из них и у кого верные. В случае, если все верно и ответы были обоснованы, можно самим оценить свою работу.

3.

Изучение нового учебного материала.

- ввести формулу для вычисления вершины параболы

;

- распознавание квадратичной функции по формуле, направление ветвей параболы (в зависимости от коэффициента а);

-нахождение координат вершины параболы; составление таблицы на основании свойства симметричности параболы; построение графика квадратичной функции;

называть свойства квадратичной функции;

Систематизация полученных знаний и умений через алгоритм

4.Изучение нового материала:

При использовании этих преобразований, можно легко строить графики квадратичных функций, но не всегда. (слайд 6) . Если функция задана в виде

y = ax² + bx+ c, где х - независимая переменная, a, b и с - некоторые числа (причем, а ≠ 0),

то возникают проблема необходимости выделение полного квадрата двучлена.

Таким образом, необходим новый способ построения графика квадратичной функции. Этот способ должен давать возможность быстрого и легкого нахождения координат вершины параболы.

Указывается тема урока. "Построение графика квадратичной функции".

Построение графиков квадратичной функции (учитель показывает оформление на доске).

Построить график функции у = 2х² - 6х + 1.

Решение. Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх, поскольку старший коэффициент 2 - положительное число. Найдем координаты вершины параболы. Имеем а = 2, b = -6;

х0=6:4=1,5 ;y0 =f(x0) = f (1,5), где f(x) = 2х2 -6х + 1. Значит, у0 = f(1,5) = 2 • 1,52 - 6 • 1,5 + 1 = -3,5. На рис. 1 отмечена точка (1,5; - 3,5) - вершина искомой параболы, проведена ось параболы х0=1,5. Чтобы построить саму параболу, поступим так: возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = 0 и х = 3; вычислим значения функции в этих точках, учтя, что f (0) =f(3). Имеем f(0) = 1, значит, и f(3) = 1.Точки (0; 1) и (3; 1)отмечены на (рис. 1.) А теперь, зная три точки, построим искомую параболу (рис.2)

рис.1 рис.2

Итак, обобщаем свои действия и разрабатываем план команд для построения графика квадратичной функции совместно с учащимися.

• Описали данную функцию.

• Нашли координаты вершины параболы.

• Определили расположение оси симметрии параболы.

• Вычислили значения функции в дополнительных точках. Нашли точки пересечения графика с осями координат.

• Построили график функции.

Алгоритм построения графика квадратичной функциивида y = ax² + bx+ c: (слайд7)

1. находим абсциссу вершины параболы по формуле х₀ = -в / 2 а;

2. подставляя полученное значение х₀ в формулу заданной функции, получаем у₀;

3. построим вершину параболы с координатами (х₀ ; у₀ );

4. определим направление ветвей параболы (по коэффициенту а);

5. проведем ось параболы через ее вершину;

6. выбираем значения х слева или справа от оси параболы;

7. вычисляем соответствующие значения у;

8. строим точки по полученным координатам и точки им симметричные относительно оси параболы;

9. соединяем точки непрерывной плавной линией.

4.

Закрепление учебного материала.

Первичное закрепление полученных знаний в ходе выполнения самостоятельного задания с последующей самопроверкой;

Рекомендация воспользоваться материалами учебника в случае затруднения.

Совершенствование знаний и умений через дифференцированные задания

5. Закрепление изученного материала:

Продолжаем работу. Построить в тетради график функции

у = - 2х² + 8х - 3. (При построении пользуйтесь уже имеющимися данными )

План построения графика квадратичной функции.

1. Описать функцию:

- название функции;

- что является графиком функции;

- куда направлены ветви параболы

2. Найти координаты вершины параболы А(m; n)

3. Заполнить таблицу значений функции.

4. Построить график функции:

- отметить в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице;

- соединить их плавной линией.

Самопроверка. (слайд8)

Проверьте себя. Ваше задание должно быть выполнено следующим образом:

у = - 2х² + 8х - 3 - квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. а = -2, а < 0).

Найдем координаты вершины параболы

А (2; 5) - вершина параболы.

х = 5 - ось симметрии параболы.

Составим таблицу:

х

0 1 2 3 4

у

-3 3 5 3 -3

Если у вас получилось то же самое, вы отлично справились с заданием.

Если вы допустили ошибку, не огорчайтесь. У вас все еще впереди! Вы можете просмотреть объяснение еще раз или воспользоваться объяснением в учебнике п. 7.

Работа с учебником.

№ 120(устно), №121(самостоятельно, взаимопроверка), № 122(работа у доски).

6.Совершенствование знаний и умений :

Учащимся предлагаются дополнительные задания из сборника ГИА.

Задание 1.

Постройте графики функций:

I вариант: у = - х² + 6х - 8. Укажите ООФ, ОЗФ, нули функции, промежуток возрастания функции.

II вариант: у = - х² - 6х - 7. Укажите ООФ, ОЗФ, нули функции, промежуток убывания функции.

Задание 2.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = - 2х² + 8x - 5 на отрезке [0, 3].

Решение:

Первый этап. Построим параболу, служащую графиком заданной функции. Воспользуемся алгоритмом.

1. Значит, вершиной параболы служит точка (2; 3), а осью параболы - прямая х = 2 (рис. 1).

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = 0 и х = 4. Имеем f(0) =f(4) = = -5; построим на координатной плоскости точки (0; - 5) и (4; - 5) (рис. 1).

3) Через точки (2; 3), (0; -5), (4; -5) проводим параболу (рис. 2).

Второй этап. Выделим часть построенного графика на отрезке [0, 3]. Замечаем (см. выделенную

часть параболы на рис.2), что унаим. = - 5 (достигается при х = 0), а yнаиб. = 3 достигается при х= 2). ответ: у наим. = - 5 ; y наиб. = 3.

рис.1 рис.2

Работа может быть выполнена после урока и оценивается учителем по желанию обучающегося.

5.

Итог урока, рефлексия и задание на дом:

Обобщение знаний и умений, поученных на уроке, инструктаж по заданию по самоподготовке.

7.Итог урока : Обобщение знаний, полученных на уроке. Каждый должен знать и уметь ответить на вопросы: (слайд 9)

1-й вопрос: Выберите квадратичную функцию а) y = 6x² - 3x³+ x ; в) y = 3x² + 7x - 5; г) y = 2x + 5

2-й вопрос: Куда направлены ветви параболы: у=х²-8х+2, у=-2х²+4х-6

3-й вопрос. Укажите координаты вершины параболы y = - 3x²+ 6x - 8.

а) А(3; 6) ; б) А(-1; -17); в) А(1; -5) г) А(1; -1).

Фронтальный работа с обучающимися : дают ответы на вопросы.

Я в течение урока заносила результаты каждого этапа в таблицу и могу оценить работу отдельных учащихся.

(Ф.И. .Повторение. Устная работа. Проверочный тест. Построение графиков. Итоговая оценка).

8. Саморефлексия: Если вам это удалось, то вы не зря провели время на уроке. С хорошим настроением можем сказать друг другу «Спасибо за урок и до свиданья».

Оцените свое настроение и состояние после проведенного урока.

9.Домашнее задание: на следующем уроке быть готовым к практической работе. Желающие могут провести доказательство формул нахождения вершины параболы