Конспект урока математики Перпендикулярность прямой и плоскости

Тема: ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Цели:

• Сформировать у обучающихся понятие перпендикулярности прямых в пространстве, прямой перпендикулярной плоскости; изучить лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей; теоремы в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

• Продолжить формирование навыков самостоятельности у обучающихся в процессе самоконтроля и при изучении нового материала.

• Воспитывать познавательный интерес к предмету.

Методическая цель:

Активизация познавательной деятельности обучающихся на уроке математики.

КМО:

• Рисунки к теоремам

• Справочный материал

• Рисунки к задачам (подготовленные обучающимися)

• учебник

• карта отметок

Тип урока:

Изучение нового материала.

Вид урока:

Комбинированный.

Ход урока.

1. Орг. момент.

2. Подготовка обучающихся к занятию.

Сообщение темы и цели занятия. Мотивация.

3. Формирование новых знаний.

Работа с обучающимися получившими опережающее задание.

1 обучающийся: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: аb. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть

скрещивающимися. На рисунке1 перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с скрещивающиеся.

2 обучающийся: Докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство. Пусть а||b и ac. Докажем, что bс. Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с (рис. 2). Так как a^c, то AMC = 90°.

Рисунок 1

Рисунок 2

По условию леммы b||а, а по построению а||МA, поэтому b||МА. Таким образом, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b^c. Лемма доказана.

Оформление в тетради:

Дано:

а||b, ac

Доказать:

bс

Доказательство:

1. Через точку М , МА|| a, МС|| c, a ^ c МА^МСÐAMC=90°.

2. b||а, а||МA b||МА b^c.

3 обучающийся: Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Перпендикулярность прямой а и плоскости  обозначается так: a^a. Говорят также, что плоскость a, перпендикулярна к прямой а.

Если прямая а перпендикулярна к плоскости a, то она пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость a, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. Но тогда в плоскости a имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости. Значит, прямая а пересекает плоскость a.

На рисунке 3 изображена прямая а, перпендикулярная к плоскости a.

Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, т. е. перпендикулярно к плоскости земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т. д.

Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Рисунок 3

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости,

Рисунок 4

Доказательство. Рассмотрим две параллельные прямые а и a₁ и плоскость a, такую, что a^a. Докажем, что и a₁^a.

Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости a (рис. 4). Так как a^a, то a^x. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей a₁^x. Таким образом, прямая a₁ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости a, т. е. a₁^a. Теорема доказана.

Оформление в тетради:

Дано:

а|| a₁, aa

Доказать:

a₁a

Доказательство:

Проведём х , т.к. aa, то a ^хÞ a₁ х (лемма) Þ Þa₁a..

Докажем обратную теорему.

Теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Рисунок 5

Доказательство. Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости a (рис. 5,а). Докажем, что а  b.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b₁, параллельную прямой а. По предыдущей теореме b₁^a. Докажем, что прямая b₁ совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что а  b. Допустим, что прямые b и b₁ не совпадают. Тогда в плоскости , содержащей прямые b и b₁, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости a и (рис. 5, б). Но это невозможно, следовательно, аb. Теорема доказана.

Оформление в тетради:

Дано:

aa, ba

Доказать:

а  b

Доказательство:

1.Предположим, что а  b тогда, через М b, b₁ ||aÞ Þaa Þ b₁^a.

2. через точку М в плоскости , b и b₁ ^с Þ а  b

4. Закрепление нового материала.

1. Чтение теорем устанавливающих связь между параллельностью и перпендикулярностью.

2. Попарная проверка теорем.

5. Применение знаний и умений обучающихся.

Заранее выбираются консультанты, которые разбирают задачи и выполняют рисунки к ним.

Группа делится на подгруппы, где вместе с консультантами разбираются задачи. От каждой группы представитель записывает решение задачи у доски. Все обучающиеся записывают решения задач в тетрадь.

1. подгруппа №116(а).

2. подгруппа №116 (б).

3. подгруппа №117

4. Подгруппа №118

5. Подгруппа №117

6. Домашнее задание.

7. Подведение итогов занятия(выставление отметок).

Приложение

№ 116 (а)

А

D

C

А₁

D₁

C₁

B₁

Дано: - параллелепипед,

Доказать: ,

Доказательство: A₁D₁AD  AB A₁D₁ (лемма);

ABDC, B₁C₁AD  DCB₁C₁ (лемма).

№ 116 (б)

А

D

C

А₁

D₁

C₁

B₁

Дано: - параллелепипед, ABDD₁

Доказать: ,

Доказательство: ABA₁B₁, ABDD₁ A₁B₁ DD₁ (лемма);

ABDD₁, DD₁CC₁ ABCC₁ (лемма).

№ 117

А

D

C

N

M

Дано: DABC - тетраэдр, BCAD, MAB, AM = MB, NAC, AN = NC

Доказать: ADMN

Доказательство: MNBC, (как средняя линия  ABC);

BCAD  MNAD (лемма).

№ 118

А

D

C

M

O

a



Дано: a, A,M, O  a, O,B,C,D  

Найти: прямые углы

Решение: a  aCO, a DO, aBO (по определению перпендикулярности прямой и плоскости)  AOB = 90^º,

MOC = 90^º, DOA = 90^º