Олимпиадные задания для 11 класса

Центр дистанционного образования «Прояви себя»

Всероссийская интернет-олимпиада.

Св-во о гос. регистрации серия 70 №001697583.

Св-во о регистрации сетевого издания (СМИ)

ЭЛ № ФС 77 - 61157, выдано Роскомнадзором.

Сайт: internet-olimpiada.ru .

E-mail: [email protected] .

ЗАДАНИЯ

Всероссийской интернет-олимпиады по математике для 11-х классов.

Инструкции для участников.

Обращаем Ваше внимание на следующие важные моменты:

1. Ответы к заданиям высылаются с 09:00 (мск) 09 ноября до 09:00 (мск) 12 ноября 2015 года с помощью специальной формы, расположенной по ссылке:

internet-olimpiada.ru/forma.php .

Перед внесением ответов, пожалуйста, внимательно ознакомьтесь с инструкций по заполнению формы. Инструкция опубликована по ссылке:

internet-olimpiada.ru/Instr_internet-olimpiada.ru.doc .

Перед отправкой ответов с помощью специальной формы рекомендуем воспользоваться тренировочной формой, чтобы понять как работает система ставок. Тренировочная форма расположена по ссылке:

internet-olimpiada.ru/forma2.php .

2. Ответом на любое задание может быть только целое или дробное число. В случае дробного числа целая и дробная части разделяются точкой.

Положительные числа указываются без символа «+». Отрицательные числа указываются с символом «-», пробел между символом «-» и первой цифрой числа не ставится.

3. Размерности в ответе не указываются, только числовое значение. При этом обращайте внимание, в каких единицах необходимо выразить ответ.

4. В случае успешной отправки ответов с помощью специальной формы после нажатия кнопки "Отправить ответы" на странице появится соответствующее уведомление.

5. Результаты интернет-олимпиады, в том числе баллы каждого участника, будут доступны в 09:00 (мск) 15 ноября 2015 года по ссылке:

internet-olimpiada.ru/results.php .

По этой же ссылке в это же время будет открыт доступ для скачивания электронных дипломов.

Желаем Вам успешного участия!

Задание №1. В банке 500 долларов. Разрешаются две операции: взять из банка 300 долларов или положить в него 198 долларов. Эти операции можно проводить много раз, при этом, однако, никаких денег, кроме тех, что первоначально лежат в банке, нет.
Какую максимальную сумму можно извлечь из банка?

Задание №2. Решите в натуральных числах уравнение НОК (a; b) + НОД (a; b) = ab. (НОД - наибольший общий делитель, НОК - наи­меньшее общее кратное). В ответе укажите число b.

Задание №3. Определите сумму всех таких натуральных чисел n, для которых числа 5600 и 3024 делятся без остатка на n и n + 5 соответственно.

Задание №4. Набор, состоящий из чисел a, b, c, заменили на набор a⁴ - 2b², b⁴ - 2c², с⁴ - 2а². В результате получившийся набор совпал с исходным. Найдите числа a, b, c, если их сумма равна (- 3). В ответе укажите число b.

Задание №5. Доктор дал своему пациенту пакетик с таблетками и указал ему принимать ежедневно по четверти таблетки. Пациент последовал указаниям доктора и ежедневно принимал лекарство, вынимая из пакетика таблетки наугад. Если пациенту попадалась целая таблетка, то он делил её на четвертинки, одну из которых принимал, а остальные возвращал обратно в пакетик. Если пациенту попадалась четвертинка, то он её проглатывал. Через месяц приёма лекарства оказалось, что в пакетике в 8 раз больше четвертинок, чем целых таблеток. Ещё через три месяца в пакетике осталось 5 целых таблеток и некоторое количество четвертинок. Сколько таблеток было в пакетике изначально, т.е. до начала приёма лекарства?

Задание №6. Найдите все целые значения параметра a, при которых неравенство не имеет корней на отрезке . В ответе укажите сумму найденных значений параметра a.

Задание №7. Найдите все натуральные числа n, при которых выражение 2n³+3n²+7n не делится без остатка на 6. В ответе укажите количество найденных n.

Задание №8. 2015 складов соединены дорогами так, что от любого склада можно проехать к любому другому, возможно, проехав по нескольким дорогам. На складах находится по x₁, …, x₂₀₁₅ кг цемента соответственно. За один рейс можно провезти с произвольного склада на другой склад по соединяющей их дороге произвольное количество цемента. В итоге на складах по плану должно оказаться по y1, …, y₂₀₁₅ кг цемента соответственно, причём x₁ + x₂ + . . . + x₂₀₁₅ = y₁ + y₂ + . . . + y₂₀₁₅. За какое минимальное количество рейсов можно выполнить план при любых значениях чисел x_i и y_i и любой схеме дорог?

Задание №9. Найти наименьшее натуральное число, дающее остатки: 1 - при делении на 2, 2 - при делении на 3, 3 - при делении на 4, 4 - при делении на 5, 5 - при делении на 6.

Задание №10. В какой наименьшей степени все натуральные числа, не кратные 7, дают при делении на 7 остаток 1?

2